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Intervalo de Confiança-aluno

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Intervalo de Confianc¸a
1 Estimac¸a˜o
A estimac¸a˜o e´ o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores
de paraˆmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer caracter´ıstica de uma
populac¸a˜o pode ser estimada a partir de uma amostra aleato´ria. Entre os mais comuns, esta˜o
a me´dia e o desvio padra˜o de uma populac¸a˜o e a proporc¸a˜o populacional.
1.1 Estimac¸a˜o por ponto:
E` o processo atrave´s do qual obteremos um u´nico ponto, ou seja, um u´nico valor para estimar
o paraˆmetro.
Exemplo: Amostra (1,3,2)
X =
∑
xi
n =
1+3+2
3 = 2 Estimativa pontual ou por ponto de µ.
S2 =
∑
(xi−x)2
n−1 = 1 estimativa pontual ou por ponto de σ
2
1.2 Estimac¸a˜o por Intervalo:
E´ um processo que permite obter um intervalo onde, com uma determinada probabilidade (n´ıvel
de confianc¸a), podemos esperar encontrar o verdadeiro valor do paraˆmetro.
LI < θ < LS
As estimativas por intervalo sa˜o prefer´ıveis a`s estimativas por ponto porque indicam a
precisa˜o, ou seja, sabemos a probabilidade de o intervalo conter o paraˆmetro.
2 Intervalo de Confianc¸a
Trata-se de uma das te´cnicas para infereˆncia estat´ıstica, onde a partir de um intervalo de
confianc¸a, constru´ıdo com os elementos da amostra, pode-se inferir sobre um paraˆmetro popu-
lacional.
Devido a` variabilidade amostral, as poss´ıveis amostras aleato´rias de mesmo tamanho reti-
radas da mesma populac¸a˜o tera˜o medidas diferentes. Assim, surge naturalmente a pergunta:
qual a confiabilidade de uma estimativa pontual? O intervalo de confianc¸a foi institu´ıdo para
definir de forma objetiva a credibilidade da estimativa.
INTERVALO DE CONFIANC¸A e´ o intervalo de valores que conte´m o paraˆmetro da pop-
ulac¸a˜o, com uma determinada probabilidade de acerto, e e´ constru´ıdo a partir de uma amostra
aleato´ria retirada da populac¸a˜o.
Se pudessemos construir uma quantidade grande de intervalos (aleato´rios!) da forma ]X −
1, 96σX , X + 1, 96σX [, todos baseados em amostras de tamanho n, 95% deles conteriam o
paraˆmetro µ.
1
Dizemos que 1−α = 0, 95 e´ o n´ıvel de confianc¸a e α e´ o n´ıvel de significaˆncia. Nessa figura
esta˜o esquematizados o funcionamento e o significado de um intervalo de confianc¸a (IC) para
µ, com 1− α = 0, 95 e σ2 conhecido.
Escolhida uma amostra e encontrada sua me´dia x0, e admitindo-se σx conhecido, podemos
construir o intervalo
]x0 − 1, 96σX , x0 + 1, 96σX [.
Este intervalo pode ou na˜o conter o paraˆmetro µ.
Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho n e que constru´ımos um intervalo de
confianc¸a com n´ıvel de confianc¸a 95% e obtemos o seguinte intervalo: 0, 476 < µ < 0, 544.
1. ERRADA: “Ha´ uma chance de 95% de que o verdadeiro valor de µ esta´ entre 0,476 e
0,544.”
2. CERTA: “Estamos 95% confiantes de que o intervalo de 0,476 e 0,544 realmente conte´m
o verdadeiro valor de µ”. Isto significa que, se selecionarmos muitas diferentes amostras
de mesmo tamanho n e constru´ıssemos os intervalos de confianc¸a correspondentes, 95%
deles realmente conteriam o valor da me´dia populacional µ. O n´ıvel de 95% se refere a`
taxa de sucesso do processo em uso para estimar a me´dia populacional, e na˜o se refere a`
pro´pria me´dia populacional.)
Consideremos o seguinte experimento de simulac¸a˜o.
Geramos 20 amostras de tamanho n = 25 de uma distribuic¸a˜o normal de me´dia µ = 5 e
desvio padra˜o σ = 3. Para cada amostra constru´ımos o intervalo de confianc¸a para µ, com n´ıvel
de significaˆncia α = 0, 5 , que e´ da forma X ± 1, 176. Na figura abaixo temos esses intervalos
representados e notamos que treˆs deles (amostras de nu´meros 5, 14 e 15) na˜o conte´m a me´dia
µ = 5.
2
2.1 Intervalo de confianc¸a para a Me´dia de Populac¸o˜es Normais com Variaˆncia
Conhecida
Considere que desejamos estimar a media µ de uma populac¸a˜o X com variaˆncia σ2 conhecida.
Para determinar o intervalo de confianc¸a (IC) para µ , utilizamos o estimador X . Conforme
ja´ estabelecido, o estimador da me´dia populacional (µ) e´ a me´dia amostral (X), e a distribuic¸a˜o
de probabilidade das me´dias e´ NORMAL com paraˆmetros:
X ∼ N
(
µ,
σ2
n
)
Logo, a varia´vel padronizada de X sera´
Z =
X − µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
Fixando-se um n´ıvel de confianc¸a 1− α , temos a seguinte representac¸a˜o da situac¸a˜o:
ou seja,
P
(
−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2
)
= 1− α
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z = X−µσ , e resolvendo-se para as duas inequ¨ac¸o˜es,
temos:
P
(
X − zα/2
σ√
n
≤ µ ≤ X + zα/2
σ√
n
)
= 1− α
Este intervalo de confianc¸a, tambe´m pode ser expresso da seguinte forma:
IC(µ; 1− α) = X ± zα/2
σ√
n
3
2.1.1 Margem de Erro
O Erro num intervalo de estimac¸a˜o diz respeito ao desvio (diferenc¸a) entre a me´dia amostral e a
verdadeira me´dia da populac¸a˜o. Como o intervalo de confianc¸a tem centro na me´dia amostral,
o erro ma´ximo prova´vel e´ igual a` metade da amplitude do intervalo. Logo, o intervalo
X ± zα/2
σ√
n
ou X ± �
onde o erro � sendo dado por
� = zα/2
σ√
n
Exemplo: Em determinada populac¸a˜o, o peso dos homens adultos e´ distribu´ıdo normal-
mente com um desvio padra˜o de 16kg. Uma amostra aleato´ria simples de 36 homens adultos
e´ sorteada desta populac¸a˜o, obtendo-se um peso me´dio de 78, 2kg. Construa um intervalo
de confianc¸a de n´ıvel de confianc¸a 0,95 para o peso me´dio de todos os homens adultos dessa
populac¸a˜o.
Exemplo: De uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 25 extrai-se uma amostra aleato´ria
simples de tamanho n com o objetivo de se estimar a me´dia populacional µ com um n´ıvel de
confianc¸a de 90% e margem de erro de 2. Qual deve ser o tamanho da amostra?
2.2 Intervalo de Confianc¸a para uma Proporc¸a˜o - Amostras Grandes
O procedimento de construc¸a˜o do intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o populacional e´ to-
talmente ana´logo ao do intervalo de confianc¸a para a me´dia de uma populac¸a˜o normal com
variaˆncia conhecida.
Ja´ foi estabelecido que o estimador para proporc¸a˜o p e´ a proporc¸a˜o amostral p̂, e a dis-
tribuic¸a˜o de probabilidade da proporc¸a˜o amostral e´ Normal com paraˆmetros:
p̂ ∼ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(1)
Assim, para o caso de populac¸o˜es infinitas, a varia´vel padronizada de p̂ e´ dada por:
Z =
p̂− p√
p(1−p)
n
∼ N(0, 1) (2)
Fixando-se um n´ıvel de confianc¸a 1− α, temos a seguinte representac¸a˜o da situac¸a˜o:
Ou seja:
P
(
−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2
)
= 1− α
4
Substituindo-se o valor de Z, tirado de Z = p̂−p√
p(1−p)
n
, e resolvendo-se para as duas inequ¨ac¸o˜es,
temos:
P
p̂− zα/2
√
p(1− p)
n
≤ p ≤ p̂+ zα/2
√
p(1− p)
n
 = 1− α
Reconhecemos a quantidade
√
p(1−p)
n como erro-padra˜o do estimador pontual p̂. Infeliz-
mente, os limites superior e inferior do intervalo de confianc¸a dependem do paraˆmetro desco-
nhecido p. No entanto, uma soluc¸a˜o satisfato´ria e´ substituir p por p̂ no erro-padra˜o, resultando
em um erro-padra˜o estimado. Assim,
P
p̂− zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
≤ p ≤ p̂+ zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
 = 1− α
Este intervalo de confianc¸a bilateral, tambe´m pode ser expresso da seguinte forma:
IC(p̂; 1− α) = p̂± zα/2
√
p̂(1− p̂)
n
Exemplo: Um gerente de produc¸a˜o deseja estimar a proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas em
uma de suas linhas de produc¸a˜o. Para isso, ele seleciona uma amostra aleato´ria simples de 100
pec¸as dessa linha de produc¸a˜o, obtendo 30 defeituosas. Determine o intervalo de confianc¸a para
a verdaeira proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas nessa linha de produc¸a˜o, a um n´ıvel de significaˆncia
de 5%.
5

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