Autovectores e autovalores de uma matriz.docx

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Introdução
O presente trabalho aborda os autovectores e autovalores, sendo que os autovalores de uma dada matriz quadrada A de dimensão são os números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz. Um vector x não nulo do plano (respectivamente do espaço) é chamado de autovector de A se Ax é múltiplo escalar de x.
O mesmo trabalho aborda também sobre o teorema espectral das cónicas, as suas características e o respectivo método de resolução.
Autovectores e autovalores de uma matriz
Definição: Dada uma matriz quadrada de ordem ou e considerando a aplicação A: . Os vetores não nulos (v) satisfazendo a equação 
A v = λ A v = λ v
para algum λ ℝ, são denominados autovetores de A e os valores λ ℝ são os autovalores de A.
Exemplo: Dada a matriz . Queremos encontrar quais são as direções invariantes pela aplicação A: , isto é, precisamos resolver a equação dada por A v = λ v
 para para determinar os autovalores e autovetores da matriz A. Assim 
 
Temos o seguinte sistema de equações
Temos duas possibilidades a estudar, o caso 1: e o caso 2: ().
Assumindo o caso 1: 
De (1): 
De (2): 
Para o autovalor , os autovectores são do tipo , com 
Assumindo o caso 2: ()
Neste caso, temos , pois o autovector seria nulo, o que não pode acontecer pela definição de autovector. Da equação (2), segue-se
 
Para o autovalor , os autovectores são do tipo , com 
Concluímos então que, para a aplicação A: : 
1) para são os autovetores associados ao autovalor .
2)para são os autovetores associados ao autovalor .
Método para determinarmos Autovalores e Autovetores da matriz A
Queremos agora encontrar um método prático para encontrar autovalores e autovetores de uma matriz real quadrada A de ordem . 
Para encontrar os autovalores de uma matriz A, , (respectivamente ), procedemos da seguinte forma. Se Ax = λx temos Ax − λIx =0 onde I é a matriz identidade. Esta igualdade pode ainda ser escrita como (A−λI)x = 0. Estamos procurando soluções não triviais e (respectivamente () para o sistema homogêneo cuja matriz dos coeficientes é A−λI. Isto acontece se e somente se Det(A−λI) = 0. Impondo esta condição, obtemos uma equação do segundo (respectivamente terceiro) grau em λ, chamada polinómio característico de A que podemos resolver e cujas soluções serão os autovalores procurados.
Exemplo: Seja A = 
Encontre todos os autovalores de A e os autovectores correspondentes. Para encontrar os autovalores resolvemos a equação Det(A−λI) = 0. Temos:
A−λI = = 
Calculando Det(A−λI) = 0, obtemos a equação (1−λ)(3−λ)−8=0 ou ainda λ² −4λ −5= . Temos, portanto, dois autovalores: 
Para obter os autovectores tomamos um autovalor de cada vez.
Caso (1)
Substituindo na expressão (A−λI)x = 0, temos:
 = 
Donde −4x1 +4x2 =0 e 2x1 −2x2 =0. Obtemos que x1 = x2 e o sistema possui infinitas soluções. O autovector será (1,1).
Caso (2)
Substituindo na expressão (A−λI)x = 0, temos:
 = 
E portanto, 2x1 + 4 x2 =0 e 2x1 +4 x2 = 0. Obtemos que e o sistema também possui infinitas soluções. Um autovector será e um outro será .
Nota:
Para obter os autovectores associados a um dado autovalor, estamos procurando soluções não nulas de um sistema homegêneo cuja matriz de coeficientes possui determinante zero.
Teorema espectral das cônicas
Voltando a equação de sugundo grau em , temos:
 (1)
Tomaremos ,como matriz associada, sendo que existem determinados, designados de autovalores de A.
Base ortogonal: que também é a base própria de A.
 (3)
Teremos também:
 (4), pode ser escrita em termos de X,Y relativa à base , como sendo (5)
Algoritmo de canonização
Escrever a matriz associada.
Escrever a equação de valores e vectores próprios onde , .
Achar a equação característica e resolver a mesma, de modo a achar .
Calcular os vectores próprios pertecentes a cada autovalor: , . é o autovector pertecente ao autovalor .
Estabelecer a base B será a matriz da transformaação (matriz da rotação). Devemos então calcular as transformações das coordenadas de forma:
 onde: (6)
Substituir (6) em (1) para ter a equação sem “XY”, com (4) e (5).
Teorema de classificação de cónicas pelo discriminante: 
	Cónica
	Sinal de 
	Tipo
	Elipse circunferência
	
	Elíptica 
	Parábola 
	
	Parabólica 
	Hipérbole 
	
	Hiperbólica 
Conclusão
Referências bibliográficas
AVRITZER, Dan – Geometria Analítica e Álgebra Linear: Uma Visão Geométrica Tomo II, Editora UFMG – 2009
PERES, Eduardo dos Santos; Classificação de Cônicas e Quádricas em Função da Equação Algébrica; Rio de Janeiro – 2014