Lista de Exercícios de Cinemática

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FSC5101 - Física 1, 2017.1
Lista 1, Cinemática
Utilize g = 10 m/s2 quando necessário.
Cinemática Unidimensional
1. Para cada gráfico abaixo, identifique o tipo de movimento que ele representa e
indique os sinais de x0 e v (no caso de MRU) ou de x0, v0 e a (no caso de MRUV).
2. A figura mostra os gráficos v× t para o movimento de três partículas diferentes, A,
B e C. Construa os gráficos x × t e a × t para cada um dos movimentos. Suponha
x0 = 0.
3. Um corredor amador está treinando para uma maratona e sai de casa para fazer uma
corrida de 20 km. Os primeiros 10 km são percorridos a uma velocidade constante
de 8 km/h e os 10 km restantes a 12 km/h. Qual a velocidade média da corrida?
4. Um trem em movimento uniforme a 72 km/h é freado, parando após deslocar-
se durante 16 s em movimento retilíneo uniformemente retardado. Determine a
velocidade do trem 4 s antes de parar.
5. No momento em que um sinal de tráfego acende a luz verde, um automóvel arranca
com uma aceleração constante de 1,8 m/s2. No mesmo instante, um caminhão,
deslocando-se com velocidade constante de 9 m/s, passa pelo automóvel. Calcule:
(a) a distância, com relação ao ponto de partida, em que o automóvel ultrapassará
o caminhão e (b) a velocidade do carro neste instante.
6. Equação de Torricelli. Partindo das equações de movimento do MRUV, x =
x0 + v0t +
a
2
t2 e v = v0 + at, demonstre a equação de Torricelli: v2 = v20 + 2a∆x,
onde ∆x = x − x0. Dica: Comece isolando o tempo na equação da velocidade e
substitua-o na equação da posição.
7. Dois trens, um desenvolvendo 90 km/h e outro, 120 km/h, estão se deslocando em
uma estrada reta e horizontal, em sentidos opostos. Quando estão a 3,0 km de
distância, os dois maquinistas, simultaneamente, veem um ao outro e aplicam os
freios. Se os freios desaceleram cada trem à razão de 0,90 m/s2, determine se haverá
colisão.
8. O gráfico da figura abaixo representa a velocidade de um corpo em função do tempo,
no seu movimento em trajetória retilínea. Determine a velocidade média do corpo
no intervalo de 0 a 8 s.
9. Um automóvel, em trajetória retilínea, percorre um trecho AB com velocidade média
de 72 km/h e aceleração constante de 5 m/s2. Se sua velocidade no ponto B é 30
m/s, determine a distância entre os pontos A e B.
10. Mostre que, num movimento retilíneo uniformemente variado, a velocidade média é
a média aritmética das velocidades final e inicial.
11. Uma moto e um carro iniciam seu movimento no mesmo ponto, no mesmo instante,
na mesma direção e sentido. O carro acelera uniformemente a 0,6 m/s2 até atingir
uma velocidade de 36 m/s e a moto acelera a 1,2 m/s2 até atingir uma velocidade de
24 m/s. Depois de atingirem essas velocidades, ambos continuam com movimento
retilíneo uniforme. (a) Construa um gráfico v× t para os dois móveis. (b) Descreva
o que acontece 40 s após saírem do repouso. (c) Calcule o tempo transcorrido e a
distância percorrida até o instante de encontro dos veículos.
12. A posição de uma partícula movendo-se em linha reta é dada por x = 3t− 4t2 + t3,
onde x é dado em metros e t em segundos. Determine: (a) a posição da partícula
nos instantes t = 1, 2, 3, 4 s, (b) o deslocamento da partícula entre os instantes
t = 0 e t = 4 s, (c) a velocidade média para o intervalo de tempo compreendido
entre os instantes 2 e 4 s e (d) a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
t = 1, 2, 3, 4 s.
13. A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x depende do tempo de
acordo com a expressão: x = at2 − bt3, onde x é dado em metros e t em segundos.
Determine (a) as dimensões e unidades que a e b devem ter. Agora, supondo que os
seus valores numéricos sejam, respectivamente, 3 e 1, determine: (b) o instante em
que a partícula atinge a posição x máxima, (c) a distância percorrida pela partícula
nos primeiros quatro segundos, (d) o deslocamento no intervalo entre t = 0 e t = 4
s, (e) a velocidade da partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos
e (f) a aceleração da partícula ao final de cada um dos quatro primeiros segundos.
14. Um projétil é arremessado verticalmente para cima com uma velocidade de 82 m/s,
de uma altura de 7 m em relação ao solo. Colocando a origem do referencial no solo,
com o eixo y apontando para cima, calcule (a) a que distância do solo encontra-se o
projétil depois de 3 s (b) a distância percorrida pelo projétil em 5 s e a sua velocidade
neste instante, (c) o tempo que leva o projétil para atingir o ponto mais alto da sua
trajetória e (d) a altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo projétil.
15. Um objeto é solto da janela de um edifício. Se ele leva 4 s para atingir o solo, calcule
quanto tempo ele leva para percorrer a metade da distância que o separa do solo.
16. Um astronauta, na Lua, arremessou um objeto verticalmente para cima, com uma
velocidade inicial de 8 m/s. O objeto gastou 5 s para atingir o ponto mais alto da
sua trajetória. Com esses dados, calcule (a) o valor da aceleração da gravidade na
Lua e (b) a altura máxima que o objeto alcançou.
17. Uma bola de chumbo é largada de um trampolim a 5 m acima de um lago. Ela
atinge a água com certa velocidade, afunda com esta mesma velocidade e chega ao
fundo 5 s após o momento em que é largada. Determine (a) a profundidade do lago,
(b) a velocidade média da bola e (c) a velocidade inicial com a qual a bola precisaria
ser lançada do trampolim para atingir o fundo do lago em 5 s se este estivesse vazio.
18. Um balão sobe com velocidade de 12 m/s e está a 80 m acima do solo quando dele
se deixa cair um embrulho. Calcule o tempo decorrido até que o embrulho atinja o
solo.
19. Se um corpo, partindo do repouso, percorre metade de seu trajeto no último segundo
de sua queda, calcule o tempo e a altura da queda.
20. Dois corpos são largados, com um intervalo de 1,0 s, de uma mesma altura. Calcule
em quanto tempo, depois do primeiro deles começar a cair, os dois corpos estarão
separados por 10 m.
21. Dois objetos são atirados verticalmente para baixo, de uma mesma altura e no
mesmo instante: um com velocidade de 5,0 m/s e o outro com velocidade inicial
maior, porém desconhecida. Sabendo que a separação vertical entre os objetos,
depois de 2,8 s, é igual a 8,4 m, calcule a velocidade de lançamento desconhecida.
22. Uma bola cai de uma altura de 0,9 m, bate no chão e volta, subindo até uma altura
de 0,6 m. Determine: (a) a velocidade da bola quando atinge o solo, (b) a sua
velocidade quando começa a subir e (c) a aceleração média durante o seu contato
com o chão, supondo que este durou 0,02 s.
23. Deixa-se cair uma pedra em um poço e ouve-se o choque contra o fundo 4,25 s
depois. Supondo a velocidade do som igual a 320 m/s, calcule a profundidade do
poço.
24. Duas pedras A e B são soltas de uma mesma altura em relação ao solo, mas em
instantes diferentes. Sabendo que a pedra A caiu 1 s antes da pedra B, calcule
a separação vertical entre elas 3,5 s depois de solta a pedra A, enquanto as duas
pedras ainda estão em queda livre.
25. Lança-se, a partir do solo e verticalmente para cima, uma pedra A com uma velo-
cidade de 15 m/s. Um segundo antes, havia se deixado cair outra B de uma altura
de 30 m. Determine: (a) onde elas se cruzam, (b) a posição da pedra B no instante
em que a pedra A é lançada e (c) o tempo decorrido entre o instante de lançamento
de A e o instante em que elas se cruzam.
Vetores
26. Um deslocamento possui módulo s1 = 30 cm. Outro deslocamento possui módulo
s2 = 40 cm. (a) Determine o módulo s do deslocamento resultante supondo que os
dois deslocamentos sejam perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de s for igual
a 70 cm, qual será a orientação relativa dos deslocamentos? (c) E se o módulo do
deslocamento resultante for igual a 10 cm?
27. Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido Oeste-Leste. A seguir percorre
10 km no sentido Sul-Norte e, finalmente, percorre 5 km numa direçãoque forma
um ângulo de 30◦ com o Norte e 60◦ com o Leste. Calcule: (a) o módulo do
deslocamento resultante e (b) o ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o
sentido Oeste-Leste.
28. Um vetor ~a tem módulo de 10 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor ~b
tem módulo de 20 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos
seguintes vetores (a) ~a+~b e (b) ~a−~b.
29. Quais são as propriedades de dois vetores ~a e ~b tais que:
(a) ~a+~b = ~c e |~a|+ |~b| = |~c|
(b) ~a+~b = ~c e |~a| − |~b| = |~c|
(c) ~a+~b = ~a−~b
(d) ~a+~b = ~c e a2 + b2 = c2
30. Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira
tacada desloca a bola 6 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2 m para o Leste
e a terceira desloca a bola 2m para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o
sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido com uma única tacada.
31. Dois vetores são dados por: ~a = 3ıˆ− 2ˆ− kˆ e ~b = 3ıˆ− ˆ− 2kˆ. Determine: (a) ~a+~b,
(b) ~a−~b, (c) −~a+~b, (d) 3~a− 2~b e (e) |3~a− 2~b|.
32. Sejam ~a e ~b dois vetores com as seguintes componentes (em metros) em relação a
um sistema cartesiano ortogonal: ax = 4, bx = −2, ay = 0, by = 5, az = 3, bz = −1.
Determine o módulo da soma vetorial ~a+~b.
33. Uma sala tem as seguintes dimensões: 3 m × 4 m × 3 m. Um inseto voa desde um
canto da sala até o outro canto mais distante. (a) Calcule o módulo do deslocamento
total do inseto. (b) O deslocamento total depende da trajetória? (c) Faça um
esquema usando um sistema cartesiano ortogonal para indicar as componentes do
vetor deslocamento total.
34. Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo θ entre si. Prove, considerando as
componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante
dos dois vetores é r =
√
a2 + b2 + 2ab cos θ.
35. Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja perpen-
dicular à sua diferença.
36. Os vetores ~a e ~b estão orientados conforme indica a figura (a). A resultante da soma
destes vetores é ~R. Sabendo que |~a| = |~b| = 5, determinar: (a) as componentes de
~R segundo Ox e segundo Oy, (b) o módulo de ~R e (c) o ângulo que ~R forma com o
eixo Ox.
37. Os vetores ~a, ~b e ~c estão orientados conforme indica a figura (b). Calcule (a) o vetor
~R = ~a +~b + ~c, (b) o módulo de ~R e (c) a direção de ~R. Dados: |~a| = 5, |~b| = 4 e
|~c| = 3.
(a) (b)
38. Uma pessoa deseja atingir um ponto que dista 3,4 km de sua posição atual e na
direção que faz 35◦ com o Norte e 55◦ com o Leste. Entretanto, ela deve caminhar
por ruas que se estendem pelas direções Norte-Sul e Leste-Oeste. Qual é a distância
mínima que ela deverá caminhar para chegar ao seu destino?
39. Dados os vetores ~a = 2ıˆ − 5ˆ − 5kˆ, ~b = ıˆ − 4ˆ e ~c = 4ıˆ + ˆ − 3
5
kˆ, quais deles são
perpendiculares entre si?
40. Para quais valores de m os vetores ~a = mıˆ + 2ˆ + (m − 1)ˆ e ~b = ıˆ − ˆ + mkˆ são
perpendiculares?
41. Encontre o vetor unitário com mesma direção e sentido que o vetor ~v = ıˆ+ ˆ+ kˆ.
42. Um vetor ~a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor ~b de módulo igual a 6
unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60◦ entre si. Determine o
produto escalar entre os dois vetores.
43. (a) Determine o vetor ~r = ~a − ~b + ~c se ~a = 5ıˆ + 4ˆ − 6kˆ, ~b = −2ıˆ + 2ˆ + 3kˆ e
~c = 4ıˆ+ 3ˆ+ 2kˆ. (b) Calcule o ângulo entre ~r e o semi-eixo Oz positivo.
44. Encontre um vetor perpendicular aos vetores ~a = 3ıˆ− ˆ− kˆ e ~b = 5ˆ+ 2kˆ.
45. Encontre dois vetores unitários da forma ~u = mıˆ + nˆ que são perpendiculares a
~a = ıˆ+ 2ˆ.
Cinemática Bidimensional
46. Considere um projétil lançado a partir do solo com velocidade inicial ~v0, de módulo
v0 e ângulo θ com relação à horizontal. (a) Escreva ~v0 na notação dos vetores
unitários ıˆ e ˆ. (b) Calcule o alcance x do projétil em termos de v0, θ e g (aceleração
da gravidade). (c) Para qual valor de θ o alcance é o maior possível? (d) Calcule
a altura máxima ymax do projétil em termos de v0, θ e g. (e) Para qual ângulo θ o
alcance x e a altura máxima ymax são iguais?
47. Uma bola de futebol é chutada com velocidade inicial de 20 m/s e com um ângulo de
45◦ com relação à horizontal. O goleiro, colocado na linha do gol a 60 m de distância
e na direção do chute, começa a correr ao encontro da bola naquele instante. Calcule
a velocidade média mínima com que ele deve correr para conseguir agarrar a bola
antes que ela toque o chão.
48. Um jogador chuta uma bola a 0,5 m de altura acima do solo, de modo que seu
ângulo de lançamento seja de 45◦ e sua velocidade inicial de 30 m/s. A bola toma
a direção de uma cerca de 4,5 m de altura que está localizada a 90 m do jogador.
Verifique se bola baterá na cerca e, em caso afirmativo, a que altura do solo.
49. Um canhão antiaéreo dispara um projétil quando um avião passa sobre a sua posição
em uma altitude de 2000 m. A velocidade do projétil na saída do canhão é 400
m/s e o avião está voando horizontalmente com velocidade constante de 200 m/s.
Determine o ângulo de tiro necessário para o projétil atingir o avião.
50. Um projétil, que é disparado com velocidade inicial de 200 m/s e com um ângulo
de lançamento de 45◦, acerta um alvo localizado a uma distância horizontal de 1000
m. Determine a altura do alvo.
51. Um homem arremessa uma bola no telhado de uma casa como mostra a figura.
Determine o local do telhado, medido desde a borda deste, onde a bola cai. Dados:
v0 = 20 m/s, θ0 = 45◦.
52. Considere um projétil no ponto mais alto de sua trajetória. Determine (a) o módulo
de sua velocidade em termos de v0 e θ, (b) o módulo de sua aceleração e (c) a relação
entre as direções dos vetores velocidade e aceleração.
53. Uma bola rola para fora da borda do tampo horizontal de uma mesa de 1,0 m de
altura. Se ela atingir o solo em um ponto 1,5 m horizontalmente distante da borda
da mesa, qual foi sua velocidade no instante em que saiu da mesa?
54. Um rifle, cuja velocidade de disparo é de 450 m/s, é usado para atirar em um alvo
distante de 45 m. Determine a altura acima do alvo para a qual o rifle deverá ser
apontado de modo que a bala atinja o alvo.
55. Uma arma localizada 44 m acima de uma planície dispara horizontalmente um
projétil com uma velocidade de 240 m/s. Determine (a) o tempo que o projétil
permanece no ar, (b) a que distância horizontal ele atinge o solo e (c) o módulo da
componente vertical de sua velocidade quando ele atinge o solo.
56. Uma bola rola do alto de uma escada com uma velocidade horizontal de módulo
igual a 1,5 m/s. Os degraus têm 0,2 m de altura por 0,2 m de largura. Que degrau
a bola tocará primeiro?
57. Um avião de bombardeiro voando horizontalmente numa altura de 320 m e com
velocidade de 72 m/s, persegue uma lancha que se desloca com velocidade de 2 m/s,
no mesmo sentido. Calcule a que distância à retaguarda da lancha a bomba deve
ser lançada a fim de atingi-la.
58. Um satélite se move em uma órbita circular, 640 km acima da superfície da Terra,
com um período de 98,0 min. Quais são (a) a velocidade e (b) o módulo da aceleração
centrípeta do satélite?
59. Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas
xy horizontal, com velocidade escalar constante. No instante t1 = 4 s, ela está no
ponto (5 m, 6 m), com velocidade de (3 m/s)ˆ e aceleração no sentido positivo de x.
No instante t2 = 10 s, ela tem uma velocidade (-3 m/s)ˆı e uma aceleração no sentido
positivo de y. Quais são as coordenadas x e y do centro da trajetória circular se a
diferença t2 − t1 é menor que um período?
60. Um menino faz girar uma pedra em um círculo horizontal, a 1,5 m acima do solo,
por meio de um barbante de 1,0 m de comprimento. O barbante arrebenta e a
pedra é lançada horizontalmente, batendo no chão a 9,0 m de distância. Qual era a
aceleração centrípeta durante o movimento circular?
61. Um gato pula em umcarrossel que está descrevendo um movimento circular uni-
forme. No instante t1 = 2 s, a velocidade do gato é ~v1 = (3 m/s)ˆı+(4 m/s)ˆ, medida
em um sistema de coordenadas horizontal xy. No instante t2 = 5 s, a velocidade do
gato é ~v2 = (−3 m/s)ˆı+(−4 m/s)ˆ. Quais são (a) o módulo da aceleração centrípeta
do gato e (b) a aceleração média do gato no intervalo de tempo t2− t1, que é menor
que um período?
62. Um barco leva 20 s para ir de um ponto A a um ponto B, situados na mesma margem
de um rio, deslocando-se no sentido contrário ao da corrente. Quando ele volta do
ponto B ao ponto A, o barco gasta a metade do tempo. A velocidade do barco em
relação à água é constante e igual a 8 m/s. Calcule a distância AB.
63. Um barco está subindo um rio com velocidade de 14 km/h em relação à água,
que flui com velocidade de 9 km/h em relação às margens. Calcule (a) o valor da
velocidade do barco em relação às margens e (b) a velocidade de uma criança em
relação às margens se ela caminha da proa (frente) para a popa (atrás) do barco
com uma velocidade de 6 km/h em relação a ele.
64. O terminal de um aeroporto tem uma esteira rolante para aumentar a velocidade dos
passageiros através de um longo corredor. Pedro, que caminha pelo corredor, sem
utilizar a calçada rolante, demora 150 s para percorrê-lo. Paulo, que simplesmente
fica de pé na calçada rolante, percorre a mesma distância em 70 s e Maria não
somente usa a calçada rolante, como também caminha sobre ela. Calcule o tempo
que Maria gasta, se ela e Pedro caminham com a mesma velocidade.
65. Duas auto-estradas se interceptam. No instante mostrado na figura, um carro de
polícia P encontra-se a 800 m do cruzamento e move-se a 80 km/h. O motorista
M acha-se a 600 m do cruzamento e move-se a 60 km/h. Neste momento, calcule a
velocidade do motorista em relação ao carro da polícia.
66. As gotas de água da chuva caem verticalmente com velocidade de 8 m/s. Um auto-
móvel percorre uma estrada retilínea com uma velocidade de 60 km/h. Determine
(a) a velocidade das gotas de água em relação a um observador situado dentro deste
automóvel e (b) a velocidade mínima que o carro deve desenvolver, em relação ao
solo, para que a chuva não molhe diretamente o vidro traseiro, cuja inclinação é 45◦.
67. Um helicóptero está sobrevoando, em linha reta, uma planície com uma velocidade
constante de 6 m/s e a uma altitude constante de 8 m quando um fardo é atirado
para fora, horizontalmente, com uma velocidade inicial de 10 m/s em relação ao
helicóptero e em sentido oposto ao seu movimento. Calcule (a) a velocidade inicial
do fardo em relação ao solo (b) a distância horizontal entre o helicóptero e o fardo
no instante em que este cai ao solo (c) o ângulo que o vetor velocidade do fardo faz
com o solo no instante imediatamente anterior ao impacto.