Operador ortogonal

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Criando um operador ortogonal através do processo
de ortonormalização de Gram-Schmidt
Henrique Santos Lima
25/05/2017
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e {β} uma base
constituida de vetores
~βi não ortonormais entre si,então pode existir
uma base {β′} onde os seus vetores ~β′i são ortonormais entre si.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Exemplo
β = {(1, 2), (1, 1)} não é ortonormal,mas existe uma base β‘ em
que seus vetores são ortonormais entre si.
Aqui já está se supondo que o leitor conheça o processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt.
Chamando
~u
1
= (1, 2) e ~v
1
= (1, 1) tem-se :
~u
2
= ~v
1
− (~u1 · ~v1)~u1||~u
1
|| = (1, 1)−
3(1, 2)
5
=
(2,−1)
5
onde pode-se
utilizar um múltiplo tal que
~u′
2
= (2,−1).
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Exemplo
β = {(1, 2), (1, 1)} não é ortonormal,mas existe uma base β‘ em
que seus vetores são ortonormais entre si.
Aqui já está se supondo que o leitor conheça o processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt.
Chamando
~u
1
= (1, 2) e ~v
1
= (1, 1) tem-se :
~u
2
= ~v
1
− (~u1 · ~v1)~u1||~u
1
|| = (1, 1)−
3(1, 2)
5
=
(2,−1)
5
onde pode-se
utilizar um múltiplo tal que
~u′
2
= (2,−1).
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Exemplo
β = {(1, 2), (1, 1)} não é ortonormal,mas existe uma base β‘ em
que seus vetores são ortonormais entre si.
Aqui já está se supondo que o leitor conheça o processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt.
Chamando
~u
1
= (1, 2) e ~v
1
= (1, 1) tem-se :
~u
2
= ~v
1
− (~u1 · ~v1)~u1||~u
1
|| = (1, 1)−
3(1, 2)
5
=
(2,−1)
5
onde pode-se
utilizar um múltiplo tal que
~u′
2
= (2,−1).
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Exemplo
β = {(1, 2), (1, 1)} não é ortonormal,mas existe uma base β‘ em
que seus vetores são ortonormais entre si.
Aqui já está se supondo que o leitor conheça o processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt.
Chamando
~u
1
= (1, 2) e ~v
1
= (1, 1) tem-se :
~u
2
= ~v
1
− (~u1 · ~v1)~u1||~u
1
|| = (1, 1)−
3(1, 2)
5
=
(2,−1)
5
onde pode-se
utilizar um múltiplo tal que
~u′
2
= (2,−1).
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Exemplo
β = {(1, 2), (1, 1)} não é ortonormal,mas existe uma base β‘ em
que seus vetores são ortonormais entre si.
Aqui já está se supondo que o leitor conheça o processo de
ortonormalização de Gram-Schmidt.
Chamando
~u
1
= (1, 2) e ~v
1
= (1, 1) tem-se :
~u
2
= ~v
1
− (~u1 · ~v1)~u1||~u
1
|| = (1, 1)−
3(1, 2)
5
=
(2,−1)
5
onde pode-se
utilizar um múltiplo tal que
~u′
2
= (2,−1).
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Logo ,ortonormalizando
~u
1
e ~u
2
:
uˆ
1
=
(1, 2)√
5
e uˆ‘
2
=
(2,−1)√
5
Assim,β‘ =
{
(1, 2)√
5
,
(2,−1)√
5
}
.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Logo ,ortonormalizando
~u
1
e ~u
2
:
uˆ
1
=
(1, 2)√
5
e uˆ‘
2
=
(2,−1)√
5
Assim,β‘ =
{
(1, 2)√
5
,
(2,−1)√
5
}
.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Logo ,ortonormalizando
~u
1
e ~u
2
:
uˆ
1
=
(1, 2)√
5
e uˆ‘
2
=
(2,−1)√
5
Assim,β‘ =
{
(1, 2)√
5
,
(2,−1)√
5
}
.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Logo ,ortonormalizando
~u
1
e ~u
2
:
uˆ
1
=
(1, 2)√
5
e uˆ‘
2
=
(2,−1)√
5
Assim,β‘ =
{
(1, 2)√
5
,
(2,−1)√
5
}
.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Operadores ortogonais
Sendo o mais breve possível,um operador é dito ortonormal se e
somente se:
T ~u · T~v = ~u · ~v ,ou seja,o operador ortogonal preserva norma e por
consequência preserva ângulo.
Outra propriedade é,
T tT = TT t = I ,portanto T t = T−1.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Operadores ortogonais
Sendo o mais breve possível,um operador é dito ortonormal se e
somente se:
T ~u · T~v = ~u · ~v ,ou seja,o operador ortogonal preserva norma e por
consequência preserva ângulo.
Outra propriedade é,
T tT = TT t = I ,portanto T t = T−1.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Introdução
Operadores ortogonais
Sendo o mais breve possível,um operador é dito ortonormal se e
somente se:
T ~u · T~v = ~u · ~v ,ou seja,o operador ortogonal preserva norma e por
consequência preserva ângulo.
Outra propriedade é,
T tT = TT t = I ,portanto T t = T−1.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Matriz do operador ortogonal
T =
1√
5
(
1 2
2 −1
)
.
Observa-se que T também é simétrica.
T t = T .
Observa-se que TT t =
1
5
(
1 2
2 −1
)(
1 2
2 −1
)
=
(
1 0
0 1
)
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Matriz do operador ortogonal
T =
1√
5
(
1 2
2 −1
)
.
Observa-se que T também é simétrica.
T t = T .
Observa-se que TT t =
1
5
(
1 2
2 −1
)(
1 2
2 −1
)
=
(
1 0
0 1
)
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Matriz do operador ortogonal
T =
1√
5
(
1 2
2 −1
)
.
Observa-se que T também é simétrica.
T t = T .
Observa-se que TT t =
1
5
(
1 2
2 −1
)(
1 2
2 −1
)
=
(
1 0
0 1
)
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Matriz do operador ortogonal
T =
1√
5
(
1 2
2 −1
)
.
Observa-se que T também é simétrica.
T t = T .
Observa-se que TT t =
1
5
(
1 2
2 −1
)(
1 2
2 −1
)
=
(
1 0
0 1
)
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Mostrando a ortogonalidade
Seja
~u = (3, 5) e ~v = (5, 8) vetores quaisquer , então:
~u · ~v = 15+ 40 = 55.
1
5
(
1 2
2 −1
)(
3
5
)
·
(
1 2
2 −1
)(
5
8
)
=
1
5
(
13
1
)
·
(
21
2
)
=
1
5
(273+ 2) = 55.Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Mostrando a ortogonalidade
Seja
~u = (3, 5) e ~v = (5, 8) vetores quaisquer , então:
~u · ~v = 15+ 40 = 55.
1
5
(
1 2
2 −1
)(
3
5
)
·
(
1 2
2 −1
)(
5
8
)
=
1
5
(
13
1
)
·
(
21
2
)
=
1
5
(273+ 2) = 55.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Mostrando a ortogonalidade
Seja
~u = (3, 5) e ~v = (5, 8) vetores quaisquer , então:
~u · ~v = 15+ 40 = 55.
1
5
(
1 2
2 −1
)(
3
5
)
·
(
1 2
2 −1
)(
5
8
)
=
1
5
(
13
1
)
·
(
21
2
)
=
1
5
(273+ 2) = 55.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt
Criando um operador ortonormal gerado por uma base de
dimensão 2(partindo do exemplo anterior.)
Portanto,T é um operador ortogonal.
Henrique Santos Lima
Criando um operador ortogonal através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt