Cálculo aplicado à Administração 6

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Cálculo aplicado à Administração 
 
 
 
 
 
Aula 06 
 
 
 
 
 
Prof. Nelson Pereira Castanheira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá, aluno!! Essa é a sexta – e última – aula da disciplina 
Cálculo aplicado à Administração! 
 
Introdução 
É muito comum fazermos um financiamento em prestações, 
sejam elas mensais ou não. Teremos, então, uma sucessão de 
pagamentos a realizar. Dou outro lado do balcão, há uma 
sucessão de recebimentos. A essa sucessão de pagamentos ou 
recebimentos denominamos Renda. 
Quando alguém se dirige sistematicamente ao banco para levar 
dinheiro ao caixa, não significa que esteja amortizando uma 
dívida. Poderá estar levando o dinheiro para aplicação, por 
exemplo, em uma caderneta de poupança. 
 
Então, podemos entender que Renda é uma sucessão de 
pagamentos, de recebimentos ou de depósitos. 
 
 
CONTEXTUALIZANDO 
O que é uma Renda? 
Renda é a utilidade ou o benefício que rende algo ou aquilo que 
se cobra do mesmo. 
O termo, que deriva do latim reddĭta, pode ser usado como 
sinônimo de rendimento. 
Veja a definição de Renda, ou Série Uniforme de Pagamento: 
é uma sucessão de pagamentos, de recebimentos ou de 
depósitos. Ela tem características próprias, quanto ao prazo, 
quanto ao valor, quanto à periodicidade e quanto à forma de 
pagamento. 
 
RENDA 
 
Prazo, Valor, Forma e Período. É assim que a Renda pode ser ... 
pode ser ... Você já descobrir! 
 
A sucessão de depósitos ou de pagamentos, em épocas 
diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar uma dívida, 
é denominada de renda. As rendas podem ser classificadas de 
acordo com quatro parâmetros: o prazo, o valor, a forma e o 
período. 
 
Quanto ao prazo, as rendas podem ser: 
 Temporárias, com duração limitada (prestações de uma 
geladeira) 
 Perpétuas, com duração ilimitada (aluguel, condomínio). 
 
Quanto ao valor dos recebimentos ou dos pagamentos, temos 
rendas: 
 Constantes, com todos os pagamentos ou recebimentos 
em valores iguais 
 Variáveis, quando os pagamentos ou recebimentos não 
são de valores iguais 
 
 
Quanto à forma, os pagamentos ou recebimentos se classificam 
em: 
a) Imediatos - quando o primeiro pagamento ou 
recebimento ocorre no primeiro período. 
 
Postecipados: no final do período, ou seja, sem entrada. 
Antecipados: no início do período, ou seja, com entrada igual às 
demais prestações. 
 
b) Diferidos - quando o primeiro pagamento ou recebimento 
não ocorre no primeiro período 
 
Postecipadas: isto é, o primeiro pagamento ou recebimento 
ocorre um período após o término da carência ou diferimento; 
 
Antecipados: quando desconsiderada a carência, temos uma 
situação idêntica à das rendas imediatas antecipadas, isto é, o 
primeiro pagamento ou recebimento coincide com o final da 
carência ou diferimento. 
 
 
Quanto à periodicidade, as rendas podem ser: 
 Periódicas, quando todos os intervalos entre os 
pagamentos ou recebimentos são iguais; 
 Não periódicas, quando os intervalos não são iguais entre 
as parcelas. 
 
O modelo mais comum de renda é aquele que apresenta as 
seguintes características: 
Sabemos quantas são as parcelas; portanto, é temporária. 
As parcelas são todas iguais; portanto, é constante. 
Nos preocupamos imediatamente com o pagamento das 
parcelas; portanto, não há carência. 
É postecipada; portanto, não há entrada. 
O intervalo entre sucessivas parcelas é constante; portanto, é 
periódica. 
A esse modelo chamamos MODELO BÁSICO DE RENDA. 
 
 
 
 
Para complementar essa parte dos nossos estudos faça a leitura 
do capítulo 7 do livro “Matemática financeira aplicada”, da 
página 90 à página 93. Autores: Nelson Pereira Castanheira e 
Luiz Roberto Dias de Macedo, Editora Intersaberes, terceira 
edição. 
 
E confira o conteúdo do link a seguir, é bem interessante! 
http://pt.slideshare.net/albruni/aulas-de-matematica-financeira-
series-uniformes 
 
MODELO BÁSICO DE RENDA 
Entendemos por modelo básico de renda a série uniforme de 
pagamentos ou de recebimentos que for, simultaneamente, 
temporária, constante, imediata postecipada e periódica. 
 
Na amortização de uma dívida que segue esse modelo 
básico, os juros crescem em progressão geométrica. 
 
Para determinarmos o valor atual (ou valor presente) de uma 
sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor 
atual do desconto racional composto de cada parcela da renda, 
ou seja, calculamos o valor atual de cada parcela da série de 
pagamentos ou recebimentos pelo desconto racional composto 
e, em seguida, somamos os valores assim encontrados. 
 
Cada parcela de uma série de pagamentos ou recebimentos 
passaremos a denominar de prestação (p). 
O cálculo do valor atual é feito pela fórmula: 
 
V = p . (1 + i)n – 1 , onde: 
(1 + i)n . i 
 
 
 
V é o valor atual (ou valor presente) ou capital 
p é o valor das prestações (recebimentos ou pagamentos) 
n é o número de prestações 
i é a taxa de juros compostos. 
 
Estudaremos agora as parcelas, também denominadas de 
depósitos, que se relacionam com um valor futuro, um montante, 
após determinado número de depósitos. 
Para saber se estamos diante de uma renda do modelo básico, 
postecipada, ou diante de uma renda antecipada, devemos 
observar o último intervalo da série. 
Conforme já estudado, a renda é postecipada quando a parcela 
ocorre no final do intervalo. Em renda postecipada, o valor futuro 
ocorre na data do último depósito. 
Podemos determinar o montante de rendas, basicamente, de três 
maneiras distintas: pelo somatório dos montantes de cada 
depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira. 
 
RENDA ANTECIPADA 
A renda é antecipada em relação ao valor atual, quando a 
primeira parcela ocorre na data zero, ou seja, é dada uma 
entrada de mesmo valor que as demais parcelas. 
Para o cálculo do valor atual de rendas antecipadas, utiliza-se o 
mesmo conceito de rendas postecipadas. No entanto, como os 
pagamentos ou recebimentos ocorrem com a antecipação de um 
período, multiplica-se a fórmula original por (1 + i). Assim, temos: 
 
V = p . (1 + i)n  1 . (1 + i) 
(1 + i)n . i 
 
 
 
Para complementar faça a leitura do capítulo 7 do livro Métodos 
quantitativos, da página 93 à página 102. Autor: Nelson Pereira 
Castanheira, Editora Intersaberes, segunda edição. 
Rendas Diferidas 
 
Rendas diferidas são aquelas em que existe um prazo de 
carência. Também podem ser postecipadas ou antecipadas. 
Rendas diferidas antecipadas em relação a um valor atual são 
aquelas em que a primeira parcela vence juntamente com a 
carência, enquanto rendas postecipadas são aquelas em que a 
primeira parcela vence um período após a carência. 
Quando estamos efetuando cálculos sobre rendas diferidas, 
utilizamos as fórmulas do modelo básico de renda (ou as 
fórmulas de renda antecipada) e as fórmulas de capitalização 
composta. 
Como é possível escolhermos entre usar o modelo básico de 
renda ou usar a renda antecipada, obtendo o mesmo resultado, 
iremos apresentar os cálculos utilizando o modelo básico de 
renda. 
 
Exemplo 1 
Uma pessoa receberá 12 prestações mensais iguais a 
R$20.000,00 com uma carência de 12 meses. Sabendo que a 
taxa de juros é de 4% a.m., determine o valor atual com as 
prestações vencendo no final do intervalo. 
 V = ? 
 p = 20.000,00 
 i = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
 n = 12 prestações 
 n de carência = 12 m. 
 V = p . (1 + i)n  1 
 (1 + i)n . iV = 20.000,00 . (1 + 0,04)12  1 
 (1 + 0,04)12 . 0,04 
 V = 20.000,00 . 0,601032219 
 0,064041288 
Logo > V = 187.701,48 
Esse valor representa o valor atual um período antes do primeiro 
pagamento, pois utilizamos rendas postecipadas. Logo, falta 
ainda calcular o valor atual considerando o período de carência. 
Como o pagamento será feito no final do intervalo, é uma renda 
diferida postecipada e a carência é de 12 meses. Vamos, então, 
calcular o valor atual na data zero. 
 
V = M 
 (1 + i)n 
V = 187.701,48 
 (1 + 0,04)12 
V = 117.237,79 
 
 
Exemplo 2 
Uma pessoa receberá 12 prestações mensais iguais a 
R$20.000,00, com uma carência de 12 meses. Sabendo que a 
taxa de juros é de 4% a.m., determine o valor atual, com as 
prestações vencendo no início do intervalo. 
 V = ? 
 p = 20.000,00 
 i = 4% a.m. = 0,04 a.m. 
 n = 12 prestações 
 n de carência = 11 m 
 
 V = p . (1 + i)n  1 
 (1 + i)n . i 
 
 V = 20.000,00 . (1 + 0,04)12  1 
 (1 + 0,04)12 . 0,04 
 V = 187.701,48 
O “V” representa o valor atual um período antes do primeiro 
pagamento, pois utilizamos rendas postecipadas. Logo, falta 
ainda calcular o valor atual considerando o período de carência. 
Como o pagamento será feito no início do intervalo, é uma renda 
diferida antecipada. Assim, se tivéssemos utilizado a fórmula de 
rendas antecipadas, teríamos uma carência de 12 meses, mas 
como utilizamos rendas postecipadas, teremos um intervalo a 
menos de carência, ou seja, 11 meses de carência. Vamos, 
então, calcular o valor atual na data zero. 
V = __M__ 
 (1 + i)n 
V = 187.701,48 
 (1 + 0,04)11 
V = 121.927,30 
 
Talvez pareça estranho que o valor atual da renda diferida 
antecipada seja maior que o valor atual da renda diferida 
postecipada, mas isto é facilmente explicável. 
Quanto maior é o prazo, maior é o valor dos juros. Assim, como 
a prestação em renda diferida antecipada é paga um mês antes 
do pagamento da prestação em renda diferida postecipada, 
teremos na renda diferida antecipada um intervalo a menos de 
juros que na renda diferida postecipada. 
 
Agora leia o capítulo 7 do livro Matemática Financeira 
Aplicada, da página 102 à página 105. Autor: Nelson Pereira 
Castanheira, Editora Intersaberes, segunda edição. 
 
Outra dica legal é você assistir ao vídeo a seguir, que também 
fala sobre Renda Diferida: 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=ZXGShgAoAjM 
 
TAXA INTERNA DE RETORNO 
TIR – Taxa Interna de Retorno, detalhes a seguir... 
 
 
Taxa de retorno - ou taxa interna de um fluxo de caixa – é a taxa 
de juros compostos (taxa de desconto) que anula o seu valor 
presente (valor atual), sendo necessário observar o valor 
algébrico das suas parcelas dentro do seguinte critério: 
a) Os recebimentos terão sinal positivo, por representarem 
entradas de caixa. 
b) Os pagamentos terão sinal negativo, por representarem 
saídas de caixa. 
 
Em uma operação de crédito, verificamos que as partes 
contratantes, a financeira e o comprador, apresentam fluxos de 
caixa iguais e opostos. 
 
A taxa de retorno é normalmente obtida pelo processo de 
tentativas, isto é, arbitramos uma taxa de juros e calculamos o 
valor atual do fluxo de caixa para essa taxa. 
Se o valor atual for nulo, então a taxa utilizada para o desconto é 
a taxa de retorno; caso contrário, devemos arbitrar nova taxa de 
juros e repetir o processo até encontrar uma taxa que satisfaça 
essa condição. 
A determinação exata da taxa de retorno é, portanto, bastante 
trabalhosa e, por isso, adotamos com frequência um valor 
aproximado que é obtido por interpolação linear entre duas taxas 
de juros que delimitam o valor procurado. 
 
 
Assim sendo, apresentaremos a seguir exemplos com a 
utilização de uma calculadora financeira HP12c. 
 
Taxa mínima de atratividade (TMA) 
Conforme Castanheira e Serenato (2014, p. 121), o Capital, 
geralmente, é escasso. Devido a esse fato, o sistema de oferta e 
procura da economia fornece um preço para o seu uso. 
Isto faz com que, mesmo sendo usado pelo próprio dono, ele 
apresente um custo, o custo da oportunidade perdida (deixa de 
auferir pelo menos a rentabilidade oferecida pelo mercado). 
Assim sendo, para um determinado investimento ser atrativo, 
deve render mais que as oportunidades de investimento perdidas 
por causa dele. 
 
Não se tem geralmente um conhecimento preciso sobre as 
oportunidades de investimento que são perdidas. Uma 
sensibilidade sobre o assunto permite determinar uma taxa de 
rentabilidade que represente essas aplicações. Esta deve ser a 
Taxa Mínima que uma nova proposta de investimento deverá 
render para ser atrativa: é a chamada Taxa Mínima de 
Atratividade (TMA). 
A TMA pode ser adotada como uma política geral da empresa, 
sendo mudada conforme o risco oferecido pelo investimento, 
dependendo do capital disponível para investir, da tendência 
geral de surgimento de aplicações mais relevantes, do custo do 
capital ou até mesmo da estrutura do capital da empresa. 
 
Leia o capítulo 7 do livro Matemática Financeira Aplicada, da 
página 121 à página 125. Autor: Nelson Pereira Castanheira, 
Editora Intersaberes, segunda edição. 
Mais uma dica: assista ao vídeo a seguir, ele tem mais detalhes 
sobre o que estamos estudando... 
https://www.youtube.com/watch?v=m9LPqRZFS6c 
 
 
 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL 
Vai investir e tem dúvidas? O VPL pode te ajudar... 
Em determinados momentos uma empresa está na dúvida se 
deve investir ou não em determinado negócio, em determinada 
máquina, enfim, em determinado projeto. 
 
Nesse caso, é necessário conhecer, ou estimar, a rentabilidade 
desse negócio, período a período, para determinar o Valor 
Presente Líquido (VPL) e, em consequência, tomar a decisão 
mais acertada. 
 
O VPL, portanto, é uma ferramenta para a tomada de decisão. 
Consiste em se trazer para o dia zero (valor atual) cada valor 
futuro de uma série de pagamentos, recebimentos ou depósitos. 
Do somatório desses valores atuais, deduz-se o valor do 
investimento a ser feito e obtém-se o chamado VPL. Quando o 
VPL for nulo ou positivo, o negócio deve ser feito, pois significa 
que teremos um rendimento igual ou superior à Taxa Mínima de 
Atratividade. Caso contrário, o negócio deve ser rejeitado. 
 
O Valor Presente Líquido pode, então, ser obtido pela 
fórmula: 
 
VP
L 
= M1 + M2 + M3 + ..
. 
+ Mn – C , em que “i” é a 
TMA. 
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n 
Vamos representar esse fluxo de caixa: 
 M1 M2 Mn 
 
 C 
 
Observe que i é a taxa de juros compostos da operação 
financeira ou a taxa mínima de atratividade desejada em um 
investimento. 
 
Exemplo 1 
Uma empresa de rádio táxi está analisando a possibilidade de 
adquirir, para a sua frota, veículos no valor unitário de R$ 
40.000,00. 
Sabendo que as receitas líquidas estimadas, em cinco anos, é de 
R$ 18.000,00, R$ 18.500,00, R$ 19.200,00, R$ 20.000,00 e R$ 
21.200,00, respectivamente. 
Ao final do quinto ano, o valor residual do veículo será de R$ 
10.000,00. 
Verifique se a empresa deve ou não investir nesses veículos, 
para uma taxa de retorno de 18% ao ano. 
 
VPL = 18.000 + 18.500 + 19.200 + 20.000 + 
31.200  40.000 
(1 + 0,18)1 (1 + 0,18)2 (1 + 0,18)3 (1 + 0,18)4 (1 + 0,18)5 
 
Observe que, no quinto ano, somou-se o valorresidual à receita 
líquida estimada. 
 VPL = 15.254,24 + 13.286,41 + 11.685,71 + 10.315,78 + 
13.637,81 – 40.000 
 VPL = 24.179,95 
 Vamos representar esse fluxo de caixa: 
 
 18.000 18.500 19.200 20.000 31.200 
 
 
 
 
 
 40.000 
Obteve-se um VPL positivo, o que significa dizer que a taxa 
efetiva de retorno é superior à taxa de retorno de 18% ao ano. 
Logo, a empresa deve investir na aquisição desses veículos. 
 
 
 
Exemplo 2 
Suponha, no exemplo anterior, que o valor do veículo seja de R$ 
59.000,00 e que a taxa mínima de retorno desejada é de 22% ao 
ano. Considerando-se as mesmas receitas líquidas, verifique se 
a empresa deve ou não investir nos veículos. 
VPL = 18.000 + 18.500 + 19.200 + 20.000 + 
31.200  59.000 
 (1 + 0,22)1 (1 + 0,22)2 (1 + 0,22)3 (1 + 0,22)4 (1 + 0,22)5 
 
VPL = 14.754,10 + 12.429,45 + 10.573,57 + 9.027,98 + 
11.543,98 – 59.000 
 
VPL = – 670,92 
Agora, obteve-se um VPL negativo, o que significa dizer que a 
taxa efetiva de retorno é inferior a 22% ao ano. Logo, a empresa 
não deve investir na aquisição desses veículos. 
 
Leia o capítulo 7 do livro Matemática Financeira Aplicada, da 
página 121 à página 125. Autor: Nelson Pereira Castanheira, 
Editora Intersaberes, segunda edição. 
 
Mais uma dica: assista ao vídeo a seguir, ele tem mais detalhes 
sobre o que estamos estudando... 
 
https://www.youtube.com/watch?v=m9LPqRZFS6c 
 
 
NA PRÁTICA 
Agora, para praticar, resolva as questões a seguir no seu 
caderno. Em seguida, tire suas dúvidas assistindo à resolução 
em vídeo. 
 
1. Um automóvel é anunciado em 36 prestações mensais 
iguais de R$ 1.499,00, sendo que o primeiro pagamento ocorrerá 
no ato da compra. Determine o preço à vista desse automóvel, 
sabendo que a loja cobra 1,99% ao mês de taxa de juros. 
 
2. Uma loja anuncia a venda de um aspirador de pó em 10 
prestações mensais de R$ 199,00, com carência de 3 meses. 
Qual será o preço à vista do eletrodoméstico, se a taxa de juros 
for de 2,98% ao mês, e se a compra for efetuada sem entrada? 
 
3. Um televisor de tela plana custa R$ 11.999,00 à vista. Se 
o cliente pretende pagá-lo em 5 prestações mensais, sem 
entrada, com a primeira paga 3 meses após a compra, e se a loja 
cobrar 3,98% ao mês de taxa de juros, qual será o valor de cada 
prestação? 
 
4. Uma pessoa investiu R$ 50.000,00 em uma operação para 
receber R$ 10.000,00 mensais durante oito anos. Supondo uma 
taxa média da atratividade (TMA) igual a 12% ao ano, verifique 
se esse investimento é atrativo. 
 
5. Verifique a viabilidade do investimento representado no 
fluxo de caixa a seguir, para uma taxa média de atratividade 
(TMA) de 12% ao ano. 
 
 
 
Ano Valor 
0  2.000,00 
1 500,00 
2 500,00 
3 500,00 
4 500,00 
 
 
6. Verifique a viabilidade do investimento representado no 
fluxo de caixa a seguir, para uma taxa média de atratividade 
(TMA) de 12% ao ano. 
7. Uma empresa que trabalha com taxa média de 
atratividade (TMA) de 20% ao ano está em dúvida quanto a que 
projeto escolher para investir, dentre os quatro representados a 
seguir. Verifique qual projeto deve ser escolhido. 
 
Ano Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
0  45.000,00  45.000,00  45.000,00  45.000,00 
1 10.000,00 15.000,00 10.000,00 15.000,00 
2 15.000,00 15.000,00 10.000,00 10.000,00 
3 15.000,00 15.000,00 10.000,00 15.000,00 
4 10.000,00 10.000,00 15.000,00 10.000,00 
5 10.000,00 10.000,00 15.000,00 15.000,00 
6 15.000,00 10.000,00 15.000,00 15.000,00 
TIR 
 
8. Uma empresa deseja adquirir novas máquinas para sua 
linha de produção no valor de R$ 500.000,00 que gerarão uma 
receita líquida de R$ 170.000,00 ao ano, durante 5 anos. Ao final 
do 5º ano, o valor residual das máquinas (preço de venda) será 
de R$ 75.000,00. Verifique se a empresa deve efetuar a compra 
para uma TIR de 20% e para uma TIR de 25%. 
 
 
Referências 
 
 
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. 
ed. São Paulo: Atlas, 1998. 
 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias 
de. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Editora 
Intersaberes, 2012. 
 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; SERENATO, Verginia Stela. 
Matemática financeira e análise financeira para todo os 
níveis. 3. ed. Curitiba: Editora Juruá, 2014.