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Cálculo 2

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Cálculo 2 - ago 16/08
Funções de Várias Variáveis
Se f é uma função de duas variáveis independentes, normalmente chamamos essas
variáveis x e y, e representamos o Domínio de f como uma região no plano xy.
Se f é uma função de 3 variáveis independentes, denominamos as variáveis x, y e z, e
representamos o Domínio de f como uma região no espaço
Ex.: Calcule o valor de f no ponto (3,0,4)
f(x,y,z)=  √x² ² ²+ y + z
= = = 5√3² ² ²+ 0 + 4    √9 6+ 1 √25
*modulo do vetor é 5
Exemplo de funções de 2 e 3 variáveis e seus domínios e imagens
Função Domínio
(limites, intervalo)
Imagem
(resultado)
f=  √y ²− x y ²  ≥ x [0, ) ∞
f= 1xy xy =  / 0 (- ) (0, ),  ∞ 0  ⋃  ∞
f= sen xy todo plano [1,1]
f=  √x² ² ²+ y + z todo espaço [0, ) ∞
f=  1x²+y²+z² (x,y,z) = 0, , )  / ( 0 0 (0, ) ∞
f=y ln z z  > 0 [ , ) ∞  ∞
Limites
A função f(x,y) se approxima do limite L a medida que o ponto (x,y) se aproxima de (x0, y0) 
e escrevemos em f(x,y)= L
(x,y) (x0, y0) →
Se para todo número , existe um correspondente tal que, para todo (x,y) no ε > 0  δ > 0
domínio de f:
|f(x,y)-L| < sempre que 0< <  ε  √(x 0)² y 0)²− x + ( − y  δ
Ex
1)
lim = = = -3x−xy+3x²y+5xy−y³ 0−01+30².1+5.0.1−1³ 3−1
(x,y) (0,1) →
2)
lim = = =5 √x² ²+ y  √3² − )²+ ( 4  √25
(x,y) (3,-4) →
3)
lim = lim . = =x( )=0x²−xy−√x √y x²−xy−√x √y −√x √y+√x √y (x−y)
x(x−y)( )√x+√y √x + √y
(x,y) (0,0) →
1º Teste - Entrega 30/08
Material didático Thomas 10º ED
Pág 133: 2,6,10,14 e 16
Pág 143: 1,2,3 e 8
Cálculo 2 - ago 23/08 e 27/08
Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis
Independentes
Se w= f(x,y) possuir derivadas parciais continuas fx e fy e se x= x(t) e y= y(t) forem                                 
funções diferenciais de t, então a função composta w= f ( x(t), y(t) ) será uma função                               
diferenciável de t e:
Exemplos:
1) Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w=xy em relação a t ao longo do                                   
caminho x= cos t, y= sen t. Qual é o valor da derivada em t  ?/2  π
solução:
dw =  [xy] . d[cos t] +  [xy] . d[sen t] ∂  ∂
dt          x        dt               y          dt ∂  ∂
dw = y.(­sen t) + x.cos t
dt
dw = sen t.(­sen t) + cos t.cos t
dt
dw = ­sen² t + cos² t = cos 2t
dt
para t =  /2     dw=    cos 2.( /2) =     cos     = ­1π  ⇒ π π
                              dt
2) Encontre dw/dt se w= xy+z,  x= cos t,  y= sen t e z= t. Qual o valor da derivada em t=0?
solução:
dw =  [xy+z] . d[cos t] +  [xy+z] . d[sen t] +  [xy+z] . d[t] ∂  ∂  ∂
dt          x             dt                 y          dt              z          dt ∂  ∂  ∂
dw = y.(­sen t) + x.cos t + 1
dt
dw = sen t.(­sen t) + cos t.cos t + 1      ­sen² t + cos² t + 1 = cos 2t + 1 ⇒
dt
para t= 0     = cos 0 + 1 = 1+1= 2 ⇒ dtdw
3) Expresse  w e  w em termos de r e s se w= x²+y², x= r­s e y= r+s∂ ∂
                    r       s∂ ∂
solução:
__    w =  [x²+y²] .  [x] +  [x²+y²]  [y]∂ ∂ ∂ ∂ ∂
          r           x           r            y        r∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 = 2x .  [r­s] + 2y  [r+s] ∂  ∂
                r                  r∂ ∂
=2x. 1 +  2y .1    2x+2y ⇒
=2(r­s)+2(r+s)    2r­2s+2r+2s = 4r ⇒
__    w =  [x²+y²] .  [x] +  [x²+y²]  [y]∂ ∂ ∂ ∂ ∂
          s           x           s            y       s∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 = 2x .  [r­s] + 2y  [r+s] ∂  ∂
                s                  s∂ ∂
=2x.( ­1) +  2y .1    ­2x+2y ⇒
=­2(r­s)+2(r+s)    ­2r+2s+2r+2s = 4s ⇒
Diferenciação Implícita
Suponha que F(x,y) seja diferenciável e que a equação F(x,y)=0, defina y como uma                         
função diferenciável de x. Então, em qualquer ponto onde fy  0=/
Exemplo:
Encontre dy/dx se y² ­x² ­sen xy= 0
solução(tradicional):
2ydy/dx ­ 2x­(cos xy)(y+dy/dx)=0
2ydy/dx­2x­y.cos xy ­ x.cosxy.dy/dx=0
2ydy/dx­ x.cos xy.dy/dx= 2x + y.cos xy
dy/dx(2y­x cos sy)= 2x + y.cos xy
dy = 2x+ y cos xy
dx    2y ­ x cos xy
solução (nova):
dy =  _  fx                                         y²­x²­sen xy
dx         fy
dy =   _   ­2x­ (cos xy) y     =   2x+y(cos xy)
dx         2y ­ (cos xy) x          2y­x(cos xy)
Execícios:
14.3 - pág 317 (11° ED): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 23, 25, 41, 43 e 49
14.4 - pág 326 (11° ED): 1, 3, 5, 9, 25, 27 e 29
Derivadas Direcionais no Plano
Sabendo que se f(x,y) é diferenciável então se x=g(t) e y=h(t):
Em qualquer ponto P0(x0,y0) = P( g(t0), h(t0) ) essa solução fornece a taxa de variação de f em
relação a t e, portanto depende, entre outras coisas, do sentido do movimento ao longo da
curva.
A derivada de f em P0(x0,y0) na direção do versor u= u1i + u2j é o número:
desde que o limite exista.
OBS: Outra notação para derivada direcional
(Duf) P0 Derivada de f em P0 na direção de u
*27/08/2013
Encontre a derivada de f(x,y) x²+xy em P0 (1,2) na direção do vetor unitário u= i +  j1√2
1
√2
solução:
Logo a taxa de variação de  f  na direção de u é o coeficiente angular da tangente à curva em
P0. Quando u=1, a derivada direcional em P0 é   calcula em (x0,y0), quando u=j, a derivadaf /∂x∂
direcional em P0 é   calcula em (x0,y0) entãof /∂y∂
Para o exemplo anterior
Vetor Gradiente
A derivada direcional é um produto escalar do gradiente de f em P0 e u
Exemplo
Encostre a derivada de f(x,y)= xey+ cos xy no ponto (2,0) na direção de v+3i ­ 4j
solução: versor u = 
Propriedades da Derivada Diferencial
1) A função f aumenta mais rapidamente quando cos =1 ou quando u é a direção deθ
2) A função f decresce mais rapidamente na direção de ­ pois cos ( )= ­1π
3) Qualquer direção u ortogonal ao gradiente 0  é uma direção de variação zero em=/
f porque   é igual aθ
Exercícios:
Encontre as direções nas quais f(x,y)= +2
x²
2
y²
a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1)
solução:
b) Decresce mais rapidamente em (1,1)
solução:
c) Quais são as direções de variação zero de f em (1,1)?
solução:
Direções ortogonais
Cálculo 2 - ago 30/08
Plano Tangente e Reta Normal
O Plano Tangente no ponto P0(x0,y0,z0) na superficie de nível  f(x, y, z)=c é o plano que
passa por P0 e é normal a  ▽f|Po. A reta normal à superfície em P0 é a reta que passa por P0 e
é paralela a ▽f|Po
Exemplo:
Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície f(x, y, z)= x²+y²+z­9=0 no ponto P0
(1,2,4)
Solução:
O plano tangente a uma superfície z+ f(x,y) em P0(x0,y0 f(x0,y0)) é:
= fx|(xo,yo) (x ­ xo) +  fy|(xo,yo) (y ­ yo) ­ (z ­ zo) = 0π
Exemplo:
Encontre o plano tangente à superfície  z = x cos y ­ y ex em (0,0,0)
solução:
fy|(0,0,0) = (cos y ­ y ex )(0,0,0) = cos 0 ­ 0e0 = 1
fy|(0,0,0) = (x( ­sen y) ­ ex )(0,0,0) = 0( ­ sen 0) ­ e0 = ­ 1
=1 (x ­ 0) ­1(y ­ 0) ­ (z­0) = 0 π
= x ­ y ­ z = 0 π
Execícios:
Pág 303 (11° ED): 1 ao 22, 27 ao 38
Pág 347 (11° ED): 1, 3, 5 e 7
Cálculo 2 - set 03/09 e 06/09
Teorema de Fubini
1° Forma
Se f(x,y) continua na região retangular R:. a   x   b, c   y   d.≤ ≤ ≤ ≤
Exemplos:
1) Calcular o volume sob o plano z= 4­ x­ y sobre a região retangular R:. 0   x   2, 0   y≤ ≤ ≤
 1  no plano xy≤
Solução:
2) Calcule  f(x,y) dxdy  para  f (x,y) = 1 ­ 6x²y e  R:. 0   x   2, ­1   y   1∫
 
 
∫
 
R
≤ ≤ ≤ ≤
Solução:
2° Forma
Seja f(x,y) contínua em uma região R
1) Se R for definida por a   x   b, g1(x)   y   g2(x), com g1  e g2 contínuas em [a,b],≤ ≤ ≤ ≤
então:
2) Se R for definida por c   y   d, h1(y)   x   h2(y), com h1  e h2 contínuas em [c,d],≤ ≤ ≤ ≤
então:
Exemplo:
Encontre o volume do prisma cuja base é o triangulo no plano xy limitado pelo eixo x e pelas
retas y=x e x=1 e cujo topo está no plano: z = f (x,y) + 3 ­ x ­y
Cálculo 2 - set 16/09
Esboçando a região de integração
 f(x,y) dydx∫
1
0
∫
x
0
 f(x,y) dxdy∫
1
0
∫
1
y
Procedimentos para Encontrar Limites de
Integração
Páginado livro: 363
Esboce a região de integração para integral  (4x +2)dydx. Ache a integral interada desta e∫
2
0
∫
2x
x²
resolva as duas
Resolvendo:
Resolvendo a Interada:
OBS: Quando não há uma função a ser interada a integral dupla calculará a área da região R.

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