Polígrafo Completo Mecânica dos Fluidos

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. MECÂNICA DOS FLUÍDOS I 
Prof. Dr. Cesar Valverde Salvador 
Universidade Federal de Santa Maria 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia Mecânica 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS I 
 
 
 
 
 
 
Prof: Dr. Cesar Valverde Salvador 
UFSM/CT/DEM 
 
 
. MECÂNICA DOS FLUÍDOS I 
Prof. Dr. Cesar Valverde Salvador 
SUMÁRIO 
Pag. 
LISTA DE FIGURAS 
LISTA DE TABELAS 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
UNIDADE 1 – PROPRIEDADES DOS FLUIDOS ...................................................................................... 1 
 
1.1. Introdução ................................................................................................................................ 1 
1.2. Objetivos .................................................................................................................................. 1 
1.3. Aplicações ................................................................................................................................ 1 
1.4. Definições de um fluido ........................................................................................................... 1 
1.4.1. Primeira definição ....................................................................................................... 1 
1.4.2. Segunda definição ...................................................................................................... 1 
1.4.3. Terceira definição ....................................................................................................... 2 
1.5. Dimensões e unidades ............................................................................................................. 2 
1.6. Escalas de pressão e temperatura ........................................................................................... 3 
1.7. Propriedades específicas dos fluidos ....................................................................................... 4 
1.7.1. Massa específica ......................................................................................................... 4 
1.7.2. Volume específico ....................................................................................................... 6 
1.7.3. Peso específico ........................................................................................................... 6 
1.7.4. Gravidade específica ................................................................................................... 6 
1.8. Viscosidade............................................................................................................................... 7 
1.8.1. Viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica .......................................................... 7 
A. Equação de Andrade ............................................................................................ 9 
B. Equação de Sutherland ........................................................................................ 9 
1.8.2. Viscosidade cinemática ............................................................................................... 9 
1.9. Tipos de fluidos ........................................................................................................................ 10 
1.9.1. Fluidos Newtonianos .................................................................................................. 10 
1.9.2. Fluidos não-Newtonianos ........................................................................................... 11 
1.9.3. Fluidos especiais ......................................................................................................... 11 
1.10. Lei dos gases perfeitos ............................................................................................................. 12 
1.11. Compressibilidade .................................................................................................................... 12 
1.11.1. Coeficiente de compressibilidade ............................................................................... 12 
1.11.2. Compressão e expansão dos gases ............................................................................. 12 
1.11.3. Velocidade do som ..................................................................................................... 13 
1.12. Tensão superficial .................................................................................................................... 14 
1.13. Capilaridade ............................................................................................................................. 16 
1.14. Pressão de vapor ...................................................................................................................... 18 
Exercícios ............................................................................................................................................. 19 
Respostas ............................................................................................................................................. 28 
 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DOS FLUIDOS ................................................................................................ 29 
 
2.1. Introdução ................................................................................................................................ 29 
2.2. Pressão em um ponto .............................................................................................................. 29 
2.3. Variação da pressão ................................................................................................................. 30 
2.4. Fluidos em repouso .................................................................................................................. 32 
2.4.1. Fluido incompressível ................................................................................................. 32 
A. Teorema de Stevin ............................................................................................... 32 
B. Lei de Pascal ......................................................................................................... 34 
2.4.2. Fluido compressível .................................................................................................... 34 
2.5. Manômetros ............................................................................................................................. 37 
2.5.1. Tubo piezométrico ...................................................................................................... 37 
2.5.2. Manômetro com tubo em “U” ................................................................................... 37 
2.5.3. Manômetro com tubo inclinado ................................................................................. 39 
2.5.4. Análise da sensibilidade de um manômetro de tubo inclinado ................................. 39 
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A. O líquido manométrico ........................................................................................ 41 
B. A relação de diâmetros ........................................................................................ 41 
C. O ângulo de inclinação ......................................................................................... 42 
2.6. Força hidrostática em superfícies planas ................................................................................. 42 
2.6.1. Superfície plana horizontal ......................................................................................... 42 
2.6.2. Superfície plana inclinada ........................................................................................... 42 
2.7. Força hidrostática em superfícies curvas ................................................................................. 48 
2.8. Empuxoe flutuação ................................................................................................................. 49 
2.9. Estabilidade .............................................................................................................................. 51 
2.10. Estabilidade vertical ................................................................................................................. 52 
2.10.1. Corpo totalmente submerso em equilíbrio ................................................................ 52 
2.10.2. Corpo parcialmente submerso em equilíbrio ............................................................. 52 
2.11. Estabilidade à rotação .............................................................................................................. 52 
2.11.1. Corpo totalmente submerso em equilíbrio ................................................................ 52 
A. Se o centro de gravidade está abaixo do centro de carena ................................. 52 
B. Se o centro de gravidade está acima do centro de carena .................................. 53 
C. Se o centro de gravidade coincide com o centro de carena ................................ 53 
2.11.2. Corpo parcialmente submerso em equilíbrio ............................................................. 53 
2.12. Recipientes linearmente acelerados ........................................................................................ 56 
2.13. Recipientes rotativos ................................................................................................................ 57 
Exercícios ............................................................................................................................................. 58 
Respostas ............................................................................................................................................. 96 
 
UNIDADE 3 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS .......................................................................................... 99 
 
3.1. Introdução ................................................................................................................................ 99 
3.2. Tipos e regimes de escoamento ............................................................................................... 99 
3.2.1. Escoamento em regime permanente ......................................................................... 99 
3.2.2. Escoamento em regime variável ................................................................................ 100 
3.2.3. Escoamento laminar e turbulento .............................................................................. 100 
3.2.4. Escoamento unidimensional ou uniforme na seção ................................................... 102 
3.2.5. Escoamento bidimensional ......................................................................................... 102 
3.3. Equação da continuidade ......................................................................................................... 103 
3.3.1. Vazão e velocidade média .......................................................................................... 103 
3.3.2. Equação da continuidade para um escoamento em regime permanente ................. 104 
3.4. Trajetória, linhas e tubos de corrente ...................................................................................... 105 
3.5. Movimento de um elemento fluido ......................................................................................... 106 
3.6. O campo de velocidade ............................................................................................................ 107 
3.7. O campo de aceleração ............................................................................................................ 108 
3.8. Rotação, vorticidade e circulação de um fluido ....................................................................... 110 
3.8.1. Rotação ....................................................................................................................... 110 
3.8.2. Vorticidade ................................................................................................................. 112 
3.8.3. Circulação ................................................................................................................... 112 
3.9. Deformação de um fluido ........................................................................................................ 113 
3.9.1. Deformação angular ................................................................................................... 113 
3.9.2. Deformação linear ...................................................................................................... 114 
3.10. Análise diferencial da conservação da massa .......................................................................... 115 
3.10.1. Sistema de coordenadas retangulares ....................................................................... 115 
3.10.2. Sistema de coordenadas cilíndricas ............................................................................ 118 
3.11. Função corrente para escoamento incompressível bidimensional .......................................... 119 
3.12. A equação de Bernoulli ............................................................................................................ 122 
3.13. Aplicações da equação de Bernoulli ......................................................................................... 124 
3.13.1. Descarga de reservatórios pressurizados ................................................................... 124 
3.13.2. Escoamento através de restrições .............................................................................. 125 
3.13.3. O tubo de Venturi ....................................................................................................... 126 
3.13.4. O tubo de Pitot ........................................................................................................... 127 
3.14. Restrições para a utilização da equação de Bernoulli .............................................................. 128 
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3.14.1. Efeitos de compressibilidade ...................................................................................... 128 
A. Escoamento isotérmico ....................................................................................... 128 
B. Escoamento isentrópico ...................................................................................... 128 
3.14.2. Efeitos rotacionais ...................................................................................................... 129 
Exercícios ............................................................................................................................................. 130 
Respostas ............................................................................................................................................. 142 
 
UNIDADE 4 – DINÂMICA DOS FLUIDOS IDEAIS .................................................................................. 144 
 
4.1. Escoamento compressível ........................................................................................................ 144 
4.2. Revisão termodinâmica ............................................................................................................ 144 
4.3. Velocidade do som e número de Mach ................................................................................... 146 
4.3.1. Equação diferencial da velocidade do som ................................................................ 146 
4.3.2. Velocidade do som ..................................................................................................... 1474.3.3. Número de Mach ........................................................................................................ 147 
4.4. Tipos de escoamentos compressíveis ...................................................................................... 148 
4.5. Propriedades de estagnação isentrópica local para o escoamento de um gás ideal ............... 151 
4.5.1. Equação da continuidade ........................................................................................... 151 
4.5.2. Equação da quantidade de movimento ...................................................................... 152 
4.6. Limite do Número de Mach para Escoamento Incompressível ............................................... 153 
4.7. Condições críticas ..................................................................................................................... 155 
4.8. Propriedades do Escoamento Isentrópico entre duas secções distintas ................................. 157 
4.9. Efeito da Variação de Área em Propriedades no Escoamento Isentrópico .............................. 158 
4.10. Escoamento isentrópico em um bocal convergente ................................................................ 160 
4.11. Escoamento isentrópico em um bocal convergente-divergente ............................................. 162 
4.12. Ondas de choque normais estacionárias ................................................................................. 164 
4.12.1. Equação da continuidade ........................................................................................... 164 
4.12.2. Equação da quantidade de movimento ...................................................................... 165 
4.12.3. Equação da energia .................................................................................................... 165 
4.12.4. Segunda lei da termodinâmica ................................................................................... 165 
4.12.5. Equação de estado...................................................................................................... 165 
4.13. Funções de Escoamento de Onda de Choque Normal em função de P2/P1 ............................ 165 
4.14. Funções de Escoamento de Onda de Choque Normal como função de M1 ............................ 170 
4.15. Casos Limites de Relações de uma Onda de Choque Normal Estacionária.............................. 176 
4.15.1. Onda de Choque Normal Forte ................................................................................... 176 
4.15.2. Onda de Choque Normal Fraca................................................................................... 177 
4.16. Tabelas de Onda de Choque Normal ....................................................................................... 179 
4.17. Análise do Escoamento Supersônico em um Tubo de Pitot ..................................................... 181 
Exercícios ............................................................................................................................................. 182 
Respostas ............................................................................................................................................. 190 
 
UNIDADE 5 – DINÂMICA DOS FLUIDOS VISCOSOS ............................................................................ 192 
 
5.1. Equações de movimento (Conservação da Quantidade de Movimento) ............................... 192 
5.2. Escoamento viscoso ................................................................................................................. 194 
5.2.1. Relação entre tensões e deformações em Fluidos Newtonianos ............................... 194 
5.2.2. As equações de Navier Stokes .................................................................................... 196 
5.3. Soluções simples para escoamentos incompressíveis e viscosos ............................................ 197 
5.3.1. Escoamento laminar e em regime permanente entre duas placas planas ................. 198 
A. Hipóteses envolvidas ........................................................................................... 198 
B. Perfil de velocidade .............................................................................................. 198 
C. Vazão volumétrica ............................................................................................... 199 
D. Velocidade média ................................................................................................ 200 
E. Ponto de velocidade máxima ............................................................................... 200 
F. Tensão de Cisalhamento ...................................................................................... 200 
G. Pressão estática ................................................................................................... 201 
H. Transformação de coordenadas .......................................................................... 201 
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5.3.2. Escoamento de Couette ............................................................................................. 201 
A. Considerações preliminares ................................................................................. 201 
B. Perfil de velocidade .............................................................................................. 202 
C. Distribuição da tensão de cisalhamento .............................................................. 204 
D. Vazão volumétrica ............................................................................................... 204 
E. Velocidade média ................................................................................................ 204 
F. Ponto de velocidade máxima ............................................................................... 204 
5.3.3. Escoamento laminar e em regime permanente em tubos ......................................... 205 
A. Considerações preliminares ................................................................................. 205 
B. Hipóteses envolvidas ........................................................................................... 205 
C. Perfil de velocidade .............................................................................................. 205 
D. Distribuição da tensão de cisalhamento .............................................................. 206 
E. Vazão volumétrica ............................................................................................... 207 
F. Velocidade média ................................................................................................ 207 
G. Ponto de velocidade máxima ............................................................................... 208 
5.3.4. Escoamento laminar, axial e em regime permanente em um espaço anular ............ 208 
A. Perfil de velocidade .............................................................................................. 208 
B. Vazão volumétrica ............................................................................................... 210 
C. Velocidade média ................................................................................................ 211 
D. Ponto de velocidade máxima ............................................................................... 211 
E. Relação entre a velocidade média e a velocidade máxima ................................. 212 
F. Distribuição da tensão de cisalhamento .............................................................. 212 
G. O diâmetro hidráulico .......................................................................................... 212 
5.3.5. Escoamento laminar entre cilindros rotativos ............................................................ 213A. Considerações preliminares ................................................................................. 213 
B. Hipóteses envolvidas e perfil de velocidade ........................................................ 213 
C. Escoamento com o cilindro externo fixo ............................................................. 214 
D. Tensão de cisalhamento ...................................................................................... 214 
E. Momento torsor .................................................................................................. 215 
F. Potência ............................................................................................................... 215 
G. Aproximação com o escoamento de Couette ...................................................... 215 
5.4. Escoamento viscoso em condutos ........................................................................................... 216 
5.4.1. Região de entrada e escoamento plenamente desenvolvido .................................... 217 
5.4.2. Tensão de cisalhamento e pressão ............................................................................. 218 
5.4.3. Aplicação de F = ma em um elemento fluido ............................................................. 219 
5.4.4. Análise do escoamento plenamente desenvolvido em um tubo inclinado ................ 222 
5.4.5. Aplicação da análise dimensional ............................................................................... 223 
5.4.6. Considerações sobre energia ...................................................................................... 224 
Exercícios ............................................................................................................................................. 226 
Respostas ............................................................................................................................................. 234 
 
UNIDADE 6 – CAMADA LIMITE ........................................................................................................... 236 
 
6.1. Introdução ................................................................................................................................ 236 
6.2. Camada limite .......................................................................................................................... 236 
6.2.1. O conceito de camada limite ...................................................................................... 236 
6.2.2. Espessura da camada limite ....................................................................................... 237 
6.2.3. Camada limite laminar de placa plana: solução exata ................................................ 239 
6.2.4. Equação integral da quantidade de movimento ........................................................ 242 
A. Equação da continuidade ..................................................................................... 242 
B. Equação da quantidade de movimento ............................................................... 243 
6.2.5. Uso da equação integral da quantidade de movimento para escoamento com 
gradiente de pressão nulo .......................................................................................... 246 
A. Escoamento laminar ............................................................................................ 247 
B. Escoamento turbulento ....................................................................................... 249 
Exercícios ............................................................................................................................................. 251 
Respostas ............................................................................................................................................. 254 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................................... 255 
APÊNDICE ............................................................................................................................................ 256 
 
 
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LISTA DE FIGURAS 
UNIDADE 1 
1.1. Comportamento de um sólido e um fluído em um recipiente fechado ............................... 1 
1.2. Comportamento de um sólido: “Experiência de duas placas” ............................................. 2 
1.3. Comportamento de um fluido sob ação de uma força tangencial constante ....................... 2 
1.4. Pressão manométrica e pressão absoluta ............................................................................ 4 
1.5. Movimento relativo de duas partículas de fluido sob influência das tensões de 
cisalhamento ......................................................................................................................... 8 
1.6. Fluido sendo cisalhado entre cilindros. (a) Cilindro interno móvel e externo fixo. (b) 
Distribuição de velocidades. (c) Cilindro interno, torque e força de cisalhamento ............. 8 
1.7. Viscosidade dinâmica de alguns fluidos em função da temperatura .................................... 8 
1.8. Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação por cisalhamento para alguns 
fluidos (incluindo alguns não newtonianos) ........................................................................ 11 
1.9. (a) Forma quase esférica das gotículas de água devido à tensão superficial, (b) Forças de 
atração das moléculas de água dentro e na superfície da gota ........................................... 14 
1.10. (a) Bolha de sabão, (b) Forças internas em uma gotícula, (c) Forças internas em uma bolha 
 .............................................................................................................................................. 14 
1.11. Tensão superficial da água a 1 atm ....................................................................................... 15 
1.12. Exemplos práticos da tensão superficial da água. (a) Aranha; (b) Clip ................................. 16 
1.13. Efeito da ação capilar em tubos com diâmetro pequeno. (a) Elevação da coluna para um 
líquido que molha o tubo (H2O); (b) Diagrama de corpo livre para o cálculo da altura da 
coluna; (c) Depressão da coluna para um líquido que não molha a parede do tubo (Hg) .... 16 
1.14. Efeitos resultantes da interação entre forças coesivas e adesivas em fluidos, em um tubo 
capilar .................................................................................................................................... 17 
1.15. Pressão de vapor da água ..................................................................................................... 18 
 
UNIDADE 2 
2.1. Situações comuns encontrados na estática dos fluidos ........................................................ 29 
2.2. Elemento de fluido para análise da pressão em um ponto .................................................. 29 
2.3. Elemento de volume de fluido para análise da pressão em um ponto................................. 30 
2.4. Representação gráfica da pressão em um ponto de fluido .................................................. 30 
2.5. Forças agindo em um elemento de volume infinitesimal que está em repouso no 
referencial xyz. O referencial pode estar acelerado ou girando ........................................... 31 
2.6. Diferencial de pressão agindo sob um fluido em repouso e em superfície livre .................. 32 
2.7. Equilíbrio de um fluido em um recipiente de forma arbitrária ............................................. 33 
2.8. Variação da pressão para um gás em um recipiente fechado .............................................. 33 
2.9. Lei de Pascal em um fluido emrepouso ............................................................................... 34 
2.10. Variação da pressão atmosférica com a altitude .................................................................. 35 
2.11. Variação da pressão e temperatura com a altitude .............................................................. 36 
2.12. Tubo piezométrico ................................................................................................................ 37 
2.13. Manômetros: (a) Tubo em “U” para pressões pequenas; (b) Tubo em “U” para pressões 
altas; (c) Micro manômetro em “U” utilizado para medir mudanças de pressão muito 
pequenas ............................................................................................................................... 38 
2.14. Manômetro com tubo inclinado ........................................................................................... 39 
2.15. Diagrama esquemático para análise do manômetro de tubo inclinado. (a) Estado inicial; 
(b) Estado final ...................................................................................................................... 40 
2.16. (a) Variação da sensibilidade para três fluidos diferentes, heptano, água e mercúrio, com 
θ = 90°; (b) Variação da sensibilidade com o ângulo de deflexão, θ, para um fluido com SG 
= 1 e d/D = 0 .......................................................................................................................... 41 
2.17. Pressão hidrostática e força resultante desenvolvida no fundo de um tanque aberto ........ 42 
2.18. Força hidrostática em uma superfície plana, inclinada e com formato arbitrário ................ 43 
2.19. Diagrama esquemático para a força hidrostática em uma superfície curva. (a) Recipiente 
com superfície curva; (b) Análise do campo de pressões em um elemento de fluido; (c) 
Força Resultante na superfície curva .................................................................................... 49 
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2.20. Força de empuxo em corpos submersos e flutuantes .......................................................... 50 
2.21. Densímetro. (a) Em água; (b) Em fluido desconhecido ......................................................... 51 
2.22. Estabilidade de um flutuador. (a) Totalmente submerso; (b) Parcialmente submerso ........ 52 
2.23. Estabilidade de um corpo submerso com CC acima do CG. (a) Equilíbrio; (b) Momento de 
restauração ........................................................................................................................... 52 
2.24. Instabilidade de um corpo submerso com CC abaixo do CG. (a) Equilíbrio; (b) Momento de 
instabilização ......................................................................................................................... 53 
2.25. Estabilidade de corpo onde o centro de carena e o centro de gravidade coincidem ........... 53 
2.26. Estabilidade de um corpo flutuante. (a) Posição de equilíbrio original; (b) Posição de 
equilíbrio com centroide deslocado ...................................................................................... 54 
2.27. Seção transversal uniforme de um corpo flutuante ............................................................. 55 
2.28. Vista esquemática da seção de flutuação ............................................................................. 56 
2.29. Diagrama esquemático de um recipiente linearmente acelerado ........................................ 56 
2.30. Recipiente em rotação: (a) Seção transversal do líquido; (b) Vista de cima do elemento ... 57 
 
UNIDADE 3 
3.1. Escoamento em regime permanente de um fluido .............................................................. 99 
3.2. Escoamento em regime permanente em um tanque de grandes dimensões ...................... 100 
3.3. Escoamento em regime variável, nos instantes: t1, t2 e t3 ................................................... 100 
3.4. Experimento de Reynolds para caracterizar um escoamento laminar e turbulento ............ 101 
3.5. Variação da velocidade com o tempo para um escoamento turbulento.............................. 101 
3.6. Escoamento unidimensional ................................................................................................. 102 
3.7. Escoamento bidimensional ................................................................................................... 102 
3.8. Diagrama esquemático para definir a vazão volumétrica ..................................................... 103 
3.9. Velocidade média na seção ................................................................................................... 103 
3.10. Velocidade real e velocidade média na seção em um tubo .................................................. 104 
3.11. Tubo de corrente para a análise da equação da continuidade ............................................. 104 
3.12. (a) Linhas de corrente; (b) Tubo de corrente ........................................................................ 105 
3.13. Linhas de corrente em escoamentos: (a) Laminar; (b) Turbulento ....................................... 105 
3.14. Elemento infinitesimal de fluido ........................................................................................... 106 
3.15. Representação gráfica dos componentes do movimento de fluido ..................................... 106 
3.16. Localização da partícula com o vetor posição ....................................................................... 108 
3.17. Rotação de um elemento fluido em um campo de escoamento bidimensional .................. 110 
3.18. Componentes da velocidade nas fronteiras de um elemento fluido .................................... 113 
3.19. Deformação angular de um elemento fluido em um campo de escoamento bidimensional
 .............................................................................................................................................. 114 
3.20. Deformação linear em um elemento de fluido ..................................................................... 114 
3.21. Volume de controle diferencial em coordenadas retangulares ............................................ 115 
3.22. Volume de controle diferencial em coordenadas retangulares. (a) Vista isométrica. (b) 
Projeção no plano rθ ............................................................................................................. 118 
3.23. Linhas de corrente instantâneas em um escoamento bidimensional................................... 121 
3.24. Análise de uma linha de corrente para obtenção da equação de Bernoulli ......................... 122 
3.25. Reservatório pressurizado .................................................................................................... 124 
3.26. Escoamento invíscido através de uma restrição de passagem ............................................. 126 
3.27. Tubo Venturi para medição da velocidade e da vazão ......................................................... 126 
3.28. Tubo de Pitot ......................................................................................................................... 127 
 
UNIDADE 4 
4.1. (a) Movimento da onda de pressão em um meio estacionário. (b) Escoamento visto por 
um observador solidário ao volume de controle que contém a onda de pressão................ 146 
4.2. Ondas de som (ondas de pressão) produzidas por dispositivos alto-falantes ...................... 148 
4.3. (a) Ondas de pressão em t = 3 s, v = 0; (b) Ondas de pressão em t = 3 s, v < c; (c) Ondas de 
pressão em t = 3 s, v = c (d) Ondas de pressão em t = 3 s, v > c ............................................ 149 
4.4. Cone de som, produzido por um avião ao quebrar a barreira do som ................................. 150 
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4.5. Nuvem é provocada pela onda de choque no momento em que o avião ultrapassa a 
barreira do som. O cone de nuvem chama-se "Cone de Mach" ........................................... 150 
4.6. Escoamento compressível em um tubo de corrente infinitesimal ....................................... 151 
4.7. Variação de P0/P com M, utilizando as equações (4.30) e (4.31) ........................................ 154 
4.8. Funções de Escoamento Isentrópico .................................................................................... 156 
4.9. Formas de bocal e difusor como função do número de Mach inicial ................................... 158 
4.10. Bocal convergente operando com diversas pressões na região de descarga ....................... 161 
4.11. Diagrama T−s esquemático para escoamento bloqueado através de um bocal convergente
 .............................................................................................................................................. 162 
4.12. Distribuições de pressão para escoamento isentrópico em um bocal convergente-
divergente ............................................................................................................................. 163 
4.13. Volume de controle para a análise do choque normal ......................................................... 164 
4.14. Efeito da razão de pressão sobre a variação de entropia através de uma onda de choque 
normal ................................................................................................................................... 168 
4.15. Variações das propriedades de uma onda de choque normal .............................................. 169 
4.16. Esquema do processo de choque normal no plano T−s ....................................................... 170 
4.17. Variação da entropia através de uma onda de choque normal em função do M1 ............... 176 
4.18. Fotografia de uma onda de choque normal ocorrida pelo escoamento sobre uma 
superfície plana horizontal .................................................................................................... 176 
4.19. Influência do número de Mach à montante, M1, sobre o quadrado do número de Mach à 
jusante, para o choque normal forte, choque normal fraco e choque normal atual............ 178 
4.20. Escoamento supersônico sobre um corpo rombudo ............................................................ 180 
4.21. Escoamento supersônico através de um tubo de pitot ........................................................ 180 
4.22. Fotografia de uma onda de choque obliqua sobre uma superfície rombuda ....................... 181 
 
UNIDADE 5 
5.1. Componentes na direção x das forças superficiais que atuam em um elemento de fluido . 193 
5.2. Escoamento viscoso entre duas placas paralelas e imóveis. O perfil de velocidades é 
parabólico ............................................................................................................................. 198 
5.3. Escoamento viscoso entre duas placas paralelas. A placa inferior é fixa e a superior é móvel 
(Escoamento de Couette) ..................................................................................................... 202 
5.4. Perfis de velocidade em função do parâmetro Ψ. (Escoamento de Couette) ..................... 203 
5.5. Escoamento no canal de um mancal de deslizamento ......................................................... 203 
5.6. Escoamento viscoso em um tubo horizontal. (a) Sistema de coordenadas utilizado na 
análise do escoamento e (b) Escoamento em um anel diferencial ....................................... 206 
5.7. Escoamento viscoso em um espaço anular ........................................................................... 208 
5.8. Diagrama básico de velocidades de um escoamento viscoso entre cilindros rotativos 
concêntricos .......................................................................................................................... 213 
5.9. Aproximação do escoamento rotativo para o escoamento de Couette ............................... 216 
5.10. Região de entrada, desenvolvimento do escoamento e escoamento plenamente 
desenvolvido em uma tubulação .......................................................................................... 217 
5.11. Distribuição de pressão no escoamento em um tubo horizontal ......................................... 218 
5.12. Movimento de um elemento fluido cilíndrico em um tubo .................................................. 219 
5.13. Diagrama de corpo livre do elemento de fluido cilíndrico .................................................... 220 
5.14. Distribuição da tensão de cisalhamento no escoamento em tubo (laminar ou turbulento) 
e perfis de velocidade típicos ................................................................................................ 221 
5.15. Diagrama de corpo livre para um elemento de fluido cilíndrico localizado em um tubo 
inclinado ................................................................................................................................ 223 
 
UNIDADE 6 
6.1. Detalhes do escoamento viscoso em torno de um aerofólio ............................................... 236 
6.2. Camada limite sobre uma placa plana (espessura vertical exageradamente ampliada) ..... 237 
6.3. Definições de espessura de camada limite ........................................................................... 239 
6.4. Volume de controle diferencial em uma camada limite ....................................................... 242 
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6.5. Volume de controle diferencial ............................................................................................. 244 
 
 
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LISTA DE TABELAS 
UNIDADE 1 
1.1. Dimensões Fundamentais/Derivadas e suas unidades ........................................................ 3 
1.2. Prefixos utilizados no SI......................................................................................................... 3 
1.3. Variáveis do alfabeto grego .................................................................................................. 3 
1.4. Propriedades físicas aproximadas de alguns gases na pressão atmosférica padrão ............ 5 
1.5. Propriedades da atmosfera padrão ...................................................................................... 5 
1.6. Propriedades físicas aproximadas de alguns líquidos ........................................................... 6 
1.7. Gravidade específica de materiais selecionados de engenharia ........................................... 7 
1.8. Gravidade específica de alguns líquidos comuns de manômetro a 20 °C ............................. 7 
1.9. Constantes da equação de Sutherland ................................................................................. 9 
1.10. Propriedades físicas da água ................................................................................................. 10 
1.11. Propriedades físicas do ar referentes à pressão atmosférica padrão ................................... 10 
1.12. Tensão superficial de alguns líquidos a 20 °C ........................................................................ 15 
 
UNIDADE 2 
2.1. Propriedades da atmosfera padrão no nível do mar ............................................................ 36 
2.2. Centroides de curvas planas de formatos usuais .................................................................. 45 
2.3. Centroides de superfícies planas de formatos usuais ........................................................... 46 
2.4. Propriedades geométricas e momentos de inércia de algumas figuras ...............................47 
 
UNIDADE 3 
3.1. Vazão de massa através da superfície de controle de um volume de controle retangular 
diferencial ............................................................................................................................. 116 
3.2. Vazão de massa através da superfície de controle de um volume de controle cilíndrico 
diferencial ............................................................................................................................. 118 
 
UNIDADE 4 
4.1. Propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ................................. 145 
4.2. Funções de Escoamento Isentrópico para o ar (k = 1,4) ...................................................... 157 
4.3. Resumo das variações das propriedades através de um choque normal ............................. 170 
4.4. Relações de propriedades através de uma onda de choque normal para o ar (k = 1,4) ...... 179 
 
UNIDADE 5 
UNIDADE 6 
6.1. A função f(η) para a Camada Limite Laminar ao longo de uma Placa Plana em Ângulo de 
Incidência Zero ...................................................................................................................... 241 
6.2. Resultados do cálculo do escoamento de camada limite laminar sobre uma placa plana 
em ângulo de incidência zero fundamentado em perfis de velocidade aproximados.......... 249 
 
 
 
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LISTA DE SÍMBOLOS 
 
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PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
Ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos, assim como as leis que regem este 
comportamento. 
 
1.2 OBJETIVOS 
 
Apresentar e aplicar os conceitos fundamentais da mecânica dos fluidos, entre eles, propriedades 
dos fluidos, estática dos fluidos, cinemática dos fluidos, dinâmica dos fluidos ideais, dinâmica dos fluidos 
viscosos, camada limite e medida de descargas. 
 
Por tanto, ao final desta disciplina, o aluno deverá demonstrar conhecimento dos fundamentos 
de mecânica dos fluidos estudados, bem como deverão ser capazes de aplicar a teoria e metodologia 
apresentada para a solução de problemas de mecânica dos fluidos propostos. 
 
1.3 APLICAÇÕES 
 
− Ação de fluidos sobre superfícies submersas. Ex.: represa. 
− Equilíbrio de corpos flutuantes. Ex.: embarcações. 
− Ação do vento sobre construções civis. 
− Cálculo de máquinas hidráulicas. Ex.: bombas e turbinas. 
− Instalações de vapor. Ex.: caldeiras. 
− Ação de fluidos sobre veículos (Aerodinâmica). 
 
1.4 DEFINIÇÕES DE UM FLUIDO 
 
1.4.1 Primeira Definição 
 
A definição de fluido mais elementar diz: “Fluido é uma substância que não tem uma forma 
própria, assume o formato do recipiente”. Os fluidos são, portanto, os líquidos e os gases, sendo que estes 
se distinguem dos primeiros por ocuparem todo o recipiente, enquanto os líquidos apresentam uma 
superfície livre. (Fig. 1.1). 
 
 
Fig. 1.1 – Comportamento de um sólido e um fluído em um recipiente fechado. 
 
1.4.2 Segunda Definição 
 
Outra definição de fluido é uma substância que se deforma continuamente por ação de uma força 
(tensão) tangencial, não importante quão diminuto seja o esforço (Fig. 1.2). 
 
Pode-se dizer, portanto, que um sólido no qual é aplicada uma força tangencial constante 
deforma-se angularmente até atingir uma nova configuração de equilíbrio estático. 
 
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Fig. 1.2 – Comportamento de um sólido: “Experiência de duas placas”. 
 
Suponha que seja possível visualizar um determinado volume do fluido ABCD, por meio de um 
corante, (Fig. 1.3). 
 
A placa inferior é fixa e a superior é móvel, ao se aplicar uma força Ft constante na placa superior, 
esta irá se deslocar. Se a placa superior adquire uma velocidade v, então os pontos de fluido em contato 
com a superfície da placa terão a mesma velocidade v, e os pontos de fluido em contato com a placa fixa 
terão velocidade zero, este fenômeno é conhecido como “Princípio de aderência”. 
 
Observa-se, não entanto, que o volume ABCD do fluido, sob a ação de uma força Ft, deforma-se 
continuamente, não alcançando uma nova posição de equilíbrio estático, supondo-se as placas de 
comprimento infinito. 
 
 
 
Fig. 1.3 – Comportamento de um fluido sob ação de uma força tangencial constante. 
 
1.4.3 Terceira Definição 
 
A nível molecular, um material é considerado sólido quando o espaço entre as suas moléculas é 
pequeno quando comparado com fluidos, e as mesmas estão sujeitas a forças intermoleculares intensas 
e coesivas. 
 
No caso dos líquidos as forças intermoleculares são fracas, quando comparadas com as forças 
intermoleculares nos materiais sólidos. Os líquidos podem ser facilmente deformados (mas não 
facilmente comprimidos), ser vertidos em reservatórios ou forçados a escoar em tubulações. 
 
Os gases apresentam espaços intermoleculares ainda maiores e as forças entre as moléculas são 
desprezíveis. Os gases podem ser facilmente deformados e comprimidos e sempre ocuparão totalmente 
o volume de qualquer reservatório que os armazene. 
 
1.5 DIMENSÕES E UNIDADES 
 
Há nove (9) quantidades que são consideradas dimensões fundamentais: comprimento, massa, 
tempo, temperatura, quantidade de uma substância, corrente elétrica, intensidade luminosa, ângulo 
plano e ângulo sólido. O sistema mais comum para representar estas dimensões fundamentais é o Sistema 
Internacional (SI), adotado pela maioria dos países do planeta. Os únicos países que não adotaram este 
sistema são: EUA, Gâmbia, Jamaica, Libéria e Malavi. 
 
As dimensões de todas as outras quantidades podem ser expressas em termos das dimensões 
fundamentais, sendo conhecidas como dimensões derivadas. 
 
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Tabela 1.1 – Dimensões Fundamentais/Derivadas e suas unidades. 
 Quantidade Dimensões Unidades SI Unidades Inglesas 
Dimensões 
Fundamentais 
Básicas 
Comprimento (l) L metro (m) pé (ft) 
Massa (m) M quilograma (kg) slug (slug) 
Tempo (t) T segundo (s) segundo (sec) 
Temperatura (T) Θ kelvin (K) Rankine (°R) 
Corrente elétrica (i) ampère (A) ampère (A) 
Quantidade de substância kg-mol (kg-mol) 
Intensidade luminosa candela (cd) candela (cd) 
Suplementares Ângulo plano radiano (rad) radiano (rad) Ângulo sólido esferorradiano (sr) esferorradiano (sr) 
 
Dimensões 
Derivadas 
Velocidade (v) L/T (m/s) (ft/sec) 
Força (F) ML/T2 Newton (N) (lbf) 
Trabalho (W) ML2/T2 Joule (J) (BTU) 
Resistência elétrica 
… 
 
Tabela 1.2 – Prefixos utilizados no SI. 
Fator de Multiplicação Prefixo Símbolo 
1018 exa E 
1015 peta P 
1012 tera T 
109 giga G 
106 mega M 
103 kilo k 
102 hecto h 
10 deca de 
10-1 deci d 
10-2 centi c 
10-3 mili m 
10-6 micro µ 
10-9 nano n 
10-12 pico p 
10-15 fento F 
10-18 ato a 
 
Tabela 1.3 – Variáveis do alfabeto grego. 
Letra Nome Letra Nome 
α alfa ψ psi 
β beta Ω, ω ômega 
Γ, γ gama ν ni 
δ, ∆ delta χ chi 
ε épsilon ξ xi 
η eta Π, π pi 
Θ, θ teta ρ rô 
κ kapa σ sigma 
Λ, λ lambda τ tau 
µ mi, mu Φ, ϕ fi 
Fonte: Internet. 
 
1.6 ESCALAS DE PRESSÃO E TEMPERATURA 
 
Em mecânica de fluidos escalas absolutas devem ser usadas para a pressão e temperatura. A 
pressão absoluta chega a zero quando o vácuo ideal é atingido, ou seja, quando não resta mais nenhuma 
molécula em determinado espaço. Consequentemente uma pressão absoluta negativa é impossível. Uma 
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segunda escala é definida medindo pressões relativas à pressão atmosférica local. Essa pressão é chamada 
de pressão manométrica. A pressão absoluta e a pressãomanométrica estão relacionadas pela seguinte 
expressão, 
 
= +absoluta atmosférica manométricaP P P (1.1) 
 
A pressão manométrica é negativa sempre que a pressão absoluta for menor que a pressão 
atmosférica, tal como se mostra na Fig. 1.4. 
 
Duas escalas de temperatura são geralmente usadas, a Celsius (°C) e a Fahrenheit (°F). A escala 
absoluta correspondente à escala Celsius é a escala Kelvin (K), a relação entre estas duas escalas é dada 
pela expressão: 
 
= ° + 273,15K C (1.2) 
 
A escala absoluta correspondente à escala Fahrenheit é a escala Rankine (R), dada por, 
 
459,67R F= ° + (1.3) 
 
Uma expressão mais completa que relaciona as quatro temperaturas é dada pela seguinte 
expressão: 
 
273,15 32 491,67
5 5 9 9
C K F R° − ° − −
= = = (1.4) 
 
 
Fig. 1.4 – Pressão manométrica e pressão absoluta. 
 
1.7 PROPRIEDADES ESPECÍFICAS DOS FLUIDOS 
 
1.7.1 Massa específica 
 
A massa específica de uma substância (ρ) é a massa de fluido por unidade de volume. A unidade 
de massa específica no SI é kg/m3, 
 
ρ =
m
V
 (1.5) 
 
Esta propriedade é normalmente utilizada para caracterizar a massa de um sistema fluido. 
Normalmente, a massa específica dos líquidos é pouco sensível às variações de pressão e de temperatura. 
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A Tabela 1.6 apresenta valores de massa específica para vários líquidos. Por outro lado, a massa específica 
dos gases é fortemente influenciada tanto pela pressão quanto pela temperatura. 
 
Tabela 1.4 – Propriedades físicas aproximadas de alguns gases na pressão atmosférica padrão. 
 Temperatura 
 
T (°C) 
Massa 
Específica 
ρ (kg/m3) 
Viscosidade 
Dinâmica 
µ (N.s/m2) 
Constante do 
 Gás 
R (J/kg.K) 
Razão entre 
calores específicos 
k 
Ar (padrão) 15 1,2300 1,79×10-5 2,869×102 1,40 
Dióxido de carbono 20 1,8300 1,47×10-5 1,889×102 1,30 
Hélio 20 0,1660 1,94×10-5 2,077×103 1,66 
Hidrogênio 20 0,0838 8,84×10-6 4,124×103 1,41 
Metano (Gás natural) 20 0,6670 1,10×10-5 5,183×102 1,31 
Nitrogênio 20 1,1600 1,76×10-5 2,968×102 1,40 
Oxigênio 20 1,3300 2,04×10-5 2,598×102 1,40 
Fonte: Munson et al. “Fundamentos da Mecânica dos Fluidos”, 2002 (p. 11). 
 
Tabela 1.5 – Propriedades da atmosfera padrão. 
Altitude Geométrica 
(m) 
Temperatura 
(K) 
P/Po 
(−)* 
ρ/ρo 
(−)* 
−500 291,4 1,0610 1,0490 
0 288,2 1,0000 1,0000 
500 284,9 0,9421 0,9529 
1000 281,7 0,8870 0,9075 
1500 278,4 0,8345 0,8638 
2000 275,2 0,7846 0,8217 
2500 271,9 0,7372 0,7812 
3000 268,7 0,6920 0,7423 
3500 265,4 0,6492 0,7048 
4000 262,2 0,6085 0,6689 
4500 258,9 0,5700 0,6343 
5000 255,7 0,5334 0,6012 
6000 249,2 0,4660 0,5389 
7000 242,7 0,4057 0,4817 
8000 236,2 0,3519 0,4292 
9000 229,7 0,3040 0,3813 
10000 223,3 0,2615 0,3376 
11000 216,8 0,2240 0,2978 
12000 216,7 0,1915 0,2546 
13000 216,7 0,1636 0,2176 
14000 216,7 0,1399 0,1860 
15000 216,7 0,1195 0,1590 
16000 216,7 0,1022 0,1359 
17000 216,7 0,08734 0,1162 
18000 216,7 0,07466 0,09930 
19000 216,7 0,06383 0,08489 
20000 216,7 0,05457 0,07258 
22000 218,6 0,03995 0,05266 
24000 220,6 0,02933 0,03832 
26000 222,5 0,02160 0,02797 
28000 224,5 0,01595 0,02047 
30000 226,5 0,01181 0,01503 
40000 250,4 0,002834 0,003262 
50000 270,7 0,0007874 0,0008383 
60000 255,8 0,0002217 0,0002497 
70000 219,7 0,00005448 0,00007146 
80000 180,7 0,00001023 0,00001632 
90000 180,7 0,000001622 0,000002588 
* Po = 101,325 kPa; ρo = 1,225 kg/m3 (condições de atmosfera padrão). 
Fonte: Fox e McDonald “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, 2001 (p. 454). 
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Tabela 1.6 – Propriedades físicas aproximadas de alguns líquidos. 
 Temperatura 
 
T (°C) 
Massa 
Específica 
ρ (kg/m3) 
Viscosidade 
Dinâmica 
µ (N.s/m2) 
Tensão 
Superficial 
σ (N/m) 
Pressão de 
Vapor 
Pv (N/m2) abs. 
Compressibilidade 
 
Ev (N/m2) 
Tetracloreto 
de carbono 20 1590 9,58×10
-4 2,69×10-2 1,30×104 1,31×109 
Álcool Etílico 20 789 1,19×10-3 2,28×10-2 5,90×103 1,06×109 
Gasolina 15,6 680 3,10×10-4 2,20×10-2 5,50×104 1,30×109 
Glicerina 20 1260 1,50×100 6,33×10-2 1,40×10-2 4,52×109 
Mercúrio 20 13600 1,57×10-3 4,66×10-1 1,60×10-1 2,85×1010 
Óleo SAE 30 15,6 912 3,80×10-1 3,60×10-2 − 1,50×109 
Água do mar 15,6 1030 1,20×10-3 7,34×10-2 1,77×103 2,34×109 
Água 15,6 999 1,12×10-3 7,34×10-2 1,77×103 2,15×109 
Fonte: Munson, B.R. et al. “Fundamentos da Mecânica dos Fluidos”, 2002 (p. 10). 
 
1.7.2 Volume específico 
 
O volume específico (υ ) é o volume ocupado por uma unidade de massa. Note que o volume 
específico é o recíproco da massa específica, portanto, 
 
1υ
ρ
= (1.6) 
 
Normalmente, o volume específico não é muito utilizado em mecânica de fluidos, no entanto, ele 
é muito utilizado em termodinâmica. A unidade de volume específico no SI é m3/kg. 
 
1.7.3 Peso específico 
 
O peso específico (γ) é definido como o peso da substância contida em uma unidade de volume, 
portanto, 
 
γ ρ= =
mgg
V
 (1.7) 
 
onde, g é a aceleração da gravidade local (9,807 m/s2). A unidade do peso específico no SI é N/m3. 
 
1.7.4 Gravidade específica 
 
A gravidade específica de um fluido, designada por SG (specific gravity) é definida como a razão 
entre a massa específica de um fluido e a massa específica da água na temperatura de referência. 
Usualmente, a temperatura de referência é 4°C (nesta temperatura a massa específica da água é de 1000 
kg/m3). Nestes termos, 
 
( ) ( )2 2 4 4H O C H O C
SG ρ γ
ρ γ° °
= = (1.8) 
 
Como a gravidade específica é uma relação entre as massas específicas, seu valor não depende do 
sistema de unidades utilizado. É claro que a massa específica, o peso específico e a gravidade específica 
são interdependentes. Assim, se conhecermos uma das três propriedades, as outras duas podem ser 
calculadas. 
 
A gravidade específica é um parâmetro usado geralmente em líquidos, é muito comum em alguns 
textos ser encontrado como peso específico relativo, densidade ou densidade relativa. 
 
 
 
 
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Tabela 1.7 – Gravidade específica de materiais selecionados de engenharia. 
Material SG 
Aço 7,83 
Alumínio 2,64 
Carvalho 0,77 
Cobre 8,91 
Concreto (curado) 2,40 
Concreto (líquido) 2,50 
Chumbo 11,4 
Ferro fundido 7,08 
Gelo (0 °C) 0,917 
Fonte: Fox e McDonald “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, 2001 (p. 453). 
 
Tabela 1.8 – Gravidade específica de alguns líquidos comuns de manômetro a 20 °C. 
Líquido SG Líquido SG 
Óleo azul E.V. Hill 0,797 Água 0,998 
Óleo vermelho Meriam 0,827 Água do mar 1,025 
Benzeno 0,879 Etanol 0,789 
Dibutil ftalato 1,040 Gasolina 0,720 
Monocloronaftaleno 1,200 Glicerina 1,260 
Tetracloreto de carbono 1,595 Heptano 0,684 
Bromoetilbenzeno (Meriam Azul) 1,750 Óleo castor 0,969 
Tetrabromoetano 2,950 Óleo cru 0,82−0,92 
Mercúrio 13,55 Octano 0,702 
Querosene 0,820 Óleo lubrificante 0,880 
 Óleo SAE 10W 0,920 
Fonte: Fox e McDonald “Introdução à Mecânica dos Fluidos”, 2001 (p. 453-454). 
 
Exercícios: 1.1 
 
1.8 VISCOSIDADE 
 
1.8.1. Viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica, µ 
 
A viscosidade é considerada como sendo a aderência interna de um fluido. Ela é responsável pelas 
perdas de energia associadas ao transporte de fluidos em dutos, canais e tubulações. A tensão de 
cisalhamento de um fluido é diretamente proporcional a sua viscosidade. Para uma determinada tensão 
um fluido altamente viscoso deforma-se a uma taxa menor do que um fluido com baixa viscosidade. No 
sistema SI a unidade da viscosidade é N.s/m2. 
 
Considere o escoamento da Fig. 1.5 no qual as partículas de fluido se movem na direção x com 
velocidades diferentes,de tal forma que as velocidades das partículas (u) variam com a coordenada y. 
Duas posições de partículas são mostradas em tempos diferentes. Para este tipo de escoamento, onde 
u=u(y), define-se a viscosidade µ do fluido como, 
 
τ µ=
du
dy
 (1.9) 
 
onde, τ é a tensão de cisalhamento (ou força cortante) e u é a velocidade na direção x. As unidades de τ 
são N/m2. A quantidade du/dy é o gradiente de velocidade (também conhecida como taxa de deformação 
ou taxa de cisalhamento). 
 
Na Fig. 1.6 um torque, T, no sentido anti-horário, é aplicado no cilindro interno que está girando 
a uma velocidade, ω, e gerando uma força de cisalhamento no fluido em direção contrária ao escoamento. 
O cilindro externo encontra-se em repouso e está separado do cilindro rotativo por uma folga h a qual é 
preenchida com fluido. A resistência gerada pela rotação do cilindro interno é devida à viscosidade. 
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Fig. 1.5 – Movimento relativo de duas partículas de fluido sob influência das tensões de cisalhamento. 
 
 
Fig. 1.6 – Fluido sendo cisalhado entre cilindros. (a) Cilindro interno móvel e externo fixo. (b) Distribuição 
de velocidades. (c) Cilindro interno, torque e força de cisalhamento. 
 
A viscosidade dinâmica tem pouca dependência com a variação pressão, sendo que, na maioria 
dos casos os efeitos da pressão são desprezados. No entanto, a viscosidade dinâmica tem forte 
dependência com a temperatura. Observa-se da Fig. 1.7 que a viscosidade dos líquidos diminui com a 
temperatura, enquanto a viscosidade dos gases aumenta quando há um incremento da temperatura. 
 
 
Fig. 1.7 – Viscosidade dinâmica de alguns fluidos em função da temperatura. 
 
A influência das variações de temperatura na viscosidade dinâmica pode ser estimada com duas 
equações empíricas, a seguir: 
 
 
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A. Equação de Andrade 
 
Utilizada para líquidos, dada por: 
 
B T
liquidos Aeµ = (1.10) 
 
onde, A e B são constantes empíricas que dependem do tipo de substância e T e a temperatura absoluta. 
Esta equação foi originalmente proposta por Guzman, no entanto, é popularmente conhecida como 
equação de Andrade. Observe que é possível determinar os valores de A e B conhecendo o valor da 
viscosidade dinâmica em duas temperaturas. Caso sejam conhecidas um conjunto de valores da 
viscosidade é possível correlacionar o conjunto de dados com a equação (1.10) e algum tipo de esquema 
de aproximação por curvas. 
 
B. Equação de Sutherland 
 
Utilizada para expressar a viscosidade dinâmica de gases ideais como função da temperatura, e 
pode ser expressa como: 
 
3 2
gases
T
T C
µ λ=
+
 (1.11) 
 
onde C é a constante de Sutherland que depende do tipo de material, T é a temperatura absoluta e λ é a 
constante do gás, dada por: 
 
( )0 0
3 2
0
T C
T
µ
λ
+
= (1.12) 
 
onde µ0 e T0 são a viscosidade e a temperatura de referência, respectivamente. A Tabela 1.9 mostra as 
constantes da equação de Sutherland para vários gases. As constantes são válidas para temperaturas 
entre 0 e 555 K com uma percentagem de erro, devido a variações na pressão, menor que 10%. 
 
Tabela 1.9 – Constantes da equação de Sutherland. 
Gás C 
(K) 
T0 
(K) 
µ0 
(µPa.s) 
λ 
(µPa.s/K2) 
Ar 120 291,15 18,27 1,51204129 
N2 111 300,55 17,81 1,40673219 
O2 127 292,25 20,18 1,69341129 
CO2 240 293,15 14,80 1,57208593 
CO 118 288,15 17,20 1,42819322 
H2 72 293,85 8,76 0,63623656 
NH3 370 293,15 9,82 1,29744337 
SO2 416 293,65 12,54 1,76846608 
He 79,4 273,00 19 1,48438149 
Fonte: Smits e Dussauge “Turbulent shear layers in supersonic flow”, 2006. 
 
1.8.2. Viscosidade Cinemática. 
 
É comum, em problemas de mecânica dos fluidos, encontrar a viscosidade dinâmica dividida pela 
massa específica, esta propriedade é conhecida como viscosidade cinemática e é expressa da seguinte 
forma, 
 
µ
ν
ρ
= (1.13) 
 
A dimensão da viscosidade cinemática no SI é m2/s. 
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Alguns valores da viscosidade dinâmica e cinemática da água e do ar, como função da 
temperatura, são dados nas Tabelas 1.10 e 1.11, respectivamente. 
 
Tabela 1.10 – Propriedades físicas da água. 
Temperatura 
 
T 
(°C) 
Massa 
Específica 
ρ 
(kg/m3) 
Peso 
Específico 
γ 
(kN/m3) 
Viscosidade 
Dinâmica 
µ 
(N.s/m2) 
Viscosidade 
Cinemática 
ν 
(m2/s) 
Tensão 
Superficial 
σ 
(N/m) 
Pressão de 
Vapor 
Pv 
[Pa (abs)] 
Velocidade 
do Som 
c 
(m/s) 
0 999,9 9,806 1,787×10-3 1,787×10-6 7,56×10-2 6,105×102 1403 
5 1000,0 9,807 1,519×10-3 1,519×10-6 7,49×10-2 8,722×102 1427 
10 999,7 9,804 1,307×10-3 1,307×10-6 7,42×10-2 1,228×103 1447 
20 998,2 9,789 1,002×10-3 1,004×10-6 7,28×10-2 2,338×103 1481 
30 995,7 9,765 7,975×10-4 8,009×10-7 7,12×10-2 4,243×103 1507 
40 992,2 9,731 6,529×10-4 6,580×10-7 6,96×10-2 7,376×103 1526 
50 988,1 9,690 5,468×10-4 5,534×10-7 6,79×10-2 1,233×104 1541 
60 983,2 9,642 4,665×10-4 4,745×10-7 6,62×10-2 1,992×104 1552 
70 977,8 9,589 4,042×10-4 4,134×10-7 6,44×10-2 3,116×104 1555 
80 971,8 9,530 3,547×10-4 3,650×10-7 6,26×10-2 4,734×104 1555 
90 965,3 9,467 3,147×10-4 3,260×10-7 6,08×10-2 7,010×104 1550 
100 958,4 9,399 3,818×10-4 2,940×10-7 5,89×10-2 1,013×105 1543 
Fonte: Munson et al. “Fundamentos da Mecânica dos Fluidos”, 2002 (Apêndice B). 
 
Tabela 1.11 – Propriedades físicas do ar referentes à pressão atmosférica padrão. 
Temperatura 
 
T 
(°C) 
Massa 
Específica 
ρ 
(kg/m3) 
Peso 
Específico 
γ 
(N/m3) 
Viscosidade 
Dinâmica 
µ 
(N.s/m2) 
Viscosidade 
Cinemática 
ν 
(m2/s) 
Razão de Calores 
Específicos 
k 
(−) 
Velocidade 
do Som 
c 
(m/s) 
-40 1,514 14,85 1,57×10-5 1,04×10-5 1,401 306,2 
-20 1,395 13,68 1,63×10-5 1,17×10-5 1,401 319,1 
0 1,292 12,67 1,71×10-5 1,32×10-5 1,401 331,4 
5 1,269 12,45 1,73×10-5 1,36×10-5 1,401 334,4 
10 1,247 12,23 1,76×10-5 1,41×10-5 1,401 337,4 
15 1,225 12,01 1,80×10-5 1,47×10-5 1,401 340,4 
20 1,204 11,81 1,82×10-5 1,51×10-5 1,401 343,3 
25 1,184 11,61 1,85×10-5 1,56×10-5 1,401 346,3 
30 1,165 11,43 1,86×10-5 1,60×10-5 1,400 349,1 
40 1,127 11,05 1,87×10-5 1,66×10-5 1,400 354,7 
50 1,109 10,88 1,95×10-5 1,76×10-5 1,400 360,3 
60 1,060 10,40 1,97×10-5 1,86×10-5 1,399 365,7 
70 1,029 10,09 2,03×10-5 1,97×10-5 1,399 371,2 
80 0,9996 9,803 2,07×10-5 2,07×10-5 1,399 376,6 
90 0,9721 9,533 2,14×10-5 2,20×10-5 1,398 381,7 
100 0,9461 9,278 2,17×10-5 2,29×10-5 1,397 386,9 
200 0,7461 7,317 2,53×10-5 3,39×10-5 1,390 434,5 
300 0,6159 6,040 2,98×10-5 4,84×10-5 1,379 476,3 
400 0,5243 5,142 3,32×10-5 6,34×10-5 1,368 514,1 
500 0,4565 4,477 3,64×10-5 7,97×10-5 1,357 548,8 
1000 0,2772 2,719 5,04×10-5 1,82×10-4 1,321 694,8 
Fonte: Munson et al. “Fundamentos da Mecânica dos Fluidos”, 2002 (Tabela B-2/Apêndice B). 
 
1.9 TIPOS DE FLUIDOS 
 
1.9.1 Fluidos Newtonianos 
 
Se a tensão de cisalhamento do fluido é proporcional ao gradiente de velocidade o fluido é 
conhecido como Fluido Newtoniano e a constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica. 
Exemplos de fluidos Newtonianos, água, óleo, ar, etc. Um efeito importante da viscosidade é provocar a 
aderência do fluido à superfície. A maioria dos fluidos comuns, tanto líquidos quanto gases, são 
newtonianos. 
 
 
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1.9.2 Fluidos Não-Newtonianos 
 
Os fluidos que apresentam relação não linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de 
deformação por cisalhamento são denominados Fluidos não Newtonianos. Em fluidos não newtonianos 
a viscosidade varia proporcionalmente a energia cinética quese imprime a esse mesmo fluido, 
respondendo de forma quase instantânea. A Fig. 1.8 mostra o comportamento dos fluidos newtonianos 
mais simples e comuns. É interessante ressaltar que existem fluidos não newtonianos que exibem outros 
tipos de comportamento, como por exemplo, o plástico de Bingham. 
 
Para os fluidos não dilatantes (curva acima da referente ao fluido newtoniano), a viscosidade 
dinâmica aparente diminui com o aumento da taxa de cisalhamento, ou seja, a viscosidade aparente se 
torna menor quanto maior for a tensão de cisalhamento imposta no fluido. Muitas suspensões coloidais 
e soluções de polímeros apresentam este comportamento. Por exemplo, a tinta látex não pinga do pincel 
porque a taxa de cisalhamento é baixa e a viscosidade aparente é alta. Entretanto, ela escoa suavemente 
na parede porque o movimento do pincel provoca uma taxa de cisalhamento suficientemente alta na 
camada fina de tinta que recobre a parede. Assim, como du/dy é grande, a viscosidade dinâmica aparente 
torna-se pequena. 
 
 
Fig. 1.8 – Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação por cisalhamento para alguns fluidos 
(incluindo alguns não newtonianos). 
 
Para os fluidos dilatantes (curva abaixo da referente ao fluido newtoniano), a viscosidade 
dinâmica aparente aumenta com o aumento da taxa de cisalhamento, ou seja, ela se torna cada vez mais 
alta quanto maior for a tensão de cisalhamento imposta ao fluido. Dois exemplos de fluidos que 
apresentam este comportamento são as misturas água–amido de milho e água–areia (areia movediça). 
Este é o motivo para que o esforço necessário para remover um objeto de uma areia movediça aumente 
brutalmente com o aumento da velocidade de remoção. 
 
1.9.3 Fluidos Especiais 
 
O outro tipo de comportamento indicado na Fig. 1.8 é o do Plástico de Bingham (que não é um 
fluido nem um sólido). Este tipo de material pode resistir a uma tensão de cisalhamento finita sem se 
mover (assim ele não é um fluido), no entanto, uma vez excedida a tensão de escoamento, o material se 
comporta como um fluido (assim ele não é um sólido). Dois exemplos típicos deste tipo de material são a 
pasta de dente e a maionese. Embora estas substâncias apresentem duplo comportamento estas podem 
ser caracterizadas também como fluidos não-newtonianos. 
 
Exercícios: 1.2 até 1.22 
UNIDADE 1 MECÂNICA DOS FLUÍDOS I 
Prof. Dr. Cesar Valverde Salvador 12 
1.10 LEI DOS GASES PERFEITOS 
 
Os gases são muito mais compressíveis do que os líquidos. Em determinadas condições, a massa 
específica de um gás está relacionada com a pressão e a temperatura através da equação: 
 
P RTρ= (1.14) 
 
onde P é a pressão absoluta, ρ é a massa específica, T é a temperatura absoluta e R é a constante 
específica do gás. A constante do gás R é função do tipo de gás que está sendo considerado e está 
relacionada à massa molecular do gás, gM , pela expressão: 
 
0
g
R
R
M
= (1.15) 
 
onde R0 é a constante universal dos gases (R0 = 8,3145 kJ/kmol.K) 
 
A equação (1.14) é também conhecida como equação de estado para os gases perfeitos e 
aproxima o comportamento dos gases reais nas condições normais, ou seja, quando os gases não estão 
próximos da liquefação. Na Tabela 1.4, por exemplo, são apresentados valores de R para algumas 
substâncias comuns. 
 
1.11 COMPRESSIBILIDADE 
 
1.11.1 Coeficiente de compressibilidade (Ev) 
 
Define-se compressibilidade como a deformação de fluidos que resulta da mudança de pressão. 
Todos os fluidos se comprimem se a pressão aumenta, resultando em um aumento da massa específica. 
 
A compressibilidade de um fluido é determinada pelo Coeficiente de Compressibilidade ou 
também conhecido como Módulo de Elasticidade Volumétrico, Ev. 
 
A compressibilidade é definida como a razão da variação da pressão, ∆P, e a mudança relativa de 
massa específica, ∆ρ/ρ, ou seja, 
 
ρ
ρ
∂
=
∂v T
PE (1.16) 
 
Como exemplo, o coeficiente de compressibilidade da água, nas condições normais, é Ev,H2O = 
2100 MPa, o que daria 21 mil vezes a pressão atmosférica, sendo que a pressão atmosférica é igual a 0,1 
MPa. Para gases, em geral, o Ev,gás é igual à pressão do gás. Assim, para provocar uma mudança de 1% na 
massa específica da água é necessário uma pressão de 21 MPa, que é um valor muito grande para gerar 
uma mudança tão pequena, consequentemente, os líquidos são muitas vezes considerados 
incompressíveis. Na Tabela 1.4 são apresentados valores de Ev para diferentes líquidos comuns. 
 
1.11.2 Compressão e Expansão de Gases 
 
Se o processo de expansão ou compressão ocorre à temperatura constante (processo isotérmico), 
a lei dos gases perfeitos pode ser aplicada, 
 
ρ
= constanteP (1.17) 
 
Se a expansão ou compressão ocorre sem atrito e não há transferência de calor do gás para o 
meio e vice-versa (processo isentrópico), resulta, 
 
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ρ
= constantek
P (1.18) 
 
onde, k é a razão entre o calor específico a pressão constante e a volume constante, Cp/Cv. Assim o 
coeficiente de compressibilidade é calculado aplicando a Eq. (1.16) em (1.17) e (1.18). Assim, para um 
processo isotérmico, 
 
=vE P (1.19) 
 
Para um processo isentrópico, 
 
=vE kP (1.20) 
 
Note-se que, em ambos os casos, o valor de Ev varia proporcionalmente com a pressão. Na Tabela 
1.4 apresentam-se valores de k para alguns gases conhecidos. 
 
1.11.3 Velocidade do Som 
 
Uma consequência importante da compressibilidade dos fluidos é: as perturbações introduzidas 
em um ponto do fluido propagam-se com uma velocidade finita. Por exemplo, se uma válvula localizada 
na seção de descarga de um tubo onde escoa um fluido é fechada subitamente (criando uma perturbação 
localizada), o efeito do fechamento da válvula não é sentido instantaneamente no escoamento a 
montante da válvula. É necessário um intervalo de tempo finito para que o aumento da pressão criado 
pelo fechamento da válvula se propague para as regiões a montante da válvula. De maneira análoga, um 
diafragma de alto falante provoca perturbações localizadas quando vibra e as pequenas vibrações de 
pressão provocadas pelo movimento do diafragma se propagam através do ar com uma velocidade finita. 
A velocidade com que estas perturbações se propagam é denominada velocidade do som, c. É possível 
mostrar que a velocidade do som está relacionada com as variações de pressão e da massa específica do 
fluido através da relação: 
 
dPc
dρ
= (1.21) 
 
Utilizando a definição de módulo de elasticidade volumétrico a equação anterior é reescrita: 
 
vEc
ρ
= (1.22) 
 
Como as perturbações de pressão são pequenas, o processo de propagação das perturbações 
pode ser modelado como isentrópico. Se o meio onde ocorre este processo isentrópico é um gás, têm-se: 
 
kPc
ρ
= (1.23) 
 
Adotando-se a hipótese de que o fluido se comporta como um gás perfeito, 
 
c kRT= (1.24) 
 
Esta equação mostra que a velocidade do som em um gás perfeito é proporcional à raiz quadrada 
da temperatura absoluta. Por exemplo, a velocidade do som no ar a 20 °C (k = 1,4 e R = 286,9 J/kg-K) é 
igual a 343,1 m/s. A velocidade do som no ar como, uma função da temperatura, pode ser encontrada na 
Tabela 1.9. A equação (1.23) também é válida para líquidos, desta forma, é possível determinar a 
velocidade do som em líquidos conhecendo o valor de Ev. Por exemplo, a água a 20 °C apresenta Ev = 2,19 
GN/m2 e ρ = 998,2 kg/m3. Note que a velocidade do som na água é maior do que a sua correspondente 
no ar. A velocidade do som na água, para várias temperaturas, pode ser encontrada na Tabela 1.10. 
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Exercícios: 1.23 até 1.30 
 
1.12 TENSÃO SUPERFICIAL (σ)