Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
A formalidade nos estudos sobre superfícies é necessária na formação do estudante de matemática. Entretanto, o que pretendemos aqui é dar uma introdução ao estudo das superfícies apelando para noções intuitivas. 1 Algumas preliminares Para localizarmos um ponto P num plano � fazemos uso de um sistema de coordenadas. Um único ponto P terá diferentes coordenadas em diferentes sistemas de coordenadas. No exemplo dado pela gura abaixo temos um ponto P de coordenadas (1; 1) no sistema �1 = (O; �!e1 ;�!e2 ) e coordenadas (�1; 1 2 ) no sistema �2 = (O0;�!f1 ;�!f2). Sistemas �1 e �2 no plano. De modo análogo, a localização de um ponto P no espaço é feita servido-se de um sistema de coordenadas. Cada sistema de coordenadas dá a um ponto P suas respectivas coordenadas. No exemplo abaixo, P é a origem do sistema �2. Entretanto, suas coordenadas com relação ao sistema �1 são (1; 1; 1) Sistemas �1e �2 no espaço 1 Um sistema de coordenadas é chamado de ortogonal se os vetores da base são unitários e orto- gonais dois a dois.As retas que passam pela origem do sistema e têm os vetores da base como vetores diretores são chamadas de eixos coordenados. Fixado um sistema de coordenadas, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e as duplas de números reais. Do mesmo modo, entre os pontos do espaço e as triplas de números reais. É esta correspondência que faz a ponte entre a álgebra e a geometria. Vamos xar um sistema de coordenadas ortogonal e um círcurlo de raio 1 com centro no ponto (2; 2). Como fazer para representar algébricamente este círculo? Como um ponto P de coordenadas (x; y) está no círculo se, e somente se, a sua distância ao ponto (2; 2) é 1, então pelo teorema de Pitágoras temos 12 = (2� x)2 + (2� y)2. Logo, um ponto P de coordenadas (x; y) está no círculo se, e somente se, x2 + y2 � 4x� 4y + 7 = 0. -1 1 2 3 -1 1 2 3 x y Considere o sistema de coordenadas com origem no centro do círculo e eixos coordenadas parelelos aos eixos coordenados x e y. Qual a equação do mesmo círculo neste novo sistema? Reciprocamente, dada uma equação nas variáveis x e y podemos, escolhendo um plano e um sistema de coordenadas, fazer uma representação geométrica dessa equação. Eis alguns exemplos, dos mais clássicos, de guras geométricas planares. a) A elipse é o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação x2 a2 + y2 b2 = 1, (1) com a e b não nulos. Abaixo o esboço da elípse x 2 42 + y 2 22 = 1. 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 x y b) A hipérbole é o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação x2 a2 � y 2 b2 = 1, (2) com a e b não nulos. Abaixo o esboço da elípse x 2 42 � y2 22 = 1 e suas assíntotas y = �2 4 x. -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -4 -2 2 4 x y c) A parábola é o conjunto dos pontos P = (x; y) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação x2 = ay, (3) 3 com a não nulo. Abaixo o esboço da parábola x2 = 4y. -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 x y No ambiante espacial o que se busca é estabelecer representações geométricas para equações de três variáveis (comumente chamadas de x; y; z). 2 Quádricas Como não vamos estudar as superfícies com a formalidade que elas merecem, consideraremos que superfícies são pedaços de planos (ou mesmo planos inteiros) distorcidos no espaço. Nosso objetivo é tratar de alguns exemplos de superfícies. Começamos com a seguinte de nição. De nição 2.1 Sejam A;B;C;D;E; F;G;H; I; J números reais. Chamamos de quádrica o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação do segundo grau Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0 (4) Vejamos alguns exemplos. a) O conjunto vazio: x2 + y2 + z2 + 1 = 0; b) Uma reta: x2 + 2y2 + z2 � 2xy � 2yz = 0. Esta equação é equivalente a equação (x � y)2 + (y � z)2 = 0 que, por sua vez, é equivalente a x = y = z. 4 c) um plano: x2� 2xy+ y2 = 0. Esta equação é equivalente a equação (x� y)2 = 0 que, por sua vez, é equivalente a x = y. Vamos agora tratar de quádricas bastante especiais. 2.1 Elipsóide De nição 2.2 Sejam a; b; c números reais positivos, pelo menos dois deles distintos. Chamamos de elipsóide o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de 5 coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (5) Façamos algumas observações sobre o elipsóide: 1) Vamos supor que P = (x; y; z) está no elipsóide. Então P1 = (x; y;�z); P2 = (x;�y;�z); P3 = (x;�y; z); P4 = (�x; y;�z); P5 = (�x;�y;�z); P6 = (�x;�y; z); P7 = (�x; y; z) também está. Isto signi ca que o elipsóide é totalmente simétrico em relação ao sistema de coordenadas. 2) Pontos sobre os eixos coordenados têm a forma (x; 0; 0); (0; y; 0); (0; 0; z). Levando estes pontos na equação (5) vemos que a intersecção do elipsóide com os eixos coordenados ocorre nos pontos (�a; 0; 0), (0;�b; 0) e (0; 0;�c). Estes seis pontos são chamados de vértices do elipsóide: 3) A intersecção do elipsóide com um plano � : z = k, paralelo ao plano xy, pode ser descrita pelo seguinte sistema de equações � x2 a2 + y 2 b2 = 1� k2 c2 z = k Se k2 > c2 (ou seja, jkj > c), então o sistema não possui solução. Isto sign ca que o plano � não intercepta o elipsóide. Se k = c (respctivamente �c), a única solução do sistema é (0; 0; c) (respctivamente (0; 0;�c). Isto signi ca que o plano � intercepta o elipsóide em um único ponto. Se �c < k < c, então 1� k2 c2 = p 2 (0; 1) e a intersecção é uma elipse (ou circunferência no caso a = b) de equação x2 pa2 + y2 pb2 = 1, contida no plano z = k. Notamos que os eixos da elipse têm maior comprimento quando temos k = 0. Isto signi ca que a elipse obtida da intersecção do plano � com o elipsóide tem perímetro máximo quando k = 0. 4) Chegamos a conclusões semelhantes quando estudamos a intersecção do elipsóide com um plano paralelo ao plano yz ou xz. 6 Seguindo estas observações podemos esboçar um desenho do elipsóide. 2.2 Hiperbolóide de uma folha De nição 2.3 Sejam a; b; c números reais positivos. Chamamos de hiperbolóide de uma folha o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação x2 a2 + y2 b2 � z 2 c2 = 1 (6) Vejamos algumas observações sobre o hiperbolóide de uma folha: 1) Assim como o elipsóide, o hiperbolóide também é simétrico em relação ao sistema de coordenadas. 7 2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (6) vemos que a intersecção do hiperbolóide com o eixo coordenado x ocorre nos pontos (�a; 0; 0), que a intersecção do hiperbolóide com o eixo coordenado y ocorre nos pontos (0;�b; 0) e que não há intersecção do eixo coordenado z com o hiperbolóide. 3) Consideramos o plano � : z = k, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a intersecção de � com o hiperbolóide e dada pelo seguinte sistema de equações:� x2 a2 + y 2 b2 = 1 + k 2 c2 z = k . Seja p = 1 + k 2 c2 :Então o sistema acima é equivalente a( x2 pa2 + y 2 pb2 = 1 z = k , que são as equações de uma elípse (ou circunferência no caso a = b) contida no plano z = k. Notamos que o perímetro da elipse é mínimo quando k = 0. 4) Consideramos o plano � : y = k, paralelo ao plano coordenado xz. Temos que a intersecção de � com o hiperbolóide e dada pelo seguinte sistema de equações:� x2 a2 � z2 c2 = 1� k2 b2 y = k . Sek2 = b2, o sistema anterior nos fornece a equação de duas retas contidas no plano y = k : r : � x a � z c = 0 y = k e s : � x a + z c = 0 y = k . Se k2 6= b2, temos uma hipérbole contida no plano y = k, de equações� x2 pa2 � z2 pc2 = 1 y = k , onde p = 1� k2 b2 . Tratamento análogo pode ser dado na intersecção do hiperbolóide com planos paralelos ao plano coordenado yz. 8 9 2.3 Hiperbolóide de duas folhas De nição 2.4 Sejam a; b; c números reais positivos. Chamamos de hiperbolóide de duas folhas o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação �x 2 a2 + y2 b2 � z 2 c2 = 1 (7) Vejamos algumas observações sobre o hiperbolóide: 1) Assim como o elipsóide e o hiperbolóide, o hiperbolóide de duas folhas é também simétrico em relação ao sistema de coordenadas. 2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (7) vemos que a intersecção do hiperbolíde de duas folhas com o eixo coordenado y ocorre nos pontos (0;�b; 0) e que não há intersecção do eixo coordenado x, ou do eixo coordenado z, com o hiperbolóide. 3) Consideramos o plano � : z = k, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a intersecção de � com o hiperbolóide e dada pelo seguinte sistema de equações:� �x2 a2 + y 2 b2 = 1 + k 2 c2 z = k . Seja p = 1 + k 2 c2 . Então o sistema acima é equivalente a( � x2 pa2 + y 2 pb2 = 1 z = k , que são as equações de uma hipérbole contida no plano z = k. Tratamento análogo pode ser dado na intersecção do hiperbolóide de duas folhas com planos paralelos ao plano coordenado yz. 4) Consideramos o plano � : y = k, paralelo ao plano coordenado xz. Temos que a intesecção de � com o hiperbolóide de duas folhas é dada pelo seguinte sistema de equações:� x2 a2 + z 2 c2 = k 2 b2 � 1 y = k . Se k2 = b2, então a intersecção é o ponto (0; k; 0). Se k2 < b2, ou seja, se �b < k < b, então então há interseção. Se k2 > b2, considerando p = k 2 b2 � 1, temos que a intesecção é uma elipse (ou circuferência no caso de a = c) contida no plano y = k, dada pelas equações:� x2 pa2 + z 2 pc2 = 1 y = k . 10 11 2.4 Parabolóide elíptico De nição 2.5 Sejam a; b números reais positivos. Chamamos de parabolóide elíptico o conjunto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação z = x2 a2 + y2 b2 (8) Vejamos algumas observações sobre o parabolóide: 1) Vamos supor que P = (x; y; z) está no parabolóide. Então P1 = (x;�y; z); P2 = (�x; y; z) e P3 = (�x;�y; z) também está. Isto signi ca que o parabolóide elíptico é simétrico em relação aos planos coordenados xz e yz. Mais ainda, se P = (x; y; z) está no parabolóide, então z = x 2 a2 + y 2 b2 � 0. 2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (8) vemos que a intersecção do parabolóide com o eixos coordenados coordenado x, y e z ocorre no ponto (0; 0; 0). 3) Consideramos o plano � : z = k, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a interseção de � com o parabolóide é dada pela seguinte equação x2 a2 + y2 b2 = k Esta equação não tem solução se k < 0. Se k = 0, a solução é x = y = 0. Por outro lado, se k > 0 , então a intersecção é uma elipse (ou uma circunferência, no caso a = b). 4) Consideramos o plano � : x = k, paralelo ao plano coordenado yz. Temos que a intersecção de � com o parabolóide é a parábola de equação y2 = b2z + b2k2 a2 , contida no plano yz. Tratamento análogo pode ser dado na intersecção do parabolóide com planos paralelos ao plano coordenado yz. 12 13 2.5 Parabolóide hiperbólico De nição 2.6 Sejam a; b números reais positivos. Chamamos de parabolóide hiperbólico o con- junto dos pontos P = (x; y; z) cujas coordenadas, em relação a um sistema de coordenadas ortogonal, satisfazem a seguinte equação z = �x 2 a2 + y2 b2 (9) Vejamos algumas observações sobre o parabolóide: 1) Vamos supor que P = (x; y; z) está no parabolóide. Então P1 = (x;�y; z); P2 = (�x; y; z) e P3 = (�x;�y; z) também está. Isto signi ca que o parabolóide hiperbólico é simétrico em relação aos planos coordenados xz e yz. 2) Se levamos pontos da forma (x; 0; 0), (0; y; 0) e (0; 0; z) na equação (9) vemos que a intersecção do parabolóide hiperbólico com o eixos coordenados coordenado x, y e z ocorre no ponto (0; 0; 0). 3) Consideramos o plano � : z = k, com k 6= 0, paralelo ao plano coordenado xy. Temos que a intersecção de � com o parabolóide hiperbólico é a hipérbole contida no plano z = k, dada pela seguinte equação � x 2 ka2 + y2 kb2 = 1. Entretanto, vale destacar que, se k > 0, então a hipérbole tem seus vértices no eixo y. Por outro lado, se k < 0, então a hipérbole tem seus vértices no eixo x: 4) Consideramos o plano � : y = k, paralelo ao plano coordenado xz. Temos que a intersecção de � com o parabolóide hiperbólico é a parabola x2 = �a2z + a 2k2 b2 , contida no plano xz. 14 5) Consideramos o plano � : x = k, paralelo ao plano coordenado yz. Temos que a intersecção de � com o parabolóide hiperbólico é a parábola y2 = b2z + b2k2 a2 , contida no plano xz. Vejamos o esboço do parabolóide hipebólico e alguns cortes por planos coordenados. 15 16 2.6 Cilindros quádricos De nição 2.7 Consideremos a cônica � de equação G(x; y) = Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0 no plano xy. O cilindro quádrico de diretriz � é o conjunto dos pontos P = (x; y; z) tais G(x; y) = 0. Vejamos alguns exemplo: 1) cilindro de diretriz x2 = 4y 2) cilindro de diretriz x2 + y2 = 4 17 3) cilindro de diretriz x2 � y2 = 4 18
Compartilhar