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Hidrodinâmica e a Equação de Bernoulli

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Análise Experimental da Equação de Continuidade e da Equação de Bernoulli Utilizando Câmara Transparente
Anderson Kennedy1 e Cosme Alan Galvão2
1Licenciatura em Física, Campus Taguatinga, Instituto Federal de Brasília. 
2Tecnologia em Automação Industrial, Campus Taguatinga, Instituto Federal de Brasília.
Resumo. A Equação da Continuidade e a Equação de Bernoulli são duas equações importantíssimas para o estudo da hidrodinâmica. O objetivo deste experimento foi testar as equações de Continuidade e de Bernoulli para o escoamento de líquidos. Os resultados encontrados não foram de encontro ao previsto teoricamente.
Palavras chave: Equação de Continuidade, Equação de Bernoulli, hidrodinâmica. 
	Fluidos e Ondulatória Experimental – 1º/2017		1
1. Introdução
 Daniel Bernoulli foi um matemático suíço, é particularmente lembrado por suas aplicações da matemática à mecânica, especialmente a mecânica de fluidos, e pelo seu trabalho pioneiro em probabilidade e estatística, e o primeiro a entender a pressão atmosférica em termos moleculares.
 Em sua obra Hidrodinâmica (1738) expressa que em um fluido ideal (sem viscosidade nem atrito) em regime de circulação por um conduto fechado, a energia que possui o fluido permanece constante ao longo de seu percurso. A energia de um fluido em qualquer momento consta de três componentes:
Cinética: é a energia devida à velocidade que possua o fluido;
Potencial gravitacional: é a energia devida à altitude que um fluido possua;
Energia de fluxo: é a energia que um fluido contém devido à pressão que possui.
 A seguinte equação conhecida como "Equação de Bernoulli" (Trinômio de Bernoulli) consta destes mesmos termos:
{\displaystyle {\frac {V^{2}\rho }{2}}+{P}+{\rho gh}=constante}
 (1)
 onde:
 V{\displaystyle V} = velocidade do fluido na seção considerada.
 g{\displaystyle g}  = aceleração gravitacional
 h{\displaystyle h} = altura na direção da gravidade desde uma cota de referência.
 P{\displaystyle P} = pressão ao longo da linha de corrente.
 ρ{\displaystyle \rho } = densidade do fluido.
Fig. 1: Relação entre grandezas na Equação de Bernoulli.
 A equação (1) é bastante importante no estudo da hidrodinâmica, contudo existe outra equação que também é de importância relevante nesse estudo:
 (2)
 A equação acima é conhecida como Equação de Continuidade. Esta equação é de suma importância, uma vez que relaciona a velocidade com a área de secção transversal, mostrando que a velocidade de um fluido muda ao passar de uma área de secção transversal a outra diferente. Observe:
Fig. 2: Mudança de velocidade de um fluido ideal ao passar por diferentes áreas de secção transversal.
 O objetivo deste experimento foi testar as equações de Continuidade e de Bernoulli para o escoamento de líquidos. 
2. Procedimento Experimental
 Os materiais necessários para a realização deste experimento foram:
Câmara transparente vertical com dutos de saída de diferentes diâmetros; 
Paquímetro; 
Cronômetro; 
Haste com tripé; 
Copo plástico graduado; 
Seringa; 
Réguas; 
Pêndulo; 
Cubas de plástico; 
Água.
 Primeiramente, foram medidas com o paquímetro o diâmetro das duas aberturas inferiores e da abertura superior da câmara transparente. O sistema foi então colocado em uma das cubas e a outra foi colocada adjacente à primeira. 
 Com o pêndulo, demarcou-se a posição vertical abaixo da abertura de maior diâmetro. O zero de uma da réguas foi colocado abaixo deste ponto e foi utilizado a borda das cubas como sustentação. A régua foi alinhada de modo a ficar paralela a direção da saída de água da câmara.
 Com a outra régua, mediu-se e a distância do zero da primeira régua até a abertura. Com as saídas fechadas, colocou-se água com copo graduado até que está atingisse 70mm acima da altura da abertura. 
 Retirou-se então a tampa e observou-se o valor que a água atingiu na régua. Como a água espalha um pouco, deve-se considerar o ponto médio.
 O procedimento anterior foi repetido para uma altura acima da abertura de 40mm, 60mm, 80mm, 100mm, 120mm, 140mm, 160mm e 180mm. 
 Colocando água nas mesmas alturas utilizadas anteriormente, mediu-se com um cronômetro o tempo para que a coluna de água descesse, a partir do momento da abertura do duto, 5mm(de preferência) ou próximo disso. 
 Os mesmos passos foram então repetidos para a outra abertura. 
3. Resultados e Discussão
 Observe o esquema experimental abaixo:
Fig. 3: Esquema experimental.
 Alguns aspectos podem ser observado primeiramente. Pode-se perceber que a área inferior é muito menor que a área superior e que o “jato” de fluido segue um movimento balístico. Para testar a veracidade da Equação de Continuidade para este sistema, é necessário que se conheça as áreas superior e inferior e também as velocidades e . Observe então tabela a seguir com os valores das áreas, atentando-se ao fato das áreas serem circulares:
	
	Diâmetro (m)
	Área (m2)
	Abertura Superior
	
	
	Abertura Inferior Maior
	
	
	Abertura Inferior Menor
	
	
Tabela 1: Diâmetros e áreas das aberturas.
 As velocidades e não podem ser calculadas diretamente, tendo-se então que se adotar um método indireto. A velocidade pode ser calculada como sendo a velocidade média com que a água escoa em um deslocamento pequeno, para se ter uma velocidade média tendendo ao valor da velocidade instantânea. Observe como se calcula o valor de e seu erro:
 (3)
 (4)
 (5)
 Já a velocidade pode ser calculada através das fórmulas de balística, uma vez que, como já dito, o “jato” de fluido segue um movimento balístico. Observe:
 (6)
 (7)
 Juntando as duas equações anteriores, obtém-se: 
 (8)
 Para calcular o erro basta derivar parcialmente de maneira semelhante ao efeito com a velocidade :
 (9)
 (10)
 Então é necessário se saber o espaço e o tempo para se calcular e os valores de X e Y para se calcular a . Observemos agora os valores encontrados para essas grandezas para as duas aberturas nas duas próximas tabelas:
	m
 
	Altura (m)
	Espaço (m)
	Tempo (s)
	X (m)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Tabela 2: Valores de espaço, tempo, X e Y para abertura de maior diâmetro.
	m
	Altura (m)
	Espaço (m)
	Tempo (s)
	X (m)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Tabela 3: Valores de espaço, tempo, X e Y para abertura de menor diâmetro.
 Com os valores das tabelas 2 e 3 já é possível saber o valor das velocidades e . Sabendo os valores das velocidades, já é possível analisar a Equação de Continuidade, uma vez que já se terão as áreas e as velocidades. Observe as tabelas a seguir, atentando-se ao fato de que a área 1 é a do diâmetro superior e a área 2 é a do diâmetro em uso:
	Altura (m)
	V1(m/s)
	V2(m/s)
	A1V1(m3/s)
	A2V2(m3/s)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Tabela 4: Velocidades e vazões para a abertura de diâmetro maior.
	Altura (m)
	V1(m/s)
	V2(m/s)
	A1V1(m3/s)
	A2V2(m3/s)
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Tabela 5 Velocidades e vazões para a abertura de diâmetro menor.
 Observando as tabelas 4 e 5, constata-se que em ambos os casos não se verifica uma igualdade entre os termos A1V1 e A2V2, dessa forma não se comprovando a Equação de Continuidade. Esse fato se verifica pela dificuldade dos experimentadores de se medir os tempos, medidas bastante sensíveis. Imagina-se que esta tenha sido a principal causa desses resultados errôneos. 
 Apesar de equivocados os resultados, alguns aspectossão importantes de se ressaltar. Observa-se que a velocidade V2 aumenta a medida que a altura aumenta. Outro fato interessante é que a velocidade V2 é consideravelmente maior que a velocidade V1, fato explicado pelo fato da área 2 ser muito menor que a área 1. 
 Vejamos agora um gráfico de V2 em função da altura: 
Fig.4: Gráfico de V2 em função da altura para as duas aberturas de diâmetros diferentes.
 Observa-se que o gráfico não é linear, contudo se fizermos um gráfico de em função de obtemos uma relação linear, cujo coeficiente angular é o fator . Isto pode ser provado observando o esquema experimental da figura 3 e a equação (1 ). Podemos constatar que ; Se considerarmos como sendo 0 (a referência), . Dessa forma a equação (1) se reduz a:
 (11)
 Substituindo (2) na equação acima e reorganizando os termos, chagamos a:
 (12)
 A equação acima é uma reta de coeficiente angular . O erro poderia ser calculado por derivada parcial:
 (13)
 (14)
 Observe o gráfico de em função de :
Fig. 5: Gráfico de em função de para as duas aberturas de diâmetros diferentes.
 Vejamos agora se o coeficiente angular do gráfico calculado por meio do software e de maneira manual coincidem. Veja a tabela a seguir:
	
	Maior Diâmetro
	Menor Diâmetro
	Coeficiente angular (Software)
	
	
	Coeficiente angular (Manual)
	
	
Tabela 6: Coeficientes angulares calculados manualmente e por meio do software.
 Percebe-se que os valores encontrados são bastante divergentes. Levando em conta que a Equação de Continuidade não foi comprovada anteriormente, era de se esperar que os valores dos coeficientes encontrados das duas maneiras seriam divergentes. 
4. Conclusão
 Os resultados encontrados experimentalmente não foram de encontro ao esperado teoricamente. Imagina-se que essa divergência deveu-se principalmente a dificuldade de se medir o tempo. Contudo, apesar dos resultados equivocados, verificou-se que a velocidade V2 aumenta a medida que a altura aumenta. Outro ponto interessante é que a velocidade V2 é consideravelmente maior que a velocidade V1, fato explicado pelo fato da área 2 ser muito menor que a área 1. 
 
5. Referências
[1] QUINTELA, A. C.; “Hidráulica”, Fundação Calouste Gulbenkian, 09ª edição, Lisboa, 2005.
[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. “Fundamentos de Física”: gravitação, ondas e termodinâmica. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
[3] Roteiro do experimento 3: Hidrodinâmica e Equação de Bernoulli.

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