Apostila 1 Equações algébricas e transcendentes

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Equações Algébricas e Transcendentes 
1 – Introdução 
 
A resolução de equações polinomiais e, também, as equações transcendentais que, 
na maioria das vezes, não têm solução exata e que pelos métodos analíticos teriam 
um processo de resolução muito complicado e demorado utiliza-se métodos 
numéricos. 
 
Determinar uma raiz real de equações polinomiais ou transcendentais significa 
determinar um número α, com α ∈ ℜ, de forma que f (α) = 0. Para encontrar esse valor 
fazendo uso de métodos numéricos devemos seguir duas etapas: 
 Etapa I: Isolamento de raízes – que consiste em encontrar um intervalo [a, b] 
que contenha uma raiz α da equação f (x) = 0. 
 Etapa II: Refinamento ou melhoramento – é a etapa na qual refinamos ou 
melhoramos a aproximação encontrada para a raiz estimada na etapa anterior 
até que atenda a uma precisão pré-fixada. 
 
Etapa I – Isolamento de raízes 
Nesta etapa deve-se fazer uma análise gráfica da função f (x) com o objetivo de definir 
um intervalo inicial [a,b] que contenha uma raiz para, em seguida, na segunda etapa, 
refinar essa raiz até que atenda a tolerância estipulada. 
Um importante teorema da álgebra auxilia nessa análise. 
Teorema de Cauchy-Bolzano 
Seja f uma função contínua em um intervalo [a; b]. Se f (x) assume valores de sinais 
opostos nos pontos extremos desse intervalo, ou seja, f(a). f(b) < 0 então existe pelo 
menos uma raiz x = 𝛼, 𝛼 ∈ ϵ [a; b] da equação f(x) = 0. 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO BARRIGA VERDE- UNIBAVE 
Pró-Reitoria de Ensino e Graduação 
Curso de Engenharia Civil 
Professora: Vanessa Isabel Cataneo 
Disciplina: Cálculo Numérico Fase: 5º 
 
 
 
Exemplo 1: Determinar um intervalo [a,b] que contenha uma raiz para a equação 
 f (x) = 3x2 – 4x – 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 : Determinar um intervalo [a,b] que contenha uma raiz para a equação 
 f(x) = 2x - cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após encontrar o intervalo [a,b] de uma equação se aplica a Etapa II. 
 
 
Etapa II – Refinamento ou melhoramento 
 
O refinamento ou melhoramento do intervalo encontrado na etapa I ocorre através da 
aplicação de métodos numéricos. Estes métodos pertencem à classe dos métodos 
iterativos que consiste em uma sequência de instruções executadas passo a passo, 
algumas das quais podem ser repetidas em ciclos. Em cada iteração realizada, 
usamos o resultado da iteração anterior. Para que se aponte um resultado final que 
atenda a tolerância pré-fixada, é necessário aplicar critérios de parada. Quando esses 
critérios forem atingidos, se determinará a resposta aproximada para o problema. 
 
 Resumo dos passos para executar um método iterativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos iterativos para encontrar raízes ou zeros de equações algébricas e 
transcendentais. 
 Método da bissecção 
 
 
 
 
 
 
 Método da falsa posição 
O método da falsa posição, analogamente ao 
método da bissecção, gera uma sequencia 
convergente de aproximações (𝑥𝑘) para a raiz 
α da equação, desde que a função seja 
contínua no intervalo [a,b] e que tenhamos a 
garantia de que 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 e que a 
amplitude do intervalo satisfaça a precisão ε 
estabelecida. 
 
 
 
A diferença básica entre os métodos é que o da bissecção usa média aritmética do 
intervalo para determinar uma aproximação da raiz exata α, enquanto que o de falsa 
posição usa a média aritmética ponderando do intervalo. 
 
Critério de parada (CP): se CP = |c – a| < ε ⇒ x0 = c é a raiz aproximada de a que atende 
a tolerância ε. 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
Este método segue os seguintes critérios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método da secante 
O método da secante é uma aproximação para o método de Newton-Raphson, 
sendo aconselhado utilizá-lo em casos em que é muito trabalhoso obter a 
derivada da função. 
 
Na aplicação dessa equação é necessário o uso de duas aproximações 𝑥𝑘 e 
𝑥𝑘−1 para a raiz a da equação f (x) = 0.