Elementos de Geom Diferencial en r³ Sanchez Dario

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ELEMENTOS
DE
GEOMETRIA DIFERENCIAL EN s�
José Darío Sánchez Hernández
danojuanos@hotmail.com, Bogota, Colombia, 2004
Una vez mas estoy en contacto con los amables lectores de la comunidad matematica, con´ ´
el fin de ponerlos en conocimiento de los elementos de la Geometría Diferencial necesarios
para un rapido desenvolvimiento en el estudio de las Variedades Diferenciales, de la teoría´
de Jets, de la física matematica y de muchos otros campos del pensamiento matematico.´ ´
Este trabajo lo he realizado aprovechando notas y apuntes de un curso que dicte en el´
Departamento de Matematicas y Estadística de la Universidad Nacional de Colombia por la´
decada de los ochenta.
En el presente documento no se encuentran nociones tales como las de geodesicas,´
derivadas covariantes, tensor de Ricci y otros aspectos que se pueden estudiar con mayor
enfasis en las variedades diferenciales, tampoco dedico mucho tiempo a las metricas´ ´
Rimanianas por sólo tratarse de .s�
Por otra parte el material aquí contemplado lo considero de gran utilidad en la formacion de´
un matematico o de un físico teorico y constituye una herramienta para lograr exitosos´ ´
avances en los cursos de post-grado.
CONTENIDO
§ 1. FUNCIONES DIFERENCIALES DE EN ....................... 3 ..s sm n
 1.1 Introducción...................................................................... 3
 1.2 Funciones de clase C ................................................................ 5.À k
 1.3 Regla de la cadena ................................................................ 8.À
 1.4 Desigualdad del valor medio ...................................................... 9.À
 1.5 Funciones implícitas ............................................................ 10.À
 1. Teorema fundamental del Algebra....................................... 12
À
 Ejercicios ............................................................................ 15.
§ 2. FUNCIONES DIFERENCIABLES DE EN Y . CURVAS.. 17s s s� �
 2.1 Producto vectorial de .................................................... 21.À s�
 2.2 Propiedades del producto vectorial ..................................... 21.À
 2.3 El triedro de Frent ............................................................... 22À
 2.4 Camino plano ..................................................................... 24.À
 25. Comentarios........................................................................... 25
 Apendice 1 ................................................................... . 32´
 2. Criterio de localizacion de puntos estacionarios ............... 33´ .
À
Darío Sánchez H 2,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 § 3. FUNCIONES DIFERENCIABLES DE EN .s s� �
 3.1. SUPERFICIES REGULARES .................................................. 35 . 
 Aplicaciones ........................................................................ 44.
 Teorema de cambio de coordenadas ................................... 47.
 Aplicaciones entre superficies........................................ . 53
 Aplicaciones .................................................................... . 55
 Ejercicios ........................................................................... 56
§ 4. SUPERCIFIES ORIENTABLES .
 4.1. Introduccion ........................................................................ 58´ .
 4.2. Espacio vectorial orientado ................................................. 60.
 4.3. Atlas de una superficie ........................................................ 63
 4.4. Campo diferencial de vectores normales ............................. 65.
 4.5. Primera forma cuadratica ................................................... 69´ .
 4.6. Aplicaciones de la primera forma cuadratica ...................... 72´ .
 4.7. Definicion de region ........................................................ 73´ ´ .
 4.8. Isometría y transformaciones conformes .............................. 76.
 Ejercicios ............................................................................ 82.
§ 5. GEOMETRIA DE LA APLICACION NORMAL DE GAUSS... 83 .
 Teorema 2. (de Meusnier) ........................................................ 87.
 Teorema 4 (Egregio de Gauss) ............................................... 90.
 Aplicaciones ............................................................................... 93.
 Ejercicios .................................................................................... 99
§ 6. CAMPO DE VECTORES ......................................................... 100 .
§ 7. CAMPO DE DIRECCIONES ................................................... 104 .
 Teorema 1 (de flujo tubular) .................................................... 106.
 Ejercicios ................................................................................... 109.
§ 8. CAMPO DE VECTORES TANGENTES ................................ 109 .
 8.1.Construcción de un campo de vectores tangentes.............. 110
 Ejercicios ............................................................................ 111......
§ 9. CAMPO DE DIRECCIONES EN UNA SUPERFICIE ............ 111 .
 Ejercicios ...................................................................................... 113.
 APENDICE .2 ......................................................................... 115
BIBLIOGRAFIA ................................................................................... 118 .
§ 1. FUNCIONES DIFERENCIABLES DE EN .s sm n
1.1. INTRODUCCIÓN.
Darío Sánchez H 3,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Presentamos inicialmente resultados del calculo avanzado que´
constituyen un requisito fundamental en el desarrollo
posterior de este curso.
DEFINICION 1. Sea U un conjuto abierto, se dice que una aplicacion ´‹ s� �:U ˜˜—s�
es diferenciable en un punto x U cuando existe una transformacion lineal´
T = (x): � Z � �s s—
tal que donde� �(x+h) = (x) + T.h + r(h) 
lim = 0
h 0¦
r(h)
|h|
EJEMPLOS. 1. Sea :U la aplicacion constante, ie, existe´� — s�
c tal que (x) = c x U. Entonces existe (x) y es tal � D  �s� Z
que (x)=0 x U , 0: es la transformacion lineal´� D Z � �s s—
nula; (o identicamente cero)´
 (x+h) = (x) + 0 h = 0� � h
claramente lim = 0
h 0¦
0
|h|
2. Sea T:E E una transformacion lineal de un espacio´˜—
vectorial en sí misma. T es diferenciable en todos los puntos
x E siendo
 T (x) = T x E.Z D 
Esto es T (x) no depende de x. En efecto, por la linealidad seZ
tiene:
 T(x+h) = T(x) + T h + r(h) con r(h) = 0h
3. Sea : una aplicacion bilineal. Entonces es´0 s s s 0� � �d —
diferenciable o sea existe (x) y se tiene para todo0 Z
(x,y)  ds s� �
 (x,y) : 0 s s sZ � � �d —
es una transformacion lineal dada por´
 (x,y).(h,k) = (h,y) + (x,k)0 0 0Z
En efecto
 (x+h,y+k) = (x,y) + (h,y) + (x,k) + (h,k)0 0 0 0 0
(Esto por la linealidad de ).0
Tomando r(h,k) = (h,k) se tiene0
 lim = lim lim
(h,k) 0 (h,k) 0 (h,k) 0
 
¦ ¦ ¦
|0 0(h,k)|
|(h,K)| max{|h|,|k|} max{|h|,|k|}
| (h,k)| c|h||k|
 c lim inf {|h|,|k|}|h||k| = 0.
(h,k) 0¦
…
Recordemos ahora las definiciones dadas en cursos anteriores
para la derivada de un campo escalar:
 f (X;Y) = limZ � �
t 0¦
(X+Yt) - (X)
t
se muestra facilmente que´
 (X;Y+Z) = (X;Y) (X;Z) .� � b �Z Z Z
Podemos generalizar la presente definicion y escribir:´
Sea U un conjunto abierto. Se dice que una funcion´‹ s�
� ¦ :U es diferenciable en un punto x U cuando existe unas�
transformacion lineal´
 T = (x): � Z � �s s˜—h (x).hª �Z
donde
 (x).h = (x;h) = lim� �Z Z � c�
t 0¦
(x+th) (x) 
t
Darío Sánchez H 4,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Si para todo x U, f es diferenciable en x, entonces se dice
que es diferenciable en U.�
EJERCICIO. Sea f: s s� �—
 (x,y) (x -y,x-y )ª � �
Hallar (x) : . Calcular (x,y) h para (x,y)=(4,-1) y� � hZ � � Zs s—
h = (1,2).
DEFINICION 2. Dado un conjunto abierto de , una aplicacion´ U :Us� � —s�
queda definida por n funciones llamadas � � �� � �, ,..., U : — s FUNCIONES
COORDENADAS de y definidas por la relacion´�
� � � � (x) = ( (x), (x),..., (x)) x U� � �
PROPOSICION 1. Una aplicacion es diferenciable en un punto x si y solamente si´ � U
cada una de las funciones coordenadas es diferenciable en Ademas´�� x.
� Z � �(x) : s s˜˜—
sera dada por
� h � h � h � hZ � � �(x) h = (D (x) h,D (x) h,...,D (x) h)
siendo,
D (x) h = lim� h�
t 0¦
� c �� �(x+th) (x)
t
En efecto,
 (x) h = (x;h) = lim � h �Z Z � �
t 0¦
� �(x+th) - (x)
t
= lim 
t 0¦
( (x+th), (x+th),..., (x+th))-( (x), (x),..., (x))
t
� � � � � �1 1� � � �
= lim 
t 0¦
( (x+th)- (x), (x+th)- (x),..., (x+th)- (x))
t
� � � � � �� � � � � �
= lim , ,..., 
t 0¦
4 5� � � � � �� � � � � �(x+th)- (x) (x+th)- (x) (x+th)- (x)
t t t
= lim ,lim ,...,lim 4 5
t 0 t 0 t 0¦ ¦ ¦
� � � � � �� � � � � �(x+th)- (x) (x+th)- (x) (x+th)- (x)
t t t
= =( (x;h), (x;h),..., (x;h)) (D (x).h,D (x).h,...,D (x).h)).� � � � � �Z Z Z � � �1 2 n
DEFINICION 3. Sea diferenciable en y sea(MATRIZ JACOBIANA). � : x U U˜— s�
e j-� – esimo vector de la base canónica de . Entonces´ s�
� hZ �
� �
(x) e = lim 
t 0¦
(x+te ) - (x)
t
�
Este límite es usualmente llamado la j-esima de en el punto ´ DERIVADA PARCIAL � x, y
se denota
� hZ � C�C(x) e = (x).x�
Así si son las funciones coordenadas de entonces ,� � �� � �, ,..., : U ˜˜— s �
C�
C
C� C� C�
C C Cx x x x�
� � �
� � �
(x) = ( (x), (x),..., (x))
Darío Sánchez H 5,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Esto nos lleva a una expresion clasica para la matriz de la´ ´
transformacion lineal´
 (x) : � Z � �s s˜—
relativa a las bases canonicas de y conocida como ´ s s� � LA
MATRIZ JACOBIANA DE f en el punto x. El elemento (i,j) de esta
matriz es la i-esima coordenada del vector e y por lo´ � Z(x). �
tanto
 J (x) = 
...
...
...
...
�
Å Å Å
v y
x {x {x {x {
w z
C� C� C�
C C C
C� C� C�
C C C
C� C� C�
C C C
� � �
� �
� � �
� � �
� � �
� � �
x x x
x x x
x x x
n
EJEMPLO. Sea : � s s� �˜—
 (x,y) (xy,x+y,x -xy)ª �
Hallar la matriz Jacobiana en cualquier punto x.
Tomando x = (x,y), h = (h ,h ) tenemosW � �
 = 
� W � W � �(x+th) - (x) (x+th ,y+th ) - (x,y)
t t
� �
=
((x+th )(y+th ),x+th +y+th ,(x+th ) -(x+th )(y+th ))-(xy,x+y,x -xy)
t
� � � � � � �
� �
= , , 4 5t(xh +yh +h h t)
t t t
t(h +h ) t(2xh +th xh -yh -h h t)� � � � � � � � � � �
2
1
-
pasando al límite:
 ( xh + yh , h + h , 2xh - xh - yh ) =� � � � � � �
 = 
y x
1 1
2x-y -x
h
h
v y
w z
> ?h �
�
Entonces
 J (x) = = (x)
y x
1 1
2x-y -x
� �
v y
w z
Z
…
1.2 FUNCIONES DE CLASE C�
Denotemos por ( , ) al conjunto de todas las¡ s s� �
transformaciones lineales de en . Si queremos loss s� �
elementos de ( , ) pueden ser considerados como matrices¡ s s� �
n m y puede ser considerada como la aplicacion que a cada´d �Z
x U asocia la matriz Jacobiana J (x) de en x. Entonces � �
decir significa que la matriz J (x) depende�  �9�
continuamente de x U , esto es, cada una de sus
componentes (x):U es una funcion continua de x y´
C�
C
�
�x
˜˜— s
recíprocamente.
Darío Sánchez H 6,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Ademas (x) es derivable en el punto x si y solamente si cada´ � Z
elemento de la matriz Jacobiana es diferenciable.
C�
C
�
�x
Ahora si :U ( , ) tiene derivada en el punto x U� Z � �˜˜— ¡ s s
decimos que es dos veces diferenciable en el punto x y�
escribimos
 "(x) : ( , )� s ¡ s s� � �˜—
para indicar la derivada de en el punto x , esto es ,� Z LA
SEGUNDA DERIVADA de en x.�
Así,
 "(x) ( , ( , ))�  ¡ s ¡ s s� � �
Cuando es dos veces diferenciable en todos los puntos x U� 
decimos que es dos veces diferenciable en U. Si ademas, la´�
aplicacion´
 " : U ( , ( , ))� ˜— ¡ s ¡ s s� � �
es continua, decimos que es � DOS VECES CONTINUAMENTE
DIFERENCIABLE en U, y notemos .�  9 �
Se denotara ( , ( , )) ( , )´ ¡ s ¡ s s ¡ s s� � � � ��–
EJEMPLO : Sea f: definida pors s� ˜—
 (x,y,z) = 3x + 2y + 2xz + z .� � � �
Para un punto arbitrario p = (x,y,z) determinemos s�
 "(p).(H,K) , H,K�  s�
1. : ( , ) y ": ( , ( , ))� �Z � � � � �s ¡ s s s ¡ s ¡ s s˜— ˜˜—
Sea H = (h ,h ,h ), es facil mostrar que´� � �
 (p) H = (6x + 2z,4y,2z + 2x) (h ,h ,h )� h hZ � � �
 = (6x+2z)h + (4y)h + (2z+2x)h� � �
así (p) = (6x + 2z,4y,2z + 2x) ( , )� Z �¡ s s
2. "(p) = (D(6x+2z) H,D(4y) H,D(2z+2x) H) =� h h h
 = ((6,0,2) H,(0,4,0) H,(2,0,2) H) =h h h
= � �� � � � � � � � � � � �
Á �Á � h � Á � Á � Á �Á �Á � h � Á � Á � Á �Á �Á � h � Á � Á �� � � � � � � � �
= (6h + 2h ,4h ,2h + 2h )� � � � �
Entonces
 "(p)(H,K) = (6h + 2h ,4h ,2h + 2h ) (k ,k ,k )� h� � � � � � � �
 = 6h k + 2h k + 4h k + 2h k + 2h k� � � � � � � � � �
 [((6,0,2),(0,4,0),(2,0,2)).(h ,h ,h )].(k ,k ,k )~ � � � � � �
de donde deducimos que
 "(p) = ((6,0,2),(0,4,0),(2,0,2))�
esto es, frecuentemente denotado en la forma
 "(p) = (6,0,2,0,4,0,2,0,2) ( , ) = .�  –¡ s s s s� � � 
�
…
Prosiguiendo por induccion, suponemos que´
 : U � ˜— s�
es (k-1)-veces diferenciable. Entonces su (k-1)-esima´
derivada es una aplicacion´
 f :U ( , ). .( -1)� ˜— ¡ s s s� � �–
( -1)� dn
de U en el espacio de las aplicaciones (k-1)-lineales de s�
en .s�
Si es diferenciable en un punto x U, diremos, que es k�  �� ��c�
veces diferenciable en un punto y usando el isomorfismo
canonico´
Darío Sánchez H 7,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 ( , ( , )). . ( , )¡ s ¡ s s ¡ s s� � � � �� �-1 –
indicaremos (x), la derivada de en el punto x, como� �( ) ( -1)� �
una aplicacion k-lineal de en , que llamaremos k-esima´ ´s s� �
DERIVADA de en el punto x. Cuando (x) existe en cada� � ( )�
punto x U decimos que es k-veces diferenciable en U. �
Queda entonces definida la aplicacion´
 : U ( , )� ( )� ˜— ¡ s s� � �
Diremos que es una aplicacion de clase o k veces´� 9 �
continuamente diferenciable, y escribimos cuando es�  �9 � ( )�
continua. Por conveniencia indicaremos con al conjunto de9 �
todas las aplicaciones continuas.
Definimos la importante clase de las aplicaciones9B
infinitamente diferenciables como siendo la interseccion de´
todas las clases .9 �
 = ... ...9 9 9 9 9B � � � �q q q q q
Así si y solamente si posee derivadas de todos los�  9B
ordenes en cada punto de U.
EJEMPLOS. 1. Una aplicacion constante es de clase ´ 9B
2. La funcion de una variable (x) = |x| es de clase en ´ � 9 s�
pero no es de clase . Analogamente´9 �
 (x) =|x| x� W W W s�
es de clase en pero no es de clase .9 s 9� � �
3. Sea >0, un nu´mero entero. La funcion (x) = |x| es de´� � �
clase en cualquiera que sea p < , pero no es de clase 9 s � 9� �
si p .€ �
4. La funcion´
 (x)= � H
xsen si x 0 
 0 si x = 0
1
x
£
es de clasepero no es de clase .9 9� �
5. Las funciones senx , , log x son de clase en susex 9B
respectivos conjuntos de definicion.´
6. Sea :U dada por (x)=( (x),..., (x)). Entonces� � � �˜˜— s� � �
�  �9 s� �si y solamente si, cada funcion coordenada :U es´ ˜—
de clase . Si este es el caso9 �
 (x)= (x) = ( (x),..., (x))� + � + � + �� � � � � � � �� � � �� �
donde x U, j = 1,2,...,k.
7. Toda transformacion lineal : es de clase , pues´ � s s 9� � B˜—
� � � D Z � � � Z �: ( , ) esconstante(a saber, (x)= x ) ys ¡ s s s˜˜—
f 0, para k>1. Analogamente, toda transformacion bilineal´ ´( )� ~
g: es de clase porques s s 9� � � Bd ˜˜—
 : ( , )� d dZ � � � � �s s ¡ s s s˜—
es una transformacion lineal.´
1.3 REGLA DE LA CADENA.
TEOREMA 1. Sea , espacios vectoriales normados de dimensiones finitas,s s� n,s�
U V :U ‹ ‹ �s s sn, � �conjuntos abiertos una aplicacion diferenciable en el punto´˜—
Darío Sánchez H 8,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
x U (U) V V  � ‹con y una aplicacion diferenciable en el punto´� ¢ ˜—s�
y (x) V. ~ �  Entonces la aplicacion compuesta´
� k � :U x U, ˜—s� es diferenciable en el punto y
( ) (x) = (y) (x) : .� k � � h �Z Z Z � �s s˜—
De modo abreviado: La derivada de la aplicacion compuesta es la compuesta de las´
derivadas
DEMOSTRACION. Podemos escribir
 (x+h)= (x)+ (x) h+ (h) |h| con (h) = 0 (1)� � � h hZ � �lim
h 0¦
 (y+k)= (y)+ (y) k+ (k) |k|con (k)=0 (2)� � � h hZ � �lim
h 0¦
entonces
 ( )(x+h)= ( (x+h)) = ( (x)+ (x).h+ (h).|h|)� k � � � � � � Z �
Hagamos
 k = (x) h + (h) |h|, y = (x)� h h �Z �
en el caso se tiene
 ( )(x+h) = (y+k) = (y) + (y) k + (k) |k|� k � � � � h hZ ��
 = (y) + (y){ (x) h + (h)|h|} + (k)|k|� � � hZ Z �� �
 = (y) + (y) (x) h + (h) |h|� � � h hZ Z �
donde
 (h) = (y) (h) + (k)� � �� hZ � |k||h|
 = (y) (h) + (k)| (x) + (h)|� �Z Z�� � �h|h|
Por tanto si h 0, entonces k 0 y (x) es acotado por lo¦ ¦ �Z h
|h|
tanto
 (h) = 0lim
h 0¦
�
EJEMPLO. Sea un espacio vectorial normado de dimension´s�
finita con producto interno U = -{0} y :U definidas � s� —
por (x) = |x| = x,x� jº »
Tenemos entonces
 � �
 U ˜— ˜—s s
 y y y, = ª � k �j �
 x x.xª º »
Ahora f es una aplicacion bilineal así´
 (x) h = x,h + h,x = 2 x,h� h º » º » º »Z
y,
 (x):2 x, : � º »Z �s s˜—
 (y) = : �Z b1
2 yj s s˜—
así por la regla de la cadena
 (x) = (y) (x) o sea� Z Z Z� �
 (x) = = � Z º » º »2 x, x, 
2|x| |x|
de donde
 (x) h = � Z º »h x,h
|x|
En particular
 (x) e = = , x .� sh � �C C
�(x)
x |x|
x
�
�
…
Darío Sánchez H 9,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
COROLARIO . Sean , , espacios vectoriales normados sis s s� � �
� � ‹:U (U) V ˜— s s� �, g:V ˜— son ambas de clase y entonces9 �
� k �:U .˜˜—s 9� �es tambien de clase´
DEMOSTRACION. La expresion ( ) (x)= ( (x)) (x) muestra´ � k � � � h �Z Z Z
que
 U ( ) = u : U ( , )� k � k ¦Z � �� ¡ s s
 donde� ¨ � k �Z Z
¡ s s s s ¡ s s ¡ s s ¡ s s( , ( , ) u: ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � �m p p) d ¡ d ˜—
 es la compuesta de transformaciones¨ k
 ( , ) :U ( , ) ( , ) es dada por¡ s s � ¡ s s ¡ s s� � � � � �— d
 sus coordenadas = ( , )� � k � �Z Z
Sabemos que u . Supongamos que el corolario esta probado 9B
para clase ( pues el corolario es verdadero para k=0).9 �c�
Entonces , tenemos , C ; luego C ,� �  � k � �  9 �� Z Z � �� �- -
por lo tanto( ) = u lo cual afirma que .� k � k  � k � Z �c� �� 9 9
1.4 DESIGUALDAD DEL VALOR MEDIO
TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS. Sea :[a,b] una funcion´� — s
continua y | es diferenciable, entonces existe un punto� (a,b)
t (a,b) tal que� 
 (b)- (a) = (t )(b-a)� � � Z o
Este enunciado tambien puede ser presentado en la siguiente´
forma:
Sea :[a,a+h] una funcion tal que f| es diferenciable,´� ˜— s (a,a+h)
entonces existe un punto t (a,b) tal que� 
 (b) (a) = (t )(b-a)� c � � Z o
Otra forma de presentar este resultado es como sigue :
Sea :[a,b] una funcion continua tal que | es´� �˜˜— s (a,a+h)
diferenciable. Entonces existe t , 0<t <1, tal que� �
 (a+h)- (a) = h. (a+t h).� � � Z �
TEOREMA 2 (DESIGUALDAD DEL VALOR MEDIO) . Sea U un subconjunto abierto‹ s�
�:U U. [a,a+h] ˜—s� una funcion continua en Si el segmento cerrado esta contenido´ ´
en y es diferenciable enU ([a,a+h]={x U;x=(1- )a+ (a+h), [1,0]}) W W � � �
todos los puntos del segmento abierto Entonces(a,a+h).
| (a+h)- (a)| |h|. sup | (a+th)|� �  �
0<t<1
Z
donde (a,a+h)= x U;x=(1- )a+ (a+h), (0,1)¸   ¹W W � � �
DEMOSTRACION. Supongase inicialmente que tambien es´ ´�
diferenciable en el punto a.
Sea :[0,1] definida por (t) = (a+th). Entonces es� s � �˜˜— � �
continua en [0,1] y diferenciable en [0,1). Como (0)= (a),� �
� �(1) = (a+h) y (t) = (a+th) h es suficiente probar que� � hZ Z
 | (1)- (0)| M donde M = sup | (t)|� � �
0<t<1
Z
ya que | (t)| = | (a-th) h| | (a-th)||h| tomando sup se� Z Z Z� h  �
tiene
 M = sup | (t)| sup | (a-th)||h|
0<t<1 0<t<1
� Z Z �
Darío Sánchez H 10,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
o sea basta probar que
 | (1)- (0)| M+ , para todo >0� � � �
Consideremos el conjunto
 X = {t [0,1]; | (s)- (0)| (M- )s para todo s [0,t]}  � � �
Es claro que X es un intervalo cerrado de la forma [0, ],�
� �=supX esto es debido a que X satisface: a) 0 X, b) Si X, 
existe tal que [ , + ] X .� � � � ‰
Debemos mostrar que =1. Supongamos por absurdo que <1,� �
entonces existe >0 tal que + <1 y que 0 h< , esto� � � �
implica que
 ( + )= ( )+ ( ) h+r(h)� � � � � � �Z h
donde |r(h)| h h�
Se sigue que | ( +h)- ( )| (M+ )h, si 0 h< .� � � � � � 
Como X, tenemos tambien | ( )- (0)| (M+ ) . Por lo tanto´� � � � � � 
 0 h< conduce a | ( +h)- (0)| (M+ )( +h) � � � � � �
ademas´
| ( +h)- (0)| = | ( +h)- ( )+ ( )- (0)| | ( +h)- ( )|+� � � � � � � � � � � � � �
 | ( )- (0)| (M+ ) h+(M+ )� � � � � � h
Teniendo en cuenta que X, esto muestra que +h con 0 h� � �  
tambien +h X, lo cual es contradictorio.� 
De la misma manera demostraremos el caso en el cual es�
diferenciable en el segmento del tipo (a,b]. Se sigue que la
desigualdad del valor medio vale para los intervalos (a,b] y
[b,c) entonces vale para el intervalo (a,c).
COROLARIO. Sea un conjunto abierto conexo y una aplicacion´U :U ‹ �s s� �˜˜—
diferenciable tal que para todo Entonces es constante en �  �Z(x)=0 x U. U.
DEMOSTRACION. Fijamos un punto a U. El conjunto X de los
puntos tales que (x) = (a), x U, es cerrado, así podemos� � 
encontrar un >0 tal que |h| < implica que el segmento� �
[x,x+h] esta contenido en U (basta tomar como el radio de�
una bola centrada en x y contenida en U). Entonces por el
teorema anterior y por el hecho de que 0, vemos que� –Z
|h| esto implica que �
 | (x+h)- (x)| = 0� �
esto es (x+h) = (x), de donde x+h X. Por lo tanto X es� � 
abierto. Así X es abierto y cerrado en U y no vacío (pues
a X) como U es conexo, se sigue que X = U.
…
1.5 FUNCIONES IMPLICITAS.
Sean , espacios vectoriales normados U ,Vs s s s� � � �‹ ‹
subconjuntos abiertos f:U V es un si es˜˜˜˜˜˜˜— DIFEO MORFISMO �
diferenciable y existe :V U el cual es también�-� ˜˜—
diferenciable, es decir
 = IdU , = IdV� k � � k �- -� �
En particular, un difeomorfismo es un homeomorfismo.
Darío Sánchez H 11,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
EJEMPLO Sea: (0,+ ) definida por f(x)=� Bs— e% es un difeomorfismo
(de clase ) cuya inversa (0, ) es dada por (x) = log x.9 sB c� c�� ¢ bB �˜—
PROPOSICION 2 Sea es un difeomorfismo entoncesf:U V ˜˜—
� Z � �(x): s s˜˜—
es un difeomorfismo para todo y x U [ (x)] = ( ) (f(x)). � �Z � � Z- -
En efecto, (x) es una transformacion lineal y ( (x))´� �Z Z �-
tambien es una transformacion lineal, por lo tanto (x) es un´ ´ � Z
isomorfismo ahora
 ( ) (x) = (id) (x) si y solo si ( ) ( (x)). (x) = 1� k � � � �- -� Z Z � Z Z
y esto es equivalente a
 [ (x)] = ( ) ( (x))� � �Z � � Z- -
Si U , V , y, : U V es un difeomorfismo entonces‹ ‹ �s s� � ˜˜—
m n~ À
OBSERVACION 1. Así como en topología un homeomorfismo
(topologico) es una relacion de equivalencia, en geometría´ ´
diferencial un difeomorfismo es una relacion de equivalencia.´
2. Un homeomorfismo no necesariamente es un difeomorfismo,
pues : definida por (x) = x es un homeomorfismo pero� �s s˜˜˜˜˜— �
no es un difeomorfismo ya que su inversa : definida�-� s s˜˜—
por (y) = y en y = 0 no es diferenciable.�-� �/3
DEFINICION 4 À Sea un abierto. Una funcion diferenciable es´U :U ‹ �s s� �—
llamada un si para cada existe una vecindad de queDIFEOMORFISMO LOCAL , x U V x 
es aplicada difeomorficamente por sobre una vecindad de Cuando ´ � � � W (x). 
restringida a cada vecindad de es un difeomorfismo de clase decimos que f es unV x, 9 �
DIFEOMORFISMO LOCAL DE CLASE .9�
Si es un difeomorfismo de clase C se sigue inmediatamente� �
de la definicion que es un difeomorfismo de clase .´ �-� �9
Si :U V es un difeomorfismo local y ademas es una´� �˜˜—
biyeccion de U sobre V, entonces es un difeomorfismo de U´ �
sobre V.
NOTA. :U V puede ser un difeomorfismo local sin ser� —
necesariamente inyectiva.
EJEMPLO. La aplicacion : definida por´ � s s� �—
 f(x,y) = ( cosy, seny)e e% %
es un difeomorfismo local de clase de sobre -{0} esto9 s sB � �
es debido a que
 Jf(x,y) = 
cosy seny
seny cosy
@ A
e e
e e
% %
% %
-
es tal que det(Jf(x,y))= > 0.e�% …
TEOREMA 3. (DE LA FUNCION INVERSA) Sea un abierto y una funcion´U :U ‹ �s s� �˜˜—
de clase tal que, en un punto 9 ¡ s� Z �� � (1 ) x U , (x ) ( )= �  B  � 
Darío Sánchez H 12,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
¡ s s 9( , ) � � �es un isomorfismo. Entonces es un difeomorfismo local de clase de�
una vecindad de sobre una vecindad de V x W (x ).� ��
IDEA DE LA DEMOSTRACION
1. Tomese x = 0, tal que (x ) = (0)=0, entonces (x) = (0) x + r(x) , donde lim = 0 y r (0) = 0 .´
x 0
� �
Z Z� � � �
¦
r(x)
|x| 
2. Sea tal que 0 < < . Existe una bola abierta en torno del origen V tal que |r (x)| < para todo x V� � �1
| (x)|�
Z
Z 
(por continuidad de r en 0) entoncesZ
 |r(y)-r(x)| |y-x| para todo x,y V �
Así | es un homeomorfismo de V sobre un abierto W que contiene a (x ).� �V �
3. Sea : W V muestrese que es diferenciable en cada punto y = (x) W, pues� ~ � ¦ � � -�
 (y+k) = (y) + { (x)} k + s(k)� � � hZ �-
y para mostrar que lim = 0 se observa que
k 0¦
s(k)
|k|
 = [{ (x)} ] donde 
s(k) |h| r(h) |h|
|k| |k| |h| |k| c
- 1- � Z �
siendo k = (x+h) (x)� �-
4. Para mostrar que se considera�  9 �
W V GL( ) GL( ) ( ) entonces = i g donde i(x) = x . Como y i, ,¦ ¦ ¦ ‹ � k � k �  �
� � �Z � � � Z Z � � Zs s ¡ s 9-
� �  �  �  � �  �   son continuas, entonces de donde . Si entonces i, , y de donde gZ � � � Z � Z � �9 9 9 9 9 9
y así sucesivamente.
…
EJEMPLO . Considérese la funcion : definida por´ � ¦s s� �
 f(x,y) = ( cosy seny)e e% %,
el determinante Jacobiano es
 = = (cos y+sen y) =
cosy seny
seny cosy
„ „„ „„ „„ „„ „
d d
C� C�
C C
C� C�
C C
� �
� �
� �
x y
x y
e e
e e
e e
% %
% %
�% �%c
aquí 0 para todo (x,y) . Concluimos por el teorema dee�% £  s�
la funcion inversa que es un difeomorfismo local de clase´ �
9B.
1.6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA .
Sea p: s s� �˜—
z p(z)=a +a z+a z +...+a z , a 0 , n 1ª £ � � � � �� �
un polinomio no constante. entonces es sobreyectiva. En particular existep
z p(z ) = 0.� �
� s tal que
DEMOSTRACION . Como se sabe, para cada z la derivada s�
p (z) es la transformacion lineal en que consiste en la´Z �s
multiplicacion por el nu´mero a 2a z 3a z na z la´ � � � �
� �c�b b bÄb
cual identificamos con p (z).Z
1. F = {z ; p (z) = 0 } es un conjunto finito, de no p(z) s� Z
seria constante, entonces p(F) es finito.
2. p(F) es conexo.s�-
3. Se define la funcion : p (p(F)) p(F),´ � s s� � �- -- ˜˜—
mediante (z)=p(z).�
4. Si z Dominiode , entonces z F, pues F p (p(F)), ¤ ‹� -�
así p (p(F)) Fs s� � �- -- ‹
5. (z) = p (z) es un nu´mero no nulo y por lo tanto (z) es� �Z Z Z
un isomorfismo.
Darío Sánchez H 13,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
6. Por el teorema de la funcion inversa, es un´ �
difeomorfismo local por lo tanto es una aplicacion abierta.´�
En particular la imagen de es un subconjunto de p(F),� s� -
pues p (p(F)) es abierto ya que p(F) es cerrado, p ess� �- -
continua entonces p (p(F) es cerrado.-�
7. El conjunto de valores de es un conjunto cerrado de�
s ?� �c p(F), en efecto, tomemos una sucesion {y } tal que´ ‹ m�
lim y = W como y se tiene que y = p(z) así
n ¦ B � � �?m �
 lim p(z = lim y = W
n n
 ) ¦ B ¦ B� n
mostremos que W , esto es, mostremos que existe ? �m
z -(p(F)) tal que W = p(z). Con este proposito´ ´ s�
consideremos la sucesion { z ; p(z) = y } , tenemos así las´ � �
siguientes posibilidades:
i) lim z = z exista; en cuyo caso tendríamos
n ¦ B �
inmediatamente por la continuidad de p que
 p(z) = p(lim z ) = lim p(z ) = W
n n¦ B ¦ B� �
obteniéndose así lo deseado.
ii)El lim z no existe, por el teorema de Bolzano-Weierstrass
n ¦ B �
la sucesion {z } admite una subsucesion {z } convergente´ ´�
*
n
así lim z = z por la continuidad de p se tiene
n ¦ B
*
n
i
 p(z ) = p ( lim z ) = lim p(z ) = lim p(z ) = Wi i �n n n
 ¦ B ¦ B ¦ B
*
nn
así W e es un conjunto cerrado. ? ?m m � �
8. La imagen de es por lo tanto abierta y cerrada en el�
conjunto p(F).s�-
9. p(F) por lo tanto es sobre.? �m = � s�-
10. p(F) , entonces p es sobre , pues,‹ ? sm p �
 p(F) = ( ).s ? ��- -?m(p) m‹ s�
…
DEFINICION 5. U Sea un espacio vectorial normado un subconjunto abierto.s� ‹ s�
Una aplicacion diferenciable ´ �:
U ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜— s� es llamada siSUMERSION
, para todo la derivada es sobreyectiva.x U (x):  �Z � �s s˜˜—
EJEMPLO. Sea : la proyeccion definida por´& s s s� � �d ˜˜—
& & & s s(x,y) = y. Entonces (x,y) = para todo (x,y) porZ � � d
lo tanto es una sumersion.´
TEOREMA 4 (DE LA FUNCION IMPLICITA). U :U Sea un abierto y una‹ � ¦s s� ��+
aplicacion de clase . Supongamos que es una descomposicion´ ´9 � (k 1) = E F‚ ls�+ n
en suma directa tal que para la segunda derivada parcialz = (x ,y ) U � � � 
C�f(z ):F (z )= .� �� �˜˜—s 
 ses un isomorfismo, supongase ademas que ´ ´ � 
Entonces existen abiertos conteniendo y conteniendo a con laV E x U z ‹ � �P ‹
siguiente propiedad:
 « tal que , y Dx V, ! (x) F, (x, (x)) ( (x, (x)) = » E   �� � P � 
La aplicacion : así definida es de clase y su derivada es dada por´ � V F ˜˜˜˜˜˜˜— 9 �
 '� (x) = [ ( , (x))] F(x, (x))c C � k C� ��� �-
Darío Sánchez H 14,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
IDEA DE LA DEMOSTRACION
1. Con los resultados delteorema de las formas locales de
lassumersiones tenemos z = h(V W) y h(x,w) = (x,h (x,w))d �
para (x,w) V W. ( ) d Remitimos al lector a [12]
2. Tomando :V F entonces es de clase � � 9˜˜— �
 x (x)=h (x, )ª � 
�
3. (x, (x)) = h(x, ) = para todo x V.� � � 
 
4. (x,y) = entonces� 
 (x,y) = h (x,y) = h(x, ) = (x,h (x, )) = (x, (x))� 
 
 ��
de donde se tiene y (x) �
5. (x, (x)) = derivando tenemos:� � 
 (x, (x)) + (x, (x)) (x) = 0C � C � h� � Z� � �
Luego
 (x) = [ (x, (x)] (x, (x)).� � �Z �� �c C � h C �-
…
EJEMPLOS.
1. Sea (x,y) = ax+by+c. Tenemos�
 (x,y) = ( , ) = (a,b)� Z C� C�C Cx y
Luego si a (o b) es diferente de cero, podemos resolver´
�(x,y)=0 con respecto a x (o a y).´
2. Sea (x,y) = x y + xy + 1.� � �-
Tenemos
 (x,y) = (2x+y, 2y+x) .� Z -
Como la u´nica solucion de´
 2x + 2y = 0
 x 2y = 0 - 
es x = y = 0 , concluimos que es posible resolver (x,y)�
con relacion a x (o a y) en las vecindades de todo punto´ ´
(x ,y ) tal que (x ,y ) = 0.� � � ��
3. Sea : [0,1] una funcion continua tal que (t)dt 3.´� � ~˜˜— �s
0
 1
Muestre que para cada x en cierto intervalo [0, ] existe un�
u´nico (x) [0,1] tal que (t)dt = 2 y que�  ��
x
�� �%
� � 9:[0, ] [0,1] así definida es de clase , calcule la derivada— �
� Z(x).
SOLUCION. Definamos F:[0,1] [0,1] por F(x,y) = (t)dtd �˜˜— �s
x
&
como es continua entonces F y se tiene que�  9�
 F(0,y) = (t)dt (t)dt = 3� �
0 0
& �
�  �
Como F es continua entonces F| es continua entonces existe´�Á�µ
y [0,1] tal que F(0,y ) = 2 entonces (Ver el teorema de� �
Rolle)
 F(0,y ) = (t)dt = 2�
&
�
0
�
�
Teniendose que´
Darío Sánchez H 15,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 F(x,y) = (t)dt = (y)C � �� CC
&
y
x
�
Por lo tanto F(0,y ) = (y ) > 0, y F es un isomorfismoC �� � �
local. Por el teorema de la funcion implícita existen´
abiertos (- , ) conteniendo a 0 y [0,1] [0,1] tal que� � P ‹ d
 (x, (x)) y F(x, (x)) = F(0,y ) = 2� P � �
Tome 0< < . Entonces existe un intervalo [0, ] tal que para� � �
cada x [0, ] existe un u´nico (x) [0,1] de tal forma que � �
 F(x, (x)) = F(0,y ) = (t)dt = (t)dt = 2� � � �
 x 
�(x)
0
� �
&�
� � � �Z � �� � ��(x) = [ F(x, (x)] F(x, (x)) = +( ( (x)) (x) = - C k C � k �
- - (x)
( (x))�
pues,
 F(x, (x)) = ( (x))C �� � �
y
 F(x, (x)) = (t)dt = (t)dt = (x).C � �� C CC C� x x
 x
� �
�
�
(x)
(x)
c c �
%
EJERCICIOS
1. Sea :( ) un camino diferenciable. Se define� - ,� � ˜˜—s�
 :( , )� � � s- —
tomando (t) = distancia de (t) a un punto fijo p donde� � �
 p [( , )]�
� �s � �- -
Mostrar que (t) es la proyeccion de (t) sobre el eje´�Z Z�
p (t)� �
2. Sea U un abierto, tal que si x U, t>0 entonces‹ s�
tx U.Tenemos que :U es una aplicacion homogenea´ ´ � ˜˜—s�
diferenciable de grado (esto es (tx) = t (x) para todo� � ��
x U, t>0 ). Probar que f es homogenea diferenciable de´
grado k si y solamente si (x) x = k (x), para todo x U.� h � 
3. Sea : dada por (x,y,z) = (x y ,xy,xz,zy)� �s s� � � �˜˜— -
 a) Pruebe que es diferenciable en todos los puntos de�
s� y calcule su matriz jacobiana.
 b) Muestre que la derivada (x,y,z): es una� Z � �s s˜˜—
transformacion lineal inyectiva, excepto en dos puntos z´
²esto es,para y = x = 0)
 c) Determine la imagen de (0,0,z) : .� Z � �s s˜˜—
4.Sea :U diferenciable en un abierto U conteniendo a� ‹˜˜—s s� �
0. Si existe "(0) y ademas, (0) = (0) = "(0) = 0,´� � � �Z
entonces pruebe que se tiene
 lim = 0.
x 0¦
f(x)
|x|�
5.Sea : dos veces diferenciable, tal que para� s s� �˜˜—
cualquier x y t vale (tx) = t (x). Pruebe que  � �s s� �
existe B: bilineal tal que f(x) = B(x,x) paras s s� � �d ˜˜—
todo x . s�
6. Pruebe que existe una vecindad abierta U de la
identidad Id de (R ) y una aplicacion :U ( ) de´¡ s ¡ s� � �š �� ˜˜—
clase , tal que [ (x)] = x para todo x U.9B �� 
7. Sea : dada por,� s s� �˜˜—
Darío Sánchez H 16,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 (x,y,z) = (x+y+z,x +y +z ,x +y +z )� � � � � � �
Muestre que (x,y,z): es una aplicacion biunívoca,´� Z � �s s˜˜—
salvo si dos de las coordenadas x, y, z son iguales.
8.Dadas , : diferenciables, defina : tomando� � s s � s s� � �˜— ˜—
 (x) = (x), (tx)dt� L M�� �
�
| |%
donde |x| = x,x . Calcule '(x) h para todo x 0 en yjº » h £� s�
todo h . s�
9. Sea :U definida en un abierto U . Si existen y son� ‹˜˜—s s�
continuas las derivadas parciales
 , : U 
C� C�
C Cx y ˜˜—s
probar que es una funcion de clase .´� 9�
10. Sea :[1,2] continua y definida positiva con� ˜˜—s
 f(t)dt = f(t)dt = 1� �
0
 1
1
�
Muestre que para cada x [0,1] existe un u´nico (x) [1,2] � 
tal que
 = (t)dt1
2
 x
 (x)
�
�
�
muestre ademas que es de clase .´ � 9�
§ 2. FUNCIONES DIFERENCIABLES DE EN Y CURVASs s s� �
Un en , o en es una aplicacion´CAMINO s s s� � �
Darío Sánchez H 17,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 : = (a,b) � 0 ˜˜—sn
donde es un intervalo en 0 s
Un camino se dira continuo cuando sea una funcion continua;´ ´�
y diferenciable cuando sea diferenciable.�
EJEMPLOS 1. Sea :(0,1) � ˜˜—s�
 t (t, sent, cost)ª
es un camino diferenciable en .s�
2. Sea :(0,1) � ˜˜—s�
 t (t, 1 + t , 1 + t )ª � �
es un camino diferenciable en .s�
3. Sea :(0,1) � ˜˜—s�
 t (t, sent)ª 1
t
es un camino en .s�
DEFINICION 1. Sea un camino; es llamado un camino parametrizado� 0 �: ˜—s�
regular cuando es diferenciable en y se tiene� 0
 para todo t .� £Z(t) 0  0
EJEMPLOS 1. Sea : , = (0,2 )� 0 0˜˜—s ��
 t (t, sent , cost)ª
es un camino parametrizado regular, pues
 (t) = (1, cost, –sent)� Z
y (t) 0 para todo t (0,2 ).� £ Z �
2. Sea : � 0 ˜—s�
 t (acost, asent,bt) a,b 0ª £
este camino es conocido con el nombre de de paso 2 b y eshelice´ �
una curva que se enrolla en un cilindro recto de base
x + y = a y es un camino parametrizado regular, pues � � �
� � £  0Z Z(t) = ( asent,acost,b) y (t) 0 para todo t pues-
b 0 Sea : =[a,b] (a<b) un camino en consideremos£ � 0 ˜˜—s s� �
una particion de [a,b] dada por ={t ,t ,t ,...,t } donde´ F � � ��
t = a, a < t < b, t = b Se denotara por ( , )a la´� � � B F�
suma finita
 | (t ) (t )|�
�
� �
~
�c
0
1
� �+1 c
y se llamara norma de una particion , por otra parte se´ ´ F
nota con | | al nu´mero real positivoF
Darío Sánchez H 18,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 | | = max t tF
0 i n 
² ³� �+1 c
En lo que sigue se denotara o simplemente ( ) a,´ l lba ( )� �
 ( ) = lim ( , )
| |
l ba � �¦F
F
0
B
cuando el limite existe y es llamado la .LONGITUD DE ARCO DE �
PROPOSICION 1. : Sea un camino diferenciable tal que entonces� 0 � ˜˜—s 9� �
dados existe la longitud de arco de y se tienea,b , a<b,  0 �
 l ba( ) = | (t)|dt� ��
 a
�
Z
En este caso decimos que el camino es rectificable.
DEMOSTRACION. 1) Sabemos que así : es integrable�  �9 s s� Z �˜˜—
de donde dado >0, existe '>0 tal que para toda particion ´� � F
de [a,b] con | |< ' se tieneF �
 | | (t)|dt (t t )| (t )|| � �
 a i=0
-1
*
i 2
�
Z Z
�
�� c c � �b� �
2) Como entonces es uniformente continua en [a,b] por�  �9� Z
lo tanto para el >0 dado, existe " >0 tal que u,v [a,b]� � |u | (u) (v)| -v| < " � ¬ � c � Z Z �
2( -b a)
3) Sea una particion de [a,b] tal que | |< "´F F �0 ~
consideremos
 (f, ) = | (t ) (t )| entonces se tienel F �
i
-
=0
-1�
� �� �1 c
Darío Sánchez H 19,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 | (t )- (t ) - (t t ) (t ) |
(
� �
i i
*
i
=0
1 1�c c
| | | |� � � 
§
� � � �
Z
+1 +1 -
=�
�
 desigualdad del valor medio)
 
 
t < < t
| (t -t ) sup { ( ) } - (t -t ) (t )� �
i i
*
i
=0
-1 -1
+1
�
�
�
+1
i i+
� � �
Z Z
�
| | | |� � O�
=0
�
 �| (t -t ) sup { ( ) - (t ) }|
)
�
i
*
=0
-1
+1
i i+
�
�
�
Z
�
Z
t < < t
 | | | |
�
� � 
§
(usando ||a|-|b|| |a-b|
 � �  (t -t ) sup | ( ) - (t )| �
i
*
2
=0
-1
+1
i i+
�
�
�
�
Z Z
t < < t�
� �
4) Finalmente tomando = min{ ', "} tenemos para toda� � �
particion de [a,b] con | |< se tiene, para el > 0 dado´ F F � �
 | (t) dt - (t ) (t ) |� �
a i
�
Z
� �| |� � c � 
=0
-1
+1
�
| |
 | (t) dt (t -t ) (t ) |+ � c� �
a i
*
i
�
Z
�| | | |
=0
-1
+1
�
�
Z�
 +| (t -t ) (t ) - (t )- (t ) | + = � �
i
*
i 2 2
=0
-1 -1
+1 +1
i=0
� �
� �
Z | | | |� �� � �  � � �
así, ( ) = | (t)|dt.l ba � ��
a
�
Z
…
DEFINICION 2. Sea o en un camino, se dice que esta� 0: ( ) ˜˜—s� s� �
parametrizada por la cuandoLONGITUD DE ARCO 
CRL : �
��  9
 CRL : a,b (a b) -a�  0  l ba (f) = b
Antes de dar ejemplos de caminos parametrizados por la
longitud de arco se estableceran primero, criterios que
brinden un metodo de obtension de caminos parametrizados por´ ´
la longitud de arco.
TEOREMA 1. Sea una aplicacion de clase . Una condicion necesaria y´ ´� 0: —s� 9 �
suficiente para que sea un camino parametrizado por la longitud de arco es que�
 para todo | (t)| = 1 t�  0Z
DEMOSTRACION: ) Si (t) es tal que | (t)| = 1 entonces¥ � �Z Z
 ( ) = 1dt = b-al ba � �
a
�
así es un camino parametrizado por la longitud de arco pues
�  9� por hipotesis.´
¦ �) Si es parametrizado por la longitud de arco, fijamos
a y para todo t tenemos 0  0
 | (s)|ds = t a�
 a
!
Z� - 
derivando con respecto a t se tiene
 | (t)| = 1.� Z
…
Darío Sánchez H 20,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
TEOREMA 2. Sea un camino de clase regular. Entonces existe� 0 � ‚: ( 1) ˜˜—s 9� �
un difeomorfismo de clase tal que9 � s� :J (J intervaloabierto) ˜˜—0 ‹
� k � s:J ˜˜— � es parametrizado por la longitud de arco.
DEMOSTRACION: Se fija a y se toma : definda por 0 0� s˜˜—
� 9 � � �� Z Z, ademas (t) = | (t)| > 0; pues es regular.´
Se sigue del teorema de la funcion inversa que es un´ �
difeomorfismo de un intervalo abierto J sobre .‹ 0s
Tomando = :J y se tiene� � � 9-� �˜˜—0 
 (t) = �Z 1
( (t))� �Z
así
 (f t = f ( (t)) (t) = = k ³ ² ³� � �Z Z Z � ��
Z Z
Z Z
( (t)) ( (t))
( (t)) | ( (t))|
� �
� � �
Como |( ) (t)| = 1 para todo t J, se sigue que es un� k  � k� �Z
camino parametrizado por la longitud de arco.
…
EJEMPLO. Sea : es un camino regular dado por� s s˜˜— �
 t (acost,asent,bt)ª
ademas´
 (t) = ( asent,acost,b) y | (t)| = a +b� �Z Z � �- j
Del teorema anterior se sigue que
 (t) = a +b ds = a +b t� � j j
 0
!
� � � �
de donde,
 (t) = = (t)� �- t
a +b
�
j � �
así
 ( (t)) = (acos (t),asen (t),b (t))� � � � �
 = (acos , asen , )t t bt
a +b a +b a +bj j j� � � � � �
2.1. PRODUCTO VECTORIAL EN s�
Sea u,v , u v es el u´nico vector caracterizado por la w s s� �
siguiente propiedad
 (u v) x = det[u,v,x] para todo xw h  s�
Tomemos y u ,u ,u ,...,u , n-1 de sus vectores, indicaremoss� � � � �-1
Darío Sánchez H 21,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 (u u u ... u ) x = det [u ,u ,u ,...,u x]� � � � � � � �w w w w h- -1 1,
al producto vectorial de estos n-1 vectores.
EJEMPLO. Sea u = (1,4,7), u = (-4,0,1) entonces� �
 u u = (1,4,7) (-4,0,1) es� �w w
(u u ) (x ,x ,x )= =4x 29x +16x =(4,
1 -4 x
4 0 x
7 1 x
� � � � � � � �
�
�
�
w h
„ „„ „„ „„ „„ „„ „
- -29,16) (x ,x ,x )h � � �
así u u = (4, 29, 16).� �w -
2.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1) u v = v u.w w-
Pues (u v) x = det[u,v,x] = 1)det[v,u,x] = ( 1)((v u) x)w h w h(- -
para todo x . s�
2) u v depende linealmente de u y de v.w
En efecto, (u (c v +c v )) x = det[u,c v +c v ,x]w h� � � � � � �2
 = c det[u,v ,x] + c det[u,v ,x] = c (u v ) x + c (u v ) x� � � � � � � �w h w h
para todo x . s�
3) u v = 0 si y sólo si u y v son linealmente dependientesw
PRUEBA. )u v = 0 significa que (u v) x = 0 para todo x¦ w w h  s�
o sea
 det[u,v,x] = 0 = 0
u v x
u v x
u v x
¯
„ „„ „„ „„ „„ „„ „
� � �
� � �
� � �
como x es cualquiera, se sigue entonces que algu´n vector s�
u, o, v es mu´ltiplo del otro por ejemplo u = v escalar� �
distinto de cero, de donde u v = 0, 0, o sea u y v son-� � £
linealmente dependientes.
¥ ) Si u,v son linealmente dependientes existen , � �� �
escalares no nulos tales que u + v = 0 o sea� �� �
 u = )v = v(- ��
�
�
�
si 0 por ejemplo.�� £
Ahora (u v) x = det[u,v,x] = det[ v,v,x] = 0 u v=0w h ¬ w�
4) (u v) u y (u v) vw ž w ž
Esto es claro ya que
 [u v] u = det [u,v,u] = 0 entonces (u v) u.w h w ž
Analogamente (u v) v.´ w ž
5) u v 0 entonces {u,v,u v} es una base positivaw £ w
En efecto:
 det {u,v,u v] = |u v| > 0.w w �
6) Sea u = (u ,u ,u ), v = (v ,v ,v )� � � � � �
 u v = , 
u v u v
u v u v
u v
u v
w 4 5d d d d� �
3 3
 , - d d� �
� �
� �
� �
En particular
Darío Sánchez H 22,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 |u v| = + + 
u v u v u v
u v u v u v
w � � � � � � �
� � � � � �
d d d d d d
� � �
Para ver esto basta examinar u v con respecto a los vectoresw
de la base canonica {e ,e ,e }.´ � � �
 (u v) e = det [u,v,e ] = = 
u v 1
u v 0
u v 0
u v
u v
w h � �
� �
� �
� �
� �
� �
„ „„ „„ „„ „„ „„ „
d d
Analogamente (u v) e y (u v) e´ w h w h� �
7) (u v) (x y) = 
 u x v x
u y v y
w h w h hh hd d
La verificacion de esta propiedad se deja como un ejercicio.´
8) Son validas las siguientes identidades´
 (u v) w = (w.u)v (w.v)uw w -
 u (v w) = (u.w)v (u.v)ww w -
La verificacion es cuestion de rutina y se deja al lector´ ´
2.3. EL TRIEDRO DE FRENET
Sea : un camino parametrizado por la longitud de arco� 0 ˜˜—s�
esto es, | (s)| = 1 para todo s o equivalentemente�  0Z
 (s) (s) = 1 para todo s� h �  0Z
 Derivando la u´ltima identidad tenemos
 "(s). (s) (s). "(s) = 0� � b � �Z Z
para todo s o en forma equivalente 2 (s) "(s) = 0 o sea 0 � �Z
� h �  0 �Z Z(s) "(s) = 0 para todo s . Esto significa que (s) es
ortogonal a "(s) , ie , (s) "(s) para todo s .� � ž �  0Z
Puede acontecer que "(s) = 0 para todo s en cuyo caso se�  0
tendría (s) = constante para todo s o sea que (s)= a.s�  0 �Z
+b para todo s , a,b vectores en . 0 s�
Esto significa que en este caso se obtiene un camino recto, o
una recta. Cuando "(s) 0, para todo s , entonces existe� £  0
un vector unitario en la direccion de (s) dado por´ � Z
Darío Sánchez H 23,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 (s) = � ��
"(s)
| "(s)|
llamado el al camino en el punto (s).VECTOR NORMAL, � �
De la u´ltima identidad se tiene
 "(s) = | "(s)|(s) (s) (s)� � h –� � �
siendo (s) = | "(s)| y es llamada la del camino � � �CURVATURA 
en el punto (s) y nos indica la velocidad con la cual el�
vector tangente se desplaza sobre el camino.
EJEMPLO. Sea : el camino definido por� s s˜˜— �
 (s) = (acos , asen )� s s
a a
de donde se tiene
 (s) = ( sen , cos ), "(s) = ( cos , sen )� �Z - - -s s 1 s 1 s
a a a a a a
entonces | "(s)|= y =( cos , sen ).� 1 s s
a a a
� - -
…
Se denotara t(s) (s) para todo s , y el plano´ – �  0Z
determinado por t y es llamado .� PLANO OSCULADOR
El producto vectorial t es denotado por b(s) y se deno-w �
minara , teniendose´´ VECTOR BINORMAL
t t = (s) (s) = 1, = = = 1,h � h � h hZ Z � � �� � �� �
"(s) "(s) | "(s)|
| "(s)| | "(s)| | "(s)| 
�
�
t = '(s) = 0.h � h� ��
"(s)
| (s)|Z
b(s) b(s) = (t ) (t ) = = = 1,
t t t 1 0
t 0 1
h w h w h hh h� �
�
� � �d d d d
 b t = (t ) t = 0h w h�
 b = (t ) = 0h w h� � �
ademas se tiene´
t = b(s), b(s) t(s) = (t ) t = (t t) (t )t = , y,w w w w h h� � � � �-
� � � � �w w w hb = (t ) =( )t-( t) = t.� �h
Estas relaciones nos muestran que el conjunto {t(s), (s),b(s)}�
forma un triedro, conocido como el «TRIEDRO DE FRENET».
Estamos interesados en estudiar las derivadas de estos
vectores, con tal objeto tenemos
 t (s) = "(s) = (s) (s)Z � � �
por otra parte
 b (s) = (t ) (s) = t (s) (s)+t(s) (s) = tZ Z Z Z Zw w w w� � � �
pues,
 t (s) (s) = (s) (s) = 0Z w w� � � �
Ahora {t(s), (s),b(s)} forma una base de y b (s) por� s s� Z �
lo tanto,
 b (s) = + t+ bZ � � �� � � �
donde,
 = b , = b t = (t ) t = det(t, ,t) = 0� � � � �� �Z Zh h w h
 = b b = 0 pues b b = 1�� Z h h
Esto indica que b esta en el subespacio generado por .´Z �
DEFINICION 3. Llamaremos del camino en a un numero real tal que´TORSION � � � � J
b (s) = Z J �
Darío Sánchez H 24,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Algunas veces se cita la torsion como la « del´ segunda curvatura »
camino. Ademas nos da una manera de medir la tendencia del´
camino a salirse del plano osculador.
Ahora (s) es un vector que se encuentra en el plano formado�Z
por t y b, pues
 (s) = xt + + yb� ��Z
donde
 = , t = x, b = y� � � � �Z Z Zh h h
pero
 = 0 luego (s) = xt + yb� � �Z Zh
Sabemos que
 b t = , t t = 1 y t = 0w h h� �
así
 (s) = b t + b t = b t� �Z Z Zw w c cJ
ya que
 b t = t = bZ w w cJ � J
 b t = b = b = ( (t )) =w w c w c w wZ �� �� � � �
= [( )t ( t) ] = tc h c h c� � � � � �
En resumen
 t = , = t b, b = Z Z Z�� � J �c � Jc
o en forma matricial
 = 
t
b
0 0v y v y
w z w z
Z
Z
Z
�
�
- 0 -
0 0
t
b
� J
J
�
v y
w z
que son llamadas las FORMULAS DE FRENET.
2.4. CAMINO PLANO.
Un camino : donde (s) = t(s) y el vector normal es� 0 �˜—s� Z
definido de tal manera que
 (s) = it(s), t (s) = f"(s) = (s) (s)� � �Z
es llamado un camino plano.
En este caso
 f(s) = (x(s),y(s)),
 t(s) = (x (s),y (s)) y (s) = ( y (s),x (s))Z Z Z Z� c
que es usualmente denotado por it(s).
EJEMPLO.Sea (s)=(coss,sens), se tiene t = (s)=( sens,cos� � Z -
s)
Se tiene entonces "(s) = ( coss, sens) = it(s) = (s)� - - �
entonces 1.� –
Ahora consideremos el camino opuesto, esto es,
 (s) = (cos(s),sen( s)) = (coss, sens)� - -
 (s) = ( sens, coss)�Z - -
de donde
 (s) = (coss, sens) = i (s)� - �Z
 "(s) = ( coss,sens) = � - -�
entonces
 1.� – -
Darío Sánchez H 25,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
TEOREMA 3. Sea , (s) > 0 funciones de clase entonces existe un� J �: ,0 ˜˜—s 9B
camino tal que y son respectivamente la curvatura y la� 0 �: | | = 1, ˜—s �� Z J
torsion de ´ �.
DEMOSTRACION . Esta demostracion envuelve teoría de´
existencia y unicidad de sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias y es dejada por salirse de los propositos de este´
trabajo.
Si , : son caminos con las mismas y como curvatura y� � 0 ˜˜—s � J
torsion respectivamente entonces existe una transformacion T´ ´
tal que = T .� k �
Esto nos indica que dos caminos pueden tener la misma
curvatura y la misma torsion y sin embargo ser diferentes.´
 s s s s˜˜— ˜˜—� �
 t (t, ) t 0 t (t,0, ) t>0ª Á £ ª Áe ec�°! c�°!� �
 0 (0,0) 0 (0,0,0)ª ª
 t (t, ,0) t<0ª Áec�°!�
DEFINICION 4. Un camino de clase en esELEMENTAL 9 � s�
 una aplicacion de clase ´CE �
� �� ¢ 0 ˜˜—s 9
 CE � (t) 0 para todo t�Z £  0
 CE ( )� � � es un homeomorfismo de sobre 0 0
Una es el recorrido o la imagen de un camino elemental.CURVA ELEMENTAL 
Una curva de clase (1 r ) es un subconjunto de que9 s� �  B
localmente es una curva elemental de clase .9 �
2.5. COMENTARIOS
a) Debe notarse que una curva de clase debe ser un9 �
subespacio topologico de , en otras palabras la topología´ s�
definida en la curva es la de subespacio.
b)Se suele llamar a los caminos elementales,
parametrizaciones o sistemas locales de coordenadas.
 EJEMPLOS
1) El grafico de una funcion : de clase , esto es,´ ´ � 0 ˜˜—s 9 �
 = (x, (x)) ; x
~? ¸ �   0 ¹s�
es una curva, pues,
 : 
~� 0 ?˜—
 t (t,f(t))ª
es tal que ( ) = 
~� 0 ?
 : I
~�c� ?˜˜—
Darío Sánchez H 26,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
es continua ya que = donde : es la� 1 1 s sc� �� �?—O —
proyeccion primera (x,y) = x la cual es continua. Por esto´ 1�
es frecuente encontrar afirmaciones como: « y = (x) sea una�
curva ».
2) La esfera S = (x,y); x +y = 1 es una curva , ya que� � � B¸ ¹ 9
es la reunion de cuatro funciones localmente homeomorfas a (-´
1,1) que son de clase a saber:9B
N = grafico de la funcion y= 1-x definida en (-1,1) de´ ´ j �
clase C , S = grafica de la funcion y=- 1-x definida en´ ´B �j
� � jc �Á � Á de clase E = grafica de la funcion x= 1-y´ ´9B �
definida en (-1,1) de clase O = grafica de la funcion´ ´9BÁ
x 1-y definida en (-1,1) de clase ~ cj � B9
3) Consideremos ahora un ejemplo de un subconjunto de ques�
no es una curva de clase . Para tal fin consideremos el9 �
siguiente camino: :(0, ) el cual definimos a� B ˜˜—s�
continuacion, pero antes hagamos una aproximacion de la´ ´
grafica´
Darío Sánchez H 27,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
� % ~

 B
�
� �
|
}

~
� �
(t,sen si 0 < t 
(0,t-2), si 1 t < 
curva regular ligando los puntos ( 1) con 
1 2
t
2
 ), 
,
�
� Á c �
�
� B
sin coincidir con los puntos de (t) ya descritos,
si <t<1. Esta curva debe ser elegida de tal forma
que :(0, ) sea regu
2
�
—s� lar en los puntos y
( ,1)
� ��Á c �
2
�
Esta no es una curva elemental ya que una vecindad de (t)�
para 1 t< es un sistema de segmentos del camino y así no B
existe y por lo tanto no hay homeomorfismo local.�c�
Así este ejemplo nos permite ratificar, como se dijo, que una
curva de clase (r 1) en es un conjunto C tal que9 s s� � �‚ ‹
localmente es una curva elemental o sea
 ( p C)( V p/ V C es una curva elemental de clase )D  E  q 9 �
DEFINICION 5. en . Sea U una funcion de clase de un abierto U de Sea´� ¢ — s 9 s� � s
c se dice que c �s, p(x,y) es un valor regular de en si
i) (p)= . ii) 0 , o , 0� £ £ Àc C� C�C Cx y
TEOREMA 4. Si c es un valor regular de entonces c� � � (c) = , o , ( )c c� �)
es una curva de clase , c es llamado una curva definida9 � {(x,y); (x,y) = } �
implícitamente por x, y.
La demostracion sale de un teorema mas general que se´ ´
estudiara proximamente.´ ´
EJEMPLO. Sea (x,y) = x y , y, x y = . Tenemos� � � � �- - c
 = 2x, = 2y
C� C�
C Cx y cno se anulan simultaneamente salvo en el caso x = y = 0 .
Esta es una familia de hiperbolas, y son curvas definidas´
implícitamente. Un aspecto de las curvas de nivel lo
apreciamos en la figura.
Darío Sánchez H 28,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
La recíproca del teorema anterior noes verdadera como lo
vemos en el siguiente ejemplo
 (x,y) = x� �
 = 0, = 2xC�C
C�
Cy x
En cero, (0) = (x,y) ; x = 0� ¸  ¹c �� s
es el eje de las ordenadas y (0,0) no es un valor regular
pues
 (0,0) = 0 , (0,0) = 0.
C� C�
C Cy x
…
Sea U un abierto y :U una funcion de clase (r 1)´‹ � ‚s s 9� �˜˜—
Como se sabe es un valor regular de en p = (x,y) sic  s �
i) (p) = � c
ii) (p) 0, o , (p) 0
C� C�
C Cx y£ £
Esto nos lleva a la introduccion de un nuevo vector llama-´
dogradiente de dado por�
 (.) = ( (.), (.) )grad � C� C�C Cx y
Así tenemos, si P = (x,y) y es un valor regular entoncesc
 (p) = (p) 0� � £c grad¬
Cuando es un valor regular de c �
 C = ( ) = {(x,y) U; (x,y) }5
��  � ~- c c
es una curva de clase llamada 9 � CURVA DE NIVEL.
DEFINICION 6. Sea una curva en y Sea C una parametrizacion en´C P C. 9 ��  ¢ 0 ˜—
torno de El espacio vectorial tangente a en , notadoP. C P 
T C. . (t ) (t ) = P7 � �
Z– hs � �
es el espacio vectorial generado por el vector velocidad �Z(t ).�
Se denomina espacio tangente a en al transladado de por , esto es queC P T C P P+T C 7 7
sin muchos comentarios en la mayoría de las ocasiones tambien se denota ´ T C.7
Darío Sánchez H 29,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
DEFINICION 7. El espacio vectorial de en el punto es denotado porNORMAL C P
N C. .T C y C7 7
ž– es el complemento ortogonal del espacio tangente a la curva , el
cual tiene dimension ´ n 1.-
PROPOSICION 2. Sea un abierto, una funcion de clase ´U :U (r 1)‹ � ‚s s 9� �˜˜—
a (a) = P � s un valor regular. Considerese C , tomese C; el espacio vectorial´ ´-�
tangente a C en es el nucleo de la aplicacion´ ´P
� Z �(p)| : � s s˜˜—
 v (P)vª �Z
DEMOSTRACION. 1.Sabemos que
 (P) v = lim� hZ � �
! ¦ 0
(P+tv) (P))
t
c
con P en la direccion de v.´
2. Sea : C una parametrizacion de C en torno de P, esto es´� 0 ˜˜—
,
 (t ) = P para algu´n t I� � � 
3. Consideremos la aplicacion compuesta : ´ � k 0� s˜˜—
la cual es constante pues
 ( )(t) = ( (t)) = a� k �� �
esto dado que (t) C = (a)�  �-�
4. Derivando , para lo cual se aplica la regla de la� k �
cadena,obtenemos
Darío Sánchez H 30,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 ( ) (t) = ( (t)) (t) = 0 t I� k � h D � � �Z Z Z
En particular en t , tenemos�
 « (P) (t ) = 0 » (*)� hZ Z ��
5. x T C x = (t ) pues T C . . (t )W W ¯ – h7 � 7 �Z Z�� s �
Ahora
� � hZ Z Z Z� �(P)( (t )) = (P) (t ) = 0 = 0�� � � �§
i� �
esto significa que x ker (P) , teniendose así que´W  � Z
T C ker (P)7
Z‹ �
6. Recíprocamente sea v ker (P)| esto significa que �Z *
v C y (P) v = 0. De 4. tenemos que v (t )  q � h ~ ¯s ��� Z Z �
v (t ) de donde v T C, así ker (P)| = T C. h  �s �Z Z� 7 * 7
COROLARIO 1. Sea es una funcion de clase es un´ :U ( 1) a� ‹ �  s s s�˜˜— 9 k
valor regular de Consideremos entonces grad para todo� � � ž. (a) = C (P) T C -� 7
P C.
DEFINICION 8. Sea un conjunto abierto, una funcion a una variable´U :U ‹ �s s� ˜˜—
real de clase Sea una curva definida en de clase . Aquellos puntos en9 9� �( 1). C U� ‚
donde toma valores maximos, mínimos o puntos de inflexion son llamados puntos´ ´�|*
ESTACIONARIOS pues en ellos la velocidad es nula.
Un problema interesante en la geometría diferencial es el
estudio de la localizacion de los puntos estacionarios de´
f| .*
Con tal objeto sea p C y : C una parametrizacion de C tal´ 0� ˜˜—
que (t ) = p, t I. Así p C es estacionario para | si� o o   � C
(f ) (t ) = 0, o sea (k � Z o usando la regla de la cadena)
 ( (t )) (t ) = (P) (t ) = 0� h � hZ Z Z Z� � �� � �
Esto significa que los vectores tangentes a C estan en el
nu´cleo de (P) y se tiene (P) = 0.� � hZ grad � Z �(t ) 
De esta relacion concluímos un resultado para la localizacion´ ´
de estos puntos estacionarios:
Darío Sánchez H 31,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
« P C es un punto estacionario de | sí y solo si los � *
vectores tangentes a C en el punto P son perpendiculares al
grad (P) »�
Si se desea obtener puntos estacionarios condicionados
entonces se considera :U una funcion de clase (k 1),´� s 9˜˜— � ‚
a un valor regular, sea s
 C = (a) = {(x,y); (x,y) a}� �-� ~
Sabemos que
 1. (P) v v T C P C ( )grad � ž Á  7 corolario 1
 2. Si :U es de clase U y P C es un punto� ‹ ˜˜—s 9 s� �
estacionario de | entonces� *
 (P) v, v T Cgrad � ž  7
De estas dos afirmaciones se recibe que existe tal que� s
 (P) = (P) (*)grad grad� � �
Este es llamado .� UN MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
La igualdad (*) es llamada identidad de LAGRANGE.
 EJEMPLOS.
1. Sea : una forma cuadratica con coeficientes´� s s�˜˜—
constantes dada por (x,y) = ax +2bxy+cy .� � �
Sea C {(x,y) ; (x,y) x +y 1} una curva en . Hallar~  ~ ~s � s� � � �
los puntos estacionarios de en C.�
DEMOSTRACION. Tenemos
 : � s s�˜˜—
 (x,y) x + yª � �
así C = (1), por lo tanto los puntos estacionarios de |�-� *�
se hallan mediante la identidad de Lagrange, esto es
 = (2ax + 2by, 2bx + 2cy)grad �
 = (2x , 2y)grad �
debe hallarse tal que f = esto conduce al� �grad grad �
siguiente sistema
 = = 
a b x x x
b c y y y
4 5ax + by = x
bx + cy = y
�
� ¯ > ? > ? > ? > ?
�
� �
Sea
 A = , P = (x,y)
a b
b c> ?
entonces la ecuacion anterior se escribe en la forma´
 A P = Ph �
Por lo tanto, P = (x,y) es un punto estacionario si y
solamente si P es un vector propio de la matriz A.
Podemos concluir que el maximo y el mínimo de (x,y) en el´ �
círculo unitario x + y = 1 son respectivamente el mayor y el� �
menor valor propio de A.
2. Hallar los puntos de la esfera x + y + z = en los� � � c
cuales la funcion (x,y,z) = x y z alcanza su valor maximo.´ ´� � � �
Darío Sánchez H 32,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Calcular ese maximo. Concluir que la media geometrica de tres´ ´
nu´meros positivos no excede a su media aritmetica.´
PRUEBA. Es inmediato que la identidad de Lagrange es valida´
en por lo tanto sea (x,y,z) = x + y + z , la esfera sera´s� � � ��
entonces (c).�-�
Para obtener los maximos o mínimos se debe hallar tal que´ �
 = .grad grad � ��
o equivalentemente
 (2xy z ,2x yz ,2x y z) = (2x,2y,2z)� � � � � � �
de donde se tiene
 2xy z = 2 x entonces x y z = x� � � � � �� �
 2x yz = 2 y entonces x y z = y� � � � � �� �
 2x y z = 2 z entonces x y z = z� � � � � �� �
Sumando termino a termino las u´ltimas igualdades tenemos´ ´
 3x y z = (x + y + z ) = � � � � � �� � c
o sea que,
 x y z = (1)� � � � c
3
Ademas se tiene´
 x = y = z = x y z (2)� � �� � � � � �
De (1) y (2) se recibe que
 x = y = z = � � � �� � � C
3
o sea que
 x = y = z = � � � C
3
de donde tenemos
 x = y = z = fj C
3
 .
Así tenemos entonces que
 (x,y,z) = (� fkC C C C
3 3 3 27
 ) ( ) ( ) = .� � �f fk k
�
Este valor es maximo ya que el mínimo se encuentra en el´
punto
 (0,0,0).
Esto nos implica que
 f(x,y,z) f( ) x, y, z f D D DkC C C
3 3 3
, ,f fk k
o sea que
 x y z = � � �  c
27 27
(x + y + z ) � � � � �
de donde se tiene
 x y z � � � �j  x + y + z 
3
�� �
o sea que la media geometrica de nu´meros positivos es menor o´
igual a la media aritmetica, lo cual se quería demostrar.´
APENDICE 1
Sea U un conjunto abierto, :U una funcion con´‹ �s s� ˜˜—
valores reales. Diremos que posee un en el punto� maximo local ´
x U cuando existe una vecindad V de x tal que (x) (x )� � � �  �
para todo x V. Cuando (x)< (x ) para todo x x en U, � � £� �
diremos que f posee un (o absoluto).MAXIMO ESTRICTO
Darío Sánchez H 33,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
De manera analoga se define un para una funcion´ ´mínimo local 
� ¦:U s
Cuando :U es diferenciable, todo maximo local o mínimo´� ˜˜˜˜˜—s
local en x U tiene que ser un punto crítico, es decir, se� 
debe tener (x ) = 0.� Z �
No es verdad que una funcion diferenciable :U tenga que´ � ˜˜—s
poseer un maximo local o mínimo local en cada uno de sus´
puntos críticos, por ejemplo (x,y) = x y tiene un punto� � �-
crítico en (0,0) pero (0,0) no es maximo local ni mínimo´
local de .�
Sea x U un punto crítico de una funcion de clase ´�
� � ‹ s 9
� �:U , la segunda derivada "(x ): ( , ) es una forma— ˜˜—s s ¡ s s� � �
bilineal simetrica llamada una de en x .´ FORMA HESSIANA � �
Sea :U una funcion dos veces diferenciable, x U un´� ˜˜—s �
punto crítico de , si "(x ): ( , ) es un isomorfismo,� � � � �s ¡ s s˜˜—
diremos que x es un , en este caso� PUNTO CRITICO NO DEGENERADO
su matriz tiene determinante no nulo en elHESSIANA 4 5C �C C
�
� �x x
punto x .�
Si la forma "(x ) es definida positiva, esto esHessiana � �
( "(x ) U) U > 0 para todo U 0 en , entonces el punto� h h £� �s
crítico x es necesariamente no degenerado.�
2.6. CRITERIO DE LOCALIZACION DE PUNTOS ESTACIONARIOS.
Sea :U una funcion de clase C , U un abierto. Sea´� ‹˜˜—s sB �
x U un punto crítico de y (x ) la derivada de menor� �
� � �( )
orden no identicamente cero. Entonces,´
i) Si es impar, no posee ni maximo ni mínimo local en x .´� � �
ii) Si es par y (x ) u > 0 (u =(u,u,...,u))� � h( ) ( ) ( )� � �� ’•••••“•••••”
 k-veces
para todo u 0 en entonces posee un mínimo aislado en el£ �s�
punto x . Un enunciado analogo vale para maximo, con menor´ ´�
que, en lugar de mayor que.
iii) Si posee un mínimo local en x entonces (x ) u 0� � h ‚� �� �( ) ( )
para todo u U . Analogamente para un maximo local.´ ´ ‹ s�
iv) En los demas casos nada se puede afirmar .´
EJEMPLOS.
1) Sea : definida por (x,y) = 1 x , (x,y) = (0,0) es� �s s� �˜˜— -
un punto crítico, (x,y) = ( 2x, 0) en (0,0) tenemos� Z -
 (0,0) = (0,0)� Z
Ahora (x,y) = (( 2,0),(0,0)) = ( 2, 0, 0, 0)� ZZ - -
 (x,y) = 0� ZZZ
Por ii) del criterio de localizacion nos dice que k = 2 por´
lo tanto en x = (0,0) hay un maximo o un mínimo local.´�
Ahora
 "(0,0)u = ( "(0,0) u) u = (( 2,0) u,(0,0) u) u� � h h h h h� -
 = ( 2u ,0) (u ,u ) = 2u < 0- -� � �
�
�h
Luego en (0,0) la funcion toma maximo local.´ ´
Darío Sánchez H 34,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
2) Sea : definida por (x,y) = x y� �s s� � �˜˜— -
Sabemos que (0,0) es un punto crítico, analicemos que tipo de
punto crítico es. Sabemos que
 (x,y) = (2x, 2y)� Z -
y que "(x,y) = ((2,0),(0, 2)) , en particular para� -
(x,y)=(0,0) tenemos "(0,0) = ((2,0),(0, 2)). Así (x,y)=0� �- ZZZ
por lo tanto k = 2. Segu´n el criterio ii) de localizacion´
debemos estudiar el signo de "(0,0)u con u {0}.�  c� �s
 "(0,0)u = ((2,0)(u ,u ),(0, 2)(u ,u )) (u ,u ) =� h� � � � � � �-
 = (2u , 2u ) (u ,u ) = 2u 2u� � � �
� �
�- -h 2 .
Tomando puntos u = (x,x), con x {0} tenemos que s-
 "(0,0)u = 2x 2x = 0� � � �-
Para puntos u = (x,0), con x {0} se tiene s-
 "(0,0)u = 2x > 0� � �
Finalmente para puntos de la forma u = (0,+x) con x {0} s-
tenemos que
 "(0,0)u = 2x < 0� � �-
Luego "(0,0)u toma todos los signos segu´n la eleccion de´� �
u {0}. Por lo tanto (0,0) no es ni maximo ni mínimo´ cs�
local.
EJERCICIOS
1.- Sean a,b: caminos diferentes y a b: definido0 w 0˜˜— ˜˜—s s� �
por (a b)(t) = a(t) b(t) mostrar quew w
 (a b) = a (t) b(t) + a(t) b (t).w w wZ Z Z
2.-Mostrar que las tangentes a la curva parametrizada
regular (t) = (3t,3t ,2t ) hacen un angulo constante´� � �
con la recta y z x = 0.- -
3.-Dada la curva parametrizada (s) = (acos ,asen , b )� s s s
c c c
donde c = a + b , a 0� � � £
 a. Mostrar que el parametro s es la longitud de arco.´
 b. Determinar la curvatura y la torsion de .´ �
 c. Determine el plano osculador de .�
 d. Muestre que una recta que contenga a (s) encuentra al�
eje0z en un angulo constante e igual a .´ ��
 e. Muestre que la tangente a hace un angulo constante con´�
el eje 0z
4.- Mostrar que la torsion de : parametrizada por´ J s� 0 ˜˜— �
la longitud de arco es dada por
 (s) =J c � w� h�'(s) "(s) "(s)
(k(s))�
donde k(s) es la curvatura de .�
5.-Pruebe que a) es una helice si y sólo si = constante.´� kJ
 b) es una helice si y sólo si las rectas que contienen´�
�(s) son paralelas a un plano fijo.
 c) es una helice si y sólo si las rectas que contienen´�
b(s) hacen un angulo constante con una direccion fija.´ ´
 d) La curva f(s) = ( sen (s)ds, cos (s)ds, s) dondea a b
c c c
� �� �
 a + b = c , es una helice si = ´� � � k b
aJ
Darío Sánchez H 35,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
6.-Muestre que una condicion necesaria y suficiente para que´
� 0 b( ) este sobre una esfera es que R (R ) T = constante donde� Z � �
R = , T = y R es la derivada de R en relacion a s y´� � Z
k J
R (s) 0 para todo s .Z £
7.-Dada la funcion diferenciable k(s), s I, mostrar que la´ 
curva parametrizada plana que tiene k = k(s) por curvatura es
dada por
 (s) = ( cos (s)ds + a, sen (s)ds + b)� � �� �
donde (s) = k(s)ds + y la curva esta determinada a� ��
menos de una transformacion del vector (a,b) y de una´
rotacion del angulo . Use este hecho para determinar la curva´ ´ �
(espiral logarítmica) dada por k(s) = .�
s
8.-Usar los metodos de multiplicadores de Lagrange para´
localizar los maximos y mínimos de´
 a) (x,y) = ax + by en el círculo unitario.�
 b) (x,y) = x + y en la curva x + y = 1� � � � �
 c) (x,y) = x + y en la curva + = 1 x > 0, y > 0� Á� � � �
x y
9.-Sea : una curva parametrizada, regular y con� 0 ˜˜—s�
curvatura k 0. Si un plano P satisface las dos condiciones£
siguientes:
 i) P contiene a la tangente de en s.�
 ii) Para toda vecindad U de s existen puntos de (U)‹ 0 �
de ambos lados de P.
Entonces P es el plano osculador de en s.�
10.-Demuestre el corolario 1§2.
§ 3. FUNCIONES DIFERENCIABLES DE EN s s� �
3.1 SUPERFICIES REGULARES
El objeto de este paragrafo es el estudio de las superficies´
regulares, la totalidad de los conceptos y resultados aquí
expuesto son debidos a C.F. Gauss en sus trabajos realizados
en 1827 y la contribucion consiste u´nicamente en desarrollar´
instrumentos que permitan presentar tales resultados de
acuerdo al lenguaje contemporaneo.´
3.1- Sea V un conjunto abierto :V V tal que0 ‰c s
� � s� �˜˜— ‹
 SE : (k 1). Esto significa que si�
�� 9 ‚
 (u,v) = ( x(u,v),y(u,v),z(u,v) )�
entoncescada una de las funciones componentes (o coordenadas)
x(u,v),y(u,v),z(u,v) son de clase .9 �
 SE : es un homeomorfismo de V sobre V.� ��
 SE : (u,v): es una transformacion lineal inyectiva´�
Z � �� s s˜˜—
o sea que su matriz asociada (u,v) tiene rango 2(dos)�Z
otambien´
Darío Sánchez H 36,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
 = (u,v) = ( , , )
C
C C C C
Z
�
C CC�
u u u u
x zy�h e
 = (u,v) = ( , , )
C
C C C C
Z
�
C CC�
v v v v
x zy� h e
son vectores linealmente independientes.
En estas condiciones es una de clase ( 1)� 9parametrizacion´ � � ‚
de V; y V es llamada una por SUPERFICIE ELEMENTAL PARAMETRIZADA �
de clase .9 �
OBSERVACIONES. 1. El subconjunto V debe ser un‹ s�
subespacio de o sea debe estar dotado de la topología des�
subespacio.
2. Es comu´n llamar a la pareja (V , ) y a V � �� carta local una
vecindad coordenada .
3. Que sea de rango 2, es tambien equivalente a afirmar que´�
 0.
C C
C C
� �
u v
w £
DEFINICION 1. Sea si para cada punto existen una vecindad de enS , p S V p‹ s�
s s �� �, un abierto de y una aplicacion tal que es una superficie´V :V V S V S � �˜˜— q q
elemental parametrizada por de clase entonces decimos que en una� C ( 1) S� � ‚
SUPERFICIE REGULAR.
EJEMPLO. Vamos a mostrar que la esfera
 S = {(x,y,z) : x + y + z = 1}� � � � � s
es una superficie regular.
FIGURA 1
La figura 1 nos representa una octava parte de la esfera S en�
donde se obtiene que
 x = r cos y = r senZ Z� �
 r = 1 cos(90- ) = sen z = 1 sen(90- ) = cosZ h h� � � �
entonces tenemos
 x = sen cos , y = sen sen , z = cos .� � � � �
Entonces verifiquemos que la aplicacion :U dada por´ � ˜˜—s�
 ( , ) = (sen cos , sen sen , cos )� � � � � � � �
Darío Sánchez H 37,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
donde U es el rectangulo abierto del plano ´ ��
 U = {( , ): 0< < y - < < }� � � � � � �
es una parametrizacion. Obsérvese que (U) esta constituída´ ´�
por los puntos de la esfera que no estan sobre el semiplano
� ~ 0 (el cual incluye los puntos (0,0,1) y (0,0, 1)).-
Es claro que las funciones sen cos , sen sen y cos admiten� � � � �
derivadas parciales de todos los ordenes, luego es´ �
diferenciable de clase C . Ademas para que los determinantes´B
jacobianos
 = = sen cos
cos cos cos sen
sen sen sen cos
C
C
(x,y)
( , )� � d d
� � � �
� � � � � �-
 = = sen cos
cos sen -sen
sen cos 0
C
C
�(y,z)
( , )� � d d
� � �
� � � �
 = = sen sen
-sen cos cos
0 -sen sen
C
C
�(z,x)
( , )� � d d
� � �
� � � �
sean simultaneamente nulos, es necesario que´
 sen cos + sen cos + sen sen = sen cos + sen =� � � � � � � � �� � � � � � � � �
 = sen (sen + sen ) = sen = 0� � � �� � � �
lo cual nunca sucede en U así tenemos verificadas las
condiciones (1) y (3) de la definicion.´
La verificacion de la condicion (2) en general es de mayor´ ´
cuidado. En este caso sabemos que
 x = sen cos y = sen sen z = cos� � � � �
Ademas´
 sen = 2 sen cos� � �
2 2
 cos = 1 2sen� - � �
2
por lo tanto
 x = sen 2sen sen� �- � �
2
 y = 2sen sen cos� �
2
�
2
o sea que
 sen x = 2sen sen� �- � �
2
 y = 2sen sen cos� �
2
�
2
así dividiendo estas dos u´ltimas identidades entre si se
tiene
 = = = tgsen - x
y y
1-z - x 2sen sen
2sen sen cos
� �
�
�j � � �
� �
2
2 2
2
De estas identidades tenemos que es dada explícitamente�-�
por
 = arccosz , = arctg� �
2
j1 z x
y
- -�
Darío Sánchez H 38,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
Verifiquemos que es la identidad en ; en efecto,� k �-� v
 ( ( , )) = (sen cos ,sen sen ,cos )� � �- -� �� � � � � � �
 = (arccos(cos ),2arctg )�
j1 cos sen cos
sen sen
- -�� � �
� �
 = ( , 2arctg )� sen sen cos
sen sen
� � �
� �
-
 = ( , 2arctg )� 1 cos
sen
- �
�
 = ( , 2arctg(tg )) ( , 2 ) = ( , )� � � �� �
2 2
=
pues
 = tg
1 cos
sen
- � �
� 2
Es claro que es continua.�-�
De manera analoga se verifica que : dada por´
– –� v s˜˜— �
 ( , )=(sen sen ,sen cos ,cos )
– – – –� � � � � � � �
pues en la figura 2 tenemos,
 cos(90 = x = rsen –- ) –� x
r
¬ �
 sen(90 ) = y = rcos– –-� �y
r
¬
 cos(90 ) = r r = sen-� �¬
 sen(90 ) = z z = cos-� �¬
 FIGURA 2
donde es el rectangulo 0< < , - < < , es una
–
´ –v � � � � �
parametrizacion de S cuya vecindad coordenada, contiene los´ �
Darío Sánchez H 39,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
puntos del semimeridiano = 0 con excepcion de los polos´�
(0,0,1), (0,0, 1) .-
Para obtener finalmente una vecindad coordenada que contenga
los puntos omitidos tomaremos la parametrizacion dada por´
~�
la figura 3
FIGURA 3
donde se tiene
 y = rcos (ver triangulo PEP')~ ´�
 z = rsen (ver triangulo PEP')~ ´�
 r = sen (ver triangulo OPE)
~
´�
 x = cos 
~�
Así : queda definida por
~ ~� v s˜˜— �
 ( , ) = (cos ,sen cos ,sen sen )
~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~� � � � � � � �
donde es el abierto ( 0 < < , < < )
~ ~ ~v � � � � �-
De esta forma la esfera S queda cubierta por tres vecindades�
coordenadas mediante , y , lo que muestra que S es una
– ~� � � �
superficie regular.
El ejemplo anterior nos pone de manifiesto las dificultades
que se presentan para mostrar la condicion SE de la´ �
definicion de superficie elemental de clase , esta es la´ 9 �
razon que nos inclina a establecer resultados que´
simplifiquen un poco la verificacion de superficie elemental,´
el proximo teorema afirma que las condiciones SE y SE´ � �
implican la condicion SE y siendo un resultado sorprendente,´ �
es de gran utilidad practica.´
TEOREMA �À Sea una superficie regular. un subconjunto contenidoS v
en S, : = abierto , tal que� v v � ��˜— ( ), C v v s� � � �‹ 
i) 0
C C
C C
� �
u v
w £
ii) ( ).� es uno a uno o existe �-�
Entonces es un homeomorfismo de sobre = ( ) � v v � v� � y esv
abierto.
Darío Sánchez H 40,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
DEMOSTRACION. Basta mostrar que es abierta, pues en ese�
caso es continua y por consiguiente , resulta abierto.� v-�
FIGURA 4
A continuacion exponemos los pasos a seguir.´
1. Sea P un punto arbitrario pero fijo de y� � � v v
consideremos P = (P ) la imagen de P por .� v �� �
2. Como S es una superficie regular y P S existe V P 
vecindad parametrizada por : V V.� �˜˜—
3. Puesto que P V , existe W , W donde se q £ ‹v � v� � �
puede considerar : W V , teniendose´� �-� � �k ˜˜—
3.1 es uno a uno, por ser compuesta de dos funciones� �-� k
inyectivas.
3.2 es de rango 2, esto es una consecuencia de la regla� �-� k
de la cadena y del hecho de que ambas son de rango 2. Así,
 ( ) (P ) : � � s s-� Z � ��k ˜˜—
es un isomorfismo
3.3 Por el teorema de la funcion inversa es un´ � �-� k
difeomorfismo de W P abierto conteniendo a P sobre
~
� � �
W ( )(P ) = q abierto conteniendo a q = ( )(P )� � �
� � k k� � � �- -
4. = ( ):W W V es un homeomorfismo.
~� � � � vk k ‹ q-� �˜˜—
5. Tomando W = (W ) entonces W es un abierto de S contenido� �
en y que contiene a P.v
De lo anterior obtenemos que para cada P existe un� � v
abierto W de P tal que (W ) es un abierto, obteniendose
~ ~ ´� � ��
así que es una aplicacion abierta.´�
…
Al tomar un libro de calculo se encuentran con mucha´
frecuencia frases como esta: «Sea U un abierto,‹ s�
consideremos la superficie z = (x,y), (x,y) U» esta� 
proposicion es correcta y tiene su explicacion geometrica y´ ´ ´
analítica en nuestro siguiente teorema:
Darío Sánchez H 41,3,4,5;6: +,.,64,;90(+0-,9,5*0(3,5 G�
TEOREMA �À Si : es una funcion diferenciable de clase ´� v s˜˜— 9 �(k 1)‚
en un abierto de , entonces el grafico de es una superficie regular.´v s ��
DEMOSTRACION. Sea S = (x,y,z) /(x,y) , z = (x,y) o¸   ¹s v ��
sea