ep11 met det II 2017.1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2017
Gabarito dos Exerc´ıcios Programados 11
Questa˜o 1: Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine os pontos cr´ıticos e classifique-os (a
classificac¸a˜o refere-se a ponto de ma´ximo local, mı´nimo local, ou ponto de inflexa˜o).
1) f(x) = x
4
4 − x3 − 2x2 + 3 2) f(t) = 3
√
t3 − 2t+ 1
3) f(x) = x3 − 3x2 + 3x+ 1 4) f(x) = 1
x4+2x3+x2+1
Soluc¸a˜o: Para cada um dos itens precisamos calcular a derivada e fazer um estudo do sinal da
mesma, pois grac¸as a este estudo teremos condic¸o˜es de determinar a natureza do ponto cr´ıtico.
1) Derivando f(x) = x
4
4 −x3−2x2+3 e igualando a zero obtemos f ′(x) = x3−3x2−4x = (x2−3x−4)x =
(x− 4)(x+ 1)x = 0. Vamos analisar a f ′(x) para saber o sinal dela em cada ponto. Mas ja´ sabemos
que os pontos cr´ıticos sa˜o: −1, 0 e 4.
x+ 1
- + + +
x
- - + +
x− 4- - - +
(x+ 1)x(x− 4)- + - +
-1
0
4
-1 0 4
Disto segue que −1 e´ um ponto de mı´nimo local, 0 e´ um ponto de ma´ximo local, e 4 e´ um ponto
de mı´nimo local.
2) Derivando f(t) = 3
√
t3 − 2t+ 1 = (t3 − 2t+ 1)1/3 obtemos f ′(t) = 3t2−2
3(t3−2t+1) 2/3 . Fazendo f
′[t] = 0,
obtemos t = ±
√
2/ 3 ≈ ±0, 87. Observe ainda que t3− 2t+1 =
(
t− (−1−
√
5
2 )
)
(t− 1)
(
t− (−1+
√
5
2 )
)
.
Portanto, a func¸a˜o f(t) na˜o possui derivadas nos pontos onde t3 − 2t + 1 se anula. Ale´m disso, o
denominador de f ′(t) e´ sempre positivo enta˜o quem domina o sinal e´ t2 − 2/ 3 e esta e´ uma equac¸a˜o
do segundo grau com coeficiente do termo dominante positivo. Portanto, f ′(t) < 0 em −
√
2/ 3 < t <√
2/ 3 e positivo no restante.
Portanto, t = −
√
2/ 3 e´ um ponto de ma´ximo local e o ponto t =
√
2/ 3 e´ um ponto de mı´nimo
local.
3) Derivando e igualando a zero obtemos 3x2 − 6x + 3 = 0 = 3(x2 − 2x + 1) = 3(x − 1)2. Portanto,
f ′(x) > 0 se x 6= 1 e portanto, o ponto cr´ıtico 1 e´ um ponto de inflexa˜o.
4) Derivando obtemos f ′(x) = − 4x3+6x2+2x
(x4+2x3+x2+1)2
, observe que o denominador e´ sempre positivo enta˜o
quem domina o sinal de f ′(x) e´ 4x3+6x2+2x = x(4x2+6x+2)) resolvendo a equac¸a˜o do segundo grau
4x2 + 6x+ 2 = 0, obtemos as ra´ızes e com elas podemos escrever 4x3 + 6x2 + 2x = (x+ 1)(x+ 1/ 2)x
analisando o sinal obtemos
1
x+ 1
- + + +
x+ 12
- - + +
x
- - - +
(x+ 1)(x+ 12)x
- + - +
-1
−12
0
-1−12 0
Observe que em f ′(x) tem um sinal de menos na frente de 4x3 + 6x2 + 2x. Portanto, f ′(x) tem
sinal oposto ao encontrado na ana´lise acima. Portanto, −1 e 0 sa˜o pontos de ma´ximo local e −12 e´ um
ponto de mı´nimo local.
Questa˜o 2: Verifique que as func¸o˜es abaixo satisfazem o Teorema do Valor Me´dio nos intervalos
dados. Enta˜o encontre o valor de c que satisfac¸am a conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio.
a) f(x) = 3x2 + 2x+ 5 em [−1, 1] b) f(x) = x3 + x− 1 em [0, 2]
c) f(x) = e−2x me [0, 3] d) f(x) = x
x+2 em [1, 4].
Soluc¸a˜o: Vamos comec¸ar enunciando o teorema
Teorema do Valor Me´dio
Considere uma func¸a˜o f : [a, b] → R que e´ cont´ınua no intervalo [a, b]
e diferencia´vel em (a, b). Enta˜o existe um ponto t0 com a < t0 < b tal
que
f ′(t0) =
f(b)− f(a)
b− a .
a) Vamos comec¸ar calculando o coeficiente angular,
f(b)− f(a)
b− a =
f(1)− f(−1)
1− (−1) =
10− 6
2
=
4
2
= 2.
Derivando f(x) = 3x2 + 2x + 5 obtemos f ′(x) = 6x + 2, igualando a 2 e resolvendo obtemos −1 <
t0 = 0 < 1. E portanto, f
′(t0) = f ′(0) = 2.
c) Calculado o coeficiente angular,
f(b)− f(a)
b− a =
f(2)− f(0)
2− 0 =
9− (−1)
2
= −10
2
= 5.
Derivando f(x) = x3 + x− 1 temos f ′(x) = 3x2 + 1. Igualando, 3x2 + 1 = 5 ⇒ x2 = 4/ 3 e obtemos
x = ±
√
4/ 3, como o intervalo e´ [0, 2] segue que t0 = 2/
√
3.
b) Calculando o coeficiente angular,
f(b)− f(a)
b− a =
f(3)− f(0)
3− 0 =
e−6 − 1
3
=
1− e6
3e6
.
Derivando f(x) = e−2x obtemos f ′(x) = −2e−2x e igualando obtemos −2e−2x = 1−e6
3e6
⇒ −2x =
ln
(
e6−1
6e6
)
b) Observe que f(x) = x
x+2 e´ descont´ınua em −2 e portanto podemos aplicar o teorema do Valor
Me´dio no intervalo [1, 4]. Calculado o coeficiente angular,
f(b)− f(a)
b− a =
f(4)− f(1)
4− 1 =
2
3 − 13
3
=
1
3
3
=
1
9
.
2
E f ′(x) = 2
(x+2)2
e fazendo 2
(x+2)2
= 19 ⇔ x = 3
√
2− 2 e x = −3√2− 2. E como −3√2− 2 /∈ [1, 4]
segue que o ponto procurando e´ x = 3
√
2− 2.
Questa˜o 3: Determinado produto e´ produzido e vendido a um prec¸o unita´rio p. O prec¸o de venda
na˜o e´ constante, mas varia em func¸a˜o da quantidade q demandada pelo mercado, de acordo com a
equac¸a˜o p =
√
20− q, 0 ≤ q ≤ 20. Admita que, para produzir e vender uma unidade do produto, a
empresa gasta em me´dia R$3, 50. Que quantidade devera´ ser produzida para que o lucro seja ma´ximo.
Soluc¸a˜o: A receita da empresa e´ dada pelo R(q) = qp = q
√
20− q, ja´ o custo e´ dado por C(q) = 3, 5q.
E o Lucro e´
L(q) = R(q)− C(q) = q
√
20− q − 3, 5q ⇒ L′(q) = − q
2
√
20− q +
√
20− q − 3, 5
E fazendo L′(q) = − q
2
√
20−q +
√
20− q − 3, 5 = 0 obtemos q = 4.
Questa˜o 4: Mostre que a equac¸a˜o x5 − 6x+ c = 0 tem no ma´ximo uma raiz em [−1, 1].
Soluc¸a˜o: Derivando temos f ′(x) = 5x4 − 6. Precisamos determinar as ra´ızes de 5x4 − 6 = 0. Se
y = x2, precisamos resolver 5y2 − 6 = 0. Obtemos as ra´ızes x2 =
√
6
5 . Da´ı podemos expressar,
5x4 − 6 = (5x2 +√30)
(
x2 −
√
6
5
)
. Observe que 5x2 +
√
30 na˜o tem ra´ızes reais, uma vez que,
(
5x2 +
√
30
)
> 0 para todo x. Ja´ o polinoˆmio x2 −
√
6
5 tem duas ra´ızes que sa˜o
4
√
6
5 ≈ 1.04 e
− 4
√
6
5 ≈ −1.04. Portanto, f ′(x) < 0 em [−1, 1] e f [x] e´ decrescente nesse intervalo. Portanto, nesse
intervalo f(x) so´ pode ter uma raiz.
Questa˜o 5: Encontre o intervalo onde a func¸a˜o f(x) = 3x4−4x3−12x2+5 e´ crescente e o intervalo
onde ela e´ decrescente.
Soluc¸a˜o: Como os intervalos de crescimento e de decrescimento da func¸a˜o f(x) esta˜o relacionados
com os intervalos onde f ′ e´ positiva e negativa, respectivamente. Basta fazer uma ana´lise do sinal
de f ′(x), enta˜o derivando temos f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x2 − x − 2) = 12x(x − 2)(x + 1).
E agora fazendo a ana´lise do sinal obtemos que f ′(x) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2 e f ′(x) > 0 no
intervalo complementar. Portanto, f(x) e´ decrescente em −1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2 e crescente nos outros
pontos.
3