Lista 2

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Ca´lculo A - IME/UFBA
Professor: Maikel Antonio Samuays
Lista 2 - 15/05/2017
(1) Considere a func¸a˜o f(x) =
x− 5
2− x .
(a) Deˆ o domı´nio de f , esboce o gra´fico de f e encontre a imagem de f ;
(b) Determine os valores de x para os quais f(x) ≥ 2.
(2) Encontre o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
√
1
x
+
1
x− 1 (b) g(x) =

√−3 + |x+ 1|, se x ≥ 2
1
x− 1 −
√−x, se x < 2 .
(3) Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x− |x|
(b) h(x) =
{
10− 2x, se x > 3
(x− 2)2, se x ≤ 3
(c) g(x) =
x3 + 3x2 + 2x+ 6
x+ 3
(d) l(x) =
|x|
x
.
(4) Sejam f(x) =
x2 − 9
x− 3 e g(x) = x+ 3. Podemos dizer que f = g? Explique!
(5) Quais das seguinte func¸o˜es sa˜o pares? E ı´mpares?
(a) a(x) = (x− 1)2 (b) b(x) = x|x| (c) c(x) = √3x4 + 2x2.
(6) Determine se o conjunto dado e´ o gra´fico de uma func¸a˜o:
(a) A = {(x, y) ∈ R2 ; y = x2}
(b) B = {(x, y) ∈ R2 ; y2 = x}
(c) C = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1}.
(7) Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na figura abaixo. A partir deste, esboce os
gra´ficos das func¸o˜es: g(x) = |f(x)|, h(x) = f(|x|), j(x) = f(x− 1) e k(x) = f(x)− 1.
1
2
(8) Demonstre, pela definic¸a˜o, que a func¸a˜o f(x) = 4x− 3 e´ cont´ınua no ponto p = 2.
(9) Seja f definida em R e tal que, para todo x, |f(x)− 3| ≤ 2|x− 1|. Calcule lim
x→1
f(x).
(10) Prove que a func¸a˜o modular e´ cont´ınua em toda a reta, ou seja, lim
x→a
|x| = |a|, ∀ a ∈ R.
(11) Determine, se existir, os seguintes limites:
(a) lim
x→−1
(−x2 − 2x+ 3)
(b) lim
x→2
√
7
(c) lim
x→0
5
x− 1
(d) lim
x→3
3x− 9
x− 3
(e) lim
x→4
x− 4√
x−√2
(f) lim
a→−2
√
a(a− 1)
(g) lim
x→−3
√
x2 + 16− 5
x2 + 3x
(h) lim
x→1
x4 − x3 − x2 + 1
x2 + x− 2
(i) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
(j) lim
x→−9
(
√−x− x− 10)
(k) lim
x→2−
x2 − 2x
x2 − 4x+ 4
(l) lim
x→1
(
1
x− 1 +
3
1− x3
)
(m) lim
x→1
x+
√
x− 2
x3 − 1
(n) lim
x→1
x2 − 1
|x− 1|
(o) lim
x→0
x− 1
|x|
(p) lim
x→9
x
√
x
x2 − 1
(q) lim
λ→3
1−√1 + λ√
λ− 1− λ
(r) lim
x→1−
x
1− x
(s) lim
x→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1
(t) lim
t→0
√
2− t−√2
t
(u) lim
x→a
(
√
x−√a)2
x− a
(v) lim
x→2
1
x
− 1
2
x− 2
(w) lim
x→1
√
x− x2
1−√x
(x) lim
x→0+
3
x2 − x
(y) lim
x→3
√
(x− 3)2
x− 3
(z) lim
t→0
[
1
t
√
1 + t
− 1
t
]
.
(12) Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
{
2x, se x ≤ 1
1, se x > 1 (b) g(x) =

x, se x < 0
x2, se 0 ≤ x ≤ 2
8− x, se x > 2
.
(13) Em cada caso, determine (se poss´ıvel) um valor de λ ∈ R para o qual a func¸a˜o seja cont´ınua
no ponto p:
(a) f(x) =

|x|
x
, se x 6= 0
λ, se x = 0
, p = 0 (b) f(x) =

x3 − 8
x− 2 , x 6= 2
λ, x = 2
, p = 2.
(14) Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R e que seja cont´ınua em R \ {−1, 0, 1}.
(15) Existe um nu´mero a ∈ R tal que lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2 exista? Caso afirmativo, encontre
a e o valor do limite.
3
GABARITO
(1) a) Df = R \ {2} e Im(f) = R \ {−1}, b) (2, 3];
(2) a) Df =
(
0,
1
2
)
∪ (1,+∞);
(4) Na˜o (5) a) Na˜o e´ par nem ı´mpar, b) I´mpar e c) Par;
(6) a) E´ gra´fico de func¸a˜o, b) Na˜o e´ gra´fico de func¸a˜o e c) Na˜o e´ gra´fico de func¸a˜o (9) 3;
(11) a) 4, b)
√
7, c) -5, d) 3, e) 0, f)
√
6, h) −1
3
, i) -1, j) 2, l) 1, m)
1
2
n) Na˜o existe, o) Na˜o existe, p)
27
80
, q)
1
3−√2, r) Na˜o existe, s) 2, u) 0 (a > 0) ou 6 ∃ (a = 0)
w) 3, y) Na˜o existe, z) −1
2
;
(12) a) R \ {1} e b) R \ {2};
(13) a) Na˜o existe tal λ, b) λ = 12 (15) a = 15.