aula superficie

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A formalidade nos estudos sobre superfícies é necessária na formação do estudante de matemática.
Entretanto, o que pretendemos aqui é dar uma introdução ao estudo das superfícies apelando para
noções intuitivas.
1 Algumas preliminares
Para localizarmos um ponto P num plano � fazemos uso de um sistema de coordenadas. Um único
ponto P terá diferentes coordenadas em diferentes sistemas de coordenadas. No exemplo dado pela
…gura abaixo temos um ponto P de coordenadas (1; 1) no sistema �1 = (O;
�!e1 ;�!e2 ) e coordenadas
(�1; 1
2
) no sistema �2 = (O0;�!f1 ;�!f2).
Sistemas �1 e �2 no plano.
De modo análogo, a localização de um ponto P no espaço é feita servido-se de um sistema de
coordenadas. Cada sistema de coordenadas dá a um ponto P suas respectivas coordenadas. No
exemplo abaixo, P é a origem do sistema �2. Entretanto, suas coordenadas com relação ao sistema
�1 são (1; 1; 1)
Sistemas �1e �2 no espaço
1
Um sistema de coordenadas é chamado de ortogonal se os vetores da base são unitários e orto-
gonais dois a dois.As retas que passam pela origem do sistema e têm os vetores da base como vetores
diretores são chamadas de eixos coordenados.
Fixado um sistema de coordenadas, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um
plano e as duplas de números reais. Do mesmo modo, entre os pontos do espaço e as triplas de
números reais. É esta correspondência que faz a ponte entre a álgebra e a geometria.
Vamos …xar um sistema de coordenadas ortogonal e um círcurlo de raio 1 com centro no ponto
(2; 2). Como fazer para representar algébricamente este círculo? Como um ponto P de coordenadas
(x; y) está no círculo se, e somente se, a sua distância ao ponto (2; 2) é 1, então pelo teorema de
Pitágoras temos
12 = (2� x)2 + (2� y)2.
Logo, um ponto P de coordenadas (x; y) está no círculo se, e somente se,
x2 + y2 � 4x� 4y + 7 = 0.
-1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
Considere o sistema de coordenadas com origem no centro do círculo e eixos coordenadas parelelos
aos eixos coordenados x e y. Qual a equação do mesmo círculo neste novo sistema?
Reciprocamente, dada uma equação nas variáveis x e y podemos, escolhendo um plano e um
sistema de coordenadas, fazer uma representação geométrica dessa equação. Eis alguns exemplos,
dos mais clássicos, de …guras geométricas planares.
a) A elipse é o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas coordenadas, em relação a um sistema de
coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1, (1)
com a e b não nulos. Abaixo o esboço da elípse x
2
42
+ y
2
22
= 1.
2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
b) A hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas coordenadas, em relação a um sistema
de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação
x2
a2
� y
2
b2
= 1, (2)
com a e b não nulos. Abaixo o esboço da elípse x
2
42
� y2
22
= 1 e suas assíntotas y = �2
4
x.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
x
y
c) A parábola é o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas coordenadas, em relação a um sistema
de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação
x2 = ay, (3)
3
com a não nulo. Abaixo o esboço da parábola x2 = 4y.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
x
y
No ambiante espacial o que se busca é estabelecer representações geométricas para equações de
três variáveis (comumente chamadas de x; y; z).
2 Quádricas
Como não vamos estudar as superfícies com a formalidade que elas merecem, consideraremos que
superfícies são pedaços de planos (ou mesmo planos inteiros) distorcidos no espaço.
Nosso objetivo é tratar de alguns exemplos de superfícies. Começamos com a seguinte de…nição.
De…nição 2.1 Sejam A;B;C;D;E; F;G;H; I; J números reais. Chamamos de quádrica o conjunto
dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal,
satisfazem a seguinte equação do segundo grau
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0 (4)
Vejamos alguns exemplos.
a) O conjunto vazio: x2 + y2 + z2 + 1 = 0;
b) Uma reta: x2 + 2y2 + z2 � 2xy � 2yz = 0. Esta equação é equivalente a equação (x � y)2 +
(y � z)2 = 0 que, por sua vez, é equivalente a x = y = z.
4
c) um plano: x2� 2xy+ y2 = 0. Esta equação é equivalente a equação (x� y)2 = 0 que, por sua
vez, é equivalente a x = y.
Vamos agora tratar de quádricas bastante especiais.
2.1 Elipsóide
De…nição 2.2 Sejam a; b; c números reais positivos, pelo menos dois deles distintos. Chamamos
de elipsóide o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de
5
coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (5)
Façamos algumas observações sobre o elipsóide:
1) Vamos supor que P = (x; y; z) está no elipsóide. Então P1 = (x; y;�z); P2 = (x;�y;�z);
P3 = (x;�y; z); P4 = (�x; y;�z); P5 = (�x;�y;�z); P6 = (�x;�y; z); P7 = (�x; y; z)
também está. Isto signi…ca que o elipsóide é totalmente simétrico em relação ao sistema de
coordenadas.
2) Pontos sobre os eixos coordenados têm a forma (x; 0; 0); (0; y; 0); (0; 0; z). Levando estes pontos
na equação (5) vemos que a intersecção do elipsóide com os eixos coordenados ocorre nos pontos
(�a; 0; 0), (0;�b; 0) e (0; 0;�c). Estes seis pontos são chamados de vértices do elipsóide:
3) A intersecção do elipsóide com um plano � : z = k, paralelo ao plano xy, pode ser descrita pelo
seguinte sistema de equações �
x2
a2
+ y
2
b2
= 1� k2
c2
z = k
Se k2 > c2 (ou seja, jkj > c), então o sistema não possui solução. Isto sign…ca que o plano �
não intercepta o elipsóide. Se k = c (respctivamente �c), a única solução do sistema é (0; 0; c)
(respctivamente (0; 0;�c). Isto signi…ca que o plano � intercepta o elipsóide em um único
ponto. Se �c < k < c, então 1� k2
c2
= p 2 (0; 1) e a intersecção é uma elipse (ou circunferência
no caso a = b) de equação
x2
pa2
+
y2
pb2
= 1,
contida no plano z = k. Notamos que os eixos da elipse têm maior comprimento quando temos
k = 0. Isto signi…ca que a elipse obtida da intersecção do plano � com o elipsóide tem perímetro
máximo quando k = 0.
4) Chegamos a conclusões semelhantes quando estudamos a intersecção do elipsóide com um plano
paralelo ao plano yz ou xz.
6
Seguindo estas observações podemos esboçar um desenho do elipsóide.
2.2 Hiperbolóide de uma folha
De…nição 2.3 Sejam a; b; c números reais positivos. Chamamos de hiperbolóide de uma folha
o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas
ortogonal, satisfazem a seguinte equação
x2
a2
+
y2
b2
� z
2
c2
= 1 (6)
Vejamos algumas observações sobre o hiperbolóide de uma folha:
1) Assim como o elipsóide, o hiperbolóide também é simétrico em relação ao sistema de coordenadas.
7
2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (6) vemos que a intersecção
do hiperbolóide com o eixo coordenado x ocorre nos pontos (�a; 0; 0), que a intersecção do
hiperbolóide com o eixo coordenado y ocorre nos pontos (0;�b; 0) e que não há intersecção do
eixo coordenado z com o hiperbolóide.
3) Consideramos o plano � : z = k, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a intersecção de �
com o hiperbolóide e dada pelo seguinte sistema de equações:�
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 + k
2
c2
z = k
.
Seja p = 1 + k
2
c2
:Então o sistema acima é equivalente a(
x2
pa2
+ y
2
pb2
= 1
z = k
,
que são as equações de uma elípse (ou circunferência no caso a = b) contida no plano z = k.
Notamos que o perímetro da elipse é mínimo quando k = 0.
4) Consideramos o plano � : y = k, paralelo ao plano coordenado xz. Temos que a intersecção de �
com o hiperbolóide e dada pelo seguinte sistema de equações:�
x2
a2
� z2
c2
= 1� k2
b2
y = k
.
Sek2 = b2, o sistema anterior nos fornece a equação de duas retas contidas no plano y = k :
r :
�
x
a
� z
c
= 0
y = k
e s :
�
x
a
+ z
c
= 0
y = k
.
Se k2 6= b2, temos uma hipérbole contida no plano y = k, de equações�
x2
pa2
� z2
pc2
= 1
y = k
,
onde p = 1� k2
b2
.
Tratamento análogo pode ser dado na intersecção do hiperbolóide com planos paralelos ao plano
coordenado yz.
8
9
2.3 Hiperbolóide de duas folhas
De…nição 2.4 Sejam a; b; c números reais positivos. Chamamos de hiperbolóide de duas folhas
o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas
ortogonal, satisfazem a seguinte equação
�x
2
a2
+
y2
b2
� z
2
c2
= 1 (7)
Vejamos algumas observações sobre o hiperbolóide:
1) Assim como o elipsóide e o hiperbolóide, o hiperbolóide de duas folhas é também simétrico em
relação ao sistema de coordenadas.
2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (7) vemos que a intersecção
do hiperbolíde de duas folhas com o eixo coordenado y ocorre nos pontos (0;�b; 0) e que não
há intersecção do eixo coordenado x, ou do eixo coordenado z, com o hiperbolóide.
3) Consideramos o plano � : z = k, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a intersecção de �
com o hiperbolóide e dada pelo seguinte sistema de equações:�
�x2
a2
+ y
2
b2
= 1 + k
2
c2
z = k
.
Seja p = 1 + k
2
c2
. Então o sistema acima é equivalente a(
� x2
pa2
+ y
2
pb2
= 1
z = k
,
que são as equações de uma hipérbole contida no plano z = k.
Tratamento análogo pode ser dado na intersecção do hiperbolóide de duas folhas com planos
paralelos ao plano coordenado yz.
4) Consideramos o plano � : y = k, paralelo ao plano coordenado xz. Temos que a intesecção de �
com o hiperbolóide de duas folhas é dada pelo seguinte sistema de equações:�
x2
a2
+ z
2
c2
= k
2
b2
� 1
y = k
.
Se k2 = b2, então a intersecção é o ponto (0; k; 0).
Se k2 < b2, ou seja, se �b < k < b, então então há interseção.
Se k2 > b2, considerando p = k
2
b2
� 1, temos que a intesecção é uma elipse (ou circuferência no
caso de a = c) contida no plano y = k, dada pelas equações:�
x2
pa2
+ z
2
pc2
= 1
y = k
.
10
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2.4 Parabolóide elíptico
De…nição 2.5 Sejam a; b números reais positivos. Chamamos de parabolóide elíptico o conjunto
dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal,
satisfazem a seguinte equação
z =
x2
a2
+
y2
b2
(8)
Vejamos algumas observações sobre o parabolóide:
1) Vamos supor que P = (x; y; z) está no parabolóide. Então P1 = (x;�y; z); P2 = (�x; y; z) e
P3 = (�x;�y; z) também está. Isto signi…ca que o parabolóide elíptico é simétrico em relação
aos planos coordenados xz e yz. Mais ainda, se P = (x; y; z) está no parabolóide, então
z = x
2
a2
+ y
2
b2
� 0.
2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (8) vemos que a intersecção
do parabolóide com o eixos coordenados coordenado x, y e z ocorre no ponto (0; 0; 0).
3) Consideramos o plano � : z = k, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a interseção de �
com o parabolóide é dada pela seguinte equação
x2
a2
+
y2
b2
= k
Esta equação não tem solução se k < 0. Se k = 0, a solução é x = y = 0. Por outro lado, se
k > 0 , então a intersecção é uma elipse (ou uma circunferência, no caso a = b).
4) Consideramos o plano � : x = k, paralelo ao plano coordenado yz. Temos que a intersecção de �
com o parabolóide é a parábola de equação
y2 = b2z +
b2k2
a2
,
contida no plano yz.
Tratamento análogo pode ser dado na intersecção do parabolóide com planos paralelos ao
plano coordenado yz.
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2.5 Parabolóide hiperbólico
De…nição 2.6 Sejam a; b números reais positivos. Chamamos de parabolóide hiperbólico o con-
junto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal,
satisfazem a seguinte equação
z = �x
2
a2
+
y2
b2
(9)
Vejamos algumas observações sobre o parabolóide:
1) Vamos supor que P = (x; y; z) está no parabolóide. Então P1 = (x;�y; z); P2 = (�x; y; z) e
P3 = (�x;�y; z) também está. Isto signi…ca que o parabolóide hiperbólico é simétrico em
relação aos planos coordenados xz e yz.
2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (9) vemos que a intersecção do
parabolóide hiperbólico com o eixos coordenados coordenado x, y e z ocorre no ponto (0; 0; 0).
3) Consideramos o plano � : z = k, com k 6= 0, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a
intersecção de � com o parabolóide hiperbólico é a hipérbole contida no plano z = k, dada pela
seguinte equação
� x
2
ka2
+
y2
kb2
= 1.
Entretanto, vale destacar que, se k > 0, então a hipérbole tem seus vértices no eixo y. Por
outro lado, se k < 0, então a hipérbole tem seus vértices no eixo x:
4) Consideramos o plano � : y = k, paralelo ao plano coordenado xz. Temos que a intersecção de �
com o parabolóide hiperbólico é a parabola
x2 = �a2z + a
2k2
b2
,
contida no plano xz.
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5) Consideramos o plano � : x = k, paralelo ao plano coordenado yz. Temos que a intersecção de �
com o parabolóide hiperbólico é a parábola
y2 = b2z +
b2k2
a2
,
contida no plano xz.
Vejamos o esboço do parabolóide hipebólico e alguns cortes por planos coordenados.
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2.6 Cilindros quádricos
De…nição 2.7 Consideremos a cônica � de equação G(x; y) = Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 no
plano xy. O cilindro quádrico de diretriz � é o conjunto dos pontos P = (x; y; z) tais G(x; y) = 0.
Vejamos alguns exemplo:
1) cilindro de diretriz x2 = 4y
2) cilindro de diretriz x2 + y2 = 4
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3) cilindro de diretriz x2 � y2 = 4
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