apostila aula pratica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
EAM 301 – TOPOGRAFIA BÁSICA 
(Notas de aula) 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Fernando Alves Pinto 
 
 
 
 
 
2008 
 
 
 2 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 01 
 
Literatura: 
01 - Topografia: planimetria 
José A. Comastri 
02 - Topografia: altimetria 
José A. Comastri, José C. Tuler 
03 – Notas de aulas 
 
Avaliação: 
Prova 1 - 25% 
Prova 2 - 30% 
Prova 3 - 30% 
Trabalho Prático - 15% 
 
INTRODUÇÃO: 
 Para a execução dos trabalhos de engenharia, torna-se necessário conhecer as 
características da superfície do terreno tais como elevações, depressões, posição dos 
acidentes, bem como o contorno do terreno. Isso levou o homem a utilizar a Topografia. 
 
CONCEITO: 
 A Topografia consiste em representar, em projeção horizontal, as dimensões, o 
contorno e a posição relativa de uma parte da superfície terrestre, apresentando a sua área e 
posição altimétrica. 
 
APLICAÇÕES: 
 Os conhecimentos da topografia são utilizados nas mais diversas áreas, como por 
exemplo: 
 Engenharia Civil – Locação de obras, projeto geométrico de estradas; 
 Agronomia - Planejamento agropecuário, conservação de solos; 
 Arquitetura - Planejamento de obras, planejamento paisagístico, de parques; 
 Engenharia Ambiental – Planejamento de sistemas de esgoto, drenagem; 
 Engenharia Florestal - Planejamento florestal, inventário; 
 Zootecnia - Avaliação e divisão de áreas de pastagem. 
 3 
 
OBJETIVO: 
 
 Planta topográfica - corresponde ao desenho do terreno 
 Esboço de uma planta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Levantamento Topográfico 
 
 É um conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando processos e 
instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à elaboração da 
planta. 
 
Etapa de campo: medição de ângulos e de distâncias 
Etapa de escritório: preparo dos dados obtidos para a confecção da planta 
 
Tipos de Levantamento: 
* Planimétrico 
* Altimétrico 
* Plani-altimétrico 
 
10 
20 
30 
Orientação 
magnética 
NM 
Limites da 
propriedade 
Curva de 
 nível 
Convenções 
 
Identificação 
 ESCALA 1::n 
 4 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 02 
 
Sistemas de Coordenadas 
 
 Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a posição de pontos sobre 
uma superfície, seja ela um elipsóide, esfera ou um plano. Para o plano, um sistema de 
coordenadas cartesianas X e Y é usualmente empregado. Para a esfera terrestre usualmente 
empregamos um sistema de coordenadas cartesiano e curvilíneo representado pelos 
Meridianos e Paralelos. 
 * Meridianos: São planos que passam pelo eixo da terra e interceptam sua superfície 
segundo um círculo, supondo-a esférica. O meridiano de origem é o de Greenwich (0
o
). 
 * Paralelos: São planos perpendiculares ao eixo terrestre. O paralelo de origem é o 
equador terrestre. 
 Os planos meridianos definem a longitude e os paralelos a latitude. 
 
Coordenadas de Viçosa : Latitude: 20
o 45’ S 
 Longitude: 42
o 52’W 
 Altitude: 650 m (pelo fato de a superfície ser irregular) 
 
 
 Plano Topográfico - Em Topografia, como as áreas são relativamente pequenas as 
projeções dos pontos são feitas no plano topográfico. O plano topográfico é um plano 
horizontal tangente à superfície terrestre, num ponto que esteja situado dentro da área a ser 
levantada. 
 Ao substituir a forma da terra, considerada esférica, pelo plano topográfico comete-se 
um erro denominado “erro de esfericidade”. 
 
 
 
 F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B 
 
Plano Topográfico 
Superfície 
Terrestre 
 
 
 R 
 
 
 
 C 
  
 5 
Determinação do erro de esfericidade: 
 
 O erro de esfericidade corresponde à diferença entre os comprimentos do segmento 
AB e do arco AF representados na figura anterior. 
 e = AB - AF 
 
 AB = R tg  (conforme se observa na figura anterior) 
 
 Determinação de AF 
 
 2R ------ 360o 
 
AF ------  
 
 
AF
R
180o

 
  
e = R tg - 
 R
180
  
o
 
 
 Se considerarmos um ângulo central  = 1o e utilizando um raio médio de 
6.366.193m teremos: 
 AB = 111.122 m e AF = 111.111 m  erro de esfericidade = 11 m 
 
 Se fizermos os mesmos cálculos considerando um ângulo central  = 30’, teremos: 
AB = 55.556,9m e AF = 55.555,5m resultando em e = 1,4m 
 
Observação: 
 Em Topografia, o erro de 1,4m para uma distância em torno de 55 km, pode ser 
considerado insignificante. Por essa razão, em vez de corrigir o erro ocasionado pela 
esfericidade terrestre, procura-se limitar a extensão do terreno a ser levantado pelos recursos 
da Topografia a uma área correspondente à de um círculo de raio inferior a 50 km. 
Considerando esse raio, a extensão é de aproximadamente 785.398 hectares. As propriedades 
agrícolas, de modo geral , não atingem essa área. 
 
UNIDADES DE MEDIDA 
 
a) De natureza linear: 
 
 - Sistema métrico decimal (SMD): o metro e seus derivados 
 
 - Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas: 
 braça = 2,2 m 
 légua = 6600 m 
 pé = 33 cm 
 palmo = 22 cm 
 6 
b) - De natureza angular: 
 
 Sistema sexagesimal (graus, minutos e segundos) 
 Sistema centesimal (grados) 
 
 
c) - De superfície: 
 
 - Sistema métrico decimal: m
2 
 
 
Unidades agrárias: hectare, are e centiare 
 hectare (ha) = 10.000m
2
 
 are (a) = 100 m
2
 
 centiare (ca) = 1 m
2 
 
 - Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas: (SABPM) 
 
Neste sistema a unidade principal é o alqueire, que é derivado da braça e tem 
variações regionais. Utiliza-se ainda, a quarta (1/4 do alqueire), o prato (968 m
2
) e o litro 
(605 m
2
). 
 
Principais tipos de alqueire: 
 
Dimensões (braças) SABPM SMD (m
2
) Unidade Agrária (ha) 
50 x 50 20 litros 12.100 1,2100 
100 x 100 80 litros 48.400 4,8400 
50 x 75 30 litros 18.150 1,8150 
80 x 80 32 pratos 30.976 3,0976 
50 x 100 40 litros 24.200 2,4200 
200 x 200 320 litros 193.600 19,3600 
 
Obs.: O alqueire de 100 x 100 braças é denominado geométrico ou mineiro e o de 50 x 100 
braças denominado paulista. 
 
exemplos de conversão: 
fazer conversão de áreas do sistema antigo para o sistema métrico decimal e vice-versa. 
 
 
 
 7 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 03 
 
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
Introdução: 
 Os trabalhos de campo de um levantamento topográfico se baseiam, principalmente, 
na medição de ângulos e distâncias. Dependendo do equipamento e técnica empregados na 
obtenção dessas grandezas, ter-se-á um levantamento de maior ou menor precisão. Os ângulos 
medidos podem ser horizontais e de inclinação. 
 
a) - ângulos horizontais - são ângulos diedros medidos no plano horizontal, limitados por 
dois planos verticais, cuja aresta é a vertical do ponto. O ângulo 
representa uma porção do plano horizontal limitada por duas 
semi-retas (lados) que tem a mesma origem (vértice). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Obs. Os pontos A, B e C são denominados pontostopográficos. O ponto aonde se 
instala o instrumento de medição é denominado estação. 
 
 Materialização de um ponto topográfico: 
 A materialização do ponto topográfico é feita por meio de um piquete e de uma estaca, 
geralmente de madeira. O piquete, após ser cravado no terreno, deve ter sua parte superior a 
uma altura de 1 a 2 cm em relação à superfície. A estaca é utilizada para a identificação do 
ponto. Na medição do ângulo utiliza-se, ainda, uma baliza para assinalar o ponto topográfico 
sobre o piquete. 
 
materialização do ponto A: baliza 
- estacas 
- piquetes estaca piquete 
- balizas 
 seção 
 . transversal 
 do piquete 
 
  B 
 
 
 
 
 
 A  
 
 
 
  C 
 
a 
A, B, C = vértices 
A = origem do ângulo 
a = ângulo horizontal 
 8 
b) - ângulos de inclinação do terreno: 
 
 No plano vertical, os ângulos são medidos a partir de uma origem que é fixada pelo 
fabricante do instrumento. 
 
Obs: 
1) Quando a origem de contagem do ângulo é num plano horizontal, o ângulo é denominado 
vertical. Se a linha de visada for ascendente o ângulo será positivo, se for descendente, o 
ângulo será negativo. Nesse caso, o ângulo pode variar de 0 a 90
o
. 
 
2) Quando a origem de contagem corresponde à vertical do ponto o ângulo é chamado zenital. 
O ângulo é sempre positivo e varia de 0 a 180
o
. Quando se utiliza o instrumento com a 
luneta na posição invertida o ângulo zenital pode atingir até 360
o
. 
 
 
 
Conversão de ângulos zenitais para verticais: (esquematizar) 
 
V = 90
o
 - Z 0
o  Z  180o 
V = Z - 270
o
 180
o  Z  360o (luneta na posição invertida) 
 
 
 
 
Finalidades do ângulo de inclinação: 
 
O ângulo de inclinação do terreno é usado para obter a distância horizontal (dr) e para o 
cálculo dos desníveis entre pontos topográficos (dn). (esquematizar) 
 
 
 (+) 
PH 0 
1 
 
 Vertical 
 de 0 1 
 
 
 
 Z 
 
 
 
 0 
 
 9 
BÚSSOLAS 
1 - Conceito: 
 São instrumentos utilizados para determinar o ângulo horizontal formado entre o 
alinhamento do terreno e a direção do meridiano magnético. 
 Meridiano magnético é uma linha imaginária que une um ponto da superfície aos 
polos norte e sul magnéticos. 
 MM 
 
 
 
 
Constituição: 
 As bússolas são constituídas de uma agulha imantada que tem sua parte central 
repousada sobre um pivô localizado no centro de um limbo graduado. Esse conjunto vem 
acondicionado em uma caixa anti-magnética. 
 Obs.: Recomenda-se que, quando o instrumento não estiver em serviço, o movimento 
da agulha imantada seja bloqueado, evitando danificar tanto a parte central da agulha quanto 
a ponta do pivô. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por influência do magnetismo terrestre, a agulha magnética, quando se encontra na 
posição de equilíbrio, se orienta sempre na direção dos polos magnéticos. O prolongamento 
de uma linha imaginária que passa pelo eixo longitudinal da agulha imantada recebe o nome 
de meridiano magnético. 
 
N S N 
 S 
E O 
B 
 
 
pivô 
agulha 
imantada 
LIMBO 
estojo 
anti-magnético 
proteção 
transparente 
 A  
 10 
2 - Azimutes e Rumos magnéticos 
 O limbo da bússola pode vir graduado de 0 a 360
o
 ou vir dividido em quadrantes. 
Azimutes magnéticos: são ângulos horizontais que têm origem na ponta norte do meridiano 
magnético e são contados no sentido horário. Os ângulos podem variar 
de 0 a 360
o
. 
Rumos magnéticos: são, também, ângulos horizontais, porém podem ter origem tanto na 
ponta norte como na ponta sul do meridiano magnético, variando de 0 a 
90
o
. 
 
 
 AZIMUTE MAGNÉTICO RUMO MAGNÉTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A linha imaginária que passa pelos pontos N e S do limbo da bússola é chamada de 
linha de fé. A linha de visada dos pontos topográficos coincide com a linha de fé. 
 
Observação: 
 Como a agulha imantada permanece fixa na direção do meridiano magnético, quando 
se aponta a bússola para uma dada direção o elemento que gira é o limbo da mesma, 
juntamente com a luneta. Por este motivo, as graduações apresentadas nos limbos utilizados 
para registrarem azimutes são no sentido anti-horário. Pelo mesmo motivo, nas bússolas que 
têm o limbo dividido em quadrantes as posições dos pontos E e O devem estar invertidas para 
que a ponta que indica a posição do norte magnético possa indicar o quadrante em que se 
encontra o alinhamento do terreno. 
 
 Obs.: Esquematizar as inversões. 
 
 
 0 
 90 
180 
270 
N 
 0 
90 90 
 0 
 N 
E O 
 S S 
 11 
 
3) - Inversão das graduações dos limbos 
 
 Direção do Direção do 
 Norte Magnético Norte Magnético 
 
 
 B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando a figura anterior nota-se que, apesar de os rumos serem contados a partir 
da ponta norte da agulha, em sentido horário, a graduação do limbo esquematizado está no 
sentido anti-horário e os pontos cardeias E e O estão invertidos. Isto é feito para facilitar a 
leitura, por parte do operador, uma vez que a agulha fica fixa apontando a direção norte e a 
parte do instrumento que gira é o limbo juntamente com a luneta. Este mesmo artifício é 
utilizado para o caso dos azimutes. 
 
 
4) Conversão de Azimutes em Rumos: 
 
 Azimutes Rumos 
 0 a 90
o 
 Rm = Az (quadrante NE) 
 90 a 180
o
 Rm = 180
o
 - Az (quadrante SE) 
180 a 270
o 
Rm = Az - 180
o
 (quadrante SO) 
270 a 360
o
 Rm = 360
o
 - Az (quadrante NO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B 
 
N 
S 
 E 
 O 
A 
0 
180 
 
90
E 
 
22
O 
A 
90 
270 
RUMO AB 
70
o
 
 00’ NE 
AZIMUTE AB 
 70
o
 00’ 
 12 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 04 
 
BÚSSOLAS 
Medição de ângulos horizontais com bússolas 
a) Quando as bússolas estãograduadas para medir Azimutes (esquematizar) 
 a1) - A agulha da bússola fica fora dos lados do ângulo 
 a2) - A agulha da bússola fica entre os lados do ângulo 
 a3) - Pontos inacessíveis 
 
b) - Quando graduadaspara medir Rumos (esquematizar) 
 b1) - A agulha da bússola fica fora dos lados do ângulo 
 b2) - A agulha da bússola fica entre os lados do ângulo 
 b3) - Pontos inacessíveis 
 
 
Declinação Magnética 
 Como os polos geográficos, de modo geral, não coincidem com os polos magnéticos, 
há um desvio do meridiano magnético em relação ao geográfico. O ângulo compreendido 
entre esses dois meridianos é denominado declinação magnética. 
 
1)Tipos de declinação: 
 A posição do norte magnético pode estar à esquerda, à direita ou mesmo coincidir com 
a posição do norte geográfico. Dessa forma, tem-se três tipos de declinação magnética, 
exemplificados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NM NV NV NM NV=NM 
 Ocidental (do) Oriental (de) 
 ou negativa (-) ou positiva (+) Nula 
 13 
 
 Atualmente, em grande parte do território brasileiro, a direção norte, dada pela agulha 
imantada, se encontra à esquerda do norte verdadeiro, ou seja, a declinação é ocidental. Em 
Viçosa, atualmente, o valor da declinação está em torno de 23
o
 ocidental. 
 
2) Variação da declinação magnética: 
 
a) Geográficas: 
 A declinação magnética varia com a posição geográfica em que é observada. Para cada 
lugar existirá uma declinação diferente para cada época do ano. Os pontos da superfície que 
têm o mesmo valor de declinação num determinado instante, se unidos formam as linhas 
isogônicas, originando os mapas isogônicos. Os pontos da superfície que têm a mesma 
variação anual de declinação são mostrados em mapas denominados isopóricos. Os mapas 
isogônicos e isopóricos são publicados periodicamente pelos observatórios astronômicos. 
 
b) Seculares: 
 São aquelas observadas no decorrer dos séculos, em que o polo norte magnético se 
movimenta ao redor do polo norte geográfico. Já foram observadas variações de 25
o
 oriental 
até 25
o
 ocidental. 
 
 
c) Locais: 
 São perturbações ocasionadas por presença ou proximidade de algum material 
metálico, linhas de transmissão de energia, etc. 
 
Distâncias mínimas a serem observadas nas operações com bússolas: 
 - linha de alta tensão ----------> 140 m 
 - linha telefônica ----------> 40 m 
 - cerca de arame farpado -----> 10 m 
 
 
 
 
 
 
 14 
 Determinação da declinação magnética 
 
 A declinação magnética pode ser determinada por diversos métodos. Dentre eles pode-
se citar um método direto que consiste na determinação no próprio local, a partir das alturas 
correspondentes do sol e, um método indireto em que a declinação é obtida a partir dos mapas 
isogônicos e isopóricos. Esses mapas são editados periodicamente pelo Observatório 
Nacional. 
 
Obtenção da declinação magnética por meio de mapas 
 
 Exemplo: Declinação magnética de Viçosa, para o no de 2007. 
 
Dados: coordenadas de Viçosa - Latitude: 20
o 45’ S 
- Longitude: 42
o
 52’ W 
 
 ano de confecção dos mapas: 1985 
 
 Abaixo é apresentada uma figura contendo linhas isogônicas e isopóricas, aonde é 
mostrada, esquematicamente, a posição de Viçosa a partir dos valores de suas coordenadas. 
 
 5cm 
 45
o 
 40
o
 
 
 
 
 
 4,8 cm 
 
 
 
 -21o -22o - 23o 
 
 
 
linha isopórica (mesma variação anual)
 
 
 linha isogônica (mesma declinação) 
 
 
 - 6’ - 5’ - 4’ 
Interpolacão 
 
Local. da longitude 
5
o
 ----------> 5 cm 
2
o
 52’------> x 
x= 2,9 cm 
 
Local. da latitude 
5
o
 ---------->4,8 cm 
45’----------> y 
y= 0,7 cm 
 
 
 
 
 25
o 
 20
o 
 
 15 
Procedimento para determinação da declinação: 
 
a) Localização de Viçosa nos mapas a partir das coordenadas. As coordenadas de Viçosa 
estão localizadas 2,9 cm à esquerda do meridiano de 40
o 
(longitude) e 0,7 cm abaixo do 
paralelo de 20
o
 (latitude), conforme mostrado na página anterior, ao lado do mapa. 
 
b) Determinação da declinação de Viçosa, no mapa isogônico, para a época de confecção do 
mesmo. Em 1985 Viçosa tinha declinação entre -21
o
 e -22
o
. 
 Passando uma linha horizontal sobre o ponto correspondente à posição de Viçosa, 
mede-se a distância entre uma linha isogônica e a outra, neste caso, encontra-se 1,6 cm. A 
partir daí pode-se determinar o valor da declinação considerando-se o afastamento do ponto 
em relação à linha isogônica de 21
o
. 
 
 1,6 cm -------> 1
o 
 1,1 cm -------> x 
 x = 0,6875
o
 = 41’ 
 Viçosa apresentava, portanto, uma declinação magnética de -21
o
 41’ no ano de 1985. 
 
 
c) - Determinação da variação anual da declinação magnética em Viçosa. À semelhança do 
caso anterior, obtem-se, por interpolação, no mapa isopórico: 
 
 2,4cm -------> 1
’
 
 0,7cm -------> y 
 
 y = 0,29’ 
 
 Portanto, a variação anual da declinação magnética em Viçosa é 5,29'. 
 
 
d) - Determinação da variação da declinação magnética de 1985 a 2007. A variação no 
período corresponde a, aproximadamente, 116’, isto é, 5,29 minutos/ano x 22 anos. 
 
e) - Declinação magnética em Viçosa no ano de 2006 = 21
o
 41’ + 116’ = -23o 37’. O sinal 
negativo é convencional, significando que a declinação é ocidental. 
 
 
 
 
 
 
 
1,1cm é a dist. entre o 
ponto considerado e a 
linha isogônica -21
o
 
2,4 cm é a dist. entre as linhas isopóricas 
de 5’ e 6’ e 0,7 cm o afastamento do 
ponto à esquerda da linha isopórica de 5'. 
 16 
Correção de Rumos e azimutes 
RUMOS: 
Rmv = Rm + declinação magnética 
Obs.: o sinal + ou - vai depender do quadrante do rumo magnético e do tipo da declinação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos numéricos: 
a) Rm = 45
o
 NE b) Rm = 15
o
 NE 
 do = 19
 o
 do = 19
 o 
 Rv = 45
o 
- 19
o 
= 26
o
 NE Rv = 15
o 
NE- 19
o 
= -04
o
 NE = 04
o
 NO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AZIMUTES: Azv = Azm - do 
 Azv = Azm + de (fazer esquemas) 
 
Observação: O conhecimento do valor da declinação magnética local é de grande interesse, 
 principalmente nos trabalhos de locação. 
 (mostrar exemplos). 
 
 
 
 N 
 
 
 + do - do 
 - de +de 
 O E 
 - do + do 
 + de - de 
 
 
 S 
 
 
dflngldgNM NV 
 B B 
 
 NM NV 
 
 A 
 
 A 
 17 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 05 
 
Medição de Distâncias 
 
 Num levantamento topográfico, além de ângulos horizontais e de inclinação é 
necessário obter a distância que separa os pontos que caracterizam a superfície do terreno. 
Considere a figura abaixo: 
 
AB = distância natural entre os pontos A e B; 
AB’= distância horizontal ou reduzida; 
BB’= distância vertical ou diferença de nível. 
 
 Na representação planimétrica dos pontos A e B utiliza-se, apenas, a distância 
horizontal. Tanto a distância horizontal como a vertical podem ser obtidas a partir da distância 
inclinada (natural) e do ângulo de inclinação do terreno. 
 
Processos de medição de distâncias 
 
 Os processos de determinação de distâncias podem ser diretos e indiretos. 
 A) Processo direto: A distância é obtida por meio de unidades retilíneas aplicadas 
diretamente no terreno, denominadas diastímetros. Os diastímetros mais comuns são as trenas 
que podem ser de lona, aço ou fibra de vidro. 
 B) Processo indireto: Nos processos indiretos não é necessário percorrer os 
alinhamentos a serem medidos. Nesse caso, o instrumento é instalado num extremo do 
alinhamento e um complemento noutro extremo. A distância pode ser obtida por princípio 
ótico (estadimetria) ou por meio de princípio eletrônico (propagação de ondas 
eletromagnéticas). 
 
 
 
 B 
 
 
 
  
 A B’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
 
Processo direto de medição de distâncias 
 Materialização do alinhamento a ser medido: 
 Quando a distância a ser medida é maior que o comprimento da trena que se dispõe, a 
primeira providência a ser tomada é a materialização do alinhamento no terreno. O 
alinhamento a ser medido deve ser subdividido em trechos de comprimento menor ou no 
máximo igual ao comprimento da trena a ser empregada. Os extremos de cada trecho devem 
ser alinhados com auxílio de um teodolito como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 O operador posicionado em A visa uma baliza colocada em B. Em seguida prende o 
movimento horizontal. Movimentando a luneta verticalmente orienta-se o balizeiro para 
marcar o ponto a que deverá estar a uma distância inferior ao comprimento da trena utilizada. 
Procedimento idêntico deve ser feito para posicionar os pontos b e c. Em seguida, os 
comprimentos dos segmentos são avaliados separadamente. 
 
Processo de medição da distância 
 a) Medição com trena na horizontal 
 
 
 
 A  B’ 
 
 
  
 B 
Obs.: Em lugar da baliza pode-se também utilizar um fio com prumo. 
 (esquematizar a medição por parte) 
 
 
 b) Medição com a trena apoiada na superfície: 
 (esquematizar dr e dn) 
 baliza 
 Trena 
 
AB’ = dist. hor. 
 
 
 B 
 c 
 b 
 a 
 A 
 19 
Principais fontes de erro na medição com trenas 
 
a) - Erro de catenária - ocasionado pelo peso da trena. Em virtude do peso do material da 
trena, a mesma tende a formar uma curva com concavidade voltada para cima. Mede-se 
nesse caso, um arco em vez de uma corda, o que seria o correto. 
 
 
 
 
 
b) - Falta de horizontalidade da trena 
 Em terrenos com declive, a tendência do operador é segurar a trena mais próxima do 
piquete. Esta é uma das maiores fontes de erro. Nesse caso as distâncias ficam 
superestimadas. 
 
 
 
 
 
c) - Falta de verticalidade da baliza 
 O operador pode inclinar a baliza no ato da medição ocasionando erro na medição. A 
distância pode ser sub ou superestimada. 
 
 A B’ 
 
 B 
 
d) - Desvio lateral da trena 
 
 
 
e) - Erro ocasionado pela dilatação das trenas. 
 
 Comum em trenas de aço. A temperatura durante a medição pode ser diferente daquela 
de aferição da trena. 
 
flecha (f) 
 A 
 B 
correto 
incorreto 
 20 
Processo indireto de determinação de distâncias 
 
Taqueometria ou Estadimetria 
 É um processo de medição de distâncias em que os alinhamentos são medidos sem a 
necessidade de percorrê-los. Os instrumentos utilizados são denominados taqueômetros. 
Existem taqueômetros denominados normais e autoredutores. Trataremos dos taqueômetros 
normais. 
 
 
 
 
 A B 
 
Princípio de funcionamento: 
 
 
 
 
 Dos triângulos ABC, AEF, ACD E AFG, pode-se tirar as seguintes relações: 
 
AC
AF
BC
EF
e
AC
AF
CD
FG
portanto  



AC
AF
BC CD
EF FG
AC
AF
BD
EG
 
Considerando o conjunto taqueômetro e estádia ou mira, pode-se dizer: 
 
AC = distância que separa o instrumento da mira, isto é, medida a determinar = D; 
AF = distância focal = f; 
BD = distância entre os fios FS e FI na mira, denominada leitura estadimétrica = m; e 
EG = distância entre os fios do retículo no interior da luneta = h. 
 
D
f
m
h
D
mf
h
  
 
 Tanto a distância focal como a distância entre fios do retículo na luneta são constantes 
do instrumento, então a relação f / h também é uma constante. Esta constante é denominada 
 
FS 
 
FM 
 
FI 
 
 B 
 
 
 A F C 
 
 
 D 
 
 
 E 
 
 
 
 G 
 FS 
 
 
FM 
 
 
 FI 
 21 
número gerador do instrumento, representada por g. Na maioria dos instrumentos é igual a 
100. 
 
 D = m g 
 
 
Equações estadimétricas para terrenos inclinados 
 
1) Distância reduzida: 
 
 Na equação D = mg considera-se que o FM faz um ângulo reto com a mira, 
entretanto, isso não ocorre, quando o terreno é inclinado. Torna-se necessário, então, fazer 
uma correção. Considere a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
 Os fios do retículo deveriam interceptara mira em F, C e G, no entanto, a leitura é 
feita em B, C e D já que a mira fica na posição vertical. A relação entre os comprimentos FG 
e BD pode ser obtida como se segue: 
 
 FG = n 
 BD = m 
 AC = distância natural (inclinada) 
 AE = distância horizontal (reduzida) = dr 
 
 dr = AC cos  
 
 AC = ng 
 dr = ng cos 
 
 
 Como comentado anteriormente, na prática não se lê n e sim m, portanto torna-se 
necessário obter a relação entre eles. Considerando os triângulos FBC e CDG e os ângulos 
FCB e DCG iguais a , tem-se: 
 
 B 
 F 
  
 
 C 
 
  
 
 D G 
 
 E 
 
 
 22 
cos cos
cos
cos cos
 

 
 




  
FC
BC
e
CG
CD
FC CG
BC CD
FG
BD
n
m
n m
 
dr = mcos  g cos 
 
dr = m g cos
2 
 
Caso a inclinação do terreno seja representada por meio do ângulo zenital a expressão 
anterior deverá ser reescrita como abaixo: 
dr = m g sen
2
Z 
 
2) Diferença de nível: 
 
 
 
 L 
 
 
 A 
 
 FG = dn (AF) (1) 
 AG = dr = mgcos
2 (2) 
 EG = LA = i = altura do instrumento (3) 
 BD = m = leitura estadimétrica (4) 
 CF = l = leitura do FM (5) 
 
 FG = CG - CF (6) 
 CG = CE + EG (7) 
 substituindo (7) em (6) 
 FG = CE + EG - CF (8) 
 
B 
C 
D 
 E 
F 
 
G 
 
 
 23 
Pelo triângulo LCE tem-se: 
 CE = LE tg  (9) 
 LE = AG = dr = mg cos
2 (10) 
 
 substituindo (10) em (9) 
 CE = mg cos
2 tg  (11) 
 
 substituindo (11) , (3) e (5) em (8) 
 FG = mg cos
2 tg  + i - l (12) 
 sabe-se que: tg  = sen / cos (13) 
 FG = mg cos
2 sen  / cos  + i - l (14) 
 FG = mgcossen + i - l (15) 
 
 sabe-se também que sen 2 = 2 sencos ou cossen = sen2 / 2 (16) 
 FG = mgsen2 / 2 + i - l 
 
 
li
2
mgsen2
dn 
 
 
Caso a inclinação do terreno seja representada por meio do ângulo zenital a expressão 
anterior de ser reescrita como abaixo: 
 
li
2
Zmgsen2
dn 
 
 
Erros nas medições estadimétricas: 
a) Erro na leitura da mira 
 - depende da distância 
 - depende da capacidade de aumento da luneta 
 - depende da espessura dos fios do retículo 
 - depende da refração atmosférica 
 
b) Erro nas leituras de ângulos verticais. 
c) Erro devido a falta de verticalidade da mira. (esquematizar). 
dar exemplos de utilização 
das fórmulas deduzidas 
 
Observe que a expressão 
não se alterou 
 24 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 06 
 
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 
 É um conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando processos e 
instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à representação 
geométrica de uma parte da superfície terrestre. 
 Na execução de um levantamento topográfico podemos considerar três fases: 
 
a) - Reconhecimento da área: 
 Percorrer a região a ser levantada e definir os pontos que caracterizam a mesma. Os 
pontos são aqueles que definem o contorno do terreno e a posição dos acidentes naturais e 
artificiais no seu interior. 
 
b) - Levantamento da poligonal básica: 
 Consiste no levantamento dos pontos que definem as linhas divisórias da propriedade. 
Se a propriedade for muito grande, em vez de um só polígono pode-se dividi-la em dois ou 
mais polígonos. A divisão pode ser feita com base nas linhas de divisas internas tais como 
cercas, estradas, córregos etc. 
 
 
 
 B 
 A 
 
 C 
 
 
 
c) - Levantamento de detalhes: 
 Consiste em definir os acidentes naturais e artificiais existentes na área a ser levantada, 
tais como: estradas, cursos d’água, pontos que definem o relevo, benfeitorias etc. 
 
 25 
Métodos de levantamentos topográficos: 
 - Irradiação 
 - Interseção 
 - Triangulação 
 - Ordenadas 
 - Caminhamento 
 
 
Levantamento por Irradiação 
 
 
 Consiste em escolher um ponto no interior do terreno a ser levantado e a partir deste 
determinar os elementos para definir a posição dos pontos topográficos necessários à 
representação de sua superfície. Em geral as operações de campo são realizadas a partir de 
uma única instalação do instrumento. 
 A posição escolhida para instalar o instrumento deve permitir a visada de todos os 
pontos que caracterizam o perímetro e os acidentes naturais e artificiais do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As direções das linhas de visada podem ser obtidas com a bússola ou a partir da 
medição de ângulos horizontais, tomando como referência a primeira linha de visada. As 
distâncias podem ser obtidas por processo direto ou indireto. O processo indireto é indicado 
por ser mais rápido. 
 A seguir é apresentada uma caderneta de campo típica de um levantamento por 
irradiação a bússola e medição direta de distâncias, referente ao polígono anterior. 
 
 
 
 
 
sede de 
irradiação 
 
 0 1 
 
 
 
 7 A 2 
 
 
 
 
 
 
 6 
 4 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
linhas de 
visada 
 26 
Levantamento por Irradiação à Bússola 
 
CADERNETA DE CAMPO 
ESTAÇÕES 
PONTOS 
VISADOS 
RUMOS 
DISTÂNCIA 
(m) 
OBSERVAÇÕES 
 0 
 1 
 2 
A 3 
 4 
 5 
 6 
 7 
 
 
Observações: 
 - Empregado, de modo geral, como auxiliar do caminhamento, para levantamento de 
detalhes. 
 - Empregado para levantamento de áreas pequenas e descampadas; 
 
 Em se tratando de áreas maiores ou irregulares quanto ao contorno, pode-se empregar 
este método de levantamento utilizando mais de uma sede de irradiação. As sedes deverão ser 
interligadas por meio da medição de ângulos e distâncias, como esquematizado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x x 
 
 x x 
 
 x 
 A B x 
 x 
 
 x 
 x x 
 
 x 
 27 
Levantamento por Interseção 
 
 Neste método os pontos topográficos são definidos pelas interseções dos lados de 
ângulos horizontais medidos das extremidades de uma base estabelecidano terreno. 
 A única distância a ser medida neste método é aquela correspondente ao comprimento 
da base, geralmente obtida com uma trena. 
 P1 P2 
 
 
 
 A B 
 
 As distâncias entre as extremidades da base e os pontos topográficos podem ser 
determinadas por processo gráfico ou trigonométrico. 
 
 Processo gráfico: 
 É necessário fazer o desenho numa determinada escala. (utilizar dados do esquema 
anterior). 
 Exemplo: 
 Escala do desenho = 1:1000 1,0cm do desenho = 10m do terreno 
 AB = 50,00 m 
 A-P1 = 4 cm 
 B-P1 = 7,6 cm 
 d(A-P1) = 4cm x 1000 = 40,00 m 
 d(B-P1) = 7,6 x 1000 = 76,00 m 
 
 Processo trigonométrico: 
 
 Neste caso as distâncias são determinadas por meio de equações trigonométricas, 
segundo a lei dos senos. 
Exemplo: 
 
 
 
 28 
Determinação das distâncias da extremidade da base ao ponto P2: 
 
 P2 
 
 
 
 A B 
AB = 50,00 m 
a = 40
o 
b = 85
o 
c = 180
o 
- (a + b) 
 AB
c
AP
b
AP
AB b
a b
AP
o
o
o o osen sen
sen
sen[ ( )]
, sen
sen ( )
  
 
 
 
2
2 2
180
50 00 85
180 40 85
 
AP2 = 60,81 m 
 
Observações: 
 O processo de interseção é empregado como auxiliar do caminhamento para 
levantamento de pontos de difícil acesso ou muito distantes. 
 
 
 
Levantamento por Triangulação 
 É um tipo de levantamento semelhante ao de interseção. Além dos ângulos da base é 
medido também o ângulo na interseção das duas visadas. Isto permite controlar o erro 
angular. B 
 
 
 
 A 
 
 
 
 
a b 
 c 
Consiste em dividir a área 
a ser levantada numa rede 
de triângulos 
 29 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 07 
 
Levantamento por Ordenadas 
 Neste método a posição do ponto topográfico é definida pela medição de suas 
respectivas coordenadas retangulares. As distâncias geralmente são obtidas com trenas. 
 
Ao longo do alinhamento 0-3 são medidas uma abscissa e uma ordenada para 
posicionar cada ponto do contorno. Por exemplo: o ponto 6 é definido pela abscissa x e 
ordenada y obtidas com uma trena. 
 Este tipo de levantamento é também empregado como um método auxiliar do 
levantamento por caminhamento para definir detalhes sinuosos das linhas divisórias como 
cursos d’água, por exemplo. 
 
LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO 
 
 Consiste numa medição sucessiva de ângulos e distâncias descrevendo uma poligonal 
fechada. Os vértices e os lados da poligonal são utilizados para levantamentos dos acidentes 
topográficos que existem em suas imediações pelo emprego dos processos auxiliares. 
 O método de levantamento por caminhamento é caracterizado pela natureza dos 
ângulos que se mede, daí classificar-se em: 
 - Caminhamento à bússola; 
 - Caminhamento pelos ângulos de deflexões. 
 - Caminhamento pelos ângulos horários; 
 
 2 
 1 
 
 
 
 
 
0 x A B C D E 3 
 
 
 y 
 
 5 
 6 
 4 
 
 
Esquematizar as medições de 
cada ponto (distâncias). 
As distâncias são anotadas no 
“croquis” de campo 
 30 
CAMINHAMENTO PELOS ÂNGULOS HORÁRIOS 
 
 
Ângulos horários são ângulos horizontais medidos sempre no sentido horário. 
Dependendo do sentido do caminhamento, os ângulos medidos podem ser internos ou 
externos. 
 Hoje, a maioria dos softwares topográficos tais como: GRAU MAIOR, 
DATAGEOSIS, TOPOGRAF, TOPTEC, TOPOEVN, etc. traz em seus menus de entrada de 
dados a opção para ângulos horários. 
 
 Obs.: Quando o caminhamento é feito no sentido horário, os ângulos horizontais 
medidos são externos. 
 
 
 
 
Quando o caminhamento é feito no sentido anti horário os ângulos horizontais 
medidos são chamados ângulos internos. 
 
 
 
 
s
e
n
ti
d
o
 d
o
 c
a
m
in
h a
m
e n
to
s
e
n
t
id
o
 
d
o
 
c
a
m
in
h
a
m
e n
t o
0
4
3
2
1
0
4
3
2
1
 31 
 
 
 
 
 
Fórmula para o cálculo dos azimutes 
 
Azimute calculado = azimute anterior + ângulo horário 
 < 180º => +180º 
 > 180º < 540º => -180º 
 > 540º => -540º 
 
Observação: 
 O azimute do alinhamento 0-1 é medido no limbo horizontal do teodolito 
devidamente orientado 
 
Caderneta de campo 
ESTACA 
VISADAS ÂNGULO AZIMUTE 
RÉ VANTE HORÁRIO LIDO CALC. OBS 
0 5 1 267º 40’ 145º 00’ 145º 10’ 
1 0 2 116º 00’ 81º 00’ 
2 1 3 295º 00’ 196º 00’ 
3 2 4 263º 30’ 279º 30’ 
3 2 A 310º 45’ 326º 45’ CASA 
4 3 5 227º 30’ 327º 00’ 
5 4 0 270º 30’ 57º 30’ 
 
Azimute calculado 1-2 = azimute anterior 145º 00’ + ângulo horário 
Azimute calculado 1-2= 145º 00’+ 116º = 261º 00’ – 180º = 81º 00’ 
Azimute calculado 2-3 = 81º 00’+ 295º 00’= 376º 00’- 180º = 196º 00’ 
Azimute calculado 3-4 = 196º 00’+ 263º 30’ = 459º 30’ – 180º =279º 30’ 
Azimute calculado 3-A = 196º 00’+ 310º 45’ = 506º 45’ – 180º = 326º 45’ 
Azimute calculado 4-5 = 279º 30’ + 227º 30’ = 507º 00’ – 180º = 327º 00’ 
Azimute calculado 5-0 = 327º 00’ + 270º 30’ = 597º 30’ – 540º = 57º 30’ 
Azimute calculado 0-1 = 57º 30’ + 267º 40’ = 324º 70’ = 325º 10’ – 180º = 145º 10’ 
0
1 2
3
4
5
a
NM
Azimute de 0-1 = 145º 00’ 
 32 
Verificação do erro angular 
 
Soma dos ângulos externos de um polígono (ae) = 180(n+2) n=nº de lados 
ae = 180(6+2) 
ae = 1440º 00’ 
 
 Somando os ângulos externos do polígono em estudo, excluindo aqueles 
correspondentes às irradiações teremos 1440º 10’. 
 
Erro angular de fechamento do polígono = 0º 10’. 
 
Observação: O erro angular obtido deve coincidir com a diferença entre o primeiro azimute 
lido e o calculado (alinhamento 0-1). Isto indica que os cálculos dos azimutes 
estão corretos. Em caso contrário, deve-se refazer os cálculos. 
 
 
Tolerância do erro angular 
 
T= 5’ n n é o nº de lados do polígono. 
 
T= 5’ 6  12’ 
 
Erro angular = 10’ 
Tolerância = 12’  neste caso, o erro angular de fechamento é permitido. 
 
Correção do erro angular de fechamento 
 
O erro angular de fechamento do polígono, igual a 10’, deverá ser distribuídos nos 
últimos lados. Isto é, 2’ para cada um dos quatro últimos lados e 2’ no primeiro lado. 
A correção é cumulativa, sendo somada ou subtraída de acordo com os azimutes lido e 
calculado do alinhamento 0-1 
Obs: Não se corrige os azimutes dos pontos levantados por processos auxiliares 
 
 
Correção do erro angular de fechamento 
 
ESTACAS 
AZIMUTE AZIMUTE 
LIDO CALCULADO CORRIGIDO OBS0-1 145º 00’ 145º 10’ 145º 00’ 
1-2 81º 00’ 81º 00’ 
2-3 196º 00’ 195º 58’ 
3-4 279º 30’ 279º 26’ 
3-A 326º 45’ 326º 45’ CASA 
4-5 327º 00’ 326º 54’ 
5-0 57º 30’ 57º 22’ 
 
Se o caminhamento fosse no sentido anti-horário, o procedimento seria o mesmo, porém os 
ângulos medidos no campo, seriam ângulos internos do polígono. 
 
 33 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 08 
 
 
Caminhamento pelos Ângulos de Deflexões 
 
 Deflexão: é o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior à estação 
do instrumento e o alinhamento seguinte. O ângulo de deflexão varia de 0 a 180
o
 à direita ou à 
esquerda do prolongamento do alinhamento. 
 
 
 1 D 
 
 0 2 E 
 
 Operações para medição do ângulo: 
Exemplo: deflexão do alinhamento 1-2 
1) - Centralizar, nivelar e zerar o teodolito na estação 1; 
2) - Inverter a luneta e visar a estação à ré (0); 
3) - Voltar a luneta à posição normal; 
4) - Soltar o movimento do limbo e visar a vante (2); 
5) - Ler o ângulo de deflexão no limbo horizontal do instrumento. 
 
Controle de medição angular 
 - O levantamento por caminhamento permite o controle de medição angular quando o 
teodolito é dotado de bússola. 
 - Pode-se calcular o rumo ou azimute de um alinhamento a partir da deflexão do 
mesmo e do rumo ou azimute do alinhamento anterior. O ângulo calculado é 
comparado com aquele lido no limbo da bússola. Caso a diferença entre 
eles seja significativa, as medições devem ser repetidas. 
 
 1)Caso de bússola graduada para medição de rumos: 
 
 Rumo calculado = Rumo anterior ± deflexão 
 
 
 34 
Exemplos: 
a) Rumo anterior pertencente ao quadrante NE 
 NM C 
 NM NM N M 
 
 B B 
 A A 
 C 
 
Rumo calc. BC = Rumo ant. + D Rumo calc. BC = Rumo ant. - E 
 
b) Rumo pertencente ao quadrante SE (esquematizar) 
 Rumo calc. = Rumo ant. - D 
 Rumo calc. = Rumo ant. + E 
 
c) Rumo pertencente ao quadrante SO (esquematizar) 
 Rumo calc. = Rumo ant. + D 
 Rumo calc. = Rumo ant. - E 
 
d) Rumo pertencente ao quadrante NO (esquematizar) 
 Rumo calc. = Rumo ant. - D 
 Rumo calc. = Rumo ant. + E 
 
 Como exemplificado, o sinal + ou - da deflexão depende do quadrante do rumo 
anterior. Isto pode ser memorizado conforme convenção abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Bússola graduada para medição de azimutes: 
 Azimute calculado = Azimute anterior + D ou 
 Azimute calculado = azimute anterior - E 
 
 
D 
E 
 N 
 
 -D +D 
 +E -E 
 O E 
 +D -D 
 -E +E 
 
 S 
 35 
 
Verificação do erro angular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 A verificação do erro angular é feita com base nas estações da poligonal básica. Dessa 
forma, os pontos levantados por processos auxiliares não são incluídos. 
Considerando o polígono anterior pode-se escrever: 
 
D1 + i1 = 180º I1 - E1 = 180º 
D2 + i2 = 180º I2 - E2 = 180º 
D3 + i3 = 180º In - En = 180º 
D4 + i4 = 180º ---------------------- 
D5 + i5 = 180º I - E = n 180º 
D6 + i6 = 180º 
Dm + im = 180º 
------------------------ 
D + i = m 180º 
 
D + i + I - E = n 180º + m 180º 
D + i + I - E = (n + m )180º 
i + I = soma dos ângulos internos do polígono 
i + I = 180º (l-2) 
n + m = número de lados do polígono 
n + m = l 
 D5 
 D1 
 
 
 i1 
 D6 
 i6 
 
 
 E1 
 I1 
 
 D2 
 i2 
 
 
i3 
 D3 
 
 I2 
 
 E2 
 
 i4 
 
 D4 
 
i5 
 36 
D + 180º (l-2) - E = 180º l 
D + 180º l - 360º -E = 180º l 
 
 Σ D - Σ E = 360º 
 
Considerando a caderneta de campo anterior temos: 
Σ D = 76º 10’ + 108º 30’ + 92º 10’ + 34º 00’ + 111º 04’ = 421º 54’ 
Σ E = 62º 05’ 
Σ D - Σ E = 421º 54’ - 62º 05’ = 359º 49’ 
erro angular = 360º 00’ - 359º 49’ = 11’ 
Tolerância l  5 5 6 12' ' '
 
Conclusão: o erro angular cometido durante as operações de campo é permitido. Nesse caso o 
erro deve ser distribuído para dar sequência ao trabalho de escritório. 
 
Observação: 
 O erro angular obtido no levantamento deve coincidir com a diferença entre o 
primeiro rumo lido e o calculado. Caso contrário há erro no cálculo dos rumos. 
 
Caminhamento a Bússola 
 Nesse método de levantamento, os alinhamentos da poligonal básica são definidos por 
meio de rumos ou azimutes, além das distâncias. Para locais sujeitos a interferências 
magnéticas o presente método não é indicado, tornando-se de baixíssima precisão, pois não 
permite identificar erro angular de fechamento da poligonal básica. 
 
Controle de medição angular 
 O controle consiste em comparar a leitura de dois ângulos lidos no limbo da bússola, 
nas extremidades do alinhamento. 
 
a) - Bússolas graduadas para rumos: 
 NM NM 
 
 B 
 A 
 
 Rumo a-b = 60º NE ---------> Rumo b-a = 60º SO 
60º NE 
 60º SO 
os rumos deverão ter o 
mesmo valor numérico 
porém em quadrantes 
diametralmente opostos 
 37 
 
b) - Bússolas graduadas para medição de azimutes: 
 NM NM 
 
 
 62º 242º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o valor do azimute de ré 
deve diferir de 180º em 
relação àquele lido na 
primeira estação 
 38 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 09 
 
 
Operações topográficas de escritório 
 
1 - Verificação do erro angular (comentado anteriormente) 
 
2 - Distribuição do erro angular (comentado anteriormente) 
 
3 - Preparo de Cadernetas: 
 Para a confecção da planta é necessário obter a distância horizontal dos alinhamentos 
medidos no campo que juntamente com a direção dos mesmos permitirá a representação 
planimétrica do terreno. A distância horizontal ou reduzida é calculada pela fórmula: 
dr = mg cos
2 (no caso de medição estadimétrica). A direção corresponde aos rumos ou 
azimutes corrigidos conforme mostrado anteriormente. 
 A parte altimétrica da planta é representada a partirdas diferenção de nível que 
podem ser obtidas por meio da fórmula: dn = mgsen2/2 + i - l . A partir das dn obtém-se as 
cotas ou altitudes que possibilitarão a representação do relevo. 
 
EXEMPLO: 
Caminhamento por Ângulos Horários 
CADERNETA DE CAMPO 
EST AZIMUTES LEITURA DE MIRA ALT. ANG. OBS 
CALC. FI FM FS INSTR. VERT. 
0-1 109º 50’ 1,200 1,500 1,800 1,540 +3º 30’ 
1-a 200º 20’ 1,300 1,540 1,780 1,600 +2º 10’ casa 
1-2 69º 15’ 1,300 1,705 2,110 1,600 +6º 23’ 
2-b 205º 00’ 1,310 1,620 1,930 1,600 +3º 10’ poste 
2-3 161º 20’ 1,240 1,667 2,094 1,600 +4º 00’ 
3-4 211º 20’ 1,300 1,672 2,044 1,650 -4º 40’ 
4-5 277
o
 25’ 1,000 1,575 2,150 1,620 -3º 00’ 
4-c 338º 40’ 1,280 1,540 1,800 1,620 +1º 00’ casa 
5-0 357º 00’ 1,000 1,605 2,210 1,540 -2º 55’ 
 
 dr = mg cos
2 
dr = distância reduzida (m) 
m = leitura estadimétrica = FS - FI 
g = constante do teodolito = 100 
 = ângulo de inclinação da luneta 
 39 
 
 dn = mgsen2/2 + i - l 
 
dn = diferença de nível 
i = altura do instrumento 
l = leitura do fio médio 
 
dr(0-1) = (1,80 - 1,20) . 100 . (cos 3
o 30’)2 = 59,78 m 
dn(0-1) = (1,80 - 1,20) . 100 . [sen (2 . 3
o 30’)]/2 + 1,54 - 1,50 = 3,70 
 
 O cálculo das cotas do terreno é feito a partir de um valor de cota arbitrário para o 
ponto 0. A escolha do valor inicial deve ser feita de modo que ao calcular as demais cotas os 
valores obtidos sejam positivos. 
 
COTA 1 = COTA 0 + DIF. NÍVEL 
COTA 1 = 20,00 + 3,70 = 23,70 
 
Caderneta de Escritório 
EST 
AZIMUTES DIST. DIF. NÍVEL 
COTAS 
COTAS 
OBS. 
valor 
CALC. RED. + - CORR.* corrigido 
 0-1 109º 50’ 59,78 3,70 23,70 23,67 Cota 0 = 20,00 -0,03 
1-a 200º 20’ 47,93 1,87 25,57 25,54 casa -0,03 
1-2 69º 15’ 80,00 8,84 32,54 32,48 -0,06 
2-b 205º 00’ 61,81 3,40 35,94 35,88 poste -0,06 
2-3 161º 20’ 84,98 5,88 38,42 38,33 -0,09 
3-4 201º 20’ 73,91 6,06 32,36 32,24 -0,12 
4-5 277
o
 25’ 114,69 5,97 26,39 26,24 -0,15 
4-c 338º 40’ 51,98 0,99 33,35 33,23 casa -0,12 
5-0 357º 00’ 120,69 6,21 20,18 20,00 -0,18 
 
 *As cotas corrigidas são obtidas após a distribuição do erro altimétrico cometido no 
levantamento. 
 
Erro altimétrico: 
 A soma algébrica das diferenças de nível dos pontos da poligonal básica deve ser 
igual a zero. Caso contrário, há erro que é denominado erro altimétrico. Esse erro pode, 
também, ser obtido comparando-se o valor estipulado para a cota do ponto 0, no início dos 
cálculos, com a cota calculada para o ponto 0 no fechamento do polígono. 
 40 
 No exemplo anterior observa-se : 
 erro altimétrico = 20,18 - 20,00 = 0,18 m 
Tolerância: 
 
T
d
n

500 1
 
 T = tolerância (m); 
 d = perímetro da poligonal base (m); e d = 534,05m 
 n = n
o
 de lados da poligonal base. n = 6 -----> T = 0,48m 
 
 O erro altimétrico deve ser distribuído nos vértices do polígono. A correção é 
cumulativa e é efetuada a partir do vértice 1. Nesse exemplo, como temos 6 vértices, pode-se 
distribuir 0,18m nos 6 vértices, isto é 0,03 m em cada um. Como a cota calculada do ponto 
zero (20,18) foi superior ao valor arbitrado no início dos cálculos (20,00), a correção deve ser 
negativa. Nas irradiações corrige-se o mesmo valor correspondente ao da estação em que foi 
visado o ponto. Por exemplo, no ponto a, a correção a ser feita é 0,03m, isto é, igual àquela 
que foi feita para a estação 1. (ver caderneta anterior) 
 A fase seguinte ao preparo da caderneta de escritório é a execução do desenho do 
terreno levantado topograficamente. 
 
 
Confecção da planta 
Desenho topográfico: 
 É a reprodução geométrica dos dados de campo, em projeção horizontal, no plano do 
papel. 
Tipos de desenho: Planimétrico ---------> planta planimétrica 
 Altimétrico ------------> desenho do perfil 
 Plani-altimétrico -----> planta topográfica 
 
Processos de execução do desenho: 
 Coordenadas Polares - Há transferência de ângulos e de distâncias para o papel. 
 Coordenadas Retangulares - Transferência de distâncias apenas. As distâncias 
correspondem às projeções do alinhamento num sistema de eixos coordenados. 
 
 
 
 41 
Coordenadas Polares 
 Transferência de ângulos - transferidores comuns, tecnígrafo. 
 Transferência de distâncias - é feita por meio de réguas comuns ou escalímetros. 
Quando se utiliza réguas comuns, torna-se necessário reduzir as distâncias conforme a escala 
do desenho. 
 Escalas: 
 * numéricas ---------> notação: 1 : n ou 1/n 
 exemplo ------------> 1 : 500 . Cada 0,2 cm no desenho corresponde a uma medida 
 real de 1m 
 * gráficas : (será visto em seguida) 
 
Fases de execução do desenho: 
Rascunho (papel opaco) 
Original (papel vegetal) 
Cópias 
 
(Fazer o desenho correspondente à caderneta de escritório preparada anteriormente) 
 
A distância 0'-0 da figura abaixo representa o erro gráfico de fechamento do polígono 
 
 0 2 
 0’ 
 
 1 
 
 
 
 3 
 
 
 5 
 
 6 
 
 
 42 
 
Erro gráfico de fechamento 
 Ocasionado pelo desvio da extremidade do último alinhamento transferido em relação 
ao ponto de partida. 
Correção do erro: 
a - identificação do sentido do erro, unindo 0’ a 0); 
b - traçar paralelas ao sentido do erro em cada vértice do polígono; 
b - distribuir o erro nos últimos lados do polígono. A correção é acumulada; 
c - deslocar os vértices paralelamente ao sentido do erro; e 
d - unir os novos vértices 
 
 Após a correção do erro gráfico de fechamento são representados os pontos 
levantados por processos auxiliares. 
 A fase seguinte corresponde à representação do relevo. O relevo normalmente é 
representado por meio de curvas de nível. 
 
Traçado de Curvas de Nível 
 Curva de nível: é uma linha que une os pontos de mesma cota ou altitude. 
 Traçado das curvas: Inicialmente são obtidos os pontos de passagem das curvas com 
cotas inteiras. 
 Processos: - Interpolação 
 - A partir do desenho do perfil 
 Para obter os pontos de passagem das curvas é necessário definir o espaçamento 
vertical (EV) a ser utilizado. EV corresponde à diferença de nível entre duas curvas de nível 
consecutivas. O EV depende da finalidade da planta. Para fixar o EV pode-se tomar como 
base a escala do desenho. A interpolação é realizada em uma planta aonde estão 
representados os pontos cotados. 
 
 Exemplo: 
 Fazer o traçado das curvas de nível na planta a seguir, confeccionada na escala 
1:1000. Utilizar espaçamento vertical de 1m. 
 
alinhamento 0-1 
distância gráfica 0-1 = 6,0cm (medida na planta) 
diferença de nível = 23,67 - 20,00 = 3,67m 
 43 
 
 Obtenção da distância horizontal entre curvas no alinhamento 0-1 
3,67m -----------------> 6,00cm 
1,00m -----------------> x x = 1,63 cm 
 
As curvas de nível com espaçamento de 1m estarão distanciadas de 1,63cm, considerando o 
alinhamento 0-1.2 (32,48) 
 
0 (20,00) 
 
 
 
 1 (23,67) 
 
 
 
 
 
 
 
 * b (35,88) 
 
 
 
 * a (25,54) 
 
 3 (38,33) 
 * c (33,23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 (26,24) 
 
 
 4 (32,24) 
 
 alinhamento 1-2 
8,81m ------------------> 8,00cm 
1,00m ------------------> y y = 0,91 cm 
 O valor 0,91cm corresponde a distância horizontal para 1m de EV. No entanto, a 
primeira curva que intercepta o alinhamento 1-2 é a de cota 24 m que tem um desnível de 
 44 
0,33 m em relação ao ponto 1, nesse caso é necessário calcular a distância horizontal para 
esse desnível. 
 1,00m ------------------> 0,91cm 
 0,33m ------------------> z z = 0,30 cm 
 A distância horizontal entre o ponto com cota 24,00 e o ponto 1 (23,67) será 0,30 cm. 
As cotas inteiras seguintes estarão distanciadas de 0,91 cm. 
 Observa-se, no alinhamento 1-2, que o espaçamento entre curvas é menor, 
consequentemente, esse alinhamento apresenta inclinação mais acentuada. 
 Cálculos semelhantes deverão ser feitos para os demais alinhamentos do polígono. 
Deve-se considerar, também, alinhamentos internos para auxiliar no traçado das curvas. 
 
 
 
Acabamento da Planta 
 Escala Gráfica 
 A escala gráfica corresponde ao desenho de uma escala numérica. A presença da 
escala gráfica é importante principalmente quando se pretende fazer cópias ampliadas ou 
reduzidas da planta. Nesse caso a escala numérica perde a sua função. 
 A escala gráfica vem apresentada logo abaixo da planta. 
 Construção da escala gráfica: 
* Componentes: 
 Título - é a escala numérica que vai dar origem à escala gráfica 
 Divisão principal - é a maior graduação da escala (escolhida pelo desenhista) 
 Talão - é a divisão que fornecerá a precisão da escala. 
 
Exemplo de construção: 
Título -----------------> 1 : 1000 
Divisão principal ---> 20m 
 
 |<---2cm----->| 
 20 0 20 40 60 80m 
 
 Orientação Magnética 
 Apresentada no canto superior esquerdo da planta. Às vezes vem acompanhada do 
meridiano geográfico. 
 45 
 
Convenções Topográficas 
 São símbolos representativos dos acidentes naturais e artificiais contidos na planta. 
Vêm listados num quadro localizado, geralmente, no canto inferior esquerdo. 
 A planta deve apresentar, também, nomes dos proprietários confinantes. 
 Legenda 
 - Identificação da propriedade 
 - Proprietário 
 - Localização 
 - Escalas 
 - Área da propriedade 
- Responsável técnico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 10 
 
 
COORDENADAS RETANGULARES 
 
 Na execução do desenho por meio de coordenadas retangulares transfere-se, para o 
papel, apenas distâncias. As distâncias a serem transferidas correspondem às projeções do 
alinhamento num sistema de eixos coordenados originando as abscissas e ordenadas que são 
as coordenadas plano-retangulares de cada ponto definido no campo. 
 
 Cálculo do caminhamento 
 Consiste em transformar coordenadas polares em coordenadas retangulares. 
 
 MM Y 
 b 
  
 a xb X 
 
 coordenadas polares coordenadas retangulares 
 
sen  = x / d x = d sen  = rumo ou azimute calculado 
 d = distância reduzida 
cos  = y / d y = d cos x = abscissa 
 y = ordenada 
Observação: 
 Quando se utiliza rumos os sinais das abscissas e ordenadas dependem do quadrante 
do rumo, como mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
  
d 
 yb 
 N 
 
 x - x + 
 y + y + 
 O E 
 x - x + 
 y - y - 
 
 S 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 alinhamento 0-1 
 rumo = 50º 20’ SE 
 distância = 90,00 m 
 
 x1 = 90,00 sen 50º 20’ = 69,28m 
 y1 = 90,00 cos 50º 20’ = -57,45m 
 47 
 Quando se utiliza azimutes, os sinais das coordenadas são dados diretamente nas 
operações de cálculo. 
Exemplo: 
 alinhamento a-b 
 azimute = 140º 30’ 
 distância = 80,00m 
 xb = 80,00 sen 140º 30’ = 50,89m 
 yb = 80,00 cos 140º 30’ = - 61,73m 
 
Observação: 
 As coordenadas obtidas são denominadas coordenadas relativas calculadas. Os 
valores encontrados podem conter erros resultantes do levantamento. 
 
 
 Erro linear de fechamento (e) 
 A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono regular sobre dois eixos 
retangulares deve ser nula, caso contrário, há erro de fechamento do polígono. 
 
 
 
 
 ey 
 ex 
 
 
 
 
 
 
 O erro linear de fechamento é representado pela hipotenusa de um triângulo retângulo 
que tem como catetos o erro das abscissas e o erro das ordenadas relativas. 
 
 e
2 
 = ex
2
 + ey
2
 
 e = e ex y
2 2
 
 
 Tolerância: 
 
 
T t K 
 T = tolerância (m) 
 t = precisão do levantamento (depende de exigências cadastrais) 
 varia de 0,2 a 2,0 m 
 K = perímetro do polígono (km) 
ex = soma algébrica das abscissas 
 
ey = soma algébrica das ordenadas 
 
 48 
EXEMPLO DE CÁLCULO DE COORDENADAS RETANGULARES 
 
 Na planilha abaixo estão representados os dados obtidos a partir de um levantamento 
topográfico de um polígono com 6 lados e três pontos internos. 
 
EST 
AZIMUTES DISTÂNCIAS 
CALCULADOS REDUZIDAS 
0-1 109º 50’ 59,78 
1-2 69º 15’ 80,00 
1-a 200º 20’ 47,93 
2-3 161º 20’ 84,98 
2-b 205º 00’ 61,81 
3-4 211º 20’ 73,91 
4-c 338º 40’ 51,98 
4-5 277º 25’ 114,69 
5-0 357º 00’ 120,69 
 
 
Cálculo das coordenadas relativas 
x1 = 59,78 sen 109º 50’ = 56,23 
y1 = 59,78 cos 109º 50’ = - 20,28 
 
x2 = 80,00 sen 69º 15’ = 74,81 
y2 = 80,00 cos 69º 15’ = 28,34 
 
Determinação do erro linear de fechamento: 
Erro das abscissas -----> ex = - 0,24m 
Erro das ordenadas ----> ey = - 0,26mErro linear 
 e = e ex y
2 2
 
22 )26,0((-0,24)=e 
 = 0,35m 
T t K
 
 0,5340501T m,
 T = 0,73m 
 
 Nesse caso, o erro é menor que a tolerância, portanto, deve ser corrigido. A correção 
do erro linear é feita por meio de coeficientes de proporcionalidade obtidos a partir dos erros 
das abscissas e das ordenadas relacionados ao perímetro do polígono ou à soma dos módulos 
das coordenadas. 
 
 Método do Coeficiente de Proporcionalidade relacionado ao perímetro: 
 Consiste em distribuir os erros das abscissas e das ordenadas proporcionalmente ao 
tamanho dos lados da poligonal base. Os lados maiores estarão sujeitos às correções maiores. 
 
Os valores das coordenadas dos outros pontos 
encontram-se na planilha a seguir 
 49 
 Coeficiente para correção das abscissas (Cx) 
 Cx = ex / d d = perímetro (m) 
 Coeficiente para correção das ordenadas (Cy) 
 Cy = ey / d 
 
 A correção a ser feita em cada vértice é igual ao coeficiente de correção das abscissas 
ou das ordenadas multiplicado pela distância de cada alinhamento. 
 Obs.: Recomenda-se utilizar o máximo de dígitos do coeficiente ao fazer essa 
multiplicação deixando as aproximações para quando apresentar o resultado. 
 
Considerando os dados anteriores temos: 
 Cx = - 0,24m / 534,05m = - 0,0004494 
 Cy = - 0,26m / 534,05m = - 0,0004868 
 
Correção do erro linear: 
 Abscissa corrigida = abscissa calculada – distância . Cx 
 Ordenada corrigida = ordenada calculada – distância . Cy 
 Abscissas corrigidas: 
X1 = 56,23 - [ 59,78 (-0,0004494)] = 56,26 
X2 = 74,81 - [ 80,00 (-0,0004494)] = 74,85 
X3 = 27,20 - [ 84,98 (-0,0004494)] = 27,24 
X4 = -38,43 - [ 73,91 (-0,0004494)] = -38,40 
X5 = -113,73 - [114,69 (-0,0004494)] = -113,68 
Xo = - 6,32 - [120,69 (-0,0004494)] = - 6,27 
 
 Ordenadas Corrigidas: 
Y1 = -20,28 – [ 59,78 (- 0004868)] = -20,25 
Y2 = 28,34 – [ 80,00 (- 0004868)] = 28,38 
Y3 = -80,51 – [ 84,98 (- 0004868)] = -80,47 
Y4 = -63,13 – [ 73,91 (- 0004868)] = -63,09 
Y5 = 14,80 – [114,69 (- 0004868)] = 14,85 
Yo = 120,52 - [120,49 (- 0004868)] = 120,58 
 
 Os pontos levantados por processos auxiliares, como é o caso dos pontos a, b e c, não 
devem ser submetidos à correção do erro linear. 
 A partir das coordenadas corrigidas é feito o cálculo das abscissas e ordenadas 
absolutas que serão utilizadas para a confecção da planta. As coordenadas absolutas serão 
obtidas acumulando-se a partir de um valor inicial arbitrário as coordenadas corrigidas. 
 
 
 50 
PLANILHA DE COORDENADAS RETANGULARES 
 
EST 
AZIMUT
ES 
DIST. ABSC. RELATIVA ORD. RELATIVA ABSCISSA ORDENADA 
CALC. RED. CALC. CORRIG. CALC. CORRIG. ABSOLUTA ABSOLUTA 
0 200,00 200,00 
1 109º 50’ 59,78 56,23 56,26 -20,28 -20,25 256,26 179,75 
2 69º 15’ 80,00 74,81 74,85 28,34 28,38 331,11 208,13 
3 161º 20’ 84,98 27,20 27,24 -80,51 -80,47 358,35 127,66 
4 211º 20’ 
SO 
73,91 -38,43 -38,40 -63,13 -63,09 319,95 64,57 
5 277º 25’ 114,69 -113,73 -113,68 14,80 14,85 206,27 79,42 
0 357º 00’ 120,69 -6,32 -6,27 120,52 120,58 200,00 200,00 
 SOMA 534,05 -0,24 0,00 -0,26 0,00 
 
1-a 200º 20’ 47,93 -16,65 -44,94 239,61 134,81 
2-b 205º 00’ 61,81 -26,12 -56,01 304,99 152,12 
4-c 338º 40’ 51,98 -18,91 48,42 301,04 112,99 
 
 
 DESENHO 
 
220 
 
 
200 
 
 
180 
 
 
160 
 
 
140 
 
 
120 
 
 
100 
 
 
80 
 
 
60 
 
 
40 
 
 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 
 
 
 51 
Método do Coeficiente de Proporcionalidade relacionado à soma das coordenadas: 
 
 Coeficiente para correção das abscissas (Cx) 
 Cx = ex / Sx Sx = Soma dos módulos das abscissas (m) 
 Coeficiente para correção das ordenadas (Cy) 
 Cy = ey / Sy Sy = Soma dos módulos das ordenadas (m) 
 
 A correção a ser feita em cada vértice é igual ao coeficiente de correção das abscissas 
ou das ordenadas multiplicado pelo valor do módulo de cada uma dessas coordenadas. 
 
Considerando os dados anteriores temos: 
 Cx = - 0,24m / 316,72m = - 0,0007577671 
 Cy = - 0,26m / 327,58m = - 0,0007936992 
 
Correção do erro linear: 
 Abscissa corrigida = abscissa calculada – (|abscissa calculada| . Cx) 
 Ordenada corrigida = ordenada calculada – (|ordenada calculada| . Cy) 
 Abscissas corrigidas: 
X1 = 56,23 - [ |56,23| (-0,0007577671)] = 56,27 
X2 = 74,81 - [ |74,81| (-0,0007577671)] = 74,87 
X3 = 27,20 - [ |27,20| (-0,0007577671)] = 27,22 
X4 = -38,43 - [ |-38,43| (-0,0007577671)] = -38,40 
X5 = -113,73 - [ |-113,73| (-0,0007577671)] = -113,64 
Xo = - 6,32 - [ |-6,32| (-0,0007577671)] = - 6,32 
 
 Ordenadas Corrigidas: 
Y1 = -20,28 - [ |-20,28| (-0,0007936992)] = -20,26 
Y2 = 28,34 - [ |28,34| (-0,0007936992)] = 28,36 
Y3 = -80,51 - [ |-80,51| (-0,0007936992)] = -80,45 
Y4 = -63,13 - [ |-63,13| (-0,0007936992)] = -63,08 
Y5 = 14,80 - [ |14,80| (-0,0007936992)] = 14,81 
Yo = 120,52 - [ |120,52| (-0,0007936992)] = 120,62 
 
 
Vantagens do cálculo do caminhamento: 
 
 * Permite determinar a precisão do levantamento antes de executar o desenho; 
 * Para executar o desenho transfere-se apenas distâncias; 
 * Permite obter a área do terreno, analiticamente. 
 
 
 
 52 
EAM 301 - TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 11 
 
 
ALTIMETRIA 
 
 É a parte da Topografia que trata dos métodos e instrumentos empregados no estudo e 
representação do relevo. 
 Para o estudo do relevo torna-se necessário conhecer as alturas dos pontos que o 
definem. 
 Altura de um ponto: 
 É a distância vertical que separa o ponto de um plano denominado superfície de nível 
de comparação (SNC). 
 B E 
 A C D 
 
ha = altura de A ha hb hc hd he 
 
SNC 
 
 Quando a SNC é arbitrária as alturas dos pontos são denominadas COTAS. 
 Na análise do relevo o que importa é a comparação entre os valores de cotas e não o 
valor absoluto da cota já que a SNC é arbitrária. 
 
 Quando a SNC corresponde ao nível médio dos mares, suposto prolongado pelos 
continentes, as alturas dos pontos são denominadas ALTITUDES. 
 
 
 
 100 200 280 
 
 (SNC) 
 
 A SNC corresponde à forma da terra isenta de elevações e depressões, também 
denominada superfície de nível verdadeira. 
 
 53 
 
 
 
 
 
 
 
 Nas operações topográficas, entretanto, não é possível obter a superfície de nível 
verdadeira. Utiliza-se uma superfície de nível denominada aparente (SNA). 
 A SNA corresponde ao plano tangente à SNV e é materializada, na prática, pelo plano 
horizontal de visada dos instrumentos de nivelamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Erro de Nível Aparente (ENA)