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Matematica nivel IME ITA

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Caio dos Santos Guimarães 
Matemática 
Em Nível IME/ITA 
Volume 1: 
Números Complexos e Polinômios 
1ª Edição 
São José dos Campos SP 
2007 
Prefácio 
O livro Matemática em Nível IME/ITA tem como objetivo não somente dar a 
base aos alunos que desejam encarar as difíceis provas de vestibular do IME 
e do ITA, mas também ajudar a aumentar a barra de dificuldade das matérias 
de matemática lecionadas no ensino médio, a fim de atingir o nível exigido 
nessas provas. A leitura desse material também é indicada a professores de 
cursos preparatórios para pré-vestibular, principalmente aqueles com ênfase 
nos vestibulares militares. 
Compilamos neste livro um material que contém tanto a carga teórica que o 
aluno pode precisar para consulta, quanto séries de exercícios (e muitos!), 
com resoluções, que darão a ele a confiança necessária para encarar o 
vestibular militar. 
Neste primeiro volume, abordamos dois assuntos de extrema importância, e 
principalmente, reincidência nas provas tanto do IME quanto do ITA: 
Números Complexos e Polinômios. O nosso objetivo, neste volume, é de, 
junto à teoria básica desses assuntos, também mostrar diferentes aplicações 
dos mesmos, bem como diversas situações problemas que podem ser 
pedidas no grande dia da prova e os grandes truques de como se 
comportar frente a ela. 
O autor, 
 Caio dos Santos Guimarães 
São José dos Campos, SP - 2007 
 
Como Estudar o Livro? 
O livro é muito voltado a resoluções de questões do nível IME/ITA. 
Portanto, a teoria apresentada é direcionada a resultados que serão bastante 
úteis na resolução das questões do gênero. O livro não é destinado àqueles 
que nunca estudaram o assunto antes. Embora abranja todo conteúdo, para 
a melhor compreensão do material, é aconselhável que o aluno/professor já 
tenha tido contato com o assunto previamente. 
As questões do IME e do ITA, em geral, abrangem mais de um 
assunto em um mesmo enunciado, portanto comumente nas questões que 
aqui são propostas, será requerido que o aluno/professor saiba o básico de 
outros ramos da matemática (progressões aritméticas e geométricas, 
geometria analítica, etc.). Quando isso for requisitado em algum segmento da 
parte teórica, mencionaremos o assunto que deve ser pesquisado (por fora) 
para a total compreensão do segmento. 
Recomendamos que o aluno/professor leia toda a parte teórica (mais 
de uma vez, se necessário) para a fixação das idéias destacadas (lembre-se 
que todo o conteúdo aqui apresentado será importante, não sendo 
aconselhável que parte alguma seja descartada). Dê uma atenção especial 
aos exemplos resolvidos, que servirão de base para a resolução dos 
Exercícios de Fixação . 
Tendo feito isso, o aluno/professor deve passar então para a parte 
dos Exercícios de Fixação . Nessa seção você não encontrará exercícios 
fáceis (todos têm o estilo de questões IME/ITA), porém encontrará alguns 
exercícios mais difíceis que os outros. Para melhor orientação criamos o 
seguinte código: 
 
 
- Nível Médio/Difícil 
 - Nível Insano 
Muitas das questões acompanham o nome de onde foram tiradas 
(algum vestibular, ou livro citado na bibliografia). Em alguns casos é comum 
ver a palavra adaptada junto à referência. Isso acontece nos casos em que 
a questão é a mesma que caiu no vestibular citado, porém com alguma 
alteração, tornando-a mais interessante para o nosso assunto (em alguns 
casos, a adaptação é tornar uma questão múltipla-escolha em discursiva). 
Recomendamos que, tendo resolvido as questões propostas em cada 
capítulo, o leitor olhe as resoluções comentadas no Capítulo 7 para conferir 
suas respostas e confirmar se não houve algum descuido na hora de formular 
sua solução. Lembramos aos leitores que organização é fundamental na hora 
de resolver uma questão numa prova (a banca precisa entender seu 
raciocínio), então recomendamos que o leitor se baseie no estilo de 
formulação das soluções propostas no capitulo 7 para treinar sua escrita . 
Bons estudos! 
Índice 
01 
 
Números Complexos : Introdução 
1.1 
 
A história dos números complexos.......................................... 05 
1.2 Algumas Definições e Propriedades ...................................... 07 
1.3 Representação Trigonométrica do Complexo......................... 17 
1.4 Representação Exponencial do Complexo.............................. 20 
1.5 Propriedades Importantes..................................... ................. 25 
1.6 Raízes n-ésimas da unidade................................................... 28 
1.7 Exercícios de Fixação ............................................................. 31 
02 Números Complexos: Geometria e os Complexos 
2.1 O complexo como vetor .......................................................... 39 
2.2 A Geometria Plana ................................................................. 46 
2.3 Representação de Lugares Geométricos ............................... 53 
2.4 Exercícios de Fixação.............................................................. 61 
03 Números Complexos: Aplicação em Somatórios 
3.1 Somatórios Binomiais ............................................................. 65 
3.2 Outras Somas ......................................................................... 69 
3.3 Interpretação Geométrica........................................................ 71 
3.4 Produtórios .............................................................................. 73 
3.5 Exercícios de Fixação ........................... ................................. 75 
08 Resoluções Comentadas 
Resoluções Comentadas ..................................................................200 
09 Referências Bibliográficas 
Referências bibliográficas .................................................................298 
10 Bibliografia 
Bibliografia..........................................................................................301 
11 Referências na internet 
Distância entre Dois Números Complexos 
A diferença dos vetores representantes dos complexos z e w, 
respectivamente nos dá o vetor representante do complexo z w . O módulo 
desse complexo nos dará a distância entre os afixos de z e de w (vide a 
representação geométrica da Figura 1.2.2). 
d z,w z w
 
Definição 1.2.3 
OBS: 
 Atentando-se à desigualdade 
triangular no triângulo ao lado, 
temos: 
z z w w
 
Ou ainda, fazendo u z w , 
sendo z e u dois complexos 
quaisquer, vale: 
 
Fig. 1.2.2 
 
z u z u
z,u
 Fórmula 1.2.1 
Argumento do Número Complexo 
O ângulo que o vetor representante do número complexo faz com o eixo real 
é chamado de argumento de um número complexo e é denotado por arg(z). 
Sendo o arg(z) o menor ângulo positivo que nos dá a abertura entre o vetor 
representante de z e a reta real, podemos definir o conjunto de argumentos 
de z como sendo: A(z) arg(z) 2.k. k 
O menor desses ângulos, isto é, arg(z), é dito argumento principal do 
complexo. 
z 2.cos .cis2 2
 
Ou seja: 
z 1 cis 2.cos .cis2 2
 
Fórmula 1.3.1 
O complexo z tem argumento igual à metade de e módulo igual a 
2.cos 2
 
 Fazendo o mesmo com w: 
w 1 cis 1 cos i.sen
2.sen² i.2.sen .cos2 2 2
2.sen . sen i.cos2 2 2
 
Ao contrário do caso anterior, a expressão dentro dos colchetes não é 
exatamente c is 2 . Vamos tentar fazer com que se torne algo do tipo. 
Multiplicando em cima por i.i = 1, não alteramos o valor de w: 
cis 2
w 1 cis 2.sen . sen i.cos .( i.i)2 2 2
2.i.sen . i.sen cos2 2 2
2.i.sen . cos i.sen2 2 2
2.i.sen . cis2 2
 
Ou seja: 
w 1 cis 2.i.sen .cis2 2
 
Fórmula 1.3.2 
 
Autor:Não é necessário que o aluno 
decore essas duas expressões 
mostradas acima, mas é importante 
saber que é possível representar os 
complexos z e w de módulo unitário na 
forma trigonométrica, pois isso terá um 
papel importante na resolução de 
muitos dos exercícios que veremos 
ainda. A dedução, uma vez entendida, 
poderá ser facilmente reproduzida pelo 
aluno ao ser requisitado que a mesma 
seja utilizada. 
1.4 Representação Exponencial dos Complexos 
 
Radiciação de Complexos 
Trata-se do processo de extração de raízes de complexos. 
nz r.cis r,s 0 z w
w s.cis
 
n n
n
n
z w r .cis n. s.cis
r s
n.
r s
0 k n ; k2.k.
n
 
n n 2.k.z s.cis z s.cis 0 k n ; k
n
 
Formula 1.5.7 
 
Autor: Restringimos que k esteja entre 0 e n, pois qualquer valor maior que 
esse de k corresponderá a valores repetidos para z. 
Demonstração: 
 1 2 3z ,z ,z formam um triângulo eqüilátero 
 
 2 1 2 3z z e z z formam um ângulo de 60
 
 3 2 1 2z z .cis z z3
 
 
1 2 3
2
cis w
3
1 2 3
z z . cis 1 z .cis 0
3 3
z z .w z .w² 0
 
Exemplo 2.2a (Putnam 67) Seja ABCDEF um hexágono inscrito em uma 
circunferência de raio r. Mostre que se AB,CD,EF r , então os pontos 
médios de BC,DE,FA são os vértices de um triângulo eqüilátero. 
 
Fig. I 
Solução: 
Consideremos a origem do plano complexo no centro da circunferência. 
Sabendo que os afixos B, D, F correspondem, respectivamente, às 
extremidades dos vetores rotacionados de 60° representantes dos afixos A, 
C, E, podemos escrever: 
B A.cis ; D C.cis ; F E.cis
3 3 3
 
1 2 3
w ²
1 2 3
z .w z . 1 w z 0
z .w z .w² z 0
 
Essa relação é exatamente igual à mostrada quando discutimos a condição 
para que o triângulo fosse eqüilátero. 
OBS: Fica como exercício ao leitor provar que se u, v e w formam um 
triângulo eqüilátero, então: 
u² v² w² u.v u.w v.w
 
Resultado 2.2.5 
 
Autor: Nós apresentamos aqui várias maneiras de testar se um triângulo 
formado por afixos complexos é eqüilátero (ou até mesmo testar se eles 
formam uma reta no plano complexo). Cabe ao leitor decidir se essas 
expressões são ou não práticas na hora da resolução de problemas. Algumas 
pessoas preferem decorar tais expressões, enquanto outras preferem deduzi-
las novamente na hora da resolução do problema. O importante a se tirar 
como conclusão é que testar se os afixos formam uma reta, ou um triângulo 
eqüilátero não passa de um problema de geometria analítica (usando 
vetores!). 
Elipse é o lugar geométrico dos pontos tais que a soma das distâncias 
desses pontos a dois pontos fixos (os focos da elipse) é constante e maior 
que a distância entre os mesmos dois pontos fixos. 
Com essa definição fica evidente que podemos representar o conjunto de 
elipses no plano complexo como sendo: 
1 2z F z F 2a
 
Elipse de focos 
F1 e F2, e eixo maior 2a. 
1 2F ,F , a 
Alguns casos particulares: 
 
Fig. 2.3.4 
 
Fig. 2.3.5 
 
Fig. 2.3.6 
Boa sugestão! Fazendo x i na expressão do binômio: 
n 0 1 2 n0 1 2 n
n n n n
0 1 2 3
n n n n
0 2 4 6 1 3 5 7
n n n n n n n n
1 i C . i C . i C . i ... C . i
C C . i C . 1 C . i ...
C C C C ... i. C C C C ...
 
De onde segue dois novos resultados: 
n0 2 4 6
n n n n
n1 3 5 7
n n n n
C C C C ... Re 1 i (I)
C C C C ... Im 1 i (II)
 
Lembrando que:
n
nn 2 n1 i 2.cis 2 .cis
4 4
 
Podemos explicitar matematicamente as partes real e imaginária de n1 i : 
nn 2
nn 2
nRe 1 i 2 .cos
4
nIm 1 i 2 .sen
4
 
Voltando no resultado do binômio de Newton (em I e II): 
n0 2 4 6 2
n n n n
n1 3 5 7 2
n n n n
nC C C C ... 2 .cos
4
nC C C C ... 2 .sen
4
 
Resultado 3.1.5 
Juntaremos esses dois novos resultados, respectivamente, com os dois 
resultados 3.1.3 e 3.1.4 (já mostrados). 
0 2 4 n 1
n n nC C C ... 2
 
1 3 5 n 1
n n nC C C ... 2
 
Somando os resultados correspondentes e dividindo por dois a soma, 
chegamos aos resultados finais: 
n 2
0 4 8 12 n 2 2
n n n n
n 2
1 5 9 13 n 2 2
n n n n
nC C C C ... 2 2 .cos
4
nC C C C ... 2 2 .sen
4
 
Resultado 3.1.6 
Temos então, no momento, ferramentas para calcular somatórios binomiais 
com repetições em ciclos de 2, e de 4. 
 
Autor: A pergunta é muito pertinente. Podemos dizer que um método 
matemático para a resolução de questões é eficiente quando conseguimos 
estender o seu conceito às mais diversas situações, como é o nosso caso 
agora. 
Exemplo 3.2c (SBM) Prove que: 2 4 8 7sen sen sen
7 7 7 2
 
Solução: 
Vamos chamar: 2w cis
7
. 
Conhecemos a soma das raízes sétimas da unidade: 
2 4 6 121 cis cis cis ... cis 0
7 7 7 7
 
Podemos ainda reescrever essa soma, lembrando que: 
61 w w² w³ ... w 0
 
2 4 3 5 6
A B
1 w w w w w w 0
 
O problema se resume a determinar A e B. Vamos calcular algumas coisas 
interessantes: 
4 6 7 5 7 8 7 9 10
4 6 5 2 3
2 3 4 5 6
(i) A B 1
(ii) A.B w w w w w w w w w
w w 3 w w w w
2 1 w w w w w w
0
 
Ou ainda, como B é a soma de termos nos quadrantes III e IV do plano: 
1 i. 7A(i) A B 1 2
(ii) A.B 2 1 i. 7B
2
 
A soma pedida é justamente a parte imaginária de A. 
2 4 8 7
sen sen sen
7 7 7 2
 
Capítulo 7 
Resoluções Comentadas 
Exercício 1.6 Vimos que as raízes n-ésimas da unidade são: 
2 n 12 4 61, cis , cis , cis , ..., cis
n n n n
 
Pegando 2 quaisquer números dessa seqüência, temos que a razão entre 
eles é sempre um mesmo número (Fórmula 1.5.2) 
2q cis
n
 
Portanto as raízes n-ésimas da unidade formam uma P.G. de razão q dada 
acima. 
Exercício 1.7 Seja z r.cis : 
5z z
 
5 5
5
5
5
r.cis r.cis r .cis 5 r.cis
r .cis 5 cis .r.cis
r .cis 5 r.cis
r 1 ou r 0
r r, r 0
2.k.
, k 0,1,2,3,4,55 2.k.
6
 
3 5 7 9 110, cis ,i,cis ,cis ,cis ,cis ,cis
6 6 6 6 6 6
 
Exercício 1.8 Sendo z de módulo unitário, z cis : 
n
2n
cis nz
1 cis 2n1 z
 
Usando a Fórmula 1.3.1: 
n
2n
cis nz
1 cis 2n1 z
cis n 1
2.cos n .cis n 2.cos n
 
Exercício 1.9 Lembremos as duas propriedades (Formulas 1.2.2 e 1.5.5): 
2
z z 2.Re z
z.z z
 
Da Lei de De Moivre: 
1.2.25 5 55 5z z z .cis 5.argz z .cis arg5z z .cos 5.argz
 
Segue então que o produtório analisado é um produto de números reais, que 
é real. 
Exercício 1.10 
1
4
27
a . 3 i 27.cis
2 6
i. 3 1 2
a cis
2 3
 
É fácil notar que se os módulos estão em PG e os argumentos estão em PA, 
então os termos da seqüência são complexos em P.G pois: 
n 1
n n n 1 1
n 1
1 1
n 1
1
a a .cis arga a . q .cis arga n 1 .r
a .cis arga q .cis r
a .q
 
Da lei de formação da PG: 4 1a a q³
 
2
cis cis
3 2q³
2727cis
6
 
Da radiciação (Formula 1.5.7): 
2k
cis
6 3q
3
 
Quadrado da esquerda: 
(0,0)
AD AB.i D A i. 4 3i
D A 4i 3
D 3,4
 
AD BC D A C B
3,4 0,0 C 4,3
C 1,7
 
 
Quadrado da direita: 
(0,0)
AD' AB. i D ' A i. 4 3i
D ' A 4i 3
D' 3, 4
 
AD' BC' D' A C' B
3, 4 0,0 C 4,3
C' 7, 1
 
 
AC . AD ..... A P
n
2 22 cos i.sen
n n
2 n 1 2 n 1
cos i.sen
n n
2
2
n n n n
.csc
4 n2 22 2.cos 2 1 c os 2 2.sen
n n n
nAC . AD ..... A P csc ²
4 n
 
Exercício 2.13 Note que o numerador de w é real sempre (Fórmula 1.2.2): 
z z 2 2.Re(z) 2
 
Basta então que o radicando no denominador seja maior que zero para que w 
seja real. Ou seja, a condição para que w seja realé: 
z 1 z 1 3
 
Seguindo a teoria vista na Seção 2.3 (figuras 2.3.4 e 2.3.5), o conjunto 
representa a parte exterior à elipse de focos nos complexos 1 e -1 e 
comprimento do eixo maior igual a 3 (no plano complexo). Representação 
geométrica: 
 
 
Fig. Ex-2.13 
Rumoaoita.com 
O projeto Rumo Ao ITA foi criado com o intuito de auxiliar as pessoas 
interessadas em estudar na sua caminhada à aprovação nos vestibulares 
mais difíceis do país, tendo como principal foco o ITA. Embora a internet seja 
hoje um dos caminhos mais fáceis à informação, muita gente ainda tenta tirar 
proveito dessa nossa facilidade de transmitir conhecimento eletronicamente,. 
Por isso, alguns alunos do ITA, do IME, e de outros lugares do Brasil, se 
juntaram para criar um portal eletrônico (totalmente gratuito) que 
disponibilizaria provas, simulados, dicas, entre outros bizus para aqueles 
interessados em ingressar no ITA, no IME, entre outras instituições de 
acesso considerado difícil. 
A idéia foi concretizada quando Julio Sousa (aluno de Macapá, Amapá) 
decidiu se juntar ao grupo de alunos do ITA/IME interessados na criação do 
portal. Surgiu o endereço eletrônico http://www.rumoaoita.com
 
(que também 
pode ser acessado via http://www.rumoaoita.com.br). 
Acessando o portal você encontrará muitas provas antigas (muitas com 
resoluções comentadas), diversos simulados (de cada matéria), dicas de 
alunos que já passaram por esses vestibulares, fotos do ITA, vídeo-aulas, 
entre outras utilidades. O site foi criado e é mantido sem fins lucrativos pelos 
seus colaboradores e patrocinadores (que contribuem com a hospedagem e 
materiais para o site). 
O site sem dúvida é um acessório que não deve faltar para nenhum aluno 
interessado em estudar. Não deixe de acessar! Queremos você como 
colaborador ano que vem aqui conosco no ITA, e, é claro, como colaborador 
do projeto Rumo Ao ITA . 
 
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