P2-turma H1

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Ca´lculo I–A Turma H1
VE2 (25 de novembro de 2013) 16:00—17:50
Prof. Leonardo
Nome:
Respostas sem a devida justificativa na˜o sera˜o consideradas.
(1) Seja
g(x) = 3
√
cosx
definida em todos os reais.
a) Determine o Polinoˆmio de Taylor de grau 2 de g em torno de x = 0.
b) Para cada afirmac¸a˜o abaixo diga se e´ Verdadeira ou Falsa, justificando sua
resposta.
1) “Se x 6= 0 esta´ suficientemente pro´ximo de 0 enta˜o g(x) < g(0) = 1.”
2) “Considerando a func¸a˜o derivada g′(x) podemos concluir, pelo Teo-
rema da Func¸a˜o Inversa, que g e´ invers´ıvel, com inversa g−1 de-
riva´vel.”
(2) Seja f : (−2, 0)→ R func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
y2 + 2y = 2x2 + x3,
considerando y = f(x). Determine x0 ∈ Dom(f) = (−2, 0), (isto e´, −2 < x0 <
0) tal que f ′(x0) = 0,
(3) Seja
f(x) =
{
x2 + x se x < 0
x
√
x se x ≥ 0
Determine a func¸a˜o derivada f ′(x), onde ela estiver definida.
(4) Dois avio˜es parte de uma base ae´rea, o primeiro em linha reta para o norte e o
segundo em linha reta para o oeste. Apo´s certo tempo o primeiro esta´ a 20km
da base, se afastando a` velocidade de 200km/h. No mesmo instante o segundo
se encontra a 15km da base, se afastando a` 250km/h. A que velocidade os
avio˜es esta˜o se afastando, um do outro, nesse instante?
(5) Seja f : R→ R invers´ıvel. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da
inversa y = f−1(x) no ponto (2, f−1(2)), sabendo que
f(2) = 3, f ′(2) = −1
3
, f(3) = 2, f ′(3) = −4
3
.
1