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GEOMETRIA ANALÍTICA - LISTA 4 - 16/05/2011
Está …xado um sistema de coordenadas (ortogonal e positivo para os exercícios de 1 a 7 e 23).
1) Em cada caso, calcule o produto misto dos vetores, o volume VP do paralelepípedo determinado pelos vetores e o
volume VT do tetraedro determinado pelos mesmos.
a)
��!
AB = (1; 0; 1),
��!
BE = (1; 1; 1) e
��!
AD = (0; 3; 3);
b) �!u = (�1;�3; 1), �!v = (1; 0; 1) e �!w = (2; 1; 1) ;
c)
��!
AB = (1; 1; 0),
�!
AC = (0; 1; 1) e
��!
AD = (�4; 0; 0)
2) Ache [�!u ;�!v ;�!w ], sabendo que a medida em radianos do ângulo entre os vetores �!u e �!v é �6 , �!w é ortogonal a �!u e
a �!v , k�!u k = 1, k�!v k = 1, k�!w k = 4 e (�!u ;�!v ;�!w ) é uma base positiva. Lembre que [�!u ;�!v ;�!w ] denota o produto
misto de �!u ;�!v e �!w .
3) Dados P = (1; 3;�3), Q = (0;�1; 4) e �!v = (�1; 4; 0) determine as coordenadas de ��!PQ, P +�!v e Q+ 2��!PQ.
4) Ache as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremidades P = (�1; 4; 7) e Q = (0; 1; 1).
5) Ache as coordenadas do ponto P1, simétrico do ponto P = (1; 0; 3) com relação ao ponto M = (1; 2;�1).
6) Mostre que os pontos A = (1; 0; 1), B = (�1; 0; 2) e C = (1; 1; 1) são vértices de um triângulo retângulo. Este
triângulo é isósceles? equilátero?
7) Mostre que os pontos E = (3; 0;�1), F = (0; 3; 0), G = (5; 1;�2) e H = (�4; 1; 2) são vértices de um trapézio.
8) Como se reconhece, através de suas coordenadas, um ponto sobre o eixo dos x (respectivamente sobre o eixo dos
y e dos z)? E como se reconhece, através de suas coordenadas, um ponto no plano xy (resp. xz e yz)?
9) Na …gura abaixo, ABCDEFGH é um paralelepípedo retângulo. Sejam �!e1 = ��!AB, �!e2 = �!AC e �!e3 = �!AF . Determine
as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H em relação aos sistemas:
a) (G;�!e1 ;�!e2 ;�!e3);
b) (G;��!e3 ; 12�!e1 ; 2�!e2);
c) (A;�!e2 ;�!e3 ;�!e1).
1
10) Ache equações vetoriais, paramétricas e simétricas (quando for possível) da reta r que:
a) Passa pelos pontos A = (1; 0; 1) e B = (0; 1; 0); O ponto C = (2; 0; 2) está na reta r?
b) Passa pelo ponto médio M do segmento AB e é paralela ao vetor �!v , onde �!v = (
p
3
49 ;
3
p
3
98 ;
�p3
7 ), A = (1; 1; 3) e
B = (3; 1; 0). O ponto C = (4; 4;� 252 ) está na reta r?
c) Passa pelo ponto A = (3; 3; 3) e é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1; 1; 0) e C = (�1; 0;�1).
11) Dê dois vetores diretores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial
r : X = (1; 2; ) + �(1; 1; 1); � 2 R:
12) Na …gura do exercício 9 faça um esboço da reta que passa pelo ponto G e tem �!e2 como vetor diretor.
13) São dadas as equações
2x� 1
3
=
1� y
2
= z + 1
a) Mostre que elas representam uma reta r.
b) Elas são equações na forma simétrica de r? Caso não sejam, passe-as para a forma simétrica.
c) Exiba um ponto e um vetor diretor de r.
14) Obtenha equações paramétricas para os três eixos coordenados.
15) Dados os pontos A = (1; 2; 5) e B = (0; 1; 0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento
de PB seja o tripo do comprimento de PA:
16) Dados A = (1; 1; 1); r : X = (1; 1; 4) + �(1;�1; 0); � 2 R; ache os pontos de r que distam p11 de A. Faça um
esboço do ponto A da reta r e das soluções.
17) Dada a reta r : X = (1; 0; 0) + �(1; 1; 1); � 2 R e os pontos A = (1; 1; 1; ) e B = (0; 0; 1), ache o ponto de r
equidistante de A e B:
18) Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
X = (0; 0; 0) + �(1; 2; 4); � 2 R
X = (1; 0;�2) + �(�1;�1;�1); � 2 R
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
19) Ache equações vetoriais e paramétricas do plano � que:
a) Passa pelo ponto A = (�3;�7; 1) e é paralelo aos vetores �!u = (1; 1; 1) e �!v = (�1; 1; 0).
b) Passa pelos pontos A = (0; 1; 0), B = (1; 0; 1) e C = (0; 0; 1).
c) Passa pelos pontos A = (1; 0; 1) e B = (0; 1;�1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1; 2; 1) e D = (0; 1; 0).
d) Passa pelos pontos A = (1; 0; 1), B = (2; 1;�1) e C = (1;�1; 0).
20) Veri…que se �1 = �2, onde �1 : X = (1; 1; 1) + �(2; 3;�1) + �(0; 1; 0), �; � 2 R e �2 : X = (1; 6; 2) + �(�1; 1; 1) +
�(2; 3;�1), �; � 2 R.
21) Decomponha o vetor �!v = (1; 2; 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X = (1; 1; 0)+�(1; 0; 1)+
�(0; 1;�1), �; � 2 R e outra paralela à reta X = (0; 0; 0) + 
(2; 1; 0), 
 2 R.
22) Em cada caso, ache uma equação geral do plano � que
a) passa pelo ponto A = (9;�1; 0) e é paralelo aos vetores �!u = (0; 1; 0) e �!v = (1; 1; 1);
b) passa pelos pontos A = (1; 0; 1), B = (�1; 0; 1) e C = (2; 1; 2);
2
c) tem equações paraméticas 8<: x = �1 + 2�� 3�y = 1 + �+ �
z = �
�; � 2 R
d) Passa por A = (1; 0; 1) e B = (0; 1;�1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1; 2; 1) e D = (0; 1; 0);
e) passa pelos pontos A = (1; 0; 1), B = (2; 1;�1) e C = (1;�1; 0);
f) tem equações paramétricas 8<: x = 1 + �y = 2
z = 3� �+ �
�; � 2 R
23) Um avião efetua um movimento descrito pela equação X = (1; 2; 0)+�(1; 1;�3) e é monitorado por dois radares,
um deles localizado no ponto A = (0; 1; 8) e outro localizado no ponto B = (�3; 0; 9). Quando o avião e os
radares formam vértices de um triângulo retângulo, o avião desaparece do radar que se encontra mais longe dele,
por alguns segundos. Determine quantas vezes o avião desaparece de cada radar e em que pontos atingidos pelo
avião isso ocorre.
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