SLIDEautoValorVetor

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A´lgebra Linear – AL
Luiza Amalia Pinto Canta˜o
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
luiza@sorocaba.unesp.br
Autovalores e Autovetores
1 Definic¸a˜o e Exemplos
2 Polinoˆmio Caracter´ıstico
3 Diagonalizac¸a˜o
Autovalores e Autovetores
Atenc¸a˜o: Nesta sec¸a˜o consideraremos somente matrizes quadradas, ou
seja, An×n.
Definic¸a˜o: Seja An×n. O nu´mero λ e´ chamado de autovalor de A se
existir um vetor na˜o-nulo x ∈ Rn tal que
Ax = λx (1)
Todo vetor x na˜o-nulo que satisfaz (1) e´ chamado de um autove-
tor de A associado ao autovalor λ. Os autovalores tambe´m sa˜o
chamados de valores pro´prios, ou de valores caracter´ısticos; e
os autovetores tambe´m sa˜o chamados de vetores pro´prios ou de
vetores caracter´ısticos.
Autovalores e Autovetores: Exemplos
Exemplo (1) Se A e´ a matriz identidade In enta˜o o u´nico autovalor e´
λ = 1; todo vetor na˜o-nulo em Rn e´ um autovetor de A associado
com o autovalor λ = 1:
Inx = 1x
Exemplo (2) Seja A =
[
0 12
1
2 0
]
. Enta˜o:
A
[
1
1
]
=
[
0 12
1
2 0
] [
1
1
]
=
[ 1
2
1
2
]
=
1
2
[
1
1
]
de modo que x1 =
[
1
1
]
e´ um autovetor de A associado ao autovalor
λ1 =
1
2.
Exemplo (3) Considere a matriz do Exerc´ıcio (2). Calcule o autovalor
λ2, para o autovetor x2 =
[
1
−1
]
.
Autovalores e Autovetores – Exemplo (cont. 1)
Exemplo (4) Seja A =
[
0 0
0 1
]
. Calcule os autovalores λ1 e λ2 para
os autovetores x1 =
[
1
0
]
e x2 =
[
0
1
]
.
Observac¸a˜o: Embora o autovetor na˜o possa ser o vetor nulo (de-
finic¸a˜o), o autovalor pode ser o nu´mero zero.
Exemplo (5) Seja A =
[
1 1
−2 4
]
. Encontre os autovalores de A e
seus autovetores associados. Ou seja, encontre todos os nu´meros λ
e todos os vetores na˜o-nulos x =
[
x1
x2
]
tal que:[
1 1
−2 4
] [
x1
x2
]
= λ
[
x1
x2
]
Calculando Autovalores e Autovetores
Definic¸a˜o: Seja An×n. O determinante
f (λ) = det(λIn − A) = det

λ− a11 −a12 · · · −a1n
−a21 λ− a22 · · · −a2n
... ... . . . ...
−an1 −an2 · · · λ− ann

e´ chamado de polinoˆmio caracter´ıstico de A. A equac¸a˜o
f (λ) = det(λIn − A) = 0
e´ chamada de equac¸a˜o caracter´ıstica de A.
Exemplo (6) Seja A =
 1 2 −11 0 1
4 −4 5
. Encontre o polinoˆmio carac-
ter´ıstico.
Autovalores e Autovetores: Teorema
Teorema 1 Os autovalores de A sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio carac-
ter´ıstico de A.
Demonstrac¸a˜o Seja λ um autovalor de A com autovetor associado x.
Enta˜o Ax = λx, que pode ser rescrito como
Ax = (λIn)x ou (λIn − A)x = 0
um sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e n inco´gnitas. Este sistema
tem uma soluc¸a˜o na˜o-trivial se e somente se o determinante de sua
matriz de coeficientes se anular, isto e´, se e somente se det(λIn −
A) = 0.
Reciprocamente, se λ e´ uma raiz do polinoˆmio caracter´ıstico de A,
enta˜o det(λIn−A) = 0, logo o sistema homogeˆneo (λIn−A)x = 0
tem soluc¸a˜o na˜o-trivial x. Portanto λ e´ um autovalor de A.
Autovalores e Autovetores: Exerc´ıcios e Procedimento
Exerc´ıcio (7) Seja A =
 1 2 −11 0 1
4 −4 5
. Calcule os autovalores e seus
autovetores associados.
Exemplo (8) Calcule os autovalores e autovetores associados de
A =
 0 0 31 0 −1
0 1 3
 .
Procedimento Para encontrar os autovalores e autovetores associados
de uma matriz considere as seguines etapas:
Etapa 1 Determine as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico f (λ) = det(λIn−
A). Estes sa˜o os autovalores de A.
Etapa 2 Para cada autovalor λ, encontre todas as soluc¸o˜es na˜o-triviais para
o sistema homogeˆneo (λIn − A)x = 0. Estes sa˜o os autovetores
de A associados ao autovalor λ.
Diagonalizac¸a˜o: Matrizes Semelhantes
Definic¸a˜o Uma matriz B e´ dita semelhante a uma matriz A se ha´
uma matriz invert´ıvel P tal que
B = P−1AP.
Exemplo (9) Seja A =
[
1 1
−2 4
]
(Exemplo (5)). Definimos P =[
1 1
1 2
]
com P−1 =
[
2 −1
−1 1
]
. Assim,
B = P−1AP =
[
2 −1
−1 1
] [
1 1
−2 4
] [
1 1
1 2
]
=
[
2 0
0 3
]
Propriedades Elementares va´lidas para semelhanc¸a:
1. A e´ semelhante a A.
2. Se B e´ semelhante a A, enta˜o A e´ semelhante a B.
3. Se A e´ semelhante a B e B e´ semelhante a C, enta˜o A e´ seme-
lhante a C.
Diagonalizac¸a˜o: Definic¸a˜o
Definic¸a˜o Dizemos que a matriz A e´ diagonaliza´vel se ela for seme-
lhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos tambe´m que A
pode ser diagonalizada.
Exemplo (10) Sejam A e B do Exemplo (9), enta˜o A e´ diagonaliza´vel,
uma vez que e´ semelhante a B.
Teorema (2) Matrizes semelhantes teˆm os mesmos autovalores.
Demonstrac¸a˜o Sejam A e B semelhantes. Enta˜o B = P−1AP , para
alguma matriz P invert´ıvel. Vamos provar que A e B teˆm os mesmos
polinoˆmios caracter´ısticos, fA(λ) e fB(λ), respectivamente. Temos
fB(λ) = det(λIn −B) = det(λIn − P−1AP )
= det(P−1λInP − P−1AP ) = det(P−1(λIn − A)P )
= det(P−1)det(λIn − A)det(P )
= det(P−1)det(P )det(λIn − A)
= det(λIn − A) = fA(λ)
Como fA(λ) = fB(λ), segue que A e B teˆm os mesmos autovalores.
Diagonalizac¸a˜o: Teorema
Teorema 3 Uma matriz n×n e´ diagonaliza´vel se e somente se ela tiver
n autovetores linearmente independentes.
Demonstrac¸a˜o (=⇒) Suponha que A seja semelhante a D. Enta˜o
P−1AP = D, uma matriz diagonal, logo AP = PD. Seja
D =

λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
... ...
0 · · · 0 λn
 ,
e seja xj, j = 1, 2, . . . , n, a j-e´sima coluna de P . A j-e´sima coluna
da matriz AP e´ Axj e a j-e´sima coluna de PD e´ λjxj. Assim, como
AP = PD, temos:
Axj = λjxj.
Como P e´ uma matriz invert´ıvel, suas colunas sa˜o L.I.. Portanto, λj
e´ um autovalor de A e xj e´ um autovetor correspondente.
Diagonalizac¸a˜o: Teorema 3 (Continuac¸a˜o)
Demonstrac¸a˜o (⇐=) Considere λ1, λ2, . . . , λn, como n autovalores de
A e que os autovetores x1,x2, . . . ,xn correspondentes sa˜o L.I.. Seja
P = [x1 x2 . . . xn] a matriz cuja j-e´sima coluna e´ xj. Como
as colunas de P sa˜o L.I., P e´ invert´ıvel. De Axj = λjxj obtemos
AP = PD, que implica que A e´ diagonaliza´vel.
Exemplo (11) Considere a matriz A do Exemplo (9), cujos autovalores
λ1 = 2 e λ2 = 3 foram encontrados no Exemplo (5).
Exemplo (12): Seja A =
[
1 1
0 1
]
. Os autovalores de A sa˜o λ1 = 1
e λ2 = 1. Os autovetores associados a λ1 e λ2 sa˜o vetores do tipo[
k
0
]
, k∗ ∈ R. Como A na˜o possui dois autovetores L.I., A na˜o e´
diagonaliza´vel.
Diagonalizac¸a˜o: Teorema 4
Teorema (4) Se as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz
An×n sa˜o todas distintas, enta˜o A e´ diagonaliza´vel.
Exemplo (13) Verifique se A =
 0 0 10 1 2
0 0 1
 e´ diagonaliza´vel.
Exemplo (14) Verifique se A =
 0 0 00 1 0
1 0 1
 e´ diagonaliza´vel.
Procedimento para Diagonalizac¸a˜o de uma matriz
An×n
Etapa 1 Forme o polinoˆmio caracter´ıstico f (λ) = det(λIn−A) de A.
Etapa 2 Encontre as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico de A.
Etapa 3 Para cada autovalor λj de A de multiplicidade kj, encontre
uma base para o espac¸o de (λjIn − A)x = 0 (o auto-espac¸o as-
sociado a λj). Se a dimensa˜o do auto-espac¸o for menor do que kj,
enta˜o A na˜o e´ diagonaliza´vel. Assim, determinamos n autovetores
L.I. de A.
Etapa 4 Seja P uma matriz cujas colunas sa˜o n autovetores L.I. de-
terminados na Etapa 3. Enta˜o, P−1AP = D e´ uma matriz diagonal
cujos elementos da diagonal sa˜o os autovalores de A que correspon-
dem a`s colunas de P .
The End !