Balanço de Entropia e Eficiência Isentrópica

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Módulo V – Balanço de Entropia para Sistemas Fechados. Balanço de Entropia para 
Volume de Controle. Processos Isentrópicos Eficiência Isentrópica em Turbinas, Bombas, 
Bocais e Compressores. 
 
 
Balanço de Entropia para Sistemas Fechados 
 
 O balanço de entropia é uma expressão da segunda lei conveniente para a análise 
termodinâmica. A variação da entropia de um sistema fechado durante um processo é igual à 
soma da entropia líquida transferida através da fronteira do sistema pela transferência de calor 
com a entropia gerada dentro da fronteira do sistema 
 
𝑆2 − 𝑆1 = ∫ (
𝛿𝑄
𝑇
)
𝐹𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎
2
1
+ 𝜎 
 onde 𝜎 é a entropia produzida por irreversibilidades (geração de entropia) 
 
 O primeiro termo do lado direito pode ser interpretado como a transferência de entropia 
associada à transferência de calor. O sinal da transferência de entropia segue a mesma 
convecção da utilizada para calor. A variação de entropia não depende apenas da transferência 
dela pela a fronteira, mas também de sua geração no sistema Essa geração é devido as 
irreversibilidade presentes. 
 
Se a temperatura da fronteira é constante: 
 
𝑆2 − 𝑆1 =
𝑄
𝑇𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎
+ 𝜎 
 
 Em termos de balanço de taxa de entropia temos: 
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= ∑
�̇�
𝑇𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎
+ �̇� 
 
Para um processo adiabático, o termo de transferência de entropia pela transferência de 
calor é nulo e a variação da entropia do sistema fechado torna-se igual a geração de entropia 
dentro da fronteira do sistema: 
 
𝑆2 − 𝑆1 = 𝜎 
 
 
Balanço de Entropia para Volumes de Controle 
 
A entropia, assim como a massa e a energia, é uma propriedade extensiva, pode ser 
transferida para dentro ou para fora de um volume de controle através do escoamento de matéria. 
A taxa de variação de entropia dentro do volume de controle durante um processo é igual à soma 
da taxa de transferência de entropia através da fronteira do volume de controle pela transferência 
de calor, da taxa líquida de transferência de entropia para o volume de controle pelo fluxo de 
massa, e a taxa de geração de entropia dentro das fronteiras do volume de controle devida às 
irreversibilidades. 
 
𝑑𝑆𝑉𝐶
𝑑𝑡
= ∑
�̇�𝑗
𝑇𝑗
𝑗
+ ∑ �̇�𝑒𝑠𝑒
𝑒
− ∑ �̇�𝑠𝑠𝑠
𝑠
+ �̇�𝑉𝐶 
 onde o termo antes da igualdade representa a taxa de variação de entropia, o segundo e 
terceiro termos após a igualdade representam a entropia que acompanha o fluxo de massa. 
 A maioria dos volumes de controle encontrados na prática, como turbinas, compressores, 
bocais, difusores, trocadores de calor, tubos e dutos, opera em regime permanente. Dessa forma 
temos para o balanço de massa: 
 
∑ �̇�𝑒
𝑒
= ∑ �̇�𝑠
𝑠
 
 
Já a taxa de energia em regime permanente é dada por: 
 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑒
𝑒
(ℎ𝑒 +
𝑉𝑒
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − ∑ �̇�𝑠
𝑠
(ℎ𝑠 +
𝑉𝑠
2
+ 𝑔𝑧𝑠) 
 
Com isso o balanço de entropia para regime permanente fica: 
 
0 = ∑
�̇�𝑗
𝑇𝑗
𝑗
+ ∑ �̇�𝑒𝑠𝑒
𝑒
− ∑ �̇�𝑠𝑠𝑠
𝑠
+ �̇�𝑉𝐶 
 
E se tivermos apenas 1 entrada e 1 saída (corrente única): 
 
0 = ∑
�̇�𝑗
𝑇𝑗
𝑗
+ �̇�(𝑠1 − 𝑠2) + �̇�𝑉𝐶 
 
No caso de um dispositivo adiabático de corrente única, o balanço de entropia pode ser 
simplificado ainda mais para: 
 
0 = �̇�(𝑠1 − 𝑠2) + �̇�𝑉𝐶 
 
 
Processos Isentrópicos 
 
 O termo isentrópico significa entropia constante. 
 
 
Eficiência de Dispositivos com Escoamento em Regime Permanente 
 
Irreversibilidades são inerentes de todos os processos reais, porém inicialmente 
precisamos analisar os dispositivos de maneira ideal para que sirvam de modelo adequado para 
análises futuras das irreversibilidades presentes. Portanto inicialmente analisaremos os 
dispositivos com escoamento em regime permanente e adiabático como um processo isentrópico. 
O parâmetro que expressa quantitativamente o quão eficiente um dispositivo real se aproxima de 
um dispositivo idealizado é a eficiência isentrópica ou adiabática. 
 
 
 
Eficiência Isentrópica em Turbinas: O estado do fluido que está sendo admitido na turbina 
e a pressão são fixos. A transferência de calor entre a turbina e sua vizinhança é desprezada, 
assim como os efeitos das energias cinética e potencial. Assim os balanços de massa e energia 
se reduzem a: 
 
�̇�𝑉𝐶
�̇�
= ℎ1 − ℎ2 
 
 A geração de entropia é dada por: 
 
�̇�𝑉𝐶
�̇�
= 𝑠2 − 𝑠1 
 
 Na ausência de irreversibilidades, isto é, numa expansão isentrópica através de uma 
turbina temos: 
 
(
�̇�𝑉𝐶
�̇�
)
𝑠
= ℎ1 − ℎ2𝑠 
 onde o subscrito s significa que o processo ou a propriedade é isentrópica. 
 
Logo, a eficiência isentrópica é a razão entre o trabalho resultante real da turbina e o 
trabalho resultante que seria alcançado se o processo entre o estado de entrada e a pressão de 
saída fosse isentrópico. 
 
ƞ𝑇 =
𝑤𝑟
𝑤𝑠
≅
ℎ1 − ℎ2𝑟
ℎ1 − ℎ2𝑠
 
 onde o subscrito r significa que o processo ou a propriedade é real. 
 
Eficiência Isentrópica em Compressores e Bombas: O estado do fluido que está sendo 
admitido no compressor e a pressão são fixos. A transferência de calor com a vizinhança é 
desprezível, assim como os efeitos das energias cinética e potencial. Assim os balanços de 
massa e energia se reduzem a: 
 
−
�̇�𝑉𝐶
�̇�
= ℎ2 − ℎ1 
 
 Na ausência de irreversibilidades, isto é, numa expansão isentrópica através de uma 
turbina temos: 
 
(−
�̇�𝑉𝐶
�̇�
)
𝑠
= ℎ2𝑠 − ℎ1 
 
Portanto a eficiência é a razão entre o trabalho necessário para elevar a pressão de um 
gás até um valor especificado de forma isentrópica e o trabalho de compressão real. 
 
ƞ𝐶 =
𝑤𝑠
𝑤𝑟
≅
ℎ2𝑠−ℎ1
ℎ2𝑟−ℎ1
 
 
ƞ𝐵 =
𝑤𝑠
𝑤𝑟
=
𝜗(𝑝2 − 𝑝1)
ℎ2𝑟−ℎ1
 
 
Eficiência Isentrópica em Bocais: é a razão entre a energia cinética real do fluido na saída do 
bocal e a energia cinética na saída de um bocal isentrópico para o mesmo estado de entrada e 
pressão de saída. 
 
ƞ𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙 =
𝑉2𝑟
2
𝑉2𝑠
2 ≅
ℎ1 − ℎ2𝑟
ℎ1 − ℎ2𝑠
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
1) Uma massa de 2 kg de vapor superaquecido a 400°C e 600 kPa é resfriada a uma pressão 
constante, transmitindo calor de um cilindro até que o vapor seja completamente condensado. 
A vizinhança está a 25°C. Determine a produção de entropia em razão desse processo. 
 
Resposta: 
∆𝑆 = ∫ (
𝛿𝑄
𝑇
)
𝐹𝑟𝑜𝑛𝑡
+ 𝜎 
 
Estado 1: Vapor superaquecido, T = 400°C, P = 600 kPa 
 
Da tabela temos: 
P (kPa) T (°C) h (kJ/kg) s (kJ/kg K) 
600 400 3270,25 7,7078 
 
Estado 2: Vapor saturado, P = 600 kPa 
 
Da tabela temos: 
P (kPa) T (°C) h (kJ/kg) s (kJ/kg K) 
600 158,85 2756,80 6,7600 
 
𝑄 = 𝑚(ℎ2 − ℎ1) = 2(2756,8 − 3270,25) = −1026,9 𝑘𝐽 
 
2(6,76 − 7,7078) = (
−1026,9
298,15
)
𝐹𝑟𝑜𝑛𝑡
+ 𝜎 → 𝜎 = 1,55 𝑘𝐽/𝐾 
 
2) Você está projetando uma prensa que será acionada pelo trabalho gerado por uma turbina 
acoplada a uma linha de escoamento de vapor d’água. A figura abaixo fornece dados 
operacionais para este dispositivo que está bem isolado, em regime permanente, com vapor 
sendo admitido por uma abertura e descarregado por outra. No ponto 1 temos vapor saturado 
com pressão de 100 kPa e o ponto 2 encontra-se a uma pressão de 1 MPa e uma temperatura 
de 320°C. Desprezando os efeitos da energia cinética e potencial, determine: 
a) O sentido do escoamento, isto é, da esquerda para a direita, da direita para a esquerda, 
qualquer sentido ou não há escoamento. 
b) O trabalho em kJ/kg de vapor se houver escoamento. 
 
 
 
Resolução: 
a) 
1 – Vapor saturado, 100 kPa, T = 99,62°C, h1 = 2675,46 kJ/kg, s1 = 7,3593 kJ/kgK 
 
2 – 1MPa, T = 320°C, vapor superaquecido, h2 = 3093,75 kJ/kg, s2 = 7,1941 kJ/kgk 
 
∆𝑆 = ∫ (
𝛿𝑄
𝑇
)
𝐹𝑟𝑜𝑛𝑡+ 𝜎 
 
Assumindo a entrada como 1 e saída como 2 temos: 
 
(𝑠𝑠 − 𝑠𝑒) =
𝜎
𝑚
= (7,1941 − 7,3593) = −0,1652 𝑘𝐽/𝑘𝑔𝐾 
 
Como 
𝜎
𝑚
≤ 0, então o sentido é de 2 para 1, isto é, da direita para a esquerda. 
 
b) 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑒 (ℎ𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒)
𝑒
− ∑ �̇�𝑠 (ℎ𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠)
𝑠
 
 
0 = −�̇�𝑉𝐶 + �̇�(ℎ2 − ℎ1 +) 
 
�̇�𝑉𝐶
�̇�
= (3093,75 − 2675,46) = 418,29 𝑘𝐽/𝑘𝑔 
 
 
 
3) A eficiência de turbinas, compressores, bombas e bocais é uma variável de fundamental 
importância para a elaboração de um projeto. Sem essa informação sub ou 
superdimensionamentos podem acarretar prejuízos incalculáveis, principalmente porque 
algumas indústrias utilizam equipamentos de grande porte que podem custar milhares de 
dólares. Para um bom dimensionamento de um projeto industrial, determine a eficiência 
isentrópica de uma turbina que opera com vapor d’água a 500°C e 1000 kPa, em regime 
permanente, e é expandido até 10 kPa. A vazão mássica é de 1,8 kg/s e a potência 
desenvolvida vale 1700 kW. As perdas de calor e os efeitos de energia cinética e potencial 
podem ser desprezados. Determine a eficiência isentrópica da turbina. 
 
Resolução: 
ƞ𝑡 =
�̇�𝑡
(�̇�𝑡)𝑠
=
�̇�𝑡
�̇�(ℎ1 − ℎ2𝑠)
 
 
Da tabela de vapor superaquecido a 500°C e 1000 kPa temos: 
 
h1 = 3478,44 kJ/kg e s1 = 7,7621 kJ/kgK 
 
Isentrópico s1 = s2s 
 
Da tabela de água saturada sl = 0,6492 kJ/kgK e sv = 8,1501 kJ/kgK 
 
𝑠2𝑠 = (1 − 𝑥2)𝑠𝑙 + 𝑥2𝑠𝑣 → 7,7621 = (1 − 𝑥2)0,6492 + 𝑥28,1501 
 
𝑥2 = 0,9483 
 
hl = 191,81 kJ/kg e hv = 2584,63 kJ/kg 
 
ℎ2𝑠 = (1 − 𝑥2)ℎ𝑙 + 𝑥2ℎ𝑣 = (1 − 0,9483)191,81 + 0,9483𝑥2584,63 
 
ℎ2𝑠 = 2460,92 𝑘𝐽/𝑘𝑔 
 
ƞ𝑡 =
1700
1,8(3478,44 − 2460,92)
= 0,9282 
 
ƞ𝑡 = 92,82% 
 
 
 
4) Vapor d’água é admitido em um bocal que opera em regime permanente a p1 = 140 lbf/in
2 e T1 
= 600°F com uma velocidade de 100 ft/s. A pressão e a temperatura de descarga são p2 = 40 
lbf/in2 e T2 = 350°F. Não ocorre transferência de calor significativa entre o bocal e sua 
vizinhança, e as variações de energia potencial entre a entrada e a saída podem ser 
desprezadas. Determine a eficiência do bocal. 
 
Resolução: 
𝑉2
2
2
= ℎ1 − ℎ2 +
𝑉1
2
2
 
 
Da tabela temos que h1 = 1326,4 Btu/lb, s1 = 1,7191 Btu/lb°R, h2 = 1211,8 Btu/lb 
 
𝑉2
2
2
= 1326,4 − 1211,8 (
𝐵𝑡𝑢
𝑙𝑏
) +
1002 (
𝑓𝑡2
𝑖𝑛2
)
2 |
32,2 𝑙𝑏 𝑓𝑡/𝑠2
1𝑙𝑏𝑓 | |
778 𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑓
1 𝐵𝑡𝑢 |
 
 
𝑉2
2
2
= 114,8 𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏 
 
Interpolando para p = 40 lbf/in2, s2s = s1 = 1,7191 Btu/lb°R, resulta em h2s = 1202,3 Btu/lb 
 
(
𝑉2
2
2
)
𝑠
= 1326,4 − 1202,3 (
𝐵𝑡𝑢
𝑙𝑏
) +
1002 (
𝑓𝑡2
𝑖𝑛2
)
2 |
32,2 𝑙𝑏 𝑓𝑡/𝑠2
1𝑙𝑏𝑓 | |
778 𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑓
1 𝐵𝑡𝑢 |
 
 
(
𝑉2
2
2
)
𝑠
= 124,3 𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏 
 
ƞ𝑏𝑜𝑐𝑎𝑙 =
𝑉2
2
𝑉2𝑠
2 =
114,8
124,3
= 0,924 𝑜𝑢 92,4%