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1 PUCRS FENG Aula 3 PUCRS FENG 60 Questão Principal Avaliação econômica de projetos PUCRS FENG Comparação de alterna/vas de inves/mento U/lização de uma taxa de juros adequada Antes de iniciar a análise e comparação das diferentes oportunidades de inves/mento encontradas, deve-‐se determinar qual será o custo do capital atribuído à empresa. 61 Avaliação econômica de projetos PUCRS FENG Este custo refere-‐se diretamente aos riscos que o inves;dor irá correr ao optar por determinado inves;mento, e, consequentemente, ao retorno que o mesmo irá esperar por tal ação. A TMA pode ser definida como a taxa de desconto resultante de uma polí;ca definida pelos dirigentes da empresa. Esta taxa deve refle;r o custo de oportunidade dos inves;dores, que podem escolher entre inves;r no projeto que está sendo avaliado ou em outro projeto similar empreendido por uma outra empresa. 62 Taxa Mínima de Atra;vidade (TMA) Avaliação econômica de projetos 2 PUCRS FENG TMA Tx de juros da empresa no mercado Incerteza dos valores de fluxo de caixa TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 63 CUSTO MÉDIO PONDERADO DE CAPITAL (CMPC/WACC) Capital Próprio + Capital de Terceiros Método que serve para determinar o custo de capital da empresa. O resultado do CMPC serve como base para a determinação da TMA da empresa. Exemplo: uma empresa que possui CMPC de 15% ao ano, poderá trabalhar com uma TMA de 17% ao ano, pois a empresa não quer somente o pagamento de seu capital, como um retorno acima dele (spread). 64 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE CUSTO MÉDIO PONDERADO DE CAPITAL (CMPC/WACC) Capital Próprio + Capital de Terceiros onde: valor das dívidas na estrutura de capital; valor do capital próprio na estrutura de capital; alíquota de tributação marginal; custo do capital de terceiros; custo do capital próprio. 65 ( ) edc rED ErT ED DCMPC ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +×−×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 =D =E =cT =dr =er TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 66 CUSTO MÉDIO PONDERADO DE CAPITAL (CMPC/WACC) Exemplo: Calcule o CMPC de uma empresa calçadista que possui taxa de capital próprio de 15%a.a. e capta cerca de 30% de seus recursos inves;dos no mercado a uma taxa de 18%a.a. A empresa está subme;da a uma alíquota de 34% de IR. ..%06,14 aaCMPC = ( ) %15 7030 70%1834,01 7030 30 ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +×−×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =CMPC ( ) edc rED ErT ED DCMPC ×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + +×−×⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 CMPC TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE 3 PUCRS FENG Para determinar-‐se o custo do capital próprio, deve-‐se analisar os indicadores de rentabilidade a par;r das demonstrações contábeis da empresa. O Indicador de Rentabilidade do Patrimômio Líquido (ROE) permite encontrar o Custo de Oportunidade do Capital próprio. Indica a rentabilidade do acionista, ou seja, o percentual de retorno em relação ao patrimônio médio inves;do. Quanto maior, melhor. RPL = LucroLíquidoMédiaPatrimônioLíquido x100 O ROE deve ser comparado sempre com a taxa de retorno mínima exigida pelo acionista (custo de capital próprio). Para se tornar atraente, todo inves;mento deve oferecer uma rentabilidade pelo menos igual à taxa de oportunidade. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE PUCRS FENG INDICADORES DE RENTABILIDADE Rentabilidade do Patrimômio Líquido (ROE) – exemplo u;lizando o balanço Lucro líquido: $518,1 Patrimônio líquido médio = (698,4+679)/2=688,7 ROE = 518,1/688,7 = 75,22% à Custo do capital próprio Para cada R$100,00 inves/dos os acionistas retornam líquido R$75,3. RPL = LucroLíquidoMédiaPatrimônioLíquido x100 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS PRINCIPAIS MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS: 1. Método do Valor Presente Líquido (VPL) -‐ OK 2. Método do Valor Uniforme Equivalente (VUE/VUL) 3. Método do Índice de Lucra/vidade (IL) 4. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) -‐ OK 5. Método da Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM) 6. Método do Tempo de Recuperação do Capital (Payback) -‐ OK 69 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O método VPL calcula o valor presente líquido de um projeto através da diferença entre o valor presente das entradas líquidas de caixa do projeto e o inves;mento inicial requerido para iniciar o mesmo. A taxa de desconto u;lizada é a TMA da empresa. 70 40 1 2 3 VPL = ? TMA (%) = 0 1 2 3 4 Y Z T W X 4 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Exemplo: Um inves;mento tem as seguintes caracterís;cas: -‐ custo inicial = $25.000,00-‐ vida ú;l es;mada = 5 anos -‐ valor residual = $5.000,00 -‐ receitas anuais = $6.500,00 -‐ TMA da empresa: 12% ao ano Veja se o inves;mento é interessante para a empresa. 71 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Solução: 72 0 1 5 4 3 2 25.000 6.500 11.500 6.500 6.500 6.500 VPL (12%) = -‐25.000 + 6.500 (P/U 12%; 4) + 11.500 (P/F; 12%; 5) VPL (12%) = 1.268,18 Como VPL > 0, o inves/mento: -‐ é vantajoso (viável) economicamente, e -‐ rende mais do que 12% ao ano! MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Análise de alterna4vas com diferentes tempos de vida: Quando as alterna;vas têm vidas úteis diferentes, deve-‐se considerar: a. Um período de tempo igual ao menor múl;plo comum das vidas; b. Ou o tempo de vida do projeto com um todo, quando ele for maior do que o anterior e múl;plo das vidas. 73 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Exemplo: ALTERNATIVA: ‘A’ ‘B’ CUSTO INICIAL ($) 10.000,00 15.000,00 VIDA ÚTIL ESTIMADA 5 anos 10 anos CUSTO ANUAL DE OPERAÇÃO ($) 4.000,00 1.450,00 TMA = 12% a.a. Solução: VPL (A) = -‐24.419,41 VPL (B) = -‐23.192,82 Deve-‐se optar pela alterna;va B, que é a que requer menor desembolso. 74 5 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) 75 Todos os fluxos de caixa são transformados, a uma certa TMA, numa série uniforme equivalente. A melhor alterna;va será aquela que apresentar: -‐ o maior beneycio anual, ou -‐ o menor custo anual. 0 1 2 3 4 VUE TMA (%) = 0 1 2 3 4 Y Z T W MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) 76 Exemplo anterior: Um inves;mento tem as seguintes caracterís;cas: -‐ custo inicial = $25.000,00 -‐ vida ú;l es;mada = 5 anos -‐ valor residual = $5.000,00 -‐ receitas anuais = $6.500,00 -‐ TMA da empresa: 12% ao ano Veja se o inves;mento é interessante para a empresa. MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) Solução: 77 0 1 5 4 3 2 25.000 6.500 11.500 6.500 6.500 6.500 VPL (12%) = -‐25.000 + 6.500 (P/U; 12%; 4) + 11.500 (P/F; 12%; 5) VPL (12%) = 1.268,18 VUE (12%) = 1.268,18 (U/P; 12%; 5) VUE (12%) = 351,81 Como VUE > 0, o inves/mento: -‐ é vantajoso (viável) economicamente, e -‐ rende mais do que 12% ao ano! MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS Análise de alterna/vas com diferentes tempos de vida: Quando as alterna;vas têm vidas úteis diferentes, deve-‐se supor que: a. A duração da necessidade é indefinida ou igual a um múl;plo comum da vida das alterna;vas; b. Tudo que é es;mado para ocorrer no primeiro ciclo de vida do projeto irá ocorrer também em todos os ciclos de vida subseqüentes. 78 MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) 6 MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS Exemplo: ALTERNATIVA: Equip. ‘A’ Equip. ‘B’ CUSTO INICIAL ($) 11.000,00 14.000,00 VIDA ÚTIL ESTIMADA 6 anos 9 anos VALOR RESIDUAL ($) 1.800,00 2.250,00 CUSTO ANUAL DE OPERAÇÃO ($) 795,00 520,00 TMA (a.a.) 15% 15% Qual a alterna;va mais interessante para a empresa? 79 MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS Solução: EQUIPAMENTO A EQUIPAMENTO B A uma TMA de 15% a.a., a melhor alterna;va para a empresa é a ‘B’. 80 11.000 15% = 0 1 2 ... 65 795 0 1 2 3.495,98 ... 65 1.800 ... 520 14.000 15% = ... 0 1 2 3.319,99 950 1 2 95 2.250 MÉTODO DO VALOR UNIFORME EQUIVALENTE (VUE/VUL) MÉTODOSPARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS Solução: Para concluir isto, deve-‐se considerar que: ⇒ O equipamento deverá ser ú;l durante 18 anos, 36 anos e assim por diante, ou indefinidamente; ⇒ Ao final de suas vidas úteis, os equipamentos A e B serão subs;tuídos por outros com as mesmas caracterís;cas de funcionamento, custo e vida ú;l. 81 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE (IL) 82 O método do IL corresponde a uma forma de transformar o VPL em um indicador percentual. Toma-‐se o VPL dos valores de inves;mento (nega;vos -‐ VPI) do fluxo de caixa e o VPL dos valores de retorno (posi;vos -‐ VPL) e faz-‐se uma relação entre eles: 0 1 2 3 4 VPI (-) TMA (%) = 0 1 2 3 4 Y Z T W VPL (+) P IL = VPL (+) VPI (-) 7 PUCRS FENG MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE (IL) Exemplo: Um inves;mento tem as seguintes caracterís;cas: -‐ custo inicial = $25.000,00 -‐ vida ú;l es;mada = 5 anos -‐ valor residual = $5.000,00 -‐ receitas anuais = $6.500,00 -‐ TMA da empresa = 12% a.a. Veja se o inves;mento é interessante para a empresa. 83 83 PUCRS FENG MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DO ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE (IL) 84 84 Solução: IL = 6.500 (P/U; 12%; 4) + 11.500 (P/F; 12%;5) 25.000 IL = 1,051 Como IL >= 1,0, o inves/mento: -‐ é vantajoso e viável economicamente, e -‐ retorna $ 1,05 para cada $1,00 inves/do. 0 1 5 4 3 2 25.000 6.500 11.500 6.500 6.500 6.500 PUCRS FENG Aula 4 PUCRS FENG MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) O método da TIR requer o cálculo de uma taxa que zera o VPL dos fluxos de caixa do projeto de inves;mento avaliado. Para o gestor determinar se o projeto é rentável ou não para a empresa, deverão ser comparadas a TIR resultante do projeto e a TMA desejada pela empresa. 86 40 1 2 3 VPL = 0 = TIR (%) 0 1 2 3 4 Y Z T W X 86 8 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Exemplo: Um inves;mento tem as seguintes caracterís;cas: -‐ custo inicial = $25.000,00 -‐ vida ú;l es;mada = 5 anos -‐ valor residual = $5.000,00 -‐ receitas anuais = $6.500,00 -‐ TMA da empresa = 12% a.a. Veja se o inves;mento é interessante para a empresa. 87 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) Solução: 88 0 1 5 4 3 2 25.000 6.500 11.500 6.500 6.500 6.500 VPL (TIR) = 0 -‐25.000 + 6.500 (P/U; TIR; 4) + 11.500 (P/F; TIR; 5)= 0 TIR = 13,86% a.a. Como TIR >= TMA, o inves/mento: -‐ é vantajoso e viável economicamente, e -‐ rende 13,86% a.a. MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 89 Ex: Você é o assessor econômico e financeiro de uma empresa de grande porte que precisa renovar seu atual processo de fabricação. A seu pedido, o Departamento de Métodos envia as duas alterna;vas detalhadas abaixo: A B CUSTO INICIAL ($) 2.000,00 3.000.00 VIDA ÚTIL 10 anos 10 anos LUCRO ANUAL LÍQ. ($) 500,00 700,00 TMA: 12% a.a. U;lizando os métodos do VPL e da TIR, analise essas alterna;vas e faça um relatório que auxilie a direção na tomada de uma decisão. 90 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) EX: Solução VPLA (12%) = 825,11 TIRA = 21,41% VPLB (12%) = 955,16 TIRB = 19,36% Qual é o mais interessante?? Ø Pelo método VPL a empresa adotaria o projeto B. Ø Pelo método TIR a empresa adotaria o projeto A. Qual projeto afinal a empresa deve selecionar? DEPENDE... MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS 9 PUCRS FENG !R$1.000,00(( !R$500,00(( (R$!(((( (R$500,00(( (R$1.000,00(( (R$1.500,00(( (R$2.000,00(( (R$2.500,00(( (R$3.000,00(( (R$3.500,00(( (R$4.000,00(( (R$4.500,00(( 0( 0,05( 0,1( 0,15( 0,2( 0,25( Gráfico'Ponto'de'Fisher' A( B( 91 • Para TMAs entre 0% e 15,1% o projeto B é melhor; • Para TMA = 15,1% A ou B são economicamente equivalentes; • Para TMAs entre 15,1% e 21,41% o A é melhor; e • Para TMAs maiores do que 21,41% o A ou nenhum. A Investimento LL FC B Investimento LL FC PF 0 2.000,003R$6 2.000,003R$6 0 3.000,003R$6 3.000,003R$6666 6 1.000,00R$6666 1 500,00R$66666 500,00R$66666 1 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 2 500,00R$66666 500,00R$66666 2 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$66666663 500,00R$66666 500,00R$66666 3 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 4 500,00R$66666 500,00R$66666 4 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 5 500,00R$66666 500,00R$66666 5 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 6 500,00R$66666 500,00R$66666 6 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 7 500,00R$66666 500,00R$66666 7 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 8 500,00R$66666 500,00R$66666 8 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 9 500,00R$66666 500,00R$66666 9 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 10 500,00R$66666 500,00R$66666 10 700,00R$666 700,00R$666666666 200,003R$6666666 VPL 825,11R$66666 VPL 955,16R$666666666 15,10% TIR 21,41% TIR 19,36% Ponto Fischer = 15,10% PUCRS FENG 92 O PROBLEMA DA TAXA DE REINVESTIMENTO DOS FLUXOS DE CAIXA Os métodos do VPL e do VUE reinvestem todos os fluxos de caixa à TMA, por sua vez, o método da TIR reinveste-‐os à própria TIR. Assim, em função de se basearem em premissas de reinves;mento diferentes, os métodos de avaliação de alterna;vas apresentados podem conduzir a decisões discrepantes entre si. MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS PUCRS FENG 93 O PROBLEMA DA TAXA DE REINVESTIMENTO DOS FLUXOS DE CAIXA Ponto de Fischer: (10.000,00) (5.000,00) 0,00 5.000,00 10.000,00 15.000,00 20.000,00 0% 30% 90% 150% Taxa de desconto VP L Projeto A Projeto B PONTO DE FISCHER "O ponto de Fischer corresponde à TIR do inves/mento incremental de um projeto rela/vamente ao outro“ Desta forma, o ponto de Fischer mede a TIR do inves/mento incremental de ‘A’ em relação a ‘B’(ou vice-‐versa). MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS PUCRS FENG Métodos de Análise de Inves;mentos 94 O PROBLEMA DA TAXA DE REINVESTIMENTO DOS FLUXOS DE CAIXA Ponto de Fischer (iF): Entre essas duas suposições, o reinves/mento pela TMA é mais realista Essa discrepância nas ordenações é conseqüência das suposições rela;vas à taxa com que os fundos liberados pelo projeto são reinves;dos: a. Métodos do VPL e do VUE: reinves;mento pela TMA. b. Método da TIR: reinves;mento pela TIR. 10 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS 95 O PROBLEMA DA TAXA DE REINVESTIMENTO DOS FLUXOS DE CAIXA Ponto de Fischer (iF): Retomando o exercício anterior, defina o ponto de Fischer dos projetos e faça uma discussão sobre os mesmos. MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS 96 O PROBLEMA DA TAXA DE REINVESTIMENTO DOS FLUXOS DE CAIXA Ponto de Fischer (iF): EX: Ponto Fischer = 15,10% MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM) O método da TIRM também requer o cálculo de uma taxa que zera o VPL dos fluxos de caixa do projeto de inves;mento avaliado. Porém, trabalha com o problema da taxa de reinves;mento dentro do método TIR. Isto é, o método TIR pressupõe que as parcelas de entrada (posi;vas) são reaplicadas à TIR, assim como as parcelas de saída (nega;vas) são ob;das ao valor da TIR também. 97 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM) Desta forma, a TIRM pressupõe que a empresa consegue reaplicar as entradas do FC a determinada taxa e captar recursos para o financiamento das saídas a uma outra taxa: Duas taxas: 1) Taxa de reaplicação: taxa com a qual a empresa consegue reaplicar suas entradas; 2) Taxa de captação: taxa com a qual a empresa consegue captar recursos no mercado, pode ser uma taxa de financiamento. 98 11 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM) TIR = 17,46% a.a. 99 100 100 80 80 80 80 5 4 3 2 1 0 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM) Taxa de reaplicação = 12% a.a. Taxa de captação = 10% a.a. 100 5 4 3 2 80 80 80 80 1 0 5 4 3 2 382,3 1 0 = 100 100 5 4 3 2 1 0 190,9 5 4 3 2 1 0 = VP das captações VF das reaplicações MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA (TIRM) Fluxo de caixa final: TIRM = 14,90% a.a. 101 5 4 3 2 382,3 1 190,9 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS 102 MÉTODO DO TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (PAYBACK) O período de payback é o tempo necessário para que o valor dos fluxos de caixa previstos e acumulados seja igual ao valor inicialmente inves;do. Ou seja, é o tempo que um projeto leva para se pagar. A escolha de um projeto está ligada diretamente ao período de retorno do capital mínimo exigido pela empresa, isto é, o ponto de corte. É um dos métodos mais simples de avaliação, porém ainda muito u;lizado pelas empresas, por incorporar riscos e proporcionar à mesma, a escolha de projetos que retornam o capitalinves;do o quanto antes. 12 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS 103 MÉTODO DO TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (PAYBACK) Exemplo: A) B) 10.000 2.500 10 10.000 3.333 3 Períodos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Payback Projeto A (10.000,00) 3.333 3.333 3.334 - - - - - - - 3 anos Projeto B (10.000,00) 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 2.500 4 anos MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE INVESTIMENTOS 104 MÉTODO DO TEMPO DE RECUPERAÇÃO DO CAPITAL (PAYBACK) Payback com atualização: TMA = 10% a.a. A) B) A) -‐10.000 + 3.333 (P/F; 10%;1) + 3.333 (P/F; 10%; 2) + ... = 0 n > 3, o inves;mento não se paga. B) -‐10.000 + 2.500 (P/F; 10%;1) + 2.500 (P/F; 10%; 2) + ... = 0 n = 5,37 anos 10.000 2.500 10 10.000 3.333 3 PUCRS FENG Aula 5 PUCRS FENG Exercícios 1 A 4 DA LISTA 1 106
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