Lista Exercicios

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Lista de Exercício de Álgebra Linear 
 
MATRIZES E DETERMINANTES 
1 – Considere as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗, 𝑖 = 𝑗
0, 𝑖 ≠ 𝑗
, e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)2𝑥2, tal que 𝑏𝑖𝑗 =
2𝑖 − 3𝑗. Determine A+B, A-B, AxB, AT, BT e os determinantes de A e B. 
2 – Considere as seguintes matrizes 𝐴 = (
1 2
3 −4
), 𝐵 = (
5 0
−6 7
), 𝐶 = (
1 −3 4
2 6 −5
), 
𝐷 = (
1 2
3 4
) e 𝐸 = (
5 4
6 11
). 
a) Determine 5A-2B e 2A+3B. 
b) Determine A2 =AxA e AxC. 
c) Mostre que as matrizes D e D comutam, isto é, DxE = ExD, mas que A e B não comutam. 
3 – Determine, se possível, o valor de x, para que a matriz (
0 2𝑥 1
𝑥2 0 −4𝑥
𝑥 + 1 𝑥3 0
) seja: 
a) Simétrica. 
b) Antissimétrica. 
4 – Para cada uma das matrizes, calcule o determinante, a matriz adjunta e a matriz inversa: 
a) (
3 −1
4 2
) 
b) (
1 3 4
5 2 −3
1 4 2
) 
c) (
1 3
3 1
2 0
0 2
2 3
0 2
0 1
1 3
) 
5 – Para as mesmas matrizes da questão anterior, utilize operações elementares para 
transformá-las para a forma escada. 
 
SISTEMAS LINEARES 
6 – Use o método de Gauss para resolver os seguintes sistemas de equações lineares: 
 
 
7 – Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3𝑥3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗, 𝑖 < 𝑗
2𝑖 − 𝑗, 𝑖 = 𝑗
𝑗 − 𝑖, 𝑖 > 𝑗
. Determine X na equação AX=B, 
onde 𝐵 = (−2 −2 −2)𝑇. 
8 – Resolva os seguintes sistemas pela Regra de Cramer: 
 
 
VETORES E ESPAÇOS VETORIAIS 
9 – Dada a figura a baixo, a qual representa um paralelepípedo retângulo, verificar se é 
verdadeira ou falsa cada uma as afirmações: 
 
10 – Dados os pontos A(1,2) e B(3,-1), determine o ponto C(x,y), que satisfaça: 
a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
11 – Dados os vetores a = (-1, -1) e b = (1,3), determinar o vetor c, tal que: 
a) 2
3
𝑎 + 1
2
(𝑎 − 𝑏) = 𝑏 + 𝑐 
b) 4𝑎 + 1
2
(𝑥 − 𝑏) = 𝑥 + 𝑎 
12 – Achar o vetor b, tal que |b| = 5 e que possua mesma direção e sentido que o vetor 
a = 6i – 2j – 3k. 
13 – Dados os vetores a = i + 2j - 3k e b = 2i + j – 2k, determine o versor para os vetores: 
a) a + b 
b) 2a – 3b 
14 – Dados os vetores u = (3,2), v=(2,4) e w=(1,3), determinar w como uma combinação linear 
de u e v. 
15 – Dados os vetores a=(3,-2,1), b=(-1,1,-2) e c=(2,1,-3), determinar o vetor v=(11,-6,5) em 
função da base =(a,b,c). 
16 – Sendo u=(2,-3,-6) e v=(3,-4,-4), calcular: 
a) w = u.v 
b) w = (2u-3v).(u+2v) 
c) a projeção de v sobre u. 
d) o vetor projeção de v sobre u. 
e) w = u x v 
f) w = v x u 
g) w = (v-u) x v 
OBS: a operação “ . ” significa o produto escalar de vetores e a operação “ x ” significa o produto 
vetorial. 
17 – Verifique (e justifique caso negativo) se o conjunto das matrizes M2x2 com a operação de 
soma usual e a operação de multiplicação por um escalar dada por 𝑚(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
𝑚𝑎 𝑚𝑏
𝑐 𝑑
) 
formam um espaço vetorial. 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES, AUTOVALORES E AUTOVETORES 
18 – Verifique se as seguintes transformações 𝑇:𝑅2 → 𝑅3 são lineares ou não: 
a) T(x,y) = (2x, x+y, 2y) 
b) T(x,y) = (2x, x+y, 2y+2) 
19 – Determine o núcleo da transformação linear 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2, dado por 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧, 𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧). 
20 – Considere a transformação linear 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 − 𝑧), encontre os 
autovalores e autovetores desta transformação.