Cálculo 2 - Capítulo 3

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Capítulo 3
Integrais Múltiplas
Integrais simples
	Considere os seguintes gráficos de funções de uma única variável independente:
	
	
	
	Todas as áreas hachuradas sob as três funções podem ser calculadas através de fórmulas conhecidas. Nos gráficos mostrados, temos as àreas do retângulo, do triângulo e do semicírculo que são facilmente calculadas por fórmulas bem conhecidas.
	A área entre uma função qualquer e o eixo x pode ser calculada através da integral definida:
		
	
 é chamada de primitiva da função 
, isto é, se derivarmos 
 vamos obter 
.
	Como a integral pode assumir valores positivos e negativos, devemos tomar o valor absoluto (módulo) da função no cálculo da área A conforme mostra a fórmula a seguir:
		
Exemplo
	Calcular a área entre a função 
 e o eixo x no intervalo 
.
Solução
	Vamos calcular a seguinte integral definida:
		
		
		
 unidades de área
	Observe que a primitiva da função 
 é 
	
		No cálculo da integral definida, a constante C é desnecessária já que é cancelada durante as operações.
Integrais duplas e volumes
	Suponha que estejamos interessados em calcular o volume da figura formada pela região abaixo da superfície dada pela função 
 e a região R no plano x-y conforme mostra a figura a seguir:
	Podemos calcular aproximadamente o volume desejado subdividindo a região R em vários retângulos, de lados 
 e 
 e área 
 (área da base), subindo, a partir de cada base retangular, um prisma de altura 
 como mostra a figura a seguir:
	Os valores de xi e yi, para cada retângulo i dentro da região R, devem ser escolhidos de modo a aproximar ao máximo o volume do sólido desejado. O volume de cada prisma retangular é dado pelo produto entre a sua altura e a área da sua base:
		
	O volume da região entre a superfície dada pela função 
 e a região R no plano x-y pode ser aproximado pela soma dos volumes de cada prisma retangular dentro da região R:
		
	A área da base de cada retâgulo é dada por:
		
	A expressão aproximada do volume se torna:
		
	Essa fórmula mostra que o volume da região entre a superfície dada pela função 
 e o plano x-y é aproximadamente igual ao somatório dos volumes dos primas que podem ser colocados dentro dessa região. Quanto maior o número de prismas dentro dessa região, mais exato será o cálculo do volume desejado.
	Quando o número de prismas n tende para o infinito, temos o limite:
		
	O limite indica que, ao colocarmos infinitos prismas na região entre a superfície e o plano x-y, o cálculo do volume dessa região deixa de ser uma aproximação para ser um valor exato.
	Como a notação apresentada na expressão anterior é bastante complicada para manipulações matemáticas, foi criada uma forma mais fácil de escrever a fórmula do volume:
		
	A expressão anterior é a definição de integral dupla. O símbolo R indica que o cálculo da integral dupla foi realizado na região R.
Propriedades das integrais duplas
	As integrais duplas possuem as seguintes propriedades:
		( 
		( 
Cálculo das integrais duplas por integrais iteradas
	Assim como nos cálculos das derivadas parciais, as integrais duplas podem ser realizadas parcialmente. Esse método de integração em estágios é conhecido como integrais iteradas.
	Por exemplo, as integrais 
 e 
 devem considerar y como constante e x como constante respectivamente.
Exemplo
	Considerando que 
. Calcule as integrais:
		
 e 
Solução
	A integral em relação a x é dada por:
		
	A integral em relação a y é dada por:
		
	O método das integrais iteradas consiste em integrar parcialmente em relação a uma variável e, em seguida, integrar parcialmente em relação a outra variável. Segundo o método das integrais iteradas, a integral dupla pode ser calculada da seguinte forma:
		
	Observe que devemos começar a calcular a integral mais interna, para depois realizar a integral mais externa do resultado obtido na primeira integração.
Exemplo
	Calcule a integral dupla:
		
Solução
	Inicialmente, devemos calcular a integral mais interna, portanto, considerando y constante:
		
		
		
		
 unidades de volume
	O resultado deve coincidir ao trocarmos a posição da integral:
		
		
		
		
 unidades de volume
	
		A técnica das integrais iteradas só pode ser realizada se a função 
 for contínua dentro da região R.
Limites de integração não-constantes nas integrais duplas
	O cálculo da integral dupla requer a definição da região R dada pelos seus limites de integração. É possível utilizar limites de integração constantes ou variáveis tanto em x quanto em y na definição da região R.
	Quando ambos os limites de integração são constantes, a região R (base da figura) é um retângulo conforme mostra a figura a seguir:
	O volume da figura pode ser calculado através da seguinte integral dupla:
		
Exemplo
	Calcule o volume entre a superfície dada pela função 
 e a região limitada pelos intervalos 
 e 
.
Solução
	Conforme o enunciado, devemos calcular a integral dupla:
		
	Integrando primeiro em relação a x:
		
	Integrando esse resultado em relação a y:
		
	Então temos que:
		
 unidades de volume
	O resultado que acabamos de calcular é o volume do sólido entre a superfície dada pela função 
 e a região no plano x-y limitada pelos intervalos 
 e 
 conforme mostram as figuras seguir:
	
(a)
	
(b)
	(a) Superfície 
 na região limitada por 
 e 
(b) Sólido cujo volume é dado por 
	
		Caso a função assuma valores negativos dentro da região R, a integral dupla calcula o volume líquido dentro da região, ou seja, a integral dupla “desconta” volumes correspondentes a subregiões de R que contenham valores negativos da função.
	Caso a região R não seja retangular, podemos ter dois casos diferentes resumidos no seguinte quadro:
	Limites de integração na integral dupla
	
	
	
	
Exemplo
	Calcule o volume entre a função 
 e a região limitada por 
, 
, 
 e 
.
Solução
	O gráfico da região R onde a integral dupla deve ser calculada é mostrado na figura a seguir:
	O volume procurado é dado pela seguinte integral:
		
		
		
		
Integrais duplas e áreas
	Considere o retângulo da figura a seguir:
	A sua área é igual a:
		
	Vamos desenvolver um método para calcular a área de qualquer figura usando somatórias. A área do retângulo pode ser calculada somando-se a área de várias unidades retangulares fundamentais de área 
 conforme mostra a figura:
	As coordenadas x e y identificam a posição da unidade retangular fundamental de área 
. Mantendo constante a coordenada x, podemos somar todas as áreas elementares verticais de modo a compor uma área 
 conforme a figura:
	A área hachurada pode ser calculada por:
		
	A área do retângulo é dada pela somatória de todas as áreas hachuradas que puderem ser colocadas entre 
 e 
 conforme a equação:
		
	Calculando os limites quando 
 e 
 temos a integral dupla:
		
	A integral dupla dada pela expressão anterior deve ser calculada da seguinte forma:
		
	Resolvendo a integral dupla, temos que:
		
	Resultado idêntico ao que já foi obtido anteriormente.
	No lugar de termos mantido x constante para encontrarmos a área hachurada 
, poderíamos ter mantido y constante para encontrarmos a área hachurada 
 como mostra a figura:
	A área hachurada seria dada pelo somatório:
		
	A área do retângulo é dada pela somatória de todas as áreas hachuradas que puderem ser colocadas entre 
 e 
 conforme a equação:
		
	Calculando os limites quando 
 e 
 temos a integral dupla:
		
	O resultado dessa integral é idêntico ao que já foi obtidopela outra definição. Essa segunda forma de cálculo mostra que podemos trocar a ordem de integração conforme o cálculo de integrais iteradas.
Exemplo
	Calcular a área entre as funções 
 e 
.
Solução
	Desejamos calcular a área hachurada da figura:
	Podemos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam para delimitarmos a área hachurada fazendo:
		
	Elevando os dois lados ao quadrado:
		
	As raízes dessa equação são 
 e 
. Observe o resultado calculado dessas duas raízes no gráfico mostrado anteriormente.
	A área da figura hachurada é então dada pela integral:
		
	Resolvendo a integral em y, temos que:
		
	Cujo resultado é igual a:
		
Mudança de variável nas integrais duplas
	Antes de apresentar o problema da mudança de variáveis, vamos desenvolver a expressão que calcula a área de um triângulo através de determinantes. Considere o triângulo ABC mostrado na figura a seguir:
	As áreas dos trapézios CMOB, CMNA e ANOB são dadas por:
		
		
		
	Para encontrarmos a área do triângulo ABC, precisamos inicialmente calcular a área do trapézio CMOB, subtraindo as áreas dos trapézios CMNA e ANOB conforme a expressão:
		
	Reorganizando:
		
	Os resultados entre parênteses são determinantes de segunda ordem:
		
	A expressão entre colchetes, segundo o teorema de Laplace, corresponde a um determinante:
		
	Como o resultado do determinante pode ser igual a zero, assumir valores positivos ou negativos, devemos utilizar o módulo do resultado do determinante para que o resultado seja apenas positivo. Com isso queremos dizer que, ao trocarmos duas colunas desse determinante, o resultado da área do triângulo deve permanecer o mesmo.
	Muitas vezes é mais conveniente localizar um ponto através de coordenadas curvas no lugar de coordenadas retangulares (utilizando plano cartesiano x-y). Um exemplo interessante é o sistema de localização que utiliza as linhas geográficas imaginárias.
	Os meridianos e paralelos indicam a latitude e longitude conforme mostra o mapa a seguir:
	Precisamos desenvolver um método de cálculo de áreas que envolva coordenadas curvilíneas no lugar de coordenadas retangulares para podermos aproveitar, por exemplo, as vantagens da localização através do aparelho de GPS (Sistema de Posicionamento Global). A metodologia deve ser capaz de fornecer meios de calcular áreas de terrenos como mostra a figura:
	Em termos matemáticos, podemos representar dois sistemas de coordenadas, dependentes entre si através de alguma equação. Sobrepondo os sistemas de localização curvilíneo e retangular, podemos construir o gráfico:
	A localização de qualquer ponto no sistema curvilíneo bidimensional é obtida pelo cruzamento de duas curvas. No exemplo mostrado no gráfico, o ponto A no sistema curvilíneo possui coordenadas 
. Essas coordenadas no sistema curvilíneo correspondem ao par 
 no sistema retangular.
	Desejamos calcular a área encerrada pela figura ABCD formada pelo cruzamento das curvas 
, 
, 
 e 
. Olhando a região ABCD mais de perto:
	Podemos aproximar a área ABCD, considerando que:
Área da região ABCD ( 2 x Área do triângulo ABC
	Quanto mais próximas as curvas umas das outras, mais preciso é o resultado dado pela fórmula anterior.
	Para calcularmos a área do triângulo ABC, precisamos conhecer as coordenadas de A, B e C para substituirmos na fórmula já demonstrada com o determinante.
	Considerando que o ponto A possui coordenadas 
, os pontos B e C podem ser calculados a partir do ponto A da seguinte forma:
		
 e 
	Quando sobrepomos os dois sistemas de coordenadas, podemos afirmar que x é uma função de u e v e y é uma função de u e v.
	Aplicando o conceito de diferencial para 
 e 
:
		
 e 
	Observando o último gráfico, o ponto B está sobre a curva 
. A variação de v sofrida entre o ponto A e o ponto B é nula. Podemos então fazer:
		
 e 
	No sistema de coordenadas curvilíneas, o ponto B pode ser descrito por:
		
	Da mesma forma, o ponto C está sobre a curva 
. A variação de u sofrida entre o ponto A e o ponto C é nula. Podemos então fazer:
		
 e 
	No sistema de coordenadas curvilíneas, o ponto C pode ser descrito por:
		
	Temos então as três coordenadas necessárias para o cálculo da área do triângulo ABC através do determinante:
		
	Subtraindo a segunda e terceira colunas da primeira, o determinante não se altera:
		
	Aplicando o terorema de Laplace ao determinante:
		
	Se multiplicamos uma coluna inteira por um número, então o determinante fica multiplicado por essa mesma constante. Aplicando essa propriedade ao determinante anterior:
		
	A área da figura ABCD é aproximadamente igual a:
		
		
	A expressão anterior calcula a área de um elemento infinitesimal em coordenadas curvilíneas. A área de qualquer figura é aproximadamente a soma de todas as áreas infinitesimais limitadas por essa superfície:
		
	A área de qualquer figura expressa em coordenadas curvilíneas pode ser calculada aplicando o limite quando 
 e 
:
		
	O determinante que aparece dentro da integral dupla é conhecido como determinante Jacobiano e é representado pela notação 
. A integral dupla pode ser reescrita como:
		
	Sabemos que a mesma área tanto em coordenadas retangulares como em coordenadas curvilíneas deve ser igual, podemos fazer:
		
	Por comparação, podemos afirmar que:
		
	Essa última expressão mostra que podemos mudar as variáveis da integral desde que tenhamos as funções 
 e 
.
	Qualquer integral dupla expressa e coordenadas retangulares pode ser escrita em coordenadas curvilíneas da seguinte forma:
		
Coordenadas polares
	O sistema de coordenadas polares é o sistema de coordenadas que localiza qualquer ponto no espaço bidimensional através da sua distância até a origem e do ângulo entre o segmento que liga a origem ao ponto P e o eixo horizontal x conforme mostra a figura:
	O ponto P pode ser localizado tanto pelas coordenadas retangulares x e y quanto pelas coordenadas polares r e (. As quatro variáveis podem ser relacionadas através das equações:
		
		
	A seguir mostramos figuras de curvas expressas em coordenadas polares:
	
	
	
 para 
	
 para 
	Utilizando as relações 
 e 
, podemos calcular a área da figura expressa em coordenadas polares a partir da fórmula:
		
	Onde:
		
	Substituindo na integral dupla:
		
Integrais triplas
	O conceito desenvolvido para integral dupla pode ser generalizado para definir a integral tripla. A integral tripla calcula o volume do sólido conforme a expressão
		
	As integrais triplas podem ser calculadas pelo método das integrais iteradas:
		
	A mudança de variável na integral tripla também é realizada com a ajuda do jacobiano. Considerando que 
, 
 e 
, podemos mudar o conjunto de variáveis 
 para o conjunto 
 fazendo:
	Onde:
		
Área da superfície
	Considere a superfície mostrada no gráfico a seguir:
	A área da superfície ABCD pode ser calculada por aproximação da área de um paralelogramo conforme a próxima figura:
	A área do paralelogramo ABCD é dada pelo módulo do produto vetorial:
		
	Podemos aproximar a área ABCD, considerando que:
Área da região ABCD ( Área do paralelogramo ABCD
	Em termos de fórmulas temos que:
		
	Quanto mais próximas as curvas umas das outras, mais preciso é o resultado dado pela fórmula anterior.
	Para calcularmos a área do paralelogramo ABCD, precisamos conhecer as coordenadas de A, B e C para substituirmos na fórmula do produto vetorial.
	Considerando que o ponto A possui coordenadas 
, os pontos B e C podem ser calculados a partir do ponto A da seguinte forma:
		
 e 
	Quando sobrepomos os dois sistemas de coordenadas, podemos afirmar que x é uma função de u e v e y é uma função de u e v.
	Aplicando o conceito de diferencialpara 
, 
 e 
:
		
		
		
	Observando o último gráfico, o ponto B está sobre a curva 
. A variação de v sofrida entre o ponto A e o ponto B é nula. Podemos então fazer:
		
, 
 e 
	No sistema de coordenadas curvilíneas, o ponto B pode ser descrito por:
		
	Da mesma forma, o ponto C está sobre a curva 
. A variação de u sofrida entre o ponto A e o ponto C é nula. Podemos então fazer:
		
, 
 e 
	No sistema de coordenadas curvilíneas, o ponto C pode ser descrito por:
		
	Os vetores 
 e 
 são dados por:
		
		
	O produto vetorial entre os vetores 
 e 
 pode ser calculado pelo determinante:
		
	Se multiplicamos uma coluna inteira por um número, então o determinante fica multiplicado por essa mesma constante. Aplicando essa propriedade ao determinante anterior:
		
	Fazendo 
 e 
, o determinante se torna:
		
	O resultado do determinante é o vetor:
		
	O módulo desse vetor é igual a:
		
	Essa última fórmula calcula exatamente a área do paralelogramo ABCD. Portanto, a área da superfície elementar ABCD é dada aproximadamente por:
		
	A área total da superfície é dada aproximadamente pela soma:
		
	No limite quando 
 e 
, podemos calcular exatamente a área total da superfície através da fórmula:
		
Região R
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
3a Integral
2a Integral
1a Integral
� EMBED Equation.3 ���
2a integral em relação a x
1a integral em relação a y
� EMBED Equation.3 ���
Região R
�
� EMBED Equation.3 ���
Prof. Fábio Nogueira Batista (fbatista@bol.com.br)
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