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Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Semestre de Primavera 2011/2012 Cálculo I Caderno de exercícios Três Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Semestre de Inverno 2011/2012 Cálculo I Caderno de exercícios Três Sucessões Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Semestre de Inverno 2011/2012 Cálculo I Caderno de exercícios Dois Sucessões Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Semestre de Primavera 2010/2011 Cálculo I Caderno de exercícios Três Sucessões Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário. José António Pinheiro Ernesto Freitas Claudia Alves Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário. Maria Helena Almeida Claudia Andrade Guilherme Pereira Ernesto Freitas Claudia Alves Todos os exercicios não resolvidos nas aulas são considerados trabalhos de casa, endo os alunos convidados a resolverem-nos com o apoio dos docentes, se necessário. Maria Helena Almeida Claudia Andrade Guilherme Pereira Ernesto Freitas Claudia Alves ! "#$%&'&()* +$*),-(.)* !" #$%&'() * +'&,* -'&). /)$ $0%'$$1'$2 3)4 !! !! !! !! """ 354 !! "! !! "! """ 3%4 !! !" ! ! # ! ! $ ! """ 3/4 "! !" ! " # ! # $ ! """ 3'4 !!! !" ! !# !! !$ ! """ 364 !! ! # !" ! ! # ! " # ! $ ! ! # ! " # ! $ # ! % ! """ +$*),/01)2 3)4 #! $ ! 354 #! $ ! ! $' $ 7 8,9)& " $' $ 7 9)& 3%4 #! $ !! 3/4 #! $ !!!! 3'4 #! $ %!!&!&! !! 364 #! $ !" "'! # ! " $"!! :" ;)&) )$ $0%'$$1'$ /* '<'&%8%=* )>+'&=*&? /=-) @0)=$ $A* .=,=+)/)$? @0)=$ $A* '$+&=+),'>+' %&'$%'>+'$? 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a /)/) ) $0%'$$A* %%!& /'F>=/) 9*& %! $ !"! ' ) '$# !" 3)4 K*$+&' @0' OT 7 +'&,* /) $0%'$$A*" 354 N $0%'$$A* +', ).-0>$ +'&,*$ >0.*$` 3%4 D'+'&,=>' * ,)=*& +'&,* /) $0%'$$A*" 3/4 N $0%'$$A* 7 .=,=+)/)` :" Y>/=@0' * %*>Q0>+* /*$ ().*&'$ &')=$ /' % 9)&) *$ @0)=$ ) $0%'$$A* /' +'&,* -'&). #! $ %! *!&"! 72 3)4 C*>('&-'>+'" 354 D=('&-'>+'? ,)$ .=,=+)/)" E" ^'Q) 9! * +'&,* -'&). /' 0,) $0%'$$A* +). @0' 9)&) +*/* * $ & ! ) " + 9! + 9!&! + !" l0$+=F@0' @0' ) $0%'$$A* 7 %*>('&-'>+'" J" C*>$=/'&' ) $0%'$$A* /' +'&,* -'&). H! $ = !&1 1 ? ? & !" 3)4 ;&*(' @0' ) $0%'$$A* 7 ,*>H+*>) %&'$%'>+'" 354 K*$+&' @0' 0.1 * H!&! H! +! $ )1" L" C*>$=/'&' ) 60>GA* *%;& $ ! !! # ; $' ; + ' * # ; $' ; " ' D'+'&,=>'2 3)4 0.1 * 2 #!&! !&! 3 354 0.1 * # )!"!&! $ 3%4 0.1 * # '! #! $ JE P" D'+'&,=>' * >\,'&* &'). 7? +). @0'2 0.1 ! : $=7! $! $ ' R" ^)5'>/* @0' 0.1#! $ " ' 0.1#!"9! $ 7? %).%0.' 0.1%! # #!&-! " T" Y>/=@0'? 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Como ] [1;1 2 1 !"=r , a série geométrica é convergente e é possível calcular a sua soma pela fórmula: 1 2 11 2 1 1 1 = ! = ! = r uS b) ! " =1 1 n n Resolução: ... 10 1... 3 1 2 1 1 11 1 +++++=! " =n n ! "%! Para a série ser geométrica, teremos de encontrar a respectiva razão, que será a constante resultante da seguinte fórmula: 11 1 1 1 + =+== + n n n n u ur n n . Como se obteve uma expressão que depende de n não se trata de uma constante, logo não é uma série geométrica. O número pelo qual multiplicamos um termo para obter o seguinte não é sempre o mesmo, não é fixo! c) ( )[ ]! " ## 1 2.4 n n Resolução: ( )[ ] ( )[ ][ ] ... 8 1... 4 1 2 112 2 1.42.42.4 11 1 1 +!!+!+!= " " # $ % % & ' ( ) *+ , -!=!=! ... // ! / ! n n n n n n Se a série for geométrica a razão resultará da fórmula: ( ) ( ) ( ) 2 12 2.4 2.4 )(1)1(1 !=!= ! !== !!!!! +! + nn n n n n u ur ! Trata-se de uma série geométrica de razão 2 1! $ Como ] [1;1 2 1 !"!=r , a série geométrica é convergente e é possível calcular a sua soma: 3 4 2 3 2 2 11 2 1 1 !=!= " # $% & '!! != ! = r uS d) ( )[ ]! " # 1 1.7 n n Resolução: ( )[ ] ...7...777771.7 1 +!+!+!+!=!" #n n Se a série for geométrica a razão (constante) resultará da fórmula: ( ) ( ) ( ) 11 1.7 1.7 111 !=!= ! !== !+ + + nn n n n n u ur ! ! "&! Trata-se de uma série geométrica de razão 1! $ Como ] [1;11 !"!=r , a série geométrica é divergente e não é possível calcular a sua soma (não terá soma finita). Nota: pelo Critério Geral de Convergência via-se logo que esta série numérica não era convergente pois o termo geral ( )nnu 1.7 != não tem limite 0. 2- Indique, justificando, quais das seguintes séries numéricas são séries geométricas convergentes. a) n n n n 2 1 2 1! " # $ %& ' ( + + Resolução: Antes de estudar se a série é geométrica, verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. Parece ser uma boa ideia! Se não for respeitado temos o trabalho facilitado pois podemos imediatamente concluir que a série não é convergente. Estudemos assim o limite do termo geral. ( ) 221 2 2 222 1 2 11lim 2 11lim 2 1limlim e e nnn nu n n nnn n == ! ! " # $ $ % & ' ( )* + , + -+=' ( )* + , + -=' ( )* + , + += - ++ Como 01lim 2 != e un , a série não é convergente. Logo nunca será uma série geométrica convergente. Não são necessários cálculos adicionais de modo a perceber se a série é, ou não, geométrica. b) ! " + 1 8 n n n Resolução: Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. 181lim8limlim =! " #$ % & +=+= nn nun Como 01lim !=nu , a série não é convergente. Logo nunca será uma série geométrica convergente. ! "'! c) ! " +1 )2( 1 n nn Resolução: Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. 01 )2( 1limlim = !+ = + = nn un Como o limite do termo geral é 0 o critério é respeitado, logo nada podemos concluir à partida sobre a natureza da série. Tanto pode ser convergente ou divergente. Verifiquemos então se a série é geométrica. ( ) ( ) )3(1 )2( )2( 1 )21(1 1 1 ++ += + +++== + nn nn nn nn u ur n n ! Não é série geométrica. A expressão depende de n . Logo é falso que esta série numérica seja uma série geométrica convergente. d) ( )! " # 1 5.7 n n Resolução: Verifiquemos à partida se o Critério Geral de Convergência é respeitado. ( ) 05 7 5lim5.7limlim = !+ === " n n nu , logo a série tanto pode ser convergente como divergente. Não foi muito conclusiva a aplicação do Critério Geral de Convergência, mas poderia ter sido! Verifiquemos se é série geométrica. 7 17 7 7 7 5 7 5 )1( 1 1 1 ===== +!+ + + nn n n n n n n u ur Trata-se de uma série geométrica de razão 7 1 $! Como ] [1;1 7 1 !"=r , a série geométrica é convergente. Seria até possível calcular a sua soma, mas tal não é pedido no exercício. ! "(! Exercícios Propostos: 1- Averigúe se as seguintes séries numéricas são séries geométricas. Em caso afirmativo, calcule a sua razão e, sempre que possível, a soma da série. a) ! " # 1 2 n n b) ! "1 4 3 n n n c) ! +" = # $ % &' ( ) 2 1 5 2 n n d) ! = " 6 1 13 k k e) ! " =1 2 1 k n f) ! " + 1 16 1 n n g) ! " + 0 45 5 n n n h) ! " # 1n nne $ i) ! " +# 1 1)1( n n j) ! +" = +# 1 )1( 7 4 n n k) ! " ## 1 1 3 2)1( n n nn l) ! +" = # 1 2 n nn e m) ! +" =1 33 8 n n n n) ! +" = # 1 2 8 )1(5 n n nn o) ! +" = # 1 2 1 3 5 n n n p) ( )! +" = +## ### 1 )12(1 1 35 2 n nn n ! #)! q) ( ) inteiro,com,cos 0 kk n n !"" #$ % r) ! "0 2n n n xsen s) ( )! "1 cos n n# t) ! " # $ %& ' ( ++ 1 3 2 cos4 n n n n)) 2- Considere as seguintes séries. Determine os valores de x para os quais as séries são convergentes. a) ! " =1 4n n nx b) ( )! " = + 1 3 12 n n nx c) ( )! " = # # 1 12 3 n n nx d) ! " = + 1 25 n nn x e) ( )! " ## 1 2 0, n n xxtg $ f) ( )! " = # 0 21 n nn x 3- Será possível garantir que as séries são convergentes? Se sim, indique as suas somas. a) ! +" = + 1 7 52 n n nn b) ( ) ! "+ = + 1 2 2 3 2 9 n n n c) ! "+ = + + 1 21 92 n n n n e ! #*! 4- Mostre que as seguintes séries divergem. a) ! +" = +1 3 15 2 n n n b) ! +" = + # 1 46 2 n n n c) ! "+ = # $ %& ' ( 1 1 3 1 n n n d) ! +" =2 )ln(n n n e) ! +" = + # 1 5 n en en $ 5- Sendo ! na e ! nb duas séries convergentes de termos positivos, mostre porque razão se pode afirmar que a série ! ""# $ %%& ' + nn ba 11 diverge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