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1 A importância da álgebra linear na engenharia elétrica como análise de circuitos e processos de sinais. André Lopes de Lima andrelopessfla@gmail.com Lisney Stonne de oliveira Pessoas Lisneystonne2013@hotmail.com Universidade Federal Rural do Semi-Árido Disciplina de álgebra linear: Prof. Antônio Diego silva Farias Resumo Com intuito de apresentar ferramentas disponível para facilitar a resolução de problemas comuns encontrados frequentemente na engenharia elétrica e as possíveis aplicações da álgebra linear, já que esse ramo da matemática está presente nas mais diversas engenharias, tendo como foco principal a análise de circuitos elétricos e estudo de processo de sinais, o objeto de estudo desse artigo como resultados... Palavra chaves: álgebra linear. Circuitos. Transformadas. Engenharia elétrica. Processo de sinais. Introdução Os circuitos são muito importantes nos dias atuais pois eles estão presentes nos computadores, aeronaves, embarcações, celulares e etc. A álgebra linear tem sido uma ferramenta muito importante auxiliando a engenharia elétrica na área de eletrônica pois ela permite os engenheiros a solucionar problemas envolvendo sistemas lineares. Os circuitos elétricos são formados basicamente por geradores elétricos, condutores e por elementos capazes de utilizar a energia fornecida pelos geradores. Os geradores são aparelhos capazes de transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica já os receptores são aparelhos responsáveis por transforma energia elétrica em outras formas de energia um componente muito importante para o circuito e o resistor ele e o elemento responsável por consumir a energia e converte-la em calor, os circuitos também são constituídos por dispositivos de manobra (interruptor) que são responsáveis por acionar ou desligar o funcionamento do circuito elétrico. Outros componentes importantes são os dispositivos de segurança e controle onde os fusíveis ou disjuntores são responsáveis por interromper a passagem da corrente em caso de uma intensidade maior que o circuito suporta já os dispositivos de controle medem ou identificam a corrente ou a diferença de potencial entre dois pontos. Leis de Kirchhoff 2 As leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos com mais de uma fonte resistores em series ou em paralelos a primeira mais conhecida como lei dos nós, diz que em qualquer nó a soma das correntes será igual a zero o que comprova que não a acumulo de correntes nos nós. ∑ 𝑖𝑛=0𝑛 Primeira lei de Kirchhoff (1) A segunda lei conhecida como lei das malhas, diz que a soma algébrica das forças eletromotrizes em qualquer malha é igual à soma algébrica das quedas de potencial ou dos produtos 𝑖𝑅 contidos na malha. ∑ 𝜀𝑘𝑘 = ∑ 𝑅𝑛𝑖𝑛𝑛 Segunda lei de Kirchhoff (2) No circuito com dois geradores e 4 resistores ôhmicos usamos (1) e (2) para obter as seguintes equações: 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 (3) 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 (4) 4𝑖1 + 𝑖2 = 9 (5) 𝑖2 + 4𝑖3 = 20 (6) Obtemos o sistema linear da seguinte forma: 3 { 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 4𝑖1 + 𝑖2 = 9 𝑖2 + 4𝑖3 = 20 (7) Podemos reescrever o sistema linear (7) na forma de 𝐴𝑖 = 𝑏 assim obtendo: | 1 −1 1 4 1 0 0 1 4 | | 𝑖1 𝑖2 𝑖3 | = | 0 9 20 | Tomando a matriz aumentada e resolvendo o sistema linear obtemos 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3 Fazendo uma análise desse sistema vemos que se trata de um sistema linearmente independente. Podemos usar outro método para resolver sistemas lineares conhecido como regra de Cramer, seja 𝐴𝑥 = 𝑏 um sistema linear de 𝑛 equações com 𝑛 incógnitas. Se a matriz 𝐴 for não singular então o sistema tem solução única dado por: 𝑖1 = det (𝐴1) det (𝐴) , 𝑖2 det (𝐴2) det (𝐴) , … , 𝑖𝑛 det (𝐴𝑛) det (𝐴) Circuitos de duas portas quadripolos Várias redes elétricas são projetadas para receber em pontos específicos sinais dando uma versão modificada dos sinais Figura 2- circuito de 2 portas Uma corrente 𝑖1 na tensão 𝑣1 e inserida na rede de duas portas na qual determina a corrente 𝑖2 e a tensão de saída 𝑣2de saída, na pratica a relação entre as correntes e as tensões de entrada e saída e linear onde relacionamos a uma equação matricial: 4 ( 𝑣2 𝑖2 ) = ( 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ) ( 𝑣1 𝑖1 ) A matriz dos coeficientes ( 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ) e a matriz de transmissão da porta que é a matriz que define a rede elétrica da porta. Lei de ohm: A queda de tensão através de uma resistência e igual a corrente vezes a resistência Figura 3- circuito de 2 portas com resistência A queda de tensão na resistência é 𝑣1−𝑣2, a corrente que atravessa a resistência e 𝑖1 Logo a lei de ohm implica 𝑣1−𝑣2 = 𝑖1𝑅. A corrente 𝑖 2também passa pelo resistor então 𝑖 2 = 𝑖1 sendo: 𝑣2 = 𝑣1 − 𝑅𝑖1 𝑖2 = 0𝑣1 + 𝑖1 Então obtemos a equação matricial: ( 𝑣2 𝑖2 ) = ( 1 −𝑅 0 1 ) ( 𝑣1 𝑖1 ) Como ( 1 −𝑅 0 1 ) e a matriz de transmissão, portanto se 𝑅 = 4 𝑜ℎ𝑚𝑠 ,𝑣1 = 10 V e 𝑖2 = 2 A obtemos: ( 𝑣2 𝑖2 ) = ( 1 −4 0 1 ) ( 10 2 ) ( 𝑣2 𝑖2 ) = ( 2 2 ) A tensão e a corrente de saída são 2 volts e 2 ampères. 5 Para obter a tensão desejada são colocadas várias portas em serie para fornecer a variação de tensão assim podendo ter o controle e ajuntar a variação vamos agora considera três portas A B e C considerando cada porta separadamente temos: ( 𝑣2 𝑖2 ) = 𝐴 ( 𝑣1 𝑖1 ) (I) ( 𝑣3 𝑖3 ) = 𝐵 ( 𝑣2 𝑖2 ) (II) ( 𝑣4 𝑖4 ) = 𝐶 ( 𝑣3 𝑖3 ) (III) Substituindo (I) em (II) obtemos: ( 𝑣3 𝑖3 ) = 𝐵𝐴 ( 𝑣1 𝑖1 ) (IV) Substituindo (IV) em (III) obtemos: ( 𝑣3 𝑖3 ) = 𝐶𝐵𝐴 ( 𝑣1 𝑖1 ) (V) Portanto rearranjando as três portas em serie vemos que esse arranjo e equivalente a uma única rede de duas portas logo a matriz de transmissão e o produto das três matrizes individual CBA, vale ressaltar que a sequência e muito importante pois o produto entre matrizes não é comutativo. Series de Fourier Series de Fourier são basicamente, uma forma de representar funções como series infinitas de senos e cossenos. A forma geral e dada por: 1 0 cos 2 n nn l xn senb l xn a a Os termos 𝑎0,𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 são coeficientes de números que varia dependendo de se quer representar, n e o índice da série 𝑛 = 1,2,3 … e 𝑙 e o período da equação que queremos 6 representa. Podemos determina os coeficientes 𝑎0,𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 através das formulas de Euler- Fourier: l l n dx l xn xf l a cos 1 Com 𝑛 = 0,1,2 … l l n dx l xn senxf l b 1 Com 𝑛 = 1,2,3 … l l dxxf l a 1 0 Dessa forma podemos obter: 1 0 cos 2 n nn l xn senb l xn a a xf Transformada de Fourier A transformada de Fourier permite analisar funções não periódicas ela e muito útil para algumas aplicações relacionadas com comunicação e processamento de sinais que é uma área muito importante da engenharia elétrica. Sabendo que a série de Fourier e dada por: 1' 000 )()cos()( n nn tnsenbtnaatf (8.1) Com os parâmetros definidos por: Tt t dttf T a 0 0 )(1 0 dttntf T a Tt t n )cos()( 2 0 0 0 Tt t n dttnsentf T b 0 0 )()( 2 0 Usando o teorema de Euler redefinimos as funções senoidais: tjntjn eetn 00 2 1 )cos( 0 (8.2) 7 tjntjn ee j tnsen 00 2 1 )( 0 Substituindo (8.2) em (8.1) obtemos: 1 0 0000 22 )( n tjntjnntjntjnn ee j b ee a atf Multiplicando por j o ultimo termo da relação temos: 1 0 00 22 )( n tjnnntjnnn e jba e jba atf Portando vamos definir 𝑐𝑛: )( 2 1 nnn jbac 𝑛 = 1,2,3 … Substituindo os parâmetros 𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛obtemos: Tt t n dttnjsentntf T c 0 0 )]())[cos(( 2 2 1 00 Tt t tjnw n dtetf T c 0 0 0)( 1 Refazemos o mesmo procedimento matemático para 𝑎0 = 𝑐0 e definimos c’ como: * 2 1 ' nnnn cjbac Portanto concluímos que: 0 1 * 00)( n tjn n n tjn n ecectf Assim podemos observa que: 1 1 1 1 * 00 00 n tjn n n tjn n n tjn n n tjn n ecec ecec 8 Logo tjnnectf 0)( . Pulso retangular de duração 𝝉(função porta) A transformada de Fourier se aplica para pulso de 𝜏 definido como: tt recttx )( ={ 1, |𝑡| ≤ 𝜏 2 0, |𝑡| > 𝜏 2 2 2 22 )( )( 2 )(2 )()( fsencf fsenfj fsenjdtedtetxfx ftjftj Donde passamos do espaço vetorial de 𝑥(𝑡) para o espaço vetorial de 𝑥(𝑓). Como a transformada serve para linearizar funções periódicas e muito útil na engenharia elétrica pois podemos associar uma função 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑥 + 𝑏 a uma função senoidal que na linguagem abstrata na álgebra linear a transformada e um homofismo de espaço vetoriais. Onde a transformada de Fourier de sinais periódicos e um trem de impulsos localizados em frequências harmônicas. Conclusão A álgebra linear e uma ferramenta muito útil na engenharia que nos dá os recursos para desenvolver a tecnologia na área da engenharia elétrica, sendo por meios de resolução de sistemas ou de mudança de espaço vetorial facilitando os cálculos do engenheiro, assim melhorando a vida útil dos circuitos elétricos e melhorando a análise de sinais. 9 Referencias Halliday, David. Fundamentos de física: Eletromagnetismo 9ed. Rio de janeiro: GEN,2012. Ricardo Tokio Higuti & Cláudio Kitano. Sinais e sistemas. Disponível em <http://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinai s_e_sistemas.pdf> acessado em 25 de maio 2017. Fabiano J. Santos. Introdução as series de Fourier. Disponível em <http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf> acessado em 20 de maio 2017. Tiago ribeiro. Leis de Kirchhoff. Disponível em < http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff/>> acessado em 25 de maio 2017.
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