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Computação Numérica Lista de Exercícios ECT2401 Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 1. Qual a diferença de uma solução analítica para uma solução numérica típica de uma EDO? 2. Seja y′+2y = x2. Resolva a EDO usando métodos de Runge-Kutta de primeira, segunda, terceira e quarta ordens de x = 0 a x = 2 com condição inicial y(0) = 0, 25 e h = 0, 5. 3. Considere o tanque cilíndrico mostrado na figura ao lado. Enche-se o tanque por cima e a água sai por um cano conectado no fundo. A taxa de variação da altura do nível de água h é dada pela equação: ρAtank dh dt = K1 +K2 cos( pi 12 t)− ρAhole √ 2gh. No tanque em questão, Atank = 3, 13 m 2 , Ahole = 0, 06 m2, K1 = 300/3600 kg/s, K2 = 200/3600 kg/s. Além disso, ρ = 1000 kg/m3 e g = 9, 81 m/s2. De- termine e trace um gráfico com a altura do nível de água no tanque em função do tempo em 0 ≤ t ≤ 50 s, dado que, inicialmente, a altura do nível de água é de 3 m. 4. Dado o PVI abaixo, faça o que se pede: y′ = (y2 + y)/t, 1 <= t <= 2, y(1) = −2, h = 0, 5 (a) Utilize o método de Euler e analise GRAFICAMENTE a aproximação, comparando com a solução real e mostrando o erro em cada ponto calculado. (Solução real: y(t) = (2t)/(1− 2t)); (b) Utilizar o método de Euler Modificado e o método do Ponto Médio para encontrar a solução. Qual dos dois gera o menor erro em t=2? Comente o resultado. 5. Resolva o seguinte sistema de duas EDOs: dx dt = xt− y, dy dt = yt+ x de t = 0 a t = 1, 2 com x(0) = 1 e y(0) = 0.5 (Resolva por Heun com h = 0, 3). 6. Transforme a EDO abaixo em um sistema de EDOs de ordem 1: d4y dt4 = d2y dt2 et + ( d3y dt3 )3 com y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 4 7. Considere a vibração forçada do sistema massa-mola mostrado na figura abaixo. A posição x da massa em função do tempo é dada pela solução da equação: d2x dt2 = − k m x+ F0 m cosωt onde m = 2kg é a massa, k = 8N/m é a constante da mola, F0 = 5N é a amplitude da força harmônica aplicada e ω = 3rad/s é a frequência dessa força. As condições iniciais são x(0) = 0, 1m e x′(0) = 0, 1m/s. Resolva a equação em 0 ≤ t ≤ 10s e trace os gráficos de x(t) e x′(t) (use RK-4 e h = 1s). 8. Mostre o gráfico do nível dos tanques 1 e 2 (L1(t) e L2(t)) para as seguintes entradas de tensão: Vp(t) = 5, Vp(t) = 6 + 5 sen(t) e Vp(t) = t. Considere t variando de 0 (zero) até 20s, L1(0) = 0 e L2(0) = 0. dL1 dt = − a1 A1 √ 2gL1 + km A1 Vp(t) dL2 dt = − a2 A2 √ 2gL2 + a1 A1 √ 2gL1 Gabarito - EDO 1. Teórica 2. x = ( 0 0.5 1 1.5 2 ) yEuler = ( 0.25 0 0.125 0.5 1.125 ) yHeun = ( 0.25 0.1875 0.34375 0.734375 1.3671875 ) yRK−4 = ( 0.25 0.1276042 0.2535807 0.6289469 1.2540843 ) 3. Resolvida usando Heun com h = 5s. Os pontos são: (0.000, 3.000) (5.000, 2.313) (10.000, 1.716) (15.000, 1.210) (20.000, 0.793) (25.000, 0.468) (30.000, 0.233) (35.000, 0.095) (40.000, 0.030) (45.000,−0.014) (50.000,−0.056) Figura 1: Questão 3. 4. Pontos por Euler: (1.000,−2.000) (1.500,−1.000) (2.000,−1.000). Erro em cada ponto (x, yExato − yEuler): (1.000, 0.000) (1.500,−0.500) (2.000,−0.333). Pontos por Heun: (1.000,−2.000) (1.500,−1.500) (2.000,−1.336). Erro em cada ponto (x, yExato − yHeun): (1.000, 0.000) (1.500, 0.000) (2.000, 0.003) 5. Resolvendo por Heun, usando h = 0, 3. Pontos de (ti, xi): (0.000, 1.000) (0.300, 0.843) (0.600, 0.649) (0.900, 0.348) (1.200,−0.196) Pontos de (ti, yi): (0.000, 0.500) (0.300, 0.813) (0.600, 1.180) (0.900, 1.660) (1.200, 2.326). 6. Figura 2: Questão 4. 7. Resolvendo por RK-4, usando h = 1. Pontos de (ti, xi): (0.000, 0.100) (1.000, 0.059) (2.000,−0.508) (3.000, 0.748) (4.000,−0.680) (5.000, 0.513) (6.000,−0.442) (7.000, 0.479) (8.000,−0.528) (9.000, 0.513) (10.000,−0.442) Pontos de (ti, vi): (0.000, 0.100) (1.000,−0.937) (2.000, 0.871) (3.000,−0.104) (4.000,−0.628) (5.000, 0.944) (6.000,−0.993) (7.000, 1.080) (8.000,−1.322) (9.000, 1.624) (10.000,−1.851) .
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