ESTATISTICA 9

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Variáveis Aleatórias 
Discretas
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Variáveis Aleatórias
Definição: Considere um experimento cujo espaço amostral 
é Ω. Variável aleatória é uma função que associa um valor 
real a cada elemento do espaço amostral.
Representam-se as variáveis aleatórias por letras maiúscu-
las e suas ocorrências por letras minúsculas.
 
X :Ω→ℝ
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Considere o experimento “lançar três moedas”. 
Seja X: número de ocorrências da face cara. 
O espaço amostral do experimento é: 
Ω = {((c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (c,r,r), (r,c,c), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)}
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3.
X Evento Correspondente Probabilidades
0 A1 = {(r,r,r)} 1/8
1 A2 = {(c,r,r), (r,c,r), (r,r,c)} 3/8
2 A3 = {(c,c,r), (c,r,c), (r,c,c)} 3/8
3 A4 = {(c,c,c)} 1/8
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Variável aleatória discreta
Definição: Seja X uma variável aleatória (v.a.). Se o núme-
ro de valores possíveis de X (isto é, seu contradomínio), 
for finito ou infinito enumerável, denominamos X de variá-
vel aleatória discreta.
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto, 
o contradomínio de X será formado por um número finito 
ou enumerável de valores A cada possível resul-
tado , associaremos um número 
denominado probabilidade de 
x i
x1,x2, .. .
p(x i)=P(X=x i) , i=1, 2,3, ... ,
x i .
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Função de probabilidade
Os números devem satisfazer às seguintes condições:
a)
b)
A função p definida acima é denominada função de proba-
bilidade da variável aleatória X. A coleção de pares
é denominada distribuição de probabilidade. 
p(x i)≥0,
∑
i=1
∞
p (xi)=1
[x i , p(x i)] , i=1, 2,.. .
p(x i)
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Considere o experimento “lançar dois dados”. 
Seja a v.a. X: soma das faces. 
Determinar a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória X:
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(X)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Esperança
Suponha que uma variável aleatória X possua uma 
distribuição discreta cuja função é A esperança 
de X, denotada por , é um número definido por: 
μ=E(X)=∑
i=1
n
xi . p(x i)
p(x) .
E(X)
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro 
valores: -2, 0, 1 e 4. E que:
P(X = -2) = 0,1; 
P(X = 0) = 0,4; 
P(X = 1) = 0,3; 
P(X = 4) = 0,2.
Então:
E(X) = ?
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro 
valores: -2, 0, 1 e 4. E que:
P(X = -2) = 0,1; 
P(X = 0) = 0,4; 
P(X = 1) = 0,3; 
P(X = 4) = 0,2.
Então:
E(X) = -2.(0,1) + 0.(0,4) + 1.(0,3) + 4.(0,2)
E(X) = -0,2 + 0 + 0,3 + 0,8 = 0,9
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Considere o experimento “lançar três moedas”. 
Seja X: número de ocorrências da face cara. 
O espaço amostral do experimento é: 
Ω = {((c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (c,r,r), (r,c,c), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)}
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3.
X Evento Correspondente Probabilidades Esperança
0 A1 = {(r,r,r)} 1/8
1 A2 = {(c,r,r), (r,c,r), (r,r,c)} 3/8
2 A3 = {(c,c,r), (c,r,c), (r,c,c)} 3/8
3 A4 = {(c,c,c)} 1/8
1
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Considere o experimento “lançar três moedas”. 
Seja X: número de ocorrências da face cara. 
Ω = {((c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (c,r,r), (r,c,c), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)}
O número médio de caras no lançamento de 3 moedas é 
1,5 caras, pois:
X Evento Correspondente Probabilidades Esperança
0 A1 = {(r,r,r)} 1/8 0
1 A2 = {(c,r,r), (r,c,r), (r,r,c)} 3/8 3/8
2 A3 = {(c,c,r), (c,r,c), (r,c,c)} 3/8 6/8
3 A4 = {(c,c,c)} 1/8 3/8
1 12/8 = 1,5
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Propriedades da Esperança
P1- Se é uma constante qualquer
P2- Se é uma constante qualquer 
P3- Se são variáveis aleatórias tais que 
 existe , então 
P4- Se são variáveis aleatórias indepen-
dentes tais que existe , então
 
E(a)=a .
E(X i)
E(aX )=a .E (x) .
E(∏
i=1
n
X i)=∏
i=1
n
E(X i)
n
i=1, 2,... , n
E(X1+X2+...+X n)=E (X1)+E (X2)+...+E(Xn) .
X1, X2, ..., Xn
a
a
X1, X2, ..., Xn n
E(X i) i=1,2,... , n
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Variância
Definição: Suponha que X é uma v.a. com média 
A variância de , representada por é definida 
por: 
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição dis-
creta, cuja função é . Então
V (X )=E [(x−μ)2]
μ=E(X) .
V (X )x
V (X )=E (X2)−[E(X)2]
p(x)
V (X )=∑
x
( x−μ)2 . p(x )=∑
x
x2 . p (x)−μ2
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Variância
Observe que: 
V (X )=E [(x−μ)2]=∑
i=1
n
[ x i−E(X )]
2 . p(x i)
V (X )=E (X2)−[E(X)2]
V (X )=∑
i=1
n
[x i
2−2. x i . E(X )+[E(X )]
2]. p(x i)
V (X )=∑
i=1
n
[x i
2−2. x i . E(X )+[E(X )]
2]. p(x i)
V (X )=∑
i=1
n
x i
2. p(x i)−2 .E (X )∑
i=1
n
x i . p(x i)+[E(X)]
2. p (xi)
V (X )=E (X2)−2 E(X ). E(X )+[E(X )]2
V (X )=E (X2)−2[E(X )]2+[E (X )]2
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro 
valores: -2, 0, 1 e 4. E que:
P(X = -2) = 0,1; P(X = 0) = 0,4; 
P(X = 1) = 0,3; P(X = 4) = 0,2.
Como visto anteriormente, . Então:E(X)=0,9
V (X )=∑
x
( x−μ)2 . p(x )
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro 
valores: -2, 0, 1 e 4. E que:
P(X = -2) = 0,1; P(X = 0) = 0,4; 
P(X = 1) = 0,3; P(X = 4) = 0,2.
Como visto anteriormente, . Então:E(X)=0,9
V (X )=(−2−0,9)2 .(0,1)+(0−0,9)2.(0,4)+(1−09)2.(0,3)+(4−09)2 .(0,2)
V (X )=∑
x
( x−μ)2 . p(x )
V (X )=3,09
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Propriedades da Variância
P1- Se é uma constante qualquer
P2- Se é uma constante qualquer 
P3- Se são constantes, então
P4- 
Definição: Covariância entre X e Y
A covariância mede o grau de dependência entre as duas 
variáveis X e Y.
 
V (c)=0.
V (cX )=c2 .V (x ).
V (aX+b)=a2V (X ).a ,b
c
c
V (X±Y )=V (X )±V (Y )±2cov(X ,Y ) .
cov (X ,Y )=E [X−E(X)] .[Y−E(Y )]
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2 e 4 salários 
mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras com 
reposição de 2 indivíduos e mede-se o salário médio da 
amostra retirada. Qual a média e desvio padrão do salá-
rio médio amostral?
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2 e 4 salários 
mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras com 
reposição de 2 indivíduos e mede-se o salário médio da 
amostra retirada. Qual a média e desvio padrão do salá-
rio médio amostral?
Amostras Salário médio
C,A
C,B
C,C
C,D
D,A
D,B
D,C
D,D
Amostras Salário médio
A,A
A,B
A,C
A,D
B,A
B,B
B,C
B,D
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2 e 4 salários 
mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras com 
reposição de 2 indivíduos e mede-se o salário médio da 
amostra retirada. Qual a média e desvio padrão do salá-
rio médio amostral?
Amostras Salário médio
C,A 1,5
C,B 2,0
C,C 2,0
C,D 3,0
D,A 2,5
D,B 3,0
D,C 3,0
D,D 4,0
Amostras Salário médio
A,A 1,0
A,B 1,5
A,C 1,5
A,D 2,5
B,A 1,5
B,B 2,0
B,C 2,0
B,D 3,0
 
Variáveis Aleatórias Discretas
● Exemplo
Seja X: salário médio amostral. Qual a médiae desvio 
padrão do salário médio amostral?
Logo: E(X)=9/4=2,25, média do salário médio amostral.
X.P(X)
1/16 1/16
6/16 9/16
8/16 16/16
5/16 12,5/16
12/16 36/16
4/16 16/16
μ=9/4
X P(X)
1,0 1/16
1,5 4/16
2,0 4/16
2,5 2/16
3,0 4/16
4,0 1/16
1
X2 .P (X )
E(X2)=90,5/16
VAR(X )=90,5
16
−( 9
4
)
2
=0,59375 s=0,77.
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