AD2 met det II 2017.1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2017
Gabarito da Avaliac¸a˜o a` Distaˆncia 2 - AD2
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = x+1√
x2+1
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Calcule os limites de x→ ±∞ e depois discuta sobre as assintotas da func¸a˜o.
(c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
(e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: (a) Pelo motivo de x2 + 1 estar no radicando, precisamos que x2 + 1 ≥ 0 e como este
radicando esta no denominador x2 + 1 > 0, mas x2 + 1 > 0 para todo x ∈ R. De onde D(f) = R.
(b) Para calcular o limite x→ +∞ veja que se x > 0 enta˜o x < √x2 + 1 < x+ 1, da´ı
1 = lim
x→+∞
x+ 1
x
≥ lim
x→+∞ f(x) ≥ limx→+∞
x+ 1
x+ 1
= 1
Para x < −1 temos que −x < √x2 + 1 < 1− x⇔ 1−x > 1√x2+1 >
1
1−x da´ı
−1 = lim
x→−∞
x+ 1
−x ≤ limx→+∞ f(x) ≤ limx→+∞
x+ 1
1− x = −1
Portanto, y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais.
(c) Derivando
f ′(x) =
1×√x2 + 1− (x+ 1)
(
1
2
2x√
x2+1
)
x2 + 1
=
1− x
(x2 + 1)3/2
.
O estudo do sinal, so´ precisa levar em conta o numerador, 1− x > 0 ⇔ x < 1. Portanto, para x < 1
temos f ′(x) > 0 e no restante dos valores reais f ′(x) ≥ 0.
(d) Derivando outra vez temos
f ′′(x) =
1× (x2 + 1)3/2 − (1− x)× (3x√x2 + 1)
(x2 + 1)3
=
2x2 − 3x− 1
(x2 + 1)5/2
.
Novamente precisamos so´ nos preocupar com o numerador. Encontrando as ra´ızes de 2x2−3x−1 = 0
obtemos 14
(
3 +
√
17
)
e 14
(
3−√17). Portanto, para 14 (3−√17) < x < 14 (3 +√17), temos que
f ′′(x) < 0 no restante dos valores de x temos que f ′′(x) ≥ 0.
(e) Comece tranc¸ando as assintotas. Calcule f(1) =
√
2 > 1 que e´ o ponto de ma´ximo, uma vez
que f ′′(1) < 0. A func¸a˜o e´ crescente em x ∈ (−∞, 1) e a concavidade vem voltada para cima em
(−∞, 14
(
3−√17)), depois em (14 (3−√17) , 14 (3 +√17)) fica com a boca voltada para baixo, em
1
(14
(
3 +
√
17
)
,+∞) volta a ficar com a boca voltada para cima. Ale´m disso, em (1,+∞) a func¸a˜o
deve ser decrescente. Portanto, o gra´fico deve ser algo pro´ximo de
Questa˜o 2 [2,0 pts] O custo, em reais, para a produc¸a˜o de x metros de tecido e´ dado por
C(x) = 996 + 10x− 0, 2x2 + 0, 0004x3
e a companhia descobre que se vender x metros ela podera´ cobrar
p(x) = 30− 0, 0004x
reais por metro de tecido. Calcule o n´ıvel de produc¸a˜o para maximizar o lucro.
Soluc¸a˜o: O lucro L(x) = xp(x) − C(x) = x(30 − 0, 0004x) − (996 + 10x − 0, 2x2 + 0, 0004x3) =
−0, 0004x3 + 0, 1996x2 + 20x− 996.
Derivando duas vezes obtemos
L′(x) = −0, 0012x2 + 0, 3992x+ 20 e L′′(x) = 0, 3992− 0, 0024x
Identificando os x ∈ R tal que L(x) = 0 obtemos depois de resolver a equac¸a˜o de 2o grau x1 =
−44, 2218, x2 = 376, 888. So´ nos interessa x > 0, ale´m disso, L′′(376, 888) = −0, 505332 < 0, portanto,
x2 e´ um ponto de ma´ximo local. Portanto, obteremos lucro ma´ximo se produzirmos 377 metros de
tecido.
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
x2 + x− 2
x3 + 6
b) g(t) =
et
t2 + 1
c) h(x) =
x
x+ 3x
d) l(x) = x
√
x+
1
x2
√
x
Soluc¸a˜o: a)
f ′(x) =
(2x+ 1)
(
x3 + 6
)− (x2 + x− 2) 3x2
(x3 + 6)2
=
−x4 − 2x3 + 6x2 + 12x+ 6
(x3 + 6)2
.
2
b)
g′(t) =
et(t2 + 1)− et2t
(t2 + 1)2
=
et(t− 1)2
(t2 + 1)2
.
c) Veja que h(x) = x
x+ 3
x
= x
x2+3
x
= x
2
x2+3
h′(x) =
2x× (x2 + 3)− x2 × 2x
(x2 + 3)2
=
6x
(x2 + 3)2
d) Simplificando temos l(x) = x
4+1
x5/2
l′(x) =
4x3 × x5/2 − (x4 + 1)52x3/2
x5
=
3x4 − 5
2x7/2
.
Questa˜o 4: [2,0 pts] Na figura ao lado o ponto P esta sobre
a para´bola y = x2 e o ponto Q e´ a intersec¸a˜o da mediatriz do
segmento OP com o eixo y. Se o ponto P escorregar sobre a
para´bola e se aproximar da origem, o que acontece com Q?
Q tem uma posic¸a˜o limite? Se sim, calcule-a.
Soluc¸a˜o: Os pontos sobre a para´bola sa˜o da forma (x, y) = (t, t2), t ∈ R. Logo a reta passando por
(0, 0) e um ponto da para´bola e´ da forma
y − t2 = (t
2 − 0)
(t− 0) (x− t).
As coordenadas do ponto me´dio do segmento (0, 0) e (t, t2) sa˜o (t/2, t2/2) e a reta passando por
este ponto e perpendicular a reta acima tem equac¸a˜o, desde que t 6= 0
y − t
2
2
= −1
t
(x− t
2
).
Logo, para obtermos o valor de y do ponto Q, temos que fazer x = 0 na equac¸a˜o da reta acima e
obtemos
y =
t2
2
+
1
2
Quando fazemos t→ 0, obtemos y → 12 . Portanto, o ponto Q→ (0, 12).
3