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Teoria Escalar da Difração
Em óptica geométrica, o comprimento de onda da luz é desprezível e os raios
de luz não contornam obstáculos, mas propagam-se sempre em linha reta. A
difração acontece quando o comprimento da luz, perante obstáculos, não pode
mais ser considerado completamente desprezível. Aqui vamos considerar a teoria
de difração para um campo escalar, pois a teoria vetorial é mais complicada e
será tratada posteriormente.
Seja ψ (r, t) um campo conhecido em uma região V1 do espaço. Portanto,
seja o espaço separado em duas regiões: V1 e V2, com S1 sendo a superfície
de separação entre as duas regiões. Suponhamos, também, que a outra parte
da fronteira da região V2, que denotaremos por S2, esteja muito distante da
superfície S1 (que também é parte da fronteira de V2), isto é, seja S2 uma
superfície infinitamente distante da região V1, que não, necessariamente, deva ser
considerada limitada. Vamos considerar também que a dependência temporal
de ψ (r, t) seja harmônica, com frequência ω, isto é, exp (−iωt). Além disso,
suponhamos que ψ (r, t) satisfaça a equação de onda na região V2, ou seja,
∇2ψ (r, t)− 1
c2
∂2ψ (r, t)
∂t2
= 0,
que, com o ansatz temporal que adotamos, resulta na equação de Helmholtz:
∇2ψ (r, t) + k2ψ (r, t) = 0,
onde, como usualmente, definimos
k =
ω
c
.
No espaço vazio, a função de Green, Gvazio (r, r′), para a equação de Helmholtz,
que satisfaz
∇2Gvazio (r, r′) + k2Gvazio (r, r′) = −δ(3) (r− r′) ,
é dada por
Gvazio (r, r′) =
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′| .
No entanto, não podemos utilizar essa função de Green para obter o propagador
do campo ψ (r, t), pois não estamos considerando o espaço vazio, mas uma
região do espaço com uma fronteira em S1 e outra em S2, embora S2 seja
infinitamente distante. Voltaremos a considerar a função de Green adequada
para nosso problema depois que formularmos a teoria de difração; no momento
apenas consideremos conhecida a função de Green adequada, G (r, r′).
Derivemos agora o Teorema de Green no contexto formulado acima. Seja o
campo vetorial auxiliar:
F (r, r′) = G (r, r′)∇ψ (r, t) .
1
Pelo Teorema da Divergência de Gauss,
ˆ
V
d3r∇ · F (r, r′) =
˛
S(V )
danext · F (r, r′) ,
onde V é uma região arbitrária do espaço e S (V ) é a fronteira de V . Aqui,
next é a normal externa à região V . Notemos que ∇ opera em r e não em r′;
no presente contexto, r′ é um vetor fixo que, por hipótese, tomaremos sempre
dentro da região V . Obtemos, portanto,
∇ · F (r, r′) = ∇ · [G (r, r′)∇ψ (r, t)]
= G (r, r′)∇ · [∇ψ (r, t)] + [∇G (r, r′)] · [∇ψ (r, t)]
= G (r, r′)∇2ψ (r, t) + [∇G (r, r′)] · [∇ψ (r, t)] .
Então,
ˆ
V
d3r G (r, r′)∇2ψ (r, t) +
ˆ
V
d3r [∇G (r, r′)] · [∇ψ (r, t)] =
˛
S(V )
daG (r, r′)next · ∇ψ (r, t) .
Seguindo um procedimento análogo, é fácil deduzir também que
ˆ
V
d3r ψ (r, t)∇2G (r, r′) +
ˆ
V
d3r [∇ψ (r, t)] · [∇G (r, r′)] =
˛
S(V )
daψ (r, t)next · ∇G (r, r′) .
A subtração membro a membro dessas duas equações resulta no Teorema de
Green no presente contexto:
ˆ
V
d3r G (r, r′)∇2ψ (r, t)−
ˆ
V
d3r ψ (r, t)∇2G (r, r′) =
˛
S(V )
daG (r, r′)next · ∇ψ (r, t)
−
˛
S(V )
daψ (r, t)next · ∇G (r, r′) .
Como
∇2ψ (r, t) + k2ψ (r, t) = 0,
por hipótese, e
∇2G (r, r′) + k2G (r, r′) = −δ(3) (r− r′) ,
pois G (r, r′) é uma função de Green para a equação de Helmholtz, segue, do
Teorema de Green, que
ˆ
V
d3r ψ (r, t) δ(3) (r− r′) =
˛
S(V )
daG (r, r′)next · ∇ψ (r, t)−
˛
S(V )
daψ (r, t)next · ∇G (r, r′) ,
isto é,
ψ (r′, t) =
˛
S(V )
daG (r, r′)next · ∇ψ (r, t)−
˛
S(V )
daψ (r, t)next · ∇G (r, r′) ,
2
se r′ for um ponto da região V que, por hipótese, é. Trocando a notação,
podemos também escrever
ψ (r, t) =
˛
S(V )
da′G (r′, r)n′ext · ∇′ψ (r′, t)−
˛
S(V )
da′ ψ (r′, t)n′ext · ∇′G (r′, r) ,
para r em V .
Essa expressão é interessante porque com ela podemos mostrar que ψ (r, t) =
0 em todo lugar se, sobre alguma região Sa da superfície fechada S (V ), tivermos,
simultaneamente,
ψ (r′, t) = 0
e
n′ext · ∇′ψ (r′, t) = 0.
Para apreendermos isso, vejamos uma situação simples. Suponhamos que a
superfície fechada S seja a união de duas superfícies abertas, Sa e Sb, com as
quantidades ψ (r′, t) e n′ext ·∇′ψ (r′, t) ambas nulas sobre Sa. Usando o Teorema
de Green, no interior de S temos
ψ (r, t) =
˛
S
da′ n′ext ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)]
3
=
ˆ
Sa
da′ n′a ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)]
+
ˆ
Sb
da′ n′b ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)]
onde n′a é a normal sobre Sa, e n′b é a normal sobre Sb. Sobre Sa, as quantidades
ψ (r′, t) e n′ext · ∇′ψ (r′, t) são nulas. Logo,
ψ (r, t) =
ˆ
Sb
da′ n′b ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)] .
Seja C a fronteira entre Sa e Sb. Conforme observado por Tiago Batalhão, sobre
a superfície Sb e sua vizinhança, exceto sobre o ponto r, temos
∇2G (r, r′) + k2G (r, r′) = −δ(3) (r− r′)
= 0,
isto é,
∇2G (r, r′) = −k2G (r, r′) .
Como também temos que
∇2ψ (r, t) = −k2ψ (r, t) ,
segue que, exceto sobre r,
∇′ · [G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)] = [∇′G (r′, r)] · [∇′ψ (r′, t)]+G (r′, r)∇′2ψ (r′, t)
− [∇′ψ (r′, t)] · [∇′G (r′, r)]− ψ (r′, t)∇′2G (r′, r)
= −k2G (r′, r)ψ (r′, t) + k2ψ (r′, t)G (r′, r)
= 0
e, portanto, existe um campo vetorial F (r′, r, t) tal que
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r) = ∇′ × F (r′, r, t) .
Logo,
ψ (r, t) =
ˆ
Sb
da′ n′b ·
[∇′ × F (r′, r, t)] .
Usando o Teorema de Stokes, obtemos
ψ (r, t) =
˛
C
dr′ · F (r′, r, t) ,
onde dr′ é o elemento de caminho da curva fechada C. Escolhamos outra su-
perfície, Sc, que também tem a fronteira C com a superfície Sa, tal que Sa ∪Sc
4
seja fechada. Mas, seja Sc tal que o ponto r agora fique fora da região cuja
superfície é Sa ∪ Sc.
Podemos usar
novamente o Teorema de Green e escrever
0 =
˛
Sa∪Sc
da′ n′ext ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)]
=
ˆ
Sa
da′ n′a ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)]
+
ˆ
Sc
da′ n′c ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)] ,
onde n′c é a normal sobre Sc. Como o integrando é nulo sobre a superfície Sa,
por hipótese, segue queˆ
Sc
da′ n′c ·
[∇′ × F (r′, r, t)] = ˆ
Sc
da′ n′c ·
[
G (r′, r)∇′ψ (r′, t)− ψ (r′, t)∇′G (r′, r)]
= 0.
Usando o Teorema de Stokes, obtemos˛
C
dr′ · F (r′, r, t) =
ˆ
Sc
da′ n′c ·
[∇′ × F (r′, r, t)]
= 0.
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Como já obtivemos, usando a superfície Sb ao invés de Sc, que
ψ (r, t) =
˛
C
dr′ · F (r′, r, t) ,
segue, finalmente, que
ψ (r, t) = 0
para todo r.
Dessa análise concluímos que, para um campo não ser nulo em todo espaço,
não podemos impor condições de contorno em que, simultaneamente, a função
de Green tenha seu valor e sua derivada normal nulos em nenhuma parte da su-
perfície fechada da região de interesse. Podemos, no entanto, obter solução não
trivial para o campo escalar se impusermos condições de contorno de Dirichlet
ou de Neumann. A seguir, apenas o caso de condição de contorno de Dirichlet
será apresentado; o caso de Neumann é análogo.
Condição de contorno de Dirichlet
No caso de termos a condição de contorno de Dirichlet, tomamos a função de
Green de Dirichlet, GD (r, r′), satisfazendo
GD (r, r′) = 0, para r′ sobre S.
Nesse caso, escrevemos
ψ (r, t) = −
˛
S
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r)
= −
ˆ
S1
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r)
−
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) .
Como estamos supondo que S2 seja uma superfície infinitamente distante, vamos
também supor que o campo satisfaça uma condição de radiação, isto é, para r
muito grande,
ψ (r, t) → f (θ, ϕ) exp (ikr)
r
e que, em virtude disso,
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) = 0.
Logo, queremos encontrar uma solução que seja dada por
ψ (r, t) = −
ˆ
S1
da′ ψ(r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) .
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Depois de encontrarmos explicitamente a função de Green de Dirichlet, devere-
mos verificar se, de fato, teremos, de forma consistente,
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) = 0.
Até agora ainda não explicitamos qual é a forma da superfície S1. Isso
depende especificamente do problema que queiramos resolver. Há, porém, um
caso importante, em que S1 possa ser aproximada por um plano infinito, com
aberturas através das quais o campo penetra a região de fronteira S = S1 ∪ S2.
Nesse caso, tomando S1 como o plano xy e S2 como um plano paralelo ao plano
xy localizado infinitamente distante da origem, mas no lado positivo do eixo z,
através do método das imagens, é fácil ver que a função de Green de Dirichlet
é dada por
GD (r, r′) =
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′| −
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′| ,
onde
r′′ = r′ − 2z′zˆ
= x′xˆ+ y′yˆ − z′zˆ.
Portanto, na região de interesse, isto é, quando z > 0 e z′ > 0,
∇2GD (r, r′) = ∇2
{
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′|
}
−∇2
{
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′|
}
= −k2 exp (ik |r− r
′|)
4pi |r− r′| − δ
(3) (r− r′)
+ k2
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′| + δ
(3) (r− r′′)
e, como z > 0 e z′ > 0, segue que
δ(3) (r− r′′) = 0.
Portanto,
∇2GD (r, r′) + k2GD (r, r′) = −δ(3) (r− r′)
e
GD (r, r′) = 0
se r′ estiver sobre o plano xy. Logo, essa é a forma da função de Green para a
condição de Dirichlet. Incidentalmente, também vemos que GD (r, r′) se anula
sobre S2, como deveria ser.
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Falta agora verificarmos a consistência de nossa hipótese acerca da igualdade
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) = 0.
Para isso, sobre S2, temos
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) =
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t) zˆ · ∇′
[
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′|
]
−
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t) zˆ · ∇′
[
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′|
]
.
Mas,
zˆ · ∇′
[
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′|
]
=
∂
∂z′
[
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′|
]
=
[
ik − 1|r− r′|
]
exp (ik |r− r′|)
4pi |r− r′|
∂ |r− r′|
∂z′
e
∂ |r− r′|
∂z′
=
∂
∂z′
√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
= − (z − z
′)√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
.
Analogamente,
zˆ · ∇′
[
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′|
]
=
∂
∂z′
[
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′|
]
=
[
ik − 1|r− r′′|
]
exp (ik |r− r′′|)
4pi |r− r′′|
∂ |r− r′′|
∂z′
e
∂ |r− r′′|
∂z′
=
∂
∂z′
√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2
=
(z + z′)√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2
.
No limite em que z′ torna-se infinitamente grande,
ˆ
S2
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) =
ˆ ∞
−∞
dx′
ˆ ∞
−∞
dy′ ψ (r′, t) ik
exp (ikz′)
4piz′
−
ˆ ∞
−∞
dx′
ˆ ∞
−∞
dy′ ψ (r′, t) ik
exp (ikz′)
4piz′
= 0,
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como esperado.
A teoria escalar da difração com condição de contorno de Dirichlet é dada
em termos da equação
ψ (r, t) = −
ˆ
S1
da′ ψ (r′, t)n′ · ∇′GD (r′, r) .
Logo acima, como exemplo concreto, tomamos um caso especial com a função
de Green de uma superfície plana infinita, mas, qualquer outro problema, a
prescrição é usar a equação acima com a função de Green de Dirichlet adequada.
Além de escolher a função de Green adequada, a aproximação que normalmente
é feita consiste em supor que o campo é nulo em todo ponto da superfície S1,
exceto nas aberturas, onde o valor do campo é tomado como aquele da onda
incidente na região da abertura.
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