AP2_metdet_ii_2017_1_tutor.pdf

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 28/05/2017
Questa˜o 1 [1,5pts] Considere a func¸a˜o f(x) = x3
x2−1 . Calcule o dom´ınio, verifique que f(x) =−f(−x) para todo x no dom´ınio e calcule as suas assintotas.
Soluc¸a˜o: Como f(x) e´ uma func¸a˜o racional, ela estara´ bem definida desde que o denominador seja
diferente de zero, isto e´,
x2 − 1 ̸= 0⇔ x ̸= −1 ou x ̸= 1.
Portanto o dom´ınio de f(x) e´ {x ∈ R : x ̸= ±1}.
f(−x) = (−x)
3
(−x)2 − 1 =
−x3
x2 − 1 = −
x3
x2 − 1 = −f(x).
Para fazer o estudo das assintotas precisamos calcular os seguintes limites: x → ±∞, x → −1−,
x→ −1+, x→ 1−, x→ 1+.
lim
x→±∞
x3
x2 − 1 = limx→±∞
x2
x2
x
1− 1/x2 = limx→±∞
x
1− 1/x2 = ±∞.
Para o limite quando x→ −1−. Considere o valor x = −1, 1 o numerador e´ negativo e o denominador
e´ 0, 21 > 0, logo enquanto o numerador tende para -1 o denominador tende a zero com valores
positivos. Portanto, podemos concluir que limites tende a −∞.
Com o mesmo tipo de racioc´ınio podemos concluir que: x → −1− e x → 1− ambos os limites
tendem a −∞. E quando x→ −1+ e x→ −1+ o limite tende para +∞.
Questa˜o 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Calcule e fac¸a a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Soluc¸a˜o: Derivando
f ′(x) = 3x
2 × (x2 − 1)− x3 × 2x
(x2 − 1)2 =
x2 (x2 − 3)
(x2 − 1)2 ,
observe que esta parte x
2
(x2−1)2 esta elevado ao quadrado e portanto que determina o sinal e´ x
2 − 3,
portanto, se −√3 ≤ x ≤ √3 a f ′(x) ≤ 0 e fora deste intervalo f ′(x) > 0.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = (4x
3 − 6x)× (x2 − 1)2 − (x4 − 3x2)× 2× (x2 − 1)× 2x
(x2 − 1)4 =
2x (x2 + 3)
(x2 − 1)3 .
Observe que x2+3 > 0 para todo x ∈ R, e (x2− 1)3 tem o mesmo sinal que x2− 1. Da´ı que f ′′(x)
tem o mesmo sinal que 2x
x2−1 , fazendo o estudo obtemos
Nome da Disciplina AP1 2
Questa˜o 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma func¸a˜o da questa˜o 1. Explique o comportamento de
f(x) e fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
Soluc¸a˜o: Iniciemos marcando as retas x = −1 e x = 1 e os pontos (−√3, 0) e (√3, 0). Vamos
comec¸ar vendo o que deve acontecer ao gra´fico da esquerda para a direita, no intervalo (−∞,−1).
A func¸a˜o vem de menos infinito e e´ crescente ate´ −√3, depois disso ela se torna decrescente ate´ −1,
em x = −1 ela vai para o −∞. f(−√3) = −3
√
3
2 ≈ −2, 6. Veja que neste intervalo a concavidade
e´ sempre para baixo. Refletindo na origem podemos desenhar o que acontece quando x ≥ 1.
No intervalo −1 < x < 1 sabemos que a func¸a˜o vem de +∞ e se vai para −∞. E´ sempre decrescente
neste intervalo. Passa por 0 = f(0), e tem concavidade para cima em (−1, 0) e para baixo (0, 1).
Figura 1: Esboc¸o do gra´fico de f(x) = x
x2−9
Questa˜o 4[2,0pts] Suponha que C(x) e´ a quantidade em reais do custo total para produzir x re´plicas
de uma pintura (x ≥ 10) e
C(x) = 15 + 8x+ 50
x
.
Determine:
(a) a func¸a˜o do custo marginal;
(b) o custo marginal quando x = 50;
(c) o custo de produc¸a˜o para fazer o 51a quadro.
Soluc¸a˜o:
(a) C ′(x) = 8− 50
x2
(b) C ′(50) = 8− 50502 = 8− 0, 02 = 7, 98.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Nome da Disciplina AP1 3
(c) A quantidade de reais gasto para produzir o quinquage´simo primeiro quadro e´ C(51)−C(50) =
423, 9804− 416 = 7, 9804.
Questa˜o 5 [1,8pt] Resolva as seguintes integrais:
a)
∫
(3x− 2)√x dx
b)
∫ 1
1+e−x dx
Soluc¸a˜o: a)∫
(3x− 2)√x dx =
∫
(3x− 2)x1/2 dx =
∫
3x3/2 − 2x1/2 dx = 215x
3/2(9x− 10) + C.
b) Observe que 1 + e−x = 1 + 1
ex
= ex+1
ex
e enta˜o
∫ 1
1+e−x dx =
∫ ex
ex+1 dx e fazendo u = 1 + e
x ⇒
du = exdx e da´ı ∫ 1
1 + e−x dx =
∫ du
u
= ln(u) + C = ln (ex + 1) + C.
Questa˜o 6 [1,5pt] Fac¸a o esboc¸o da regia˜o compreendida pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo
gra´fico de y = x2 + 2x+ 5 e calcule a sua a´rea.
Soluc¸a˜o: Veja que y(x) = x2+2x+5 e´ a equac¸a˜o de uma para´bola com a boca voltada para cima
e y(−1) = 4 e y(1) = 8, Ale´m disso, esta para´bola na˜o tem raiz real, pois ∆ = 4−4×5 = −16 < 0.
Com isso, temos como fazer o gra´fico abaixo.
Logo a a´rea e´ dada por
∫ 2
−1
x2 + 2x+ 5 dx =
[
x3
3 + x
2 + 5x
]2
−1
= 21.
Questa˜o 7 [1,0pt] Calcule a derivada de h(t) = t ln
(
t2−1
t2+1
)
.
Soluc¸a˜o: Iniciemos derivando
(
t2−1
t2+1
)′
= 2t(t
2+1)−(t2−1)2t
(t2+1)2 =
4t
(t2+1)2 enta˜o,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Nome da Disciplina AP1 4
h′(t) = 1× ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ t×
[
ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)]′
= ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ t× 1(
t2−1
t2+1
) × [t2 − 1
t2 + 1
]′
= ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ t×
(
t2 + 1
t2 − 1
)
4t
(t2 + 1)2
= ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ 1(t2 − 1)
4t2
(t2 + 1)
=
(t4 − 1) ln
(
t2−1
t2+1
)
+ 4t2
t4 − 1 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ