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GEOMETRIA ANALÍTICA - LISTA 5 - 16/05/2011
Está …xado um sistema de coordenadas ortogonal (O;
�!
i ;
�!
j ;
�!
k ).
1) Obtenha um vetor normal para cada um dos planos dados no exercício 22 da lista 4.
2) Obtenha uma equação geral para cada um dos planos coordenados.
3) Dê uma equação geral para o plano � que:
a) passa pelo ponto A = (1; 0; 2) e tem vetor normal �!n = (1;�1; 4).
a) Passa pelo ponto P = (1; 0; 1) e é perpendicular à reta r : X = (0; 0; 1) + �(1; 2;�1)(� 2 R). Determine
P tal que P 2 r \ �.
b) Passa pelo ponto P = (1; 1; 2) e é paralelo ao plano �1 = x� y + 2z + 1 = 0.
4) Seja � : x+ 2y � z � 1 = 0. Obtenha uma equação vetorial e uma equação paramétrica de �.
5) Escreva uma equação vetorial para a reta que passa por A = (1; 2; 3) e é perpendicular ao plano � : 2x+y�z =
2.
6) Obtenha uma equação vetorial e uma equação paramétrica para a reta r :
�
x+ y + z � 1 = 0
x+ y � z = 0
7) Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam dos pontos A = (2; 1; 1), B = (�1; 0; 1)
e C = (0; 2; 1) é uma reta, perpendicular ao plano que passa por A;B e C. Apresente uma equação
paramétrica dessa reta. Obs. Um lugar geométrico é apenas um conjunto de pontos.
8) Estude a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos. Se forem concorrentes, determine P 2 r \ s.
a) r : X = (1; 2; 3) + �(0; 1; 3)(� 2 R) e s : X = (0; 1; 0) + �(1; 1; 1)(� 2 R);
b) r : X = (1; 2; 3) + �(0; 1; 3)(� 2 R) e s : X = (1; 3; 6) + �(0; 2; 6)(� 2 R);
c) r : X = (1; 2; 3) + �(0; 1; 3)(� 2 R) e s :
�
x+ y + z = 6
x� y � z = �4
d) r :
�
x� y � z = 2
x+ y � z = 0 e s :
�
2x� 3y + z = 5
x+ y � 2z = 0
9) Determine m para que as retas r : X = (1; 0; 2) + �(2; 1; 3)(� 2 R) e s : X = (0; 1;�1) + �(1;m; 2m)(� 2 R)
sejam coplanares,e nesse caso estude sua posição relativa.
10) Estude a posição relativa das retas r e do plano � nos seguintes casos: Se r é transversal a �, determine
P 2 � \ r.
a) � : X = (1; 1; 3) + �(1;�1; 1) + �(0; 1; 3) e r : X = (1; 1; 1) + �(3; 2; 1), (�; �; � 2 R).
b) � : X = (1; 0; 1) + �(1; 1; 1) + �(0; 0; 3) e r : X = (2; 2; 1) + �(3; 3; 0), (�; �; � 2 R).
c) � : x+ y � z = �2 e
r :
8<: x = 1 + �y = 1� �
z = �
� 2 R
d) � : x� y � z = 2 e r : X = (1; 1; 0) + �(0; 1; 1), (� 2 R).
1
11) Calcule m para que a reta r : X = (1; 1; 1) + �(2;m; 1), (� 2 R) seja paralela ao plano � : X = (0; 0; 0) +
�(1; 2; 0) + �(1; 0; 1).
12) Calcule m e n para que a reta r : X = (n; 2; 0) + �(2;m;m), (� 2 R) esteja contida no plano � :
x� 3y + z � 1 = 0.
13) Estude a posição relativas dos planos �1 e �2 nos seguintes casos. Se forem transversais, exiba uma equação
vetorial para a reta r :
�
�1
�2
.
a) �1 : X = (1; 0; 1) + �(1; 1; 1) + �(0; 1; 0) e �2 : X = (0; 0; 0) + �(1; 0; 1) + �(�1; 0; 3) (�; �; �; � 2 R);
b) �1 : 2x� y + z � 1 = 0 e �2 : x� 12y + 12z = 9;
c) �1 : x+ 10y � z = 4 e �2 : 4x+ 40y � 4z � 16 = 0;
d) �1 : x� y + 2z = 2 e �2 : X = (0; 0; 1) + �(1; 0; 3) + �(�1; 1; 1)(�; � 2 R);
14) Determinem para que os planos �1 :X = (1; 1; 0)+�(m; 1; 1)+�(1; 1;m) (�; � 2 R) e �2 : 2x+3y+2z+1 = 0
sejam paralelos distintos.
15) Sejam r e s retas reversas passando por A = (0; 1; 0) e B = (1; 1; 0) e por C = (�3; 1;�4) e D = (�1; 2;�7)
respectivamente. Obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s, e paralela ao vetor�!v = (1;�5:� 1).
16) Obtenha uma equação vetorial da reta t, que passa pelo ponto P = (2;�1; 1) e é concorrente com as retas
reversas
r :
�
y + z = 5
x+ 2z = 9
e s :
�
2x� z + 1 = 0
y � 2z = 1 :
17) Obtenha uma equação vetorial da reta t, que passa pelo ponto P = (1; 0; 3) e é concorrente com as retas
r : X = (1; 0; 0) + �(3;�1; 2)(� 2 R) e s : X = (�5; 2;�4) + �(1; 5;�1)(�; � 2 R);
18) Obtenha uma equação vetorial para a reta t, concorrente com
r :
x+ 1
2
= y = �z e s : X = (1
3
;
2
3
; 0) + �(5; 4; 3)(� 2 R)
onde t é paralela ao vetor �!v = (1; 0; 1).
19) Obtenha uma equação vetorial para a reta t, contida no plano � : x � y + z = 0;e que é concorrente com
as retas
r :
�
x+ y + 2z = 2
x = y
e s :
�
x� z + 2 = 0
y = 0
:
20) Obtenha uma equação geral para o plano que contém a reta r : X = (1; 1; 0) +�(2; 1; 2) e é paralelo à reta
s : x+12 = y = z + 3.
21) Considere o sistema de coordenadas abaixo. Faça um esboço dos planos �1 : x = 2, �2 : y + 1 = 0,
�3 : z + 4 = 0, �4 : x+ y = 2, �5 : x+ y + z = 1 e da reta r : X = (2; 0; 0) + �(1; 1; 0).
2

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