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Computação Numérica Lista de Exercícios ECT2401
Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
1. Qual a diferença de uma solução analítica para uma solução numérica típica de uma
EDO?
2. Seja y′+2y = x2. Resolva a EDO usando métodos de Runge-Kutta de primeira, segunda,
terceira e quarta ordens de x = 0 a x = 2 com condição inicial y(0) = 0, 25 e h = 0, 5.
3. Considere o tanque cilíndrico mostrado na figura ao
lado. Enche-se o tanque por cima e a água sai por
um cano conectado no fundo. A taxa de variação da
altura do nível de água h é dada pela equação:
ρAtank
dh
dt
= K1 +K2 cos(
pi
12
t)− ρAhole
√
2gh.
No tanque em questão, Atank = 3, 13 m
2
, Ahole =
0, 06 m2, K1 = 300/3600 kg/s, K2 = 200/3600 kg/s.
Além disso, ρ = 1000 kg/m3 e g = 9, 81 m/s2. De-
termine e trace um gráfico com a altura do nível de
água no tanque em função do tempo em 0 ≤ t ≤ 50
s, dado que, inicialmente, a altura do nível de água é
de 3 m.
4. Dado o PVI abaixo, faça o que se pede:
y′ = (y2 + y)/t, 1 <= t <= 2, y(1) = −2, h = 0, 5
(a) Utilize o método de Euler e analise GRAFICAMENTE a aproximação, comparando
com a solução real e mostrando o erro em cada ponto calculado. (Solução real:
y(t) = (2t)/(1− 2t));
(b) Utilizar o método de Euler Modificado e o método do Ponto Médio para encontrar
a solução. Qual dos dois gera o menor erro em t=2? Comente o resultado.
5. Resolva o seguinte sistema de duas EDOs:
dx
dt
= xt− y, dy
dt
= yt+ x
de t = 0 a t = 1, 2 com x(0) = 1 e y(0) = 0.5 (Resolva por Heun com h = 0, 3).
6. Transforme a EDO abaixo em um sistema de EDOs de ordem 1:
d4y
dt4
=
d2y
dt2
et +
(
d3y
dt3
)3
com y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 4
7. Considere a vibração forçada do sistema massa-mola mostrado na figura abaixo. A
posição x da massa em função do tempo é dada pela solução da equação:
d2x
dt2
= − k
m
x+
F0
m
cosωt
onde m = 2kg é a massa, k = 8N/m é a constante da mola, F0 = 5N é a amplitude da
força harmônica aplicada e ω = 3rad/s é a frequência dessa força. As condições iniciais
são x(0) = 0, 1m e x′(0) = 0, 1m/s. Resolva a equação em 0 ≤ t ≤ 10s e trace os gráficos
de x(t) e x′(t) (use RK-4 e h = 1s).
8. Mostre o gráfico do nível dos tanques 1 e 2 (L1(t) e L2(t)) para as seguintes entradas de
tensão: Vp(t) = 5, Vp(t) = 6 + 5 sen(t) e Vp(t) = t. Considere t variando de 0 (zero) até
20s, L1(0) = 0 e L2(0) = 0.
dL1
dt
= − a1
A1
√
2gL1 +
km
A1
Vp(t)
dL2
dt
= − a2
A2
√
2gL2 +
a1
A1
√
2gL1
Gabarito - EDO
1. Teórica
2.
x =
(
0 0.5 1 1.5 2
)
yEuler =
(
0.25 0 0.125 0.5 1.125
)
yHeun =
(
0.25 0.1875 0.34375 0.734375 1.3671875
)
yRK−4 =
(
0.25 0.1276042 0.2535807 0.6289469 1.2540843
)
3. Resolvida usando Heun com h = 5s. Os pontos são: (0.000, 3.000) (5.000, 2.313)
(10.000, 1.716) (15.000, 1.210) (20.000, 0.793) (25.000, 0.468) (30.000, 0.233) (35.000, 0.095)
(40.000, 0.030) (45.000,−0.014) (50.000,−0.056)
Figura 1: Questão 3.
4. Pontos por Euler: (1.000,−2.000) (1.500,−1.000) (2.000,−1.000).
Erro em cada ponto (x, yExato − yEuler): (1.000, 0.000) (1.500,−0.500) (2.000,−0.333).
Pontos por Heun: (1.000,−2.000) (1.500,−1.500) (2.000,−1.336).
Erro em cada ponto (x, yExato − yHeun): (1.000, 0.000) (1.500, 0.000) (2.000, 0.003)
5. Resolvendo por Heun, usando h = 0, 3.
Pontos de (ti, xi): (0.000, 1.000) (0.300, 0.843) (0.600, 0.649) (0.900, 0.348) (1.200,−0.196)
Pontos de (ti, yi): (0.000, 0.500) (0.300, 0.813) (0.600, 1.180) (0.900, 1.660) (1.200, 2.326).
6.
Figura 2: Questão 4.
7. Resolvendo por RK-4, usando h = 1.
Pontos de (ti, xi): (0.000, 0.100) (1.000, 0.059) (2.000,−0.508) (3.000, 0.748) (4.000,−0.680)
(5.000, 0.513) (6.000,−0.442) (7.000, 0.479) (8.000,−0.528) (9.000, 0.513) (10.000,−0.442)
Pontos de (ti, vi): (0.000, 0.100) (1.000,−0.937) (2.000, 0.871) (3.000,−0.104) (4.000,−0.628)
(5.000, 0.944) (6.000,−0.993) (7.000, 1.080) (8.000,−1.322) (9.000, 1.624) (10.000,−1.851)
.

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