Problemas de Física III - UFRRJ

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1a LISTA DE PROBLEMAS DE F´ISICA III
Departamento de Fı´sica - UFRRJ - Prof. M. J. Neves - 2017-1
1. Em sala de aula, calculamos a forc¸a exercida por duas cargas , q e −q, com q > 0, sobre uma
terceira, a carga q0 (q0 > 0), localizada sobre o eixo OY . Suponha que neste problema, a carga
q0 seja colinear a`s outras duas, como indica a figura.
O X−q q
d/2 d/2
q0
x
(a) Escreva, agora, uma expressa˜o para a forc¸a eletrosta´tica resultante sobre a carga q0 que
seja va´lida na˜o apenas para x > d/2, mas para qualquer ponto do eixo OX , exceto,
obviamente, os pontos x = ±d/2. Denote essa forc¸a por F0.
(b) Em que trechos F0 aponta para a direita e em que trechos ela aponta para a esquerda?
(c) Supondo x negativo e tal que |x| ≫ d/2, mostre, nesse caso, que
F0 ≈ − q0p
4πǫ0|x|3 , (1)
onde p = q d xˆ e´ o momento de dipolo do par de cargas q e −q.
2. Considere dois pares de cargas ele´tricas: o primeiro e´ formado pelas cargas q e −q, enquanto
o segundo, pelas cargas q ′ e −q ′, sendo q e q ′ cargas positivas. As cargas q e −q esta˜o fixas
sobre o eixo OY , nas posic¸o˜es (0, d/2) e (0,−d/2), respectivamente. Ja´ as cargas q ′ e −q ′
esta˜o fixas nas posic¸o˜es (x, d/2) e (x,−d/2), respectivamente, sendo x > 0, por hipo´tese (veja
a figura).
O X
Y
−q
q
dipolo 1
−q ′
q ′
dipolo 2
x
Considerando a situac¸a˜o em que x ≫ d, calcule a forc¸a eletrosta´tica resultante exercida pelo
primeiro par de cargas sobre o segundo. Ou seja, usando uma linguagem mais informal, calcule
a forc¸a F2(1) que o primeiro dipolo exerce sobre o segundo quando esta˜o muito afastados.
Dica : Use a expansa˜o de Taylor, para x≫ d(
1± d
2
x2
)
−3/2
≈ 1∓ 3
2
d2
x2
. (2)
1
3. Considere um fio retilı´neo finito de comprimento ℓ que esta´ eletrizado com uma densidade
linear de carga λ. Calcule a forc¸a que atua sobre uma carga puntiforme positiva q0 colocada a`
uma distaˆncia y do fio.
O X
Y
q0✈
y
−ℓ/2 ℓ/2
λ
Fac¸a o limite quando ℓ≫ y, e obtenha o resultado do fio retilı´neo muito longo.
4. Uma carga Q e´ distribuı´da uniformemente sobre um fio semicircular de raio a. Calcule a forc¸a
com que atua sobre uma carga de sinal oposto−q, colocada no centro do semicı´rculo.
O X
Y
Q
−q
a
5. Considere um semicı´rculo de raio a e uma carga puntiforme q0 localizada em seu centro. Es-
colhemos os eixos cartesianos de forma que o semicı´rculo esteja no plano OXY , o seu centro
coincida com a origem dos eixos e ele esteja orientado de modo a na˜o entrar no terceiro e
quarto quadrantes, como indica a figura. Ale´m disso, o semicı´rculo esta´ carregado com uma
distribuic¸a˜o linear de cargas na˜o-uniforme dada por λ(θ) = λ0 senθ, onde λ0 e´ uma constante
positiva, e θ esta´ definido na figura.
O X
Y
λ(θ) = λ0 senθ
q0
a
θ
(a) Determine a carga total do semicı´rculo.
(b) Calcule a forc¸a eletrosta´tica resultante sobre a carga q0.
2
6. Considere metade de uma casca esfe´rica de raio a, carregada uniformemente com uma densi-
dade superficial de cargas σ, e uma carga puntiforme q0 localizada em seu centro. A escolha
dos eixos cartesianos esta´ ilustrada na figura. Calcule a forc¸a sobre a carga q0.
O Y
X
Z
a
σ
q0
7. Considere um par de cargas, q e −q, com q > 0, localizadas nas posic¸o˜es r+ = d2 zˆ e r− =
−d
2
zˆ, respectivamente, e um ponto gene´rico do espac¸o P , de vetor posic¸a˜o r, mas que se
encontra bem distante da origem, ou seja, d≪ r, onde r = |r|, como ilustra a figura.
O
Y
X
Z
q
r+
−q
r−
P
r
(a) Mostre que o campo eletrosta´tico no ponto P e´ dado pela expressa˜o
E(r) =
1
4πǫ0
[
3(p · rˆ)rˆ− p
r3
]
, (d≪ r) ,
onde p = q(r+ − r−) = q d zˆ e´ o momento de dipolo ele´trico do par de cargas.
Sugesta˜o: calcule a expressa˜o exata para o campo eletrosta´tico em qualquer ponto do
espac¸o onde ele esteja definido e, em seguida, fac¸a as expanso˜es apropriadas.
(b) A partir do resultado anterior, obtenha as respectivas expresso˜es de E(P ) para P local-
izado no plano OXY e no eixo OZ . Compare com os resultados encontrados em sala de
aula nos exemplos 1 e 2, respectivamente.
8. Um dipolo puntiforme p, de magnitude p, esta´ localizado na origem dos eixos cartesianos
e orientado de forma que p = p zˆ. Calcule o fluxo de seu campo ele´trico atrave´s de uma
superfı´cie circular de raio a, centrada em (0, 0, h), orientada paralelamente ao plano OXY e
cujo vetor normal e´ escolhido como nˆ = zˆ (veja a figura).
3
Y
X
Z
h
a
nˆ = zˆ
p
9. Considere uma carga puntiforme q e a superfı´cie de um cubo orientada de modo que o vetor
unita´rio normal a` superfı´cie seja de dentro para fora, como de costume. Calcule o fluxo do
campo eletrosta´tico da carga atrave´s de cada uma das faces do cubo supondo que:
(a) a carga esteja no centro do cubo;
(b) a carga esteja num dos ve´rtices do cubo
10. As figuras desenhadas abaixo mostram superfı´cies fechadas formadas pela unia˜o de duas su-
perfı´cies abertas, designadas por S1 e S2 e uma carga puntiforme q localizada em seu interior.
Por exemplo, a figura (a) mostra um plano, Σ, separando uma superfı´cie esfe´rica em duas
calotas esfe´ricas desiguais (sendo S1 a calota menor e S2 a calota maior), e a carga q situada
num ponto do plano Σ no interior da superfı´cie esfe´rica.
Plano Σ
q
S1
S2
(a)
nˆ1
nˆ2
q
S1
S2
(b)
nˆ1
nˆ2
q
S1
S2
(c)
nˆ2
nˆ1
Sejam Φ1 e Φ2 os fluxos do campo eletrosta´tico da carga q atrave´s das superfı´cies (abertas) S1 e
S2, respectivamente. Usando os sı´mbolos de ordem, >, < e =, compare os fluxos Φ1 e Φ2 nas
treˆs situac¸o˜es.
11. Considere um fio retilı´neo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uni-
formemente carregado com densidade linear de carga λ. Embora na˜o exista um fio infinito, em
diversas situac¸o˜es fios muito extensos podera˜o ser aproximados como tal.
4
(a) Calcule, por integrac¸a˜o direta, o campo eletrosta´tico do fio em um ponto P qualquer
que na˜o coincida com os pontos do fio. Sem perda de generalidade, escolha os eixos
cartesianos de modo que o ponto P esteja no planoOXY e utilize coordenadas cilı´ndricas.
(b) Reobtenha o resultado do item anterior mas utilizando, agora, a Lei de Gauss.
12. Considere um plano infinito uniformemente carregado com densidade superficial de carga σ.
Embora na˜o se trate de uma situac¸a˜o realista, muitas distribuic¸o˜es superficiais de carga podem
ser consideradas, com boa aproximac¸a˜o, como planos infinitos uniformemente carregados.
(a) Obtenha o campo eletrosta´tico criado pelo plano num ponto qualquer do espac¸o (fora do
plano) integrando sobre toda a a´rea do plano.
(b) Reobtenha o resultado anterior mas, agora, utilizando apropriadamente a Lei de Gauss.
13. Um cabo cilı´ndrico de raio R e comprimento infinito esta´ carregado de tal modo que a densidade
de carga ρ tem simetria cilı´ndrica, ou seja, a densidade em dado ponto a` distaˆncia s do eixo do
cilindro e´ uma func¸a˜o apenas da distaˆncia s.
(a) Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro e´
λ =
∫ R
0
ρ (s′) 2πs′ds′ . (3)
(b) Mostre que o campo ele´trico em um ponto qualquer do interior do cilindro e´
E(s) =
sˆ
ǫ0s
∫ s
0
ρ(s′)s′ds′ se s < R , (4)
e fora do cilindro, o campo e´
E(s) =
λsˆ
2πǫ0s
se s > R . (5)
14. Considere uma esfera de raio R com uma distribuic¸a˜o volumar de carga cuja densidade ρ de-
pende apenas da distaˆncia radial r.
(a) Use a Lei de Gauss, e mostre que o campo ele´trico gerado por essa distribuic¸a˜o no espac¸o
e´
E(r) =
rˆ
ǫ0r2
∫ r
0
ρ (r′) r′ 2dr′ se r < R , (6)
para pontos dentro da esfera, e
E(r) =
rˆ
ǫ0r2
∫ R
0
ρ (r′) r′ 2dr′ se r > R , (7)
para a regia˜o fora da esfera.
(b) Use o resultado do ı´tem anterior, e obtenha o campo ele´trico gerado pelaesfera para o
caso de uma distribuic¸a˜o de carga cuja densidade volume´trica e´ a func¸a˜o
ρ(r) =
C
r
, (8)
onde C e´ uma constante real e positiva.
5
15. Considere uma casca esfe´rica com raios interno a e externo b, carregada com densidade volumar
homogeˆnea ρ. Calcule o campo ele´trico da configurac¸a˜o em todo o espac¸o.
16. Considere uma barra de comprimento ℓ sobre o eixo OX com uma distribuic¸a˜o de carga ho-
mogeˆnea de densidade linear λ, como mostra a figura abaixo.
O X
Y
x
s
P
−ℓ/2 ℓ/2
λ
(a) Obtenha o campo ele´trico gerado pela barra num ponto P sobre o eixo OX , a uma
distaˆncia x da origem O.
(b) Se uma carga pontual q0 e´ colocada no ponto P , obtenha a forc¸a eletrosta´tica que a barra
exerce sobre a carga q0.
17. Considere uma barra vertical de comprimento 2ℓ que tem sua metade superior carregada positi-
vamente, com densidade linear de carga constante λ, e sua metade inferior carregada negativa-
mente, com densidade linear de carga −λ, como ilustra a figura. Escolha os eixos cartesianos
de modo que a barra esteja ao longo do eixo OY e a origem coincida com o seu centro.
O X
P
x
Y
ℓ −λ
ℓ
λ
(a) Calcule o campo eletrosta´tico em um ponto gene´rico P do semi-eixo positivoOX .
(b) Obtenha uma expressa˜o aproximada para o campo encontrado no item anterior no caso
em que P esta´ muito distante da barra. Interprete o resultado.
6
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
1. (a) F0 = qq04πǫ0
[
(x−d/2)
|x−d/2|3 xˆ−
(x+d/2)
|x+d/2|3 xˆ
]
.
(b) A forc¸a aponta para a direita nos trechos em que |x| > d/2 e para a esquerda nos trechos
em que |x| < d/2.
(c) F0 = − q0 p4πǫ0|x|3 .
2. F0 =
3pp ′
4πǫ0
xˆ
x4
, onde p = qd e p ′ = q ′d.
3. F0 =
q0λ
4πǫ0
ℓ
y
√
ℓ2
4
+y2
yˆ. No limite de ℓ≫ y, F0 = q0λ2πǫ0y yˆ.
4. F0 =
q0Q
2π2ǫ0a2
yˆ.
5. (a) Q = 2λ0a.
(b) F0 = −q0λ08ǫ0a yˆ.
6. F0 = −q0σ4ǫ0 zˆ.
7. Demonstrac¸a˜o
(a) E(0, 0, z) = p
2πǫ0
1
|z| 3 ; E(x, y, 0) = −
p
4πǫ0
1
s 3
; (s =
√
x2 + y2) .
8. Φ = p
2ǫ0
√
a2+h2
(
1− h
2
a2+h2
)
.
9. (a) Φ = q
6ǫ0
(b) Φ = q
24ǫ0
, nas faces opostas a` carga e Φ = 0, nas faces adjacentes a` carga.
10. (a) Φ1 = Φ2
(b) Φ1 > Φ2
(c) Φ1 = Φ2
11. (a) E(P ) = λ2πǫ0
sˆ
s .
(b) Demonstrac¸a˜o
12. (a) E(P ) = σ
2ǫ0
z
|z| , para z 6= 0.
(b) Demonstrac¸a˜o
13. (a) Demonstrac¸a˜o
7
(b) Demonstrac¸a˜o
14. (a) Demonstrac¸a˜o
(b) E(r) = C rˆ2ǫ0 , para r > R ; E(r) =
CR2rˆ
2ǫ0r3
, para r > R.
15. E(r) = 0 , se r < a ; E(r) = ρ(r
3−a3)rˆ
3ǫ0r2
, se a < r < b ; E(r) =
ρ(b3−a3)rˆ
3ǫ0r2
, se r > b.
16. (a) E = 1
4πǫ0
λℓxˆ
(a2−ℓ2/4) .
(b) F0 = 14πǫ0
q0λℓxˆ
(a2−ℓ2/4) .
17. (a) E(P ) = − λ
2πǫ0
[
1
x
− 1√
x2+ℓ2
]
yˆ.
(b) E(P ) ≈ − λℓ
2
4πǫ0
yˆ
x3
. Trata-se do campo de um dipolo p = Qℓ yˆ localizado na origem.
Como a carga total da barra e´ nula, o termo dominante para grandes distaˆncias e´ o termo
de dipolo. De fato, se utilizarmos a definic¸a˜o de momento de dipolo ele´trico de uma
distribuic¸a˜o contı´nua de carga, encontraremos precisamente p = Qℓ yˆ.
8