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CURSO: ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO PROFESSOR: FRANCISCO SOUZA DISCIPLINA: FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL I - RELATÓRIO Título: Movimento com aceleração constante. Introdução O ramo do estudo dos movimentos dos corpos na física é denominado mecânico, que se divide em MRU (Movimento retilíneo Uniforme), MRUV (Movimento retilíneo Uniformemente Variado) entre outros. Neste relatório, nosso objeto de estudo se detém ao MRUV, apesar de ser uma ramificação do MRU, iremos apenas citar as equações necessárias do MRU com foco no MRUV. Desenvolvimento teórico. O MRU estuda o movimento sem considerar a aceleração, o impulso, contudo, o MRUV é o estudo do movimento com aceleração em uma linha reta, sendo esta, obtida ou proporcionada por uma inclinação ou a gravidade. O movimento acelerado mais simples é o movimento retilíneo com aceleração constante, quando a velocidade varia com a mesma taxa durante o movimento. Por exemplo, um corpo caindo em queda livre possui aceleração constante, quando é desprezado o atrito com o ar ou quando um corpo desliza uma superfície inclinada, também consideramos um MRUV. Porém, algumas grandezas devem ser obtidas, como para obtermos a velocidade, devemos utilizar dois intervalos de tempo decorridos (Δt) e dividir pela variação de espaço (Δx), sendo representado por 𝑽 = 𝚫𝐱 𝚫𝐭 , onde v (velocidade) também é denominado vm (velocidade média). Para a aceleração, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de um função velocidade, será numericamente igual a aceleração, sendo assim tgΘ = 𝑎 2 . Com o estudo do movimento em MRUV, podemos obter informações importantes que descrevem o comportamento do objeto de estudo em um determinado tempo, graças a sua aceleração. Neste experimento, estudaremos o comportamento de um objeto que deslizará um plano inclinado, utilizando um equipamento denominado colchão de ar ou trilho de ar, assim, podemos plotar os gráficos que demonstrarão as diversas grandezas possíveis. Materiais Utilizados Os materiais utilizados neste experimento foram: Trilho de ar; O trilho de ar consiste de um trilho com orifícios laterais por onde o ar, proveniente de um compressor escapa. O colchão de ar que se forma impedindo o contato entre as superfícies, diminuindo o atrito. Também utilizaremos um carrinho de massa M = 417,7 g, um corpinho de Nota de Relatório: ______________ Assinatura do Professor massa m = 57,13 e outra m1 = 12,76 g, um sistema de roldanas por onde passa o fio que se prende ao carrinho e ao corpo, montando o sistema. Figura 01 –Trilho de ar (Colchão de ar). Software MatLab: MATLAB (MATrix LABoratory) trata-se de um software interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos matematicamente, ao contrário da programação tradicional. Com o qual iremos utilizar para plotar os gráficos de: x vs t (espaço vs tempo), x vs t² (espaço vs tempo ao quadrado), a vs t (aceleração vs tempo), vm vs t (velocidade média vs tempo) e v vs t (velocidade vs tempo). Bloco de madeira (encalço); Utilizaremos um pequeno bloco cúbico maciço de madeira, sendo desprezíveis suas dimensões, massa e volume, pois o mesmo servirá apenas para que o colchão de ar tenha uma inclinação, a qual irá proporcionar a aceleração. Descrição do experimento. No início do experimento, iremos posicionar o encalço de madeira que formará um ângulo θ que será nossa aceleração/coeficiente de variação, assim, ao ligarmos o compressor, o equipamento formará o “colchão de ar” e ao acionaremos o equipamento, o carrinho irá desl izar enquanto o cronômetro marcará os tempos. Conforme o manual do equipamento, possuímos uma tabela pré-preenchida, informando somente os espaços entre as marcações, tendo estes a variação de espaço (Δx) de 0,018 milímetros. Também teremos que obter de cada marcador o tempo decorrido. O cálculo informatizado após acionado o equipamento, obtemos o tempo. A tabela informa os valores obtidos. Com as informações de espaço e tempo, iremos preencher a coluna do tempo e as demais de acordo com o que se pede, calcular a aceleração, a velocidade média, o ângulo formado entre o bloco de madeira e a superfície deslizante e plotar quatro gráficos que representarão o comportamento do carrinho. Iremos demonstrar os cálculos de cada coluna, aceleração, tgθ, velocidade inicial, velocidades finais para cada intervalo de tempo e as tabelas no item resultados. Coluna X (Espaço). O espaço entre cada marcador equivale a 0,018mm, sendo dez marcadores, iremos somar a cada espaço do valor de 0,018mm, com o valor anterior. Coluna T (Tempo). Nesta coluna os valores foram obtidos pelo cronômetro adjunto ao colchão de ar, não sendo realizado cálculos para sua obtenção. Coluna T² (Tempo ao quadrado). Para esta coluna, pegaremos cada tempo obtido pelo cronômetro e elevaremos ao seu quadrado. Coluna Δt (Variação de tempo): A variação de tempo refere-se mudança ocorrida entre um segundo tempo obtido, subtraindo o valor de tempo anterior. Assim, iremos pegar cada valor e subtrair do valor imediatamente anterior. Coluna Vm (Velocidade média). A velocidade média, conforme explicamos no item desenvolvimento teórico, refere-se a variação de espaço pela variação de tempo (𝒗 = 𝚫𝐱 𝚫𝐭 ), sendo a variação de espaço (Δx) fixo em 0,018, faremos o quociente entre 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝚫𝐭 . Plotando e analisando os gráficos. Velocidade média vs tempo: Plotando o gráfico (no item resultados - gráficos) e considerando espaço inicial iguai a zero. Classificando o movimento realizado pelo objeto, podemos deduzir que seu movimento é acelerado e relíneo. Conforme podemos notar na coluna vm da tabela, o valor para cada tempo possui um acréscimo, este crescimento se dá pela aceleração que é proporcionado pelo ângulo formado entre a superfície deslizante e o bloco de madeira, à aceleração se dá pela razão da variação de velocidade pela variação do tempo (𝒂 = 𝚫𝐯 𝚫𝐭 ), esta nos informa qual é a variação em m/s². Espaço vs tempo. Plotando o gráfico (no item resultados - gráficos), obtemos o comportamento da velocidade do móvel e analisando o gráfico, podemos deduzir que o movimento não denota uma reta e sim uma “curva suave”. Espaço vs tempo ao quadrado. Plotando o gráfico(no item resultados - gráficos). De acordo com os valores obtidos, podemos verifica que o gráfico deste movimento não é linear. A gradeza física que relaciona a declividade desta curva é denominada aceleração. Conforme os conhecimentos de geometria analítica, o coeficiente angular de uma reta tangente (tgθ) ao gráfico de uma função, será a taxa de variação, assim, com o gráfico 03, podemos encontrar a aceleração. Para Tₒ = 0, Xₒ = 0 e Vₒ=0 (o corpo partiu do repouso), temos que a 𝑡𝑔θ = 𝑎 2 . Utilizando os pontos T₈² e T₇², encontramos o valor da tangente, sendo 𝒕𝒈𝛉 = 𝟎,𝟖𝟑𝟗𝟗𝟒 e substituindo em 𝑡𝑔θ = 𝑎 2 , obtemos a aceleração igual a 𝒂 = 1,67988. Porém, gostaríamos de saber qual será a velocidade do móvel no instante Tₒ = 0. Na cinemática, para encontrar a velocidade de um corpo no movimento com velocidade constante, utilizamos a equação horária da velocidade V = Vₒ + at. Com os dados da tabela 02, plotamos o gráfico da velocidade vs tempo (v vs t). Velocidade vs tempo. O gráfico v vs t exibe uma reta crescente que não parte da origem pois sua velocidade inicial é diferentede zero, devido o fato de haver uma inclinação que proporciona a aceleração, sendo esta a taxa de variação da velocidade. Sendo a declividade a variante da velocidade. Determinando os pontos Pₒ, P₁, P₂ e P₃ no gráfico v vs t, iremos restringimos à área da função, obtendo a figura de um trapézio, sendo esta distância a área percorrida pelo móvel até o instante final T₃. Ao dividirmos a área num retângulo (A₁) e em um triângulo retângulo (A₂), iremos manipular as equações e obteremos uma relação importante. A área do retângulo encontramos calculando base vs altura (A₁ = b * h). Sendo a base igual a distância entre tₒ e t₃, e a altura será a distância entre a origem e vₒ. Após o cálculo encontramos que A₁ = 0,03963. A área do triângulo retângulo encontramos calculando base vs altura dividido por dois (𝐴₂ = 𝑏 .ℎ 2 ). Após o cálculo encontramos A₂= 0,01739. A área do trapézio é a distância (d) e equivale a soma das áreas das figuras, sendo d= A₁+A₂, substituindo temos 𝑑 = 𝑡𝑣ₒ + 𝑡 𝑣−𝑣ₒ 2 , sendo 𝑎 = 𝑣−𝑣ₒ 𝑡 , manipulando temos que at= (v-vₒ) e também que d= x-xₒ. Substituindo as equações temos 𝑥 = 𝑥ₒ + 𝑣ₒ𝑡 + 𝑎𝑡² 2 . A distância (D) equivale a soma das áreas das figuras, sendo D= 0,05675; Por fim, a equação que representa o movimento do móvel é a equação horária do MRUV (𝑥 = 𝑥ₒ + 𝑣ₒ𝑡 + 𝑎𝑡2 2 ), muito conhecida na cinemática por utilizar diversas grandezas fisícas, sendo estas: X = posição final do móvel; Xₒ = posição inicial do móvel; Vₒ = velocidade inicial móvel; a = aceleração média; t = tempo. Com a substituição de alguns termos, obtemos outra equação importante no MRUV denominado equação de Torricelli 𝒗𝟐 = 𝒗ₒ𝟐 + 𝟐𝒂𝒅. Resultados a) Valores obtidos: 𝑡𝑔θ = 0,83994; a = 1,67988; A₁ = 0,03963; A₂ = 0,01739; D = 0,05675; b) Cálculos e resultado dos cálculos: Tabela 01: X (Espaço em milímetros (mm)): 1. Para Xₒ = 0,000. Para X₁ = 0,018 + 0,000, X₁ = 0,018; Para X₂ = 0,018 + 0,018, X₂ = 0,036; Para X₃ = 0,036 + 0,018, X₃ = 0,054; Para X₄ = 0,054 + 0,018, X₄ = 0,072; Para X₅ = 0,072 + 0,018, X₅ = 0,090; Para X₆ = 0,090 + 0,018, X₆ = 0,108; Para X₇ = 0,108 + 0,018, X₇ = 0,126; Para X₈ = 0,126 + 0,018, X₈ = 0,144; Para X₉ = 0,144 + 0,018, X₉ = 0,162; Para X₁ₒ = 0,162 + 0,018, X₁ₒ = 0,180. 2. Tabela 01: T (Tempo em segundos (s)): Estes valores foram obtidos pelo cronômetro, sendo apenas exibidos e não calculados. Para tₒ = 0,00000. Para t₁ = 0,05585; Para t₂ = 0,10110; Para t₃ = 0,14392; Para t₄ = 0,18450; Para t₅ = 0,22310; Para t₆ = 0,26020; Para t₇ = 0,29580; Para t₈ = 0,33005; Para t₉ = 0,36305; Para t₁ₒ = 0,39505. 3. Tabela 01: t² (tempo ao quadrado em segundos ao quadrado (s²)): Para tₒ = (0,00000)², tₒ = 0,00000; Para t₁ = (0,05585)², t₁ = 0,00312; Para t₂ = (0,10110)², t₂ = 0,01022; Para t₃ = (0,14392)², t₃ = 0,02071; Para t₄ = (0,18450)², t₄ = 0,03404; Para t₅ = (0,22310)², t₅ = 0,04977; Para t₆ = (0,26020)², t₆ = 0,06770; Para t₇ = (0,29580)², t₇ = 0,08750; Para t₈ = (0,33005)², t₈ = 0,10893; Para t₉ = (0,36305)², t₉ = 0,13181; Para t₁ₒ = (0,39505)², t₁ₒ = 0,15606. 4. Tabela 01: Δt (Variação de tempo em segundos(s)): Para Δtₒ = 0,0000, Δtₒ = 0,00000; Para Δt₁ = 0,05585-0,00000, Δt₁ = 0,05585; Para Δt₂ = 0,10110-0,05585, Δt₂ = 0,04525; Para Δt₃ = 0,14392-0,10110, Δt₃ = 0,04280; Para Δt₄ = 0,18450-0,14392, Δt₄ = 0,04060; Para Δt₅ = 0,22310-0,18450, Δt₅ = 0,03850; Para Δt₆ = 0,26020-0,22310, Δt₆ = 0,03710; Para Δt₇ = 0,29580-0,26020, Δt₇ = 0,03560; Para Δt₈ = 0,33005-0,29580, Δt₈ = 0,03425; Para Δt₉ = 0,36305-0,33005, Δt₉ = 0,03300; Para Δt₁ₒ = 0,39505-0,36305, Δt₁ₒ = 0,03200. 5. Tabela 01: Vm (Velocidade média em metros por segundos (m/s)): Sendo (𝒗𝒎 = 𝚫𝐱 𝚫𝐭 ), teremos: Para 𝒗𝒎ₒ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 → 𝒗𝒎ₒ = 0,00000; Para 𝒗𝒎₁ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟓𝟓𝟖𝟓 → 𝒗𝒎₁ = 0,32229; Para 𝒗𝒎₂ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟒𝟓𝟐𝟓 → 𝒗𝒎₂ = 0,39779; Para 𝒗𝒎₃ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟒𝟐𝟖𝟎 → 𝒗𝒎₃ = 0,42056; Para 𝒗𝒎₄ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟒𝟎𝟔𝟎 → 𝒗𝒎₄ = 0,44335; Para 𝒗𝒎₅ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟑𝟖𝟓𝟎 → 𝒗𝒎₅ = 0,46753; Para 𝒗𝒎₆ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟑𝟕𝟏𝟎 → 𝒗𝒎₆ = 0,48518; Para 𝒗𝒎₇ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟑𝟓𝟔𝟎 → 𝒗𝒎₇ = 0,50562; Para 𝒗𝒎₈ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟑𝟒𝟐𝟓 → 𝒗𝒎₈ = 0,52555; Para 𝒗𝒎₉ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟑𝟑𝟎𝟎 → 𝒗𝒎₉ = 0,54545; Para 𝒗𝒎₁ₒ = 𝟎,𝟎𝟏𝟖 𝟎,𝟎𝟑𝟐𝟎𝟎 → 𝒗𝒎₁ₒ = 0,56250. Tangente/inclinação do ângulo θ: tgθ = Δx Δt = 𝒙₈−𝒙₇ 𝒕₈²−𝒕₇² = 0,144−0,126 0,10893−0,08750 = 0,018 0,02143 → tgθ = 0,83994 Aceleração: tgθ = a 2 → a = 2tgθ → a = 2*0,83994 → a = 1,67998 Velocidade inicial ( 𝑉ₒ = V − 𝑎 .𝑡 2 ) em tₒ=0: 𝑉ₒ = V − 𝑎 .𝑡 2 → 𝑉ₒ = 0,32229 − 1,67988∗0,05585 2 → Vₒ = 0,27538 Tabela 02: Velocidade final ((𝑉 = Vₒ − 𝑎. 𝑡) em metros por segundo (m/s)): 6. Para Vₒ = 0,27538 – 1,67998.0,00000 → Vₒ = 0,27538. Para V₁ = 0,27538 – 1,67998.0,05585 → V₁ = 0,36920; Para V₂ = 0,27538 – 1,67998.0,10110 → V₂ = 0,44522; Para V₃ = 0,27538 – 1,67998.0,14392 → V₃ = 0,51711; Para V₄ = 0,27538 – 1,67998.0,18450 → V₄ = 0,58532; Para V₅ = 0,27538 – 1,67998.0,22310 → V₅ = 0,65016; Para V₆ = 0,27538 – 1,67998.0,26020 → V₆ = 0,71248; Para V₇ = 0,27538 – 1,67998.0,29580 → V₇ = 0,77229; Para V₈ = 0,27538 – 1,67998.0,33005 → V₈ = 0,82982; Para V₉ = 0,27538 – 1,67998.0,36305 → V₉ = 0,88526; Para V₁ₒ = 0,27538 – 1,67998.0,39505 → V₁ₒ = 0,93902; Cálculo da área do gráfico velocidade média vs tempo: a. Área do retângulo (𝐴₁ = 𝑏.ℎ). Base: t₃-tₒ → 0,14392-0,00000 → t = 0,14392 Altura: Vₒ = 0,27538 𝐴₁ = 𝑡. 𝑣ₒ → 0,14392 ∗ 0,27538 → A₁ = 0,03963. b. Área do triângulo retângulo (𝐴₂ = 𝑏 .ℎ 2 ). Base: t₃-tₒ → 0,14392-0,00000 → t = 0,14392 Altura: V₃-Vₒ = 0,58532-0,27538 → V = 0,24173 A₂= 𝑏 .ℎ 2 → 0,14392∗0,24173 2 → A₂ = 0,01739 Distância percorrida pelo móvel: É a soma das áreas obtidas pelas figuras D = A₁ + A₂ 𝐷 = 𝐴₁ + 𝐴₂ → 𝐷 = 0,03963 + 0,01739 → D = 0,05675 c) Tabelas: Tabela 01: Tabela 02: T₁ / v₁ T₂ / v₂ T₃ / v₃ T₄ / v₄ T₅ / v₅ T₆ / v₆ T₇ /v₇ T₈ / v₈ T₉ / v₉ T₁₀ / v₁₀ t(s) 0,55855 0,10110 0,14392 0,18450 0,22310 0,26020 0,29580 0,33005 0,36305 0,39505 v(m/s) 0,36920 0,44522 0,51711 0,58532 0,65016 0,71248 0,77229 0,82982 0,88526 0,93902 X (espaço) T (Tempo) T² (Tempo²) Δt (Var. Tempo) Vm (Vel. Média) Xₒ = 0,000 Tₒ = 0,00000 T²ₒ = 0,00000 Δtₒ = 0,00000 Vmₒ = 0,00000 X₁ = 0,018 T₁ = 0,05585 T²₁ = 0,00312 Δt₁ = 0,05585 Vm₁ = 0,32229 X₂ = 0,036 T₂ = 0,10110 T²₂ = 0,01022 Δt₂ = 0,04525 Vm₂ = 0,39779 X₃ = 0,054 T₃ = 0,14392 T²₃ = 0,02071 Δt₃ = 0,04280 Vm₃ = 0,42056 X₄ = 0,072 T₄ = 0,18450 T²₄ = 0,03404 Δt₄ = 0,04060 Vm₄ = 0,44335 X₅ = 0,090 T₅ = 0,22310 T²₅ = 0,04977 Δt₅ = 0,03850 Vm₅ = 0,46753 X₆ = 0,108 T₆ = 0,26020 T²₆ = 0,06770 Δt₆ = 0,03710 Vm₆ = 0,48518 X₇ = 0,126 T₇ = 0,29580 T²₇ = 0,08750 Δt₇ = 0,03560 Vm₇ = 0,50562 X₈ = 0,144 T₈ = 0,33005 T²₈ = 0,10893 Δt₈ = 0,03425 Vm₈ = 0,52555 X₉ = 0,162 T₉ = 0,36305 T²₉ = 0,13181 Δt₉ = 0,03300 Vm₉ = 0,54545 X₁₀ =0,180 T₁₀ = 0,39505 T²₁₀ = 0,15606 Δt₁₀ = 0,03200 Vm₁₀ = 0,56250 d) Gráficos: Velocidade média vs tempo. Plotando o gráfico e considerando espaço inicial iguai a zero, obtemos: Gráfico 01 - vm vs t. Espaço vs tempo. Gráfico 02 - x vs t. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Tempo (s) V el oc id ad e (v m ) Velocidademédia vs tempo 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Tempo (s) E sp aç o (x ) Espaço vs tempo Espaço vs tempo ao quadrado. Gráfico 03 - x vs t². Velocidade vs tempo. Gráfico 04 - v vs t. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 Tempo (s²) E sp aç o (x ) Espaço vs tempo² 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 V el oc id ad e (m /s ) Tempo (s) Velocidade vs tempo Aceleração vs tempo. Gráfico 05 - a vs t. Análise dos resultados No final deste experimento, temos em mãos os valores que descrevem como o objeto de estuda se comporta, sendo estes comportamentos exibidos nos gráficos. Por exemplo, a aceleração é uma taxa constante, seu valor altera a velocidade, mas a própria aceleração se mantém independente do tempo, conforme a cinemática nos informa e como podemos comprovar no gráfico a vs t é uma reta horizontal. Já a velocidade média não é uma função constante, pois podemos confirmar que o corpo estava em repouso (partiu da origem) e ao adquirir velocidade, graças à aceleração, notamos a “quebra no gráfico”, assim como aprendemos na mecânica, o gráfico vm vs t é quase uma transição do MRU para o MRUV. Poderíamos citar outros exemplos, mas estes dois denotam perfeitamente de forma empírica o conhecimento sobre o movimento retilíneo uniformemente variado. Conclusão Através desse experimento, visualizamos o movimento retilíneo uniformemente variado, com o movimento do carrinho, movendo-se sem a força de atrito agindo sobre o mesmo, dessa forma, usamos um cronômetro para medir o tempo gasto para percorrer determinada distância. Após realizarmos este experimento, podemos comprovar que quando um corpo sofre uma variação na velocidade este tem em si uma aceleração que foi comprovada através dos experimentos e podemos verificar que há uma variação quando ocorre uma aceleração. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tempo (s) A ce le ra çã o (a ) Aceleração vs tempo Referências Bibliográficas Livro. Young & Freedman, Física I – Mecânica, 12ª edição, 2008. Site: http://www.infoescola.com/fisica/movimento-retilineo-uniformemente-variado/ - acesso em 30/03/2017. Site: Wikiédia - https://pt.wikipedia.org/wiki/MATLAB - acesso em 03/04/2017.
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