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GEOMETRIA ANALÍTICA - LISTA 7 - 01/08/2011
1) Escreva as equações de mudança de coordenadas do sistema �1 = (O;�!e1 ;�!e2 ;�!e3) para o sistema �2 = (O�;�!f1;�!f2;�!f3), onde
O�= (1; 2;�1)�1 ,
�!
f1 =
�!e1 ; �!f2 = �!e3 ; �!f3 = �!e1 + 2�!e2 ��!e3 .
2) Sejam �1 e �2 como no exercício 1), ˜de as coordenadas do ponto P = (2; 1;�3)�1 no sistema �2 e as coordenadas do
ponto Q = (0; 1;�1)�2 no sistema �1.
3) Sejam �1 e �2 como no exercício 1), obtenha equações no sistema �2:
a) do plano � : [x� 3y + 2z � 2 = 0]�1 .
b) da reta r : [X = (1; 1; 2) + �(3; 1;�2)]�1 .
4) Considere os sistemas de coordenadas �1 = (O;�!e1 ;�!e2 ;�!e3) e �2 = (O�;�!f1;�!f2;�!f3), onde O�= (1; 1; 1)�1 ,
�!
f1 =
�!e1 + �!e2 ;�!
f2 =
�!e2 ; �!f3 = �!e2+�!e3 . Obtenha uma equação paramétrica, no sistema �2, para a reta r : [X = (�1; 0; 1)+�(1; 0; 1)]�1 :
Daqui para frente estamos considerando o conjunto E2 (plano).
5) Escreva as equações da rotação para os seguintes valores de � : � = � rad e � = ��4 rad.
6) Sejam, em relação a um sistema de coordenadas �1 = (O;�!e1 ;�!e2) em E2, P = (1; 2), r : x � 2y � 1 = 0. Obtenha as
coordenadas de P e uma equação de r no sistema �2 = (O�;
�!
f1;
�!
f2), obtido por uma rotação de �6 radianos.
7) Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : 2x� y + 3 = 0 …que paralela ao novo eixo das ordenadas.
8) Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : �3x + 2y + 1 = 0 …que paralela ao novo eixo das abscissas e esteja
contida no terceiro e quarto (novos) quadrantes.
9) Fazendo mudanças de coordenadas convenientes em E2, transforme (sempre que possível) a equação G(x; y) numa equação
da forma L(t; w) = A�t2 + C�w2 + F�= 0, nos seguintes casos:
a) G(x; y) = 9x2 � 4y2 � 18x� 16y � 7 = 0;
b) G(x; y) = 4x2 � 24xy + 11y2 + 56x� 58y + 95 = 0;
c) G(x; y) = 16x2 � 24xy + 9y2 � 85x� 30y + 175 = 0;
d) G(x; y) = 8x2 � 2xy + 8y2 � 46x� 10y + 11 = 0;
e) G(x; y) = 4x2 + y2 + 8x� 10y + 13 = 0;
f) G(x; y) = x2 � 6x� 5y + 14 = 0;
g) G(x; y) = 12x2 + 8xy � 3y2 + 64x+ 30y = 0;
h) G(x; y) = 4x2 � 4xy + y2 � 8p5x� 16p5y = 0;
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