Cálculo III Aula 07

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Cálculo III
AULA 7 – DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIABILIDADE
INTRODUÇÃO
Vamos considerar o enunciado abaixo:
Suponhamos que temos curvas de nível da temperatura T = T(t,h), medida em graus. Seja t o tempo em horas, e h a altitude, medida em metros, de uma região. 
Agora podemos perguntar:
Como vai variar a temperatura em relação ao tempo no instante to , num ponto de altitude h = ho ?
Veja que temos funções de duas variáveis nesse enunciado. 
Agora vamos fazer uma análise onde apenas uma variável se modifica, enquanto as outras são mantidas fixas.
Esse procedimento nos leva a definição de uma derivada para cada umas das variáveis independentes.
Essas derivadas parciais, nos possibilita obter respostas para o enunciado dado anteriormente. 
DEFINIÇÃO DE DERIVADAS PARCIAIS
Se y = f(x) (função de uma variável real) sua derivada é definida por: 
 Taxa de variação de y em relação a x
Agora estender essa definição para funções de duas variáveis real, z = f (x,y).
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis reais e (x0,y0) um ponto do domínio de f. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) é definida por:
Se o limite existir.
Notações:
Para calcular a derivada, fixa-se y = y0(mantendo-se y constante) em z = f(x,y) e calcula-se a derivada de g(x) onde definimos g(x) = f(x,y0) em x = x0 , ou seja,
Essa função denomina-se função derivada parcial de primeira ordem de f, em relação à x, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação à x.
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) é definida por:
Se o limite existir.
Notações:
Para calcular a derivada fixa-se x = x0 em z = f(x,y) (mantendo-se x constante) e calcula-se a derivada de h(y) onde definimos h(y) = f(x0, y) em y = y0, ou seja,
Essa função denomina-se função derivada parcial de primeira ordem de f, em relação a y, ou simplesmente, derivada parcial de f em relação a y.
Analogamente podemos estender esta definição para as derivadas parciais de ordem superiores.
Por exemplo, a derivarmos fxx(x,y) que significa derivar a derivada parcial em relação a x, novamente em relação a variável x. 
Pela definição de derivada parcial de primeira ordem podemos definir formalmente que,
EXEMPLOS
1. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
2. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
3. Seja f(x,y) = 2xy – 4y. Calcule 
4. Seja g(x,y) = 2x2y +3xy2 – 4x. Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. 
5. Seja função Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis é análoga à feita para funções de uma variável real.
Suponhamos que z = f(x,y), definida de R2 em R admite derivadas parciais em (x0,y0).
Para y = y0 temos que f(x,y0) é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C1, resultante da interseção da superfície z = f(x,y) com o plano y = y0.
A inclinação da reta tangente à curva C1 no ponto (x0,y0) é dada por
De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva C2, resultante da interseção de z = f(x,y) com o plano x = x0, é 
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Seja a função z = f(x,y). 
Podemos construir as derivadas parciais de segunda, terceira, ate a n-ésima ordem.
Notação:
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a y e x.
Derivada parcial de segunda Ordem em relação a x e y.
Derivada parcial de terceira Ordem em relação a x, ou seja, a derivada segunda em relação a x é novamente derivada em relação a x.
Portanto podemos derivar até a ordem n usando todas as combinações possíveis entre as variáveis.
EXEMPLO
Seja f(x,y) = 4 x5 y4 – 6 x2y + 2. Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem.
APLICAÇÕES
Na economia onde o termo análise marginal se refere à prática de usar uma derivada para estimar a variação no valor de uma função resultante de um aumento de uma unidade em uma de suas variáveis.
As derivadas parciais são conhecidas como a produtividade marginal (ou produtos marginais) do capital e do trabalho, respectivamente. 
DIFERENCIABILIDADE
Função de uma variável 
O gráfico constitui uma curva que não possui pontos angulosos, em outras palavras a curva é suave. Em cada ponto do gráfico temos uma reta tangente única.
Função diferenciável de duas variáveis 
Em cada ponto do gráfico da função f deverá existir um único plano tangente que represente uma boa aproximação da função perto do ponto indicado.
 “Boa aproximação” y = f(x0) + f’(x0)(x – x0)
 Quando x se aproxima de x0, a diferença entre f(x) e y se aproxima de zero muito rápido.
As derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis. 
DEFINIÇÃO
Plano tangente
Seja f(x,y) uma função diferenciável no ponto (x0,y0). O plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) tem com equação:
Agora podemos definir uma função diferenciável.
Informalmente, dizemos que f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se o plano dado pela equação anterior fornece uma boa aproximação para f(x,y) perto de (x0,y0).
Veja que quando (x,y) se aproxima de (x0,y0) , a diferença entre f(x,y) e z = T(x,y) se aproxima mais rápido de zero.
Se f não é diferenciável no ponto (x0,y0), então o plano existe mas não é necessariamente tangente ao gráfico.
DEFINIÇÃO
Sejam z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto U 2 e (x0,y0) U. Dizemos que f é diferenciável em (x0,y0) se, e só se, f for diferenciável em todos os pontos de U.
Teorema 1 Se z = f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) , então z = f (x,y) é contínua em (x0,y0).
Se f(x,y) não é contínua em (x0,y0) então não é diferenciável em (x0,y0).
Teorema 2 Se z = f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) , então z = f(x,y) possui derivadas parciais em (x0,y0).
OBSERVAÇÕES
Se alguma derivada parcial não existe em (x0,y0) então a função não é diferenciável em (x0,y0). 
O material de estudo apresenta outros teoremas. Vale destacar o teorema que garante que a continuidade das derivadas parciais em um ponto implica na diferenciabilidade no ponto. 
A recíproca não é verdadeira, isto é, diferenciabilidade em um ponto não implica em que a derivada parcial seja contínua naquele ponto.
O plano tangente ao gráfico de f(x,y) em (x0,y0,f(x0,y0)) é perpendicular a direção do vetor normal. 
Portanto:
A reta que passa por (x0,y0,f(x0,y0)) e é paralela ao vetor normal em (x0,y0) é chamada reta normal ao gráfico da função f(x,y) no ponto (x0,y0,f(x0,y0)) e esta é dada por:
(x,y,z) = (x0,y0,f(x0,y0))+ t N(x0,y0), t 
EXEMPLO
Determine a equação do plano tangente da reta normal ao gráfico de z2 = x2 +y2 no ponto
1º ) Calcular as derivadas parciais 
2º ) Determinar T(x,y)
	
Reta Normal
(x,y,z) = (1,2,))+ t N(x0,y0)
RESUMINDO
Derivadas Parciais
 Diferenciabilidade
y = f(x0) + f’(x0)(x – x0)