ep12 met det II 2017.1 gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2017
Gabarito dos EP12
Questa˜o 1: Para a func¸a˜o f(x) = x
(x−1)2 fac¸a: a) Determine o domı´nio e as ass´ıntotas vertical e
horizontais (se houver); b) Encontre os intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente e decrescente; c) Encontre
os valores de ma´ximo e mı´nimo local; d) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o
(se houver); e) use estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f(x).
Soluc¸a˜o: O domı´nio de f(x) sa˜o todos os x ∈ R − {1}. Para encontrar as ass´ıntotas considere os
seguintes limites:
lim
x→±∞
x
(x− 1)2 = limx→±∞
x
x2
(
1
1− 2/x+ 1/x2
)
= 0
lim
x→1+
x
(x− 1)2 = +∞
lim
x→1−
x
(x− 1)2 = +∞
b) Para encontrar os pontos onde a func¸a˜o e´ crescente e decrescente e´ preciso estudar o sinal da
derivada e nas letras c) e d) precisamos da segunda derivada. Por isto derivamos duas vezes e obtemos
f ′(x) =
1(x− 1)2 − x(2(x− 1))
(x− 1)4
=
(
x− 1
x− 1
)(
x− 1− 2x
(x− 1)3
)
= − x+ 1
(x− 1)3
f ′′(x) =
−(x− 1)3 + (x+ 1)3(x− 1)2
(x− 1)6
=
2(x+ 2)
(x− 1)4 .
Veja que o sinal de f depende tanto do sinal do numerador como do denominador. Vamos colocar
o sinal de menos no numerador, isto e´, −(x+ 1) = −x− 1 e temos
1
Ale´m disso,
f ′(x) = 0⇔ −1− x = 0⇔ x = −1 e f ′′(−1) = 1
8
> 0.
Portanto, −1 e´ um ponto de mı´nimo local de f(x).
Com respeito ao sinal da 2a derivada f ′′(x) = 2(x+2)
(x−1)4 , basta ver que depende apenas do numerador,
e temos
se x < −2⇒ f ′′(x) < 0 e se x > −2⇒ f ′′(x) > 0.
e) Vamos juntar todas estas informac¸o˜es para fazer o esboc¸o do gra´fico de f(x). Como x = 1 e´ o
u´nico ponto que na˜o pertence ao domı´nio de f(x) e temos que x = 1 e´ uma ass´ıntota vertical e y = 0
e´ uma ass´ıntota horizontal. Ale´m disso, a func¸a˜o e´ decrescente entre (−∞,−1) ∪ (1,+∞) e crescente
no restante dos pontos do domı´nio. A boca tem concavidade voltada para baixo se x ∈ (−2,+∞) e
concavidade voltada para cima em (−∞,−2).
Se calcularmos f(0) = 0 e f(−2) = −29 e f(2) = 2. Usando todos estes fatos podemos concluir
que o gra´fico e´ pro´ximo ao seguinte
Figure 1: Gra´fico de f(x) = x
(x−1)2
Questa˜o 2: Usando o roteiro para fazer um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es seguintes:
a) y = xx−9 b) y =
x√
x2−1
Soluc¸a˜o: Seja g(x) = xx−9
Calculando o domı´nio x ∈ D(g) se x 6= 9
Ass´ıntotas Precisamos calcular os seguintes limites lim
x→9−
g(x), lim
x→9+
g(x), lim
x→−∞ g(x) e limx→∞ g(x).
2
Calculando obtemos
lim
x→9−
g(x) = lim
x→9−
x
x− 9 = −∞
lim
x→9+
g(x) = lim
x→9+
x
x− 9 =∞
lim
x→−∞ g(x) = limx→−∞
x
x
(
1
1− 9x
)
= 1
lim
x→+∞ g(x) = limx→+∞
x
x
(
1
1− 9x
)
= 1
Calculando g′ e g′′ Calculando obtemos
g′(x) = − 9
(x− 9)2 e g
′′(x) =
18
(x− 9)3
Estudando o sinal de g′ e g′′ Como o denominador de g′ e´ (x− 9)2 segue que g′(x) < 0 para todo
x ∈ D(g), e, como o denominador de g′′ e´ (x− 9)3 o sinal da g′′ depende do sinal de seu denominador.
E ele e´ menor x < 9 e maior que zero se x > 9.
Fazendo o esboc¸o do gra´fico de g(x) Inicialmente marque as retas ass´ıntotas x = 9, y = 1. Para o
intervalo (−∞, 9) temos que g′ < 0 e g′′ < 0, disso segue que a func¸a˜o e´ decrescente nesse intervalo e
tem a boca voltada para baixo, ale´m de que quando x→ 9− g(x)→ −∞ e quando x→ −∞ g(x)→ 1.
Ja´ para o intervalo (9,+∞) temos que g′ < 0 e g′′ > 0, disso segue que a func¸a˜o e´ decrescente nesse
intervalo e tem a boca voltada para cima, ale´m de que quando x→ 9+ g(x)→ +∞ e quando x→∞
g(x) → 1. E estamos em condic¸o˜es de fazer o esboc¸o do gra´fico da g(x) que deve ser semelhante ao
gra´fico (feito no computador) abaixo.
Figure 2: Esboc¸o da func¸a˜o g(x) = xx+9
b) Seja h(x) = x√
x2−1
Calculando o domı´nio Para x ∈ D(h) precisamos poder calcular o quociente da raiz quadrada de
x2 − 1, logo 1 < x ou x < −1. Portanto, domı´nio de h(x) e´ {x ∈ R : x /∈ [−1, 1]}.
Ass´ıntotas Precisamos calcular os seguintes limites lim
x→−1−
h(x), lim
x→−1+
h(x), lim
x→−∞h(x) e limx→∞h(x).
3
Calculando obtemos
lim
x→−1−
h(x) = lim
x→−1−
x√
x2 − 1 = +∞
lim
x→1+
h(x) = lim
x→1+
x√
x2 − 1 = −∞
lim
x→−∞h(x) = limx→−∞
x√
x2 − 1 = −1
lim
x→+∞h(x) = limx→+∞
x√
x2 − 1 = 1
Calculando h′ e h′′ Calculando obtemos
h′(x) =
1×√x2 − 1− x 2x
2
√
x2−1
(
√
x2 − 1)2
=
x2−1−x2√
x2−1
(
√
x2 − 1)2
= − 1
(x2 − 1)3/2
h′′(x) =
3x
(x2 − 1)5/2
Estudando o sinal de h′ e h′′ Observe que h′(x) e´ sempre negativo para todo x ∈ D(h). E portanto,
h(x) e´ decrescente para todo x ∈ D(h). Ja´ a h′′(x) < 0 se x < 0 e x ∈ D(h), e para o caso de x > 0 e
x ∈ D(h), enta˜o h′′(x) > 0. Portanto, se x < −1 a concavidade e´ voltada para baixo e para x > 1 a
concavidade da func¸a˜o e´ voltada para cima.
F
¯
azendo o esboc¸o do gra´fico de h(x) Inicialmente Marcamos as retas ass´ıntotas x = −1, x = 1, y = −1
e y = 1. Vamos ver como fica o gra´fico no intervalo (−∞,−1). Como h′ < 0 e h′′ > 0 nesse intervalo
vemos que ela e´ decrescente e com a boca voltada para cima. Quando x→ −∞, h(x)→ −1 e quando
x→ −1−, h(x)→ −∞ e calculando h(−2) = − 2√
3
. Enta˜o temos os dados necessa´rios para fazer essa
parte do esboc¸o. Para o intervalo (1,+∞) vemos que h′ < 0 e h′′ < 0 nesse intervalo e vemos que
ela e´ decrescente e com a boca voltada para baixo. Quando x → ∞, h(x) → 1 e quando x → 1+,
h(x) → +∞ e calculando h(2) = 2√
3
. Enta˜o temos os dados necessa´rios para fazer essa parte do
esboc¸o.
Figure 3: Esboc¸o da func¸a˜o h(x) = x√
x2−1
4
Questa˜o 3: Um empresa´rio estima que quando produz e vende x unidades de um produto, o lucro
em reais e´ dado por L(x) = −0, 5x2+22x−98. Determine o lucro marginal para um n´ıvel de produc¸a˜o
e venda de 12 unidades.
Soluc¸a˜o: Ja´ sabemos que o lucro marginal e´ a derivada da func¸a˜o lucro, enta˜o
L′(x) = −x+ 22⇒ L′(12) = −12 + 22 = 10.
Portanto, o lucro ao n´ıvel de produc¸a˜o de 12 unidades e´ de 10R$/unidade
Questa˜o 4: Um tanque de a´gua tem a forma de um cone circular reto invertido com base de 2 m
e altura de 4 metros. Se a a´gua esta sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min,
encontre a taxa que o n´ıvel da a´gua esta elevando quando a a´gua esta´ a 3 m de profundidade.
Soluc¸a˜o:
Figure 4: Reservato´rio em forma de cone in-
vertido
Seja V, r e h o volume da a´gua, o raio da su-
perf´ıcie e a altura no instante t.
Dado dVdt = V
′ = 2m3/min, precisamos achar
h′(t) quando h = 3 m. A grandeza V e h esta˜o
relacionadas por
V =
1
3
pir2h
Por semelhanc¸a de triaˆngulos chegamos que
r
h
=
2
4
⇒ r = h
2
E a expressa˜o torna-se
V =
1
3
pi
(
h
2
)2
h =
pi
12
h3
Derivando em relac¸a˜o ao tempo obtemos
V ′ =
pi
12
3h2h′ =
pi
4
h2h′ ⇒ h′ = 4
pih2
V ′
Substituindo h = 3 m V ′ = 2 obtemos
h′ =
4
pi × 32 × 2 =
8
9pi
≈ 0.28m/min.
Questa˜o 5: Uma escada com 10 metros de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Se
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, qua˜o ra´pido o topo da escada esta´
escorregando para baixo na parede quando a base da escada esta´ a 6 metros da parede?
Soluc¸a˜o: Inicialmente veja o esquema
Sabemos que x′ = dxdt = 1m/s e queremos encontrar y
′ = dydt quando x = 6mts. Pelo teorema de
Pita´goras temos que
x2 + y2 = 100.
5
Figure 5: Esquema da escada na parede
Diferenciando cada lado da igualdade em relac¸a˜o de t, isto e´, tanto x = x(t) como y = y(t), enta˜o
usaremos a regra da cadeia para derivar corretamente
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0⇔ dy
dt
= −x
y
dx
dt
.
Ale´mdisso, usando a equac¸a˜o acima, se x = 6⇒ y = 8 logo,
dy
dt
= −6
8
(1) = −3
4
m/s
O fato de y′ ser negativo vem do fato que o comprimento de y esta decrescendo a uma taxa de 0, 75m/s.
Questa˜o 6: Suponha que sejam investidos R$1000, 00 a uma taxa de juros anual de 8%. Calcule o
saldo apo´s 5 anos, em cada um dos seguintes caso
1. Os juros sa˜o compostos anualmente;
2. Os juros sa˜o compostos trimestralmente;
3. Os juros sa˜o compostos continuamente.
Soluc¸a˜o: Vamos usar a fo´rmula S(t) = P
(
1 + rk
)kt
para os treˆs casos, so´ que par juros simples
vamos supor k = 1, t = 5, P = 1000 e r = 0, 08 e temos
S(5) = 1000
(
1 +
0, 08
1
)5
= R$1469, 33.
Ja´ no caso que os juros sa˜o compostos trimestralmente k = 4 e temos
S(5) = 1000
(
1 +
0, 08
4
)20
= R$1485, 95.
6
Ja´ se os juros compostos continuamente a fo´rmula e´ S(t) = Cert
S(5) = 1000e0,08×5 = R$1491, 82.
Questa˜o 7: Um banco oferece juros a uma taxa anual de 6, 1% composto trimestralmente, e outro
banco oferece juros anual 6%, compostos continuamente. Qual banco voceˆ escolheria?
Soluc¸a˜o: Vamos calcular os juros do primeiro banco e´(
1 +
0, 061
4
)4
− 1 = 0, 0624
Ja´ para o segundo banco temos
e0,06 − 1 = 0, 0618.
primeiro banco oferece uma taxa efetiva de 6, 24% enquanto o segundo e´ de apenas 6, 18%.
Questa˜o 8: Calcula-se que daqui a t anos a populac¸a˜o de certo munic´ıpio sera´ de P (t) = 20− 6t+1
milhares de pessoas.
1. Determine a taxa de aumento da populac¸a˜o daqui a um ano.
2. Determine a taxa de aumento da populac¸a˜o daqui a 9 anos.
3. o que acontecera´ com a taxa de aumento da populac¸a˜o a longo prazo?
Soluc¸a˜o: Inicialmente precisamos obter a variac¸a˜o da populac¸a˜o com relac¸a˜o ao tempo, isto e´ dado
pela derivada de P com relac¸a˜o a t que e´ P ′(t) = 6
(t+1)2
e calculando em t = 1 e t = 9 temos
P ′(1) =
6
4
=
3
2
= 1, 5 e P ′(9) =
6
100
= 0, 06
Isto quer dizer que se a populac¸a˜o e´ dada por P (t) no primeiro ano ela estara´ aumentando a uma taxa
de 1,5 por ano ja´ no 9a ano ela estara´ aumentando a uma taxa de apenas 0, 06 pessoas ao ano.
E por fazer limt→∞ P ′(t) = 0, ou seja, no futuro a taxa de crescimento se aproxima de zero.
7