aplicaçao da algebra linear na engenharia eletrica

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A importância da álgebra linear na engenharia elétrica como 
análise de circuitos e processos de sinais. 
André Lopes de Lima 
andrelopessfla@gmail.com 
Lisney Stonne de oliveira Pessoas 
Lisneystonne2013@hotmail.com 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Disciplina de álgebra linear: Prof. Antônio Diego silva Farias 
 
Resumo 
Com intuito de apresentar ferramentas disponível para facilitar a resolução de problemas 
comuns encontrados frequentemente na engenharia elétrica e as possíveis aplicações da 
álgebra linear, já que esse ramo da matemática está presente nas mais diversas 
engenharias, tendo como foco principal a análise de circuitos elétricos e estudo de 
processo de sinais, o objeto de estudo desse artigo como resultados... 
Palavra chaves: álgebra linear. Circuitos. Transformadas. Engenharia elétrica. Processo 
de sinais. 
Introdução 
 Os circuitos são muito importantes nos dias atuais pois eles estão presentes nos 
computadores, aeronaves, embarcações, celulares e etc. A álgebra linear tem sido uma 
ferramenta muito importante auxiliando a engenharia elétrica na área de eletrônica pois 
ela permite os engenheiros a solucionar problemas envolvendo sistemas lineares. Os 
circuitos elétricos são formados basicamente por geradores elétricos, condutores e por 
elementos capazes de utilizar a energia fornecida pelos geradores. 
 Os geradores são aparelhos capazes de transforma qualquer tipo de energia em 
energia elétrica já os receptores são aparelhos responsáveis por transforma energia 
elétrica em outras formas de energia um componente muito importante para o circuito e 
o resistor ele e o elemento responsável por consumir a energia e converte-la em calor, os 
circuitos também são constituídos por dispositivos de manobra (interruptor) que são 
responsáveis por acionar ou desligar o funcionamento do circuito elétrico. 
 Outros componentes importantes são os dispositivos de segurança e controle onde 
os fusíveis ou disjuntores são responsáveis por interromper a passagem da corrente em 
caso de uma intensidade maior que o circuito suporta já os dispositivos de controle 
medem ou identificam a corrente ou a diferença de potencial entre dois pontos. 
 
Leis de Kirchhoff 
 
2 
 
 As leis de Kirchhoff são empregadas em circuitos com mais de uma fonte 
resistores em series ou em paralelos a primeira mais conhecida como lei dos nós, diz que 
em qualquer nó a soma das correntes será igual a zero o que comprova que não a acumulo 
de correntes nos nós. 
 ∑ 𝑖𝑛=0𝑛 Primeira lei de Kirchhoff (1) 
 
 A segunda lei conhecida como lei das malhas, diz que a soma algébrica das 
forças eletromotrizes em qualquer malha é igual à soma algébrica das quedas de 
potencial ou dos produtos 𝑖𝑅 contidos na malha. 
 
 ∑ 𝜀𝑘𝑘 = ∑ 𝑅𝑛𝑖𝑛𝑛 Segunda lei de Kirchhoff (2) 
 
 No circuito com dois geradores e 4 resistores ôhmicos usamos (1) e (2) para obter 
as seguintes equações: 
 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 (3) 
 
 𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0 (4) 
 
 4𝑖1 + 𝑖2 = 9 (5) 
 
 𝑖2 + 4𝑖3 = 20 (6) 
 
Obtemos o sistema linear da seguinte forma: 
 
 
3 
 
 {
𝑖1 − 𝑖2 + 𝑖3 = 0
4𝑖1 + 𝑖2 = 9
𝑖2 + 4𝑖3 = 20
 (7) 
 
Podemos reescrever o sistema linear (7) na forma de 𝐴𝑖 = 𝑏 assim obtendo: 
 
|
1 −1 1
4 1 0
0 1 4
| |
𝑖1
𝑖2
𝑖3
| = |
0
9
20
| 
 
Tomando a matriz aumentada e resolvendo o sistema linear obtemos 𝑖1, 𝑖2 e 𝑖3 Fazendo uma 
análise desse sistema vemos que se trata de um sistema linearmente independente. 
Podemos usar outro método para resolver sistemas lineares conhecido como regra de Cramer, 
seja 𝐴𝑥 = 𝑏 um sistema linear de 𝑛 equações com 𝑛 incógnitas. Se a matriz 𝐴 for não singular 
então o sistema tem solução única dado por: 
 
𝑖1 =
det (𝐴1)
det (𝐴)
, 𝑖2
det (𝐴2)
det (𝐴)
, … , 𝑖𝑛
det (𝐴𝑛)
det (𝐴)
 
 
 
Circuitos de duas portas quadripolos 
 Várias redes elétricas são projetadas para receber em pontos específicos sinais 
dando uma versão modificada dos sinais 
 
Figura 2- circuito de 2 portas 
 Uma corrente 𝑖1 na tensão 𝑣1 e inserida na rede de duas portas na qual determina 
a corrente 𝑖2 e a tensão de saída 𝑣2de saída, na pratica a relação entre as correntes e as 
tensões de entrada e saída e linear onde relacionamos a uma equação matricial: 
 
 
4 
 
(
𝑣2
𝑖2
) = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) (
𝑣1
𝑖1
) 
 
A matriz dos coeficientes (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) e a matriz de transmissão da porta que é a matriz 
que define a rede elétrica da porta. 
Lei de ohm: A queda de tensão através de uma resistência e igual a corrente vezes a 
resistência 
 
 
Figura 3- circuito de 2 portas com resistência 
 
A queda de tensão na resistência é 𝑣1−𝑣2, a corrente que atravessa a resistência e 𝑖1 
Logo a lei de ohm implica 𝑣1−𝑣2 = 𝑖1𝑅. A corrente 𝑖 2também passa pelo resistor então 
𝑖 2 = 𝑖1 sendo: 
𝑣2 = 𝑣1 − 𝑅𝑖1 
𝑖2 = 0𝑣1 + 𝑖1 
Então obtemos a equação matricial: 
 
(
𝑣2
𝑖2
) = (
1 −𝑅
0 1
) (
𝑣1
𝑖1
) 
Como (
1 −𝑅
0 1
) e a matriz de transmissão, portanto se 𝑅 = 4 𝑜ℎ𝑚𝑠 ,𝑣1 = 10 V e 𝑖2 =
2 A obtemos: 
 
 (
𝑣2
𝑖2
) = (
1 −4
0 1
) (
10
2
) 
 
(
𝑣2
𝑖2
) = (
2
2
) 
 
A tensão e a corrente de saída são 2 volts e 2 ampères. 
 
5 
 
 
 Para obter a tensão desejada são colocadas várias portas em serie para fornecer a 
variação de tensão assim podendo ter o controle e ajuntar a variação vamos agora 
considera três portas A B e C considerando cada porta separadamente temos: 
 (
𝑣2
𝑖2
) = 𝐴 (
𝑣1
𝑖1
) (I) 
 (
𝑣3
𝑖3
) = 𝐵 (
𝑣2
𝑖2
) (II) 
 (
𝑣4
𝑖4
) = 𝐶 (
𝑣3
𝑖3
) (III) 
Substituindo (I) em (II) obtemos: 
 
 (
𝑣3
𝑖3
) = 𝐵𝐴 (
𝑣1
𝑖1
) (IV) 
 
Substituindo (IV) em (III) obtemos: 
 
 (
𝑣3
𝑖3
) = 𝐶𝐵𝐴 (
𝑣1
𝑖1
) (V) 
 
Portanto rearranjando as três portas em serie vemos que esse arranjo e equivalente a uma 
única rede de duas portas logo a matriz de transmissão e o produto das três matrizes 
individual CBA, vale ressaltar que a sequência e muito importante pois o produto entre 
matrizes não é comutativo. 
 
Series de Fourier 
 Series de Fourier são basicamente, uma forma de representar funções como 
series infinitas de senos e cossenos. 
A forma geral e dada por: 
 










1
0 cos
2 n
nn
l
xn
senb
l
xn
a
a  
 
Os termos 𝑎0,𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 são coeficientes de números que varia dependendo de se quer 
representar, n e o índice da série 𝑛 = 1,2,3 … e 𝑙 e o período da equação que queremos 
 
6 
 
representa. Podemos determina os coeficientes 𝑎0,𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 através das formulas de Euler- 
Fourier: 
 
l
l
n dx
l
xn
xf
l
a

cos
1
 Com 𝑛 = 0,1,2 … 
 
l
l
n dx
l
xn
senxf
l
b
1
 Com 𝑛 = 1,2,3 … 
 
l
l
dxxf
l
a
1
0
 
Dessa forma podemos obter: 
  









1
0 cos
2 n
nn
l
xn
senb
l
xn
a
a
xf
 
 
 
Transformada de Fourier 
 A transformada de Fourier permite analisar funções não periódicas ela e muito 
útil para algumas aplicações relacionadas com comunicação e processamento de sinais 
que é uma área muito importante da engenharia elétrica. 
Sabendo que a série de Fourier e dada por: 
 



1'
000 )()cos()(
n
nn tnsenbtnaatf 
 (8.1) 
Com os parâmetros definidos por: 
 



Tt
t
dttf
T
a
0
0
)(1
0
 
dttntf
T
a
Tt
t
n )cos()(
2 0
0
0

 
 



Tt
t
n dttnsentf
T
b
0
0
)()(
2
0
 
 
Usando o teorema de Euler redefinimos as funções senoidais: 
 
 tjntjn eetn 00
2
1
)cos( 0
 
 
 (8.2) 
 
7 
 
 tjntjn ee
j
tnsen 00
2
1
)( 0
 
 
 
Substituindo (8.2) em (8.1) obtemos: 
 
   










1
0
0000
22
)(
n
tjntjnntjntjnn ee
j
b
ee
a
atf

 
Multiplicando por j o ultimo termo da relação temos: 
 















 





 

1
0
00
22
)(
n
tjnnntjnnn e
jba
e
jba
atf

 
 
Portando vamos definir 𝑐𝑛: 
)(
2
1
nnn jbac 
 𝑛 = 1,2,3 … 
Substituindo os parâmetros 𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛obtemos: 












 
Tt
t
n dttnjsentntf
T
c
0
0
)]())[cos((
2
2
1
00 
 



Tt
t
tjnw
n dtetf
T
c
0
0
0)(
1
 
Refazemos o mesmo procedimento matemático para 𝑎0 = 𝑐0 e definimos c’ como: 
  *
2
1
' nnnn cjbac 
 
Portanto concluímos que: 
 






0 1
* 00)(
n
tjn
n
n
tjn
n ecectf

 
Assim podemos observa que: 
 
 











1
1
1 1
*
00
00
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
n
tjn
n
ecec
ecec


 
 
8 
 
Logo 



 tjnnectf
0)(

. 
 
Pulso retangular de duração 𝝉(função porta) 
 A transformada de Fourier se aplica para pulso de 𝜏 definido como: 














tt
recttx )(
 ={
1, |𝑡| ≤
𝜏
2
0, |𝑡| >
𝜏
2
 





 


 2
2
22 )(
)(
2
)(2
)()(

     fsencf fsenfj fsenjdtedtetxfx ftjftj
 
Donde passamos do espaço vetorial de 𝑥(𝑡) para o espaço vetorial de 𝑥(𝑓). 
 
 
 Como a transformada serve para linearizar funções periódicas e muito útil na engenharia 
elétrica pois podemos associar uma função 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑥 + 𝑏 a uma função senoidal que na 
linguagem abstrata na álgebra linear a transformada e um homofismo de espaço vetoriais. Onde 
a transformada de Fourier de sinais periódicos e um trem de impulsos localizados em 
frequências harmônicas. 
 
Conclusão 
 A álgebra linear e uma ferramenta muito útil na engenharia que nos dá os recursos 
para desenvolver a tecnologia na área da engenharia elétrica, sendo por meios de 
resolução de sistemas ou de mudança de espaço vetorial facilitando os cálculos do 
engenheiro, assim melhorando a vida útil dos circuitos elétricos e melhorando a análise 
de sinais. 
 
9 
 
 
 
 
Referencias 
Halliday, David. Fundamentos de física: Eletromagnetismo 9ed. Rio de janeiro: 
GEN,2012. 
Ricardo Tokio Higuti & Cláudio Kitano. Sinais e sistemas. Disponível em 
<http://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinai
s_e_sistemas.pdf> acessado em 25 de maio 2017. 
Fabiano J. Santos. Introdução as series de Fourier. Disponível em 
<http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo4/sf.pdf> acessado em 
20 de maio 2017. 
Tiago ribeiro. Leis de Kirchhoff. Disponível em < 
http://www.infoescola.com/eletricidade/leis-de-kirchhoff/>> acessado em 25 de maio 
2017.