Trabalhos de Transcal 2016.2

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Transmissão de Calor - ENG 1032
21 de outubro de 2016
Professor: Luís Fernando Figueira da Silva
Alunos: Joao Vitor Ziliani, Karim Kalaun, Jose Serruya El Mann, Jose Felipe
Sousa
1
Sumário
1 Introdução 3
2 Objetivo 3
3 Metodologia Experimental 3
4 Modelagem Analítica 4
4.1 Extremidade Isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Aleta Muito Longa(L >> D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Erro 7
5.1 Distribuição de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Potência elétrica transferida 8
7 Modelagem numérica 9
8 Conclusão 12
9 Referências Bibliográficas 13
2
1 Introdução
Controlar a taxa de transferência de calor é tarefa de suma importância na enge-
nharia. Para maximizar esta troca, utilizamos as superfícies estendidas, ou aletas.
Tais superfícies partem de uma base e se estendem perpendicularmente à ela, de
modo a trocar calor por convecção com um fluido em contato. Suas aplicações são
bastante variadas, presentes no interior de nossos computadores até debaixo do capô
de nossos carros.
2 Objetivo
Neste experimento tivemos como objetivo realizar a medição, modelagem analítica
e numérica da transferência de calor ao longo de uma aleta de seção transversal
constante que troca calor com o ar ambiente. Neste relatório constará os seguintes
dados:
(1) Tabela dos valores medidos no laboratório;
(2) Resultados dos processos de minizaçnao do coeficiente h sob forma gráfica;
(3) Equações de diferenças finitas para a aleta;
(4) Gráfico com as temperaturas calculadas pela solução exata e numérica durante
o regime transiente;
(5)Porcentagem da potência elétrica transferida ao pino.
3 Metodologia Experimental
Para realizar o experimento, distribuímos 8 sensores de temperatura do tipo ter-
mopar ao longo da aleta, com um espaçamento de 5 cm entre eles. Ligamos uma
fonte geradora de calor numa extremidade para dar início ao processo de transmissão
de calor por condução.
3
Fizemos medições de temperatura com intervalos de 5 minutos até atingirmos o
regime estacionário tanto no aquecimento quanto no resfriamento do pino.
No aquecimento assumimos este regime após 35 minutos, onde a variação da tem-
peratura atingiu aproximadamente 1%, e para o resfriamento após 20 minutos, onde
a variação atingiu 1,8%. Além disso controlamos a diferença de potencial aplicada, a
corrente, e a temperatura ambiente. Seguem as 2 últimas medições de cada uma das
situações, respectivamente:
Tabela 1: Temperatura(◦C), tempo(min) e ∆T
30 35 ∆T
T1 80.1 81.1 1.0
T2 65.0 65.6 0.6
T3 52.8 53.2 0.4
T4 44.4 44.8 0.4
T5 39.0 39.4 0.4
T6 35.5 35.8 0.3
T7 33.4 33.8 0.4
T8 32.5 32.8 0.3
T9 26.4 26.5 0.1
4 Modelagem Analítica
Consideremos as seguintes hipóteses para a solução analítica do problema:
→ Condução unidimensional convencção longitudinal;
→ Não há geração de calor na aleta;
→ Regime permanente(∂T
∂t
= 0);
→ Propriedades constantes.
COnsiderando a equação de conservaçnao de energia, temos:
∂Eacu =
.
Ein +
.
Eout +
.
Eg (4.0.1)
4
Levando em consideração nossas hipóteses, temos que
∂Eacu
∂t
= 0 e
.
Eg = 0, então:
qx = qx+dx + qcr ↔ (4.0.2)
↔ qx+dx = qx + dqx = qx + dqx
dx
dx (4.0.3)
Pela lei de Fourier:
qx = −kAcdT
dx
↔ (4.0.4)
↔ qcv = hdAs(T − T∞) (4.0.5)
logo,
qx − (qx + dqx
dx
dx) = kdAs(T − T∞)↔ (4.0.6)
↔ [ ∂
∂x
(−kAc∂T
dx
)dx] = hPdx(T − T∞)↔ (4.0.7)
↔ ∂
∂x
(Ac
∂T
∂x
) =
hP
k
(T − T∞) (4.0.8)
Agora vamos considerar que θ = T − T∞, então dθ
dx
=
dT
dx
, logo temos:
∂2
∂x2
=
hPθ
kAc
(4.0.9)
Resolvendo a equanção diferencial via matlab, temos:
θ(x) = C1e
mx + C2e
−mx (4.0.10)
onde m2 = hP
kAc
5
4.1 Extremidade Isolada
Conseiderando uma extremidade isolada termicamente temos
dθ
dx
∣∣∣∣
x=L
, portanto
∆T |x=L = 0.
Partindo das seguintes condições de contorno:
x = 0 → θ = θb
x = L → hAcθ(L) = −kAcdT
dx
∣∣∣∣
x=L
temos:
θ
θb
=
cosh(m(L− x))
cosh(mL)
(4.1.1)
Fluxo de calor:
qf = qb = −kAc dθ
dx
∣∣∣∣
x=0
(4.1.2)↔
Utilizando a distribuição de temperatura, temos:
qf = − 2
√
hkPAcθb tanh(mL) (4.1.3)
onde m = 2
√
hP
kAc
4.2 Aleta Muito Longa(L >> D)
Fazendo a análise para uma aleta muito longa, conforme L → ∞, logo temos
um θL → 0, ou seja, a temperatura na extremidade da aleta, x = L, tende a T∞.
Podemos verificar com:
θ
θb
= e−mx ↔ (4.2.1)
↔ qf = 2
√
hkPAcθb (4.2.2)
6
5 Erro
Para calcular o erro usamos a função de erro quadrático médio, que é dado pela
seguinte equação: ε =
∑
T 2n
n
.
5.1 Distribuição de Temperatura
No laboratório foram medidas as seguintes temperaturas:
Tabela 2: Temperatura1(◦C) vs tempo(min)
0 5 10 15 20 25 30 35
T1 25.4 52.8 65.2 72.5 75.5 78.6 80.1 81.1
T2 25.4 41.3 52.0 58.0 61.1 63.8 65.0 65.6
T3 25.4 33.7 41.9 46.8 49.6 51.8 52.8 53.2
T4 25.4 29.4 35.4 39.4 41.7 43.5 44.4 44.8
T5 25.4 27.3 31.4 34.6 36.7 38.3 39.0 39.4
T6 25.4 26.3 29.0 31.6 33.5 34.8 35.5 35.8
T7 25.4 25.7 27.6 29.8 31.5 32.7 33.4 33.8
T8 25.4 25.7 27.1 29.1 30.6 31.8 32.5 32.8
T9 25.4 25,7 26.0 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5
7
Tabela 3: Temperatura2(◦C) vs tempo(min)
0 5 10 15 20 25 30 35
T1 21.3 64.9 82.6 93.8 98.6 101 103.2 104.1
T2 21.4 47.4 62.4 72.2 76.4 78.4 80.0 81.4
T3 21.4 35.2 47.0 55.0 58.6 64.0 61.4 62.9
T4 21.4 28.3 37.0 43.2 46.6 48.2 78.9 50.5
T5 21.4 24.6 30.7 36.1 38.9 40.3 41.2 42.3
T6 21.4 23.0 27.0 31.4 33.9 35.2 35.9 36.9
T7 21.4 22.2 25.0 28.5 38.0 32.2 32.8 33.6
T8 21.4 21.9 24.1 27.2 29.4 30.7 31.4 33.2
T9 21.5 21.8 21.8 21.9 21.9 22.7 22.3 22.6
Baseado nessa tabela e ultilizando software matemático como MATLAB, Excel
e Maple, obtivemos a seguinte tabela de coeficiente de tranferência por convecção h,
considerando aleta infinita e aleta com extremidade isolada e suas devidas condições
de contorno:
Tabela 4: Coef. h
Infinita1 Isolada1 Infinita2 Isolada2
h 14.7 17.7 14.3 17.1
Erro 0.56 0.70 1.84 1.5
Lembrando que os índices 1 e 2 são referentes ao primeiro e segundo experimentos.
6 Potência elétrica transferida
A potência gerada pode ser calculada pela fórmula
Pot = Ui (6.0.1)
Sendo:
U1 = 135V ; i1 = 0.07A;U2 = 155V ; i2 = 0.072A
Utilizando a equação (4.1.3) podemos calcular a potência transferida para o pino
8
com extremidade isolada, enquanto a equação (4.2.2) serve para aleta muito longa.
Para obtermos o percentual de Pdissipada usamos a seguinte metodologia:
Pdissipada =
qf
Pot
100% (6.0.2)
Tabela 5: Porcentagem da potência elétrica transferida para o pino
Infinita1 Isolada1 Infinita2 Isolada2
% 39.05 42.44 48.48 52.74
7 Modelagem numérica
Para a solução numérica, resolvemos a equação de condução em regime perma-
nente considerando as mesmas hipóteses feitas para a solução analítica. Logo, o
balanço de energia é:
∂Eacu =
.
Ein +
.
Eout +
.
Eg (7.1)
Fazendo uso das mesmas condições prescritas na solução analítica, temos
∂Eacu
∂t
= 0
e
.
Eg = 0.
−kAcdT
dx
∣∣∣∣
a
= −kAcdT
dx
∣∣∣∣
b
+ hPdx(T − T∞)↔ (7.2)
↔ dT
dx
∣∣∣∣
a
=
Ti − Ti−1
∆x
→ dT
dx
∣∣∣∣
b
=
T+1 − Ti
∆x
(7.3)(7.4)
Substituíndo as equações (7.3), (7.4) na (7.2), temos:
kAc
∆x
Ti−1 + (
−2kAc
∆x
− hP∆x)Ti + kAc
∆x
Ti+1 = −hPT∞∆x (7.5)
Usando as devidas condiçnoes de contorno:
9

1 0 0 0 . . . 0
kAc
∆x
−2kac
∆x
− hP∆x kAc
∆x
0 . . . 0
0 kAc
∆x
−2kAc
∆x
− hP∆x kAc
∆x
. . . 0
... . . . . . . . . .
0 . . . . . . . . . −1 1


T1
T2
...
Tn−1
Tn

=

Tb
−hPT∞∆x
...
−hPT∞∆x
0

Com o auxílio do MATLAB plotamosos gráficos de aquecimento 1, resfriamento
1 e aquecimentos 2. Vale lembrar que nnao foi realizado o resfriamento 2.
Figura 1: Aquecimento 1
Estas curvas do Aquecimento 1 demonstram o comportamento assintótico dos
valores próximo à x = L. Importante frizar que este gráfico foi feito ultilizando o
coeficiente h cujo erro foi o menor.
o Próximo gráfico ilustra a situação onde a fonte de tensão foi reajustada para
uma voltagem menor, fazendo com que o o conjunto aleta se resfriasse por convecção.
10
Figura 2: Resfriamento 1
Por fim, este último gráfico ilustra o Aquecimento 2 da aleta até cerca de 100(◦C).
O interessante é que quanto maior as temperaturas, maior o GAP entre as curvas.
Agora para verificar a qualidade do experimento, vamos plotar - usando o Excel -
duas curvas, uma para a temperatura experimental e eoutra para a teórica. Visto
que foram feitos dois experimentos, logo temos dois graficos qualitativo:
8 Conclusão
Tento em vista os gráficos 4 e 5, conseguimos concluir que o experimento foi
realizado com sucesso e que os valores experimentais condizem, razoavelmente, com
os valores teóricos.
Figura 3: Aquecimento 2
11
Figura 4: Curva real 1 vs Curva experimental 1
Figura 5: Curva real 2 vs Curva experimental 2
9 Referências Bibliográficas
Este trabalho foi apoiado em conceitos e materiais encontrados nos seguintes ítens:
[1] Incropera, Frank P./ Dewitt,David P. - Fundamentos de Transferência de Calor
e de Massa
[2] Maurice Petyt - Introduction to Finite Element Vibration Analysis
[3] lmmp.mec.puc-rio.br/eng1714/topo_dem.gif
12
	Introdução
	Objetivo
	Metodologia Experimental
	Modelagem Analítica
	Extremidade Isolada
	Aleta Muito Longa(L>>D)
	Erro
	Distribuição de Temperatura
	Potência elétrica transferida
	Modelagem numérica
	Conclusão
	Referências Bibliográficas