119790 T Fourier texto 2 11

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TRANSFORMADA
DEFOURIER
Noçõeseaplicações
Profa.MariaSuzanaBalpardadeCarvalho
DFM,CEFET-MG,
2011
SUMÁRIO
 INTRODUÇÃO...................................................................................................... 2
I. PRELIMINARES–SÉRIEDEFOURIERCOMPLEXA................................ 3
II. TRANSFORMADADEFOURIER
 II.1 ADefiniçãodaTransformada.................................................................... 4
 II.2 JustificativadaDefinição.............................................................................4
 II.3 CondiçõesdeConvergência......................................................................... 5
 II.4 PropriedadesbásicasdatransformadadeFourier................................... 6
 II.5 Formasalternativas......................................................................................7
 II.6 Transformadainversa................................................................................. 8
III.EXEMPLOSETABELADETRANSFORMADASDEFOURIER
 III.1 Exemplos...................................................................................................... 9
 III.2 Exercíciospropostos.................................................................................. 12
 III.3 Tabela.......................................................................................................... 13
IV. TRANSFORMADADEFOURIERPARAFUNÇÕESPERIÓDICAS
 IV.1 Funçõesperiódicas.................................................................................... 14
 IV.2 Exercíciospropostos................................................................................ 14
V. TRANSFORMADADISCRETADEFOURIER
 V.1 Funçãodiscretadefinidaeminfinitospontos........................................ 15
 V.2 Casodiscretocomnúmerofinitodepontos........................................... 15
 V.3 TransformadarápidadeFourier............................................................ 15
 V.4 Exercíciospropostos................................................................................. 16
VI. CONVOLUÇÃO
 VI.1 Definição...................................................................................................... 17
 VI.2 Propriedadesdaconvolução..................................................................... 17
 VI.3 OutraspropriedadesdatransformadadeFourier................................ 18
VII.APLICAÇÕES
 VII.1 AnálisedeFourier...................................................................................... 19
 VII.2 FiltrosdeFourier....................................................................................... 19
 VII.3 Processamentodesinais–Modulação..................................................... 19
 VII.4 Resoluçãodeequaçõesdiferenciaisordinárias...................................... 20
 VII.5 Exercíciospropostos................................................................................. 21
 VII.6 Resoluçãodeequaçõesdiferenciaisparciais.......................................... 21
 VII.7 EstudodeCorrelação................................................................................ 22
VIII.BIBLIOGRAFIA................................................................................................. 23
TransformadadeFourier–M.S.Balparda2
INTRODUÇÃO
Este presente texto foi construído com o objetivo de introduzir alunos de cursos de
Engenharia do CEFET-MG sobre o tema das Transformadas de Fourier dentro de
disciplinasdecálculodiferencialeintegral.
Comootempodisponívelparaotema,dentrodosplanosdeensinodainstituição,éexíguo
optamos por fazer uma apresentação ampla, porém bastante sucinta. Acreditamos que os
capítulosIaIVsãobásicoseessenciais,podendoserdesenvolvidosemalgumashoras-aula.
EntreoscapítulosVaVI,oprofessorpoderáescolher temascomplementares.Ocapítulo
VIII dá apenas uma idéia da vasta gama de possíveis aplicações. Algumas são apenas
indicadassemdetalhes,outrassãomaisdesenvolvidascomexemplos.
Buscamos,quandopossível,darexemplosesugerirexercícios.
Resta aos alunos procuraroutros textos que desenvolvamasaplicações aqui indicadasou
outrasmaisespecíficasaosseusinteresses.
Profa.Dra.MariaSuzanaBalpardadeCarvalho
ProfessoraassociadadoDepartamentodeFísicaeMatemática–DFM
CEFET-MG
outubro-2011
TransformadadeFourier–M.S.Balparda3
I.PRELIMINARES–SÉRIEDEFOURIERCOMPLEXA
SomandoousubtraindoasconhecidasfórmulasdeEuler:




=−
=+
− θ
θ
θθ
θθ
j
j
ej
ej
sencos
sencos
 (1)
obtemosasexpressões
2
cos
θ−θ +
=θ
jj ee
e
j
ee jj
2
sen
θ−θ
−
=θ (2)
Assim,qualquersenóide )sen()cos( ktbkta + podeserreescrita,emformacomplexa,como
tkjtkjtkjtkjtkjtkj ebjaebjaj
eebeea −
−− +
+
−
=
−
+
+
2222
,ouseja,
 
tkjtkj eCeCktbkta −+=+ )sen()cos(
 (3)
comconstantecomplexa 2
bjaC −=
eC =conjugadocomplexodeC.
ArepresentaçãoemsériedeFourier,real,paraumafunçãof(t),deperíodoT=2L,dadapor
[ ]∑
∞
=
ω+ω+=
1
)sen()cos(
2
)(
n
nn
o tnbtnaatf
,
onde L
pi
=ω
eanebnsãooscoeficientesdeFourier,podeserreescrita,usando(3),naforma
[ ]∑∞
=
ω−ω ++=
12
)(
n
tjn
n
tjn
n
o eCeCatf
, ou ∑
∞
−∞=
ω
=
n
tjn
n eCtf )(
 (4)
queéexpressãoconhecidacomoformacomplexadasériedeFourier.Observamosque,naúltima
expressão,asomaéfeitatambémemnúmerosinteirosnnegativos.
OscoeficientescomplexosdeFouriersãodadospor
 nn
nn
n CCen
bjaC =≥




 −
=
−
;0se
2 . (5)
Paran≥0,eusandofórmulasdeFourierparaoscoeficientesanebn,temosque
∫∫∫
−
ω−
−−
=ω−ω=
L
L
xnjL
L
L
Ln
dxexf
L
dxxnxf
L
jdxxnxf
L
C )(
2
1)sen()(
2
1)cos()(
2
1
 (6)
Reciprocamente, se calculamos os coeficientes de Fourier Cn na forma complexa dada em (6),
obtemososcoeficientesreaisdeFourier,para 0≥n ,como:
)Imag(.2;)Real(.2 nnnn CbCa −== .
TransformadadeFourier–M.S.Balparda4
II.TRANSFORMADADEFOURIER
II.1ADefiniçãodaTransformada
Supondo que f(t) é função real definida para ),( +∞−∞∈t , define-se a sua transformada de
FouriercomosendoafunçãoF(ω)dadapor
 ∫
∞
∞−
ω−
=ω dtetfF tj)()(
=FFFF ( ))(tf (7)
A “função”, ou funcional, que associa à função f(t) sua transformada F(ω) , é conhecida como
operadorintegraldeFouriere,noquesesegue,serádenotadopelosímboloFFFF. Istoé,FFFF(f)=F.
Comoωtdeveserumnúmerorealadimensional,nasaplicaçõesécomumocorrerqueseinterprete
tcomotempoeωcomofrequênciaangular,ouseja,2ωpi=frequêncianotempo,ouainda,setfor
distância,ωseránúmerodeonda.AfunçãoF(ω)temωcomovariável.
II.2JustificativadaDefinição
VamostentarjustificarapassagemdasériedeFourierparaatransformadadeFourier.
SabemosqueasériedeFourierexigequeconsideremosfunçõesperiódicasdeperíodoT=2L,para
entãopodermoscalcularseuscoeficientes.
Usandoaexpressão(5)paraasériedeFouriereovalordeCndadoem(6),eusandoasnotações
dadaspor L
pi
=ω
e ω=ω .nn ,escrevemos
 ∫ ∑∑ ∫
−
ω−
∞
−∞=
ω
∞
−∞=
ω
−
ω−








ω
pi
=





pi
ω
=
L
L
xj
n
tj
n
tjL
L
xj dxeexfedxexftf nnnn )(
2
1)(
2
)(
FazemosT→∞,oqueimplicaemL→∞eω→0.
Comosupomosentãoqueωébastantepequeno,iremossubstituirωpor∆ω,obtendo
( ) ( )












ω∆
pi
=
















ω∆
pi
= ∫ ∑∫ ∑
−
−
∞
−∞=
−ω
→ω∆∞→−
∞
−∞=
−ω−
→ω∆
∞→
L
L
n
txj
L
L
L
n
txj
L
eexfdxexftf nn )(
0
)(
0
lim)(lim
2
1)(
2
1lim)(
Olimitemaisinterno,naexpressãoacima,podeserentendidocomoaintegral ∫
+∞
∞−
−ω− ωde txj )(
,eo
limitemaisexterno(emL→∞),comooutraintegralimprópria,oquenospermiteescrever:
∫ ∫∫ ∫
∞
∞−
∞+
∞−
ωω−∞
∞−
∞+
∞−
−ω−




 ω
pi
=




 ω
pi
= dxdeexfdxdexftf tjxjtxj .)(
2
1)(
2
1)( )(
Trocandoaordemdeintegração,obtemosaseguinteidentidadeparaf:
TransformadadeFourier–M.S.Balparda5
 ∫ ∫
∞
∞−
ω∞+
∞−
ω− ω





pi
= dedxexftf tjxj)(
2
1)(
 (8)
Podemosinterpretara identidade(8)comosendoduasoperações,umadireta,entreosparênteses,
quecorrespondeaF(ω),seguidaporumaoperaçãoinversa.
Assim,aigualdade(8)mostraque ∫
∞
∞−
ω ωω
pi
= deFtf tj)(
2
1)(
=FFFF
----1111FFFF ( ))(tf (9)
Daí,ooperadorinverso,FFFF----1 1 1 1 ,édadopor
FFFF
----1111(F)= ∫
∞
∞−
ω ωω
pi
deF tj)(
2
1
 (10)
ouseja,f→→→→F→→→→f
EsteoperadoréchamadodetransformadainversadeFourier.
Exemplo:Consideramosf(t)=



>−<
≤≤−
atouatse
atase
,0
,1
Então,calculamos adtF
a
a
21)0( == ∫
−
,e,paraω≠0,
ω
ω
=
ω
−
−=








ω−
==ω ∫
−
ωω−
−
ω−
ω− )(2)( asenj
ee
j
edteF a
a
ajaja
a
tj
tj
⇒⇒⇒⇒ F(ω)=2sen(aω)/ω
II.3CondiçõesdeConvergência:
Paraquesepossagarantiraexistênciadaintegralimprópriaem(7)deve-seimporcondiçõessobre
afunçãof(t).Estascondiçõessãoexpressasnoseguinteteorema.
TEOREMA Seafunçãof(t)éseccionalmentecontínuaemqualquerintervalo[-a,a],∀a>0,eseo
valordaintegral ∫
∞
∞−
dttf )( éfinito,entãoasintegraisimpróprias
 ∫
∞
∞−
ω dtttf )cos()( e ∫
∞
∞−
ω dtttf )sen()(
 sãoconvergentesparaqualquervalor real
deω,eportantoaintegral ∫
∞
∞−
ω− dtetf tj)(
éconvergente.
Observamosqueacondiçãode ∫
∞
∞−
dttf )(
serfinitaimplicaem 0)(lim =±∞→ tft .
FFFF FFFF
 ----1111 
t
1
a-a
t
1
a-a
-20 -10 10 20
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
TransformadadeFourier–M.S.Balparda6
OBSERVAÇÃO: A condição de convergência da Transformada de Fourier exige que se tenha
valorfinitoparaaintegralde )(tf .Entretanto,usa-se(porextensão)omesmoconceitopara:
1. funçõesquenãosatisfazemestacondição(porexemplo,funçãoconstante,funçãodegrauu(t),
funçõestrigonométricassen(at),cos(at),outrasfunçõesperiódicas,etc)
2. funções“generalizadas”,comoafunçãodeltadeDiracδ(t)=impulsounitárioinstantâneo
Nestescasos,nãoesperamosqueatransformadaF(ω)sejabemdefinidaparatodososvaloresdeω.
VeremosqueF(ω)podeserumafunçãogeneralizada,muitasvezesdependendodeδ(ω).
II.4 PropriedadesbásicasdatransformadadeFourier
 Supondo condiçõesadequadaspara existênciada transformada, listamosa seguir algumas
propriedadesapresentadaspelooperadorFFFF.Quandopertinente,usaremosanotaçãoF=FFFF(f).
P1. OoperadorFFFFélinear,istoé,FFFF(c1f1+c2f2)=c1FFFF(f1)+c2FFFF(f2)
P2. F(ω)=ReF(ω)+jImF(ω),ReF(ω)eImF(ω)sãoparterealeparteimagináriadeF(ω)
 então





ω−=ω
ω+=ω
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
ímpar.função,)sen()()(Im
par,função,)cos()()(Re
dtttfF
dtttfF
 (11)
P3. F(–ω)=ReF(-ω)+jImF(-ω)=ReF(ω)-jImF(ω)= )(ωF
P4. Sef(t)épar,F(ω)éreal(istoé,ImF(ω)=0)
P5. Sef(t)éímpar,F(ω)éimaginária(istoé,ReF(ω)=0)
P6. FFFF(f(at))(ω)=F(ω/a)/|a|
P7. FFFF(f(–t))(ω)=F(–ω)= )(ωF
P8. FFFF(f')(ω)=jωF(ω)
P9. FFFF(f'')(ω)=–ω2F(ω)
P10. FFFF(af''+bf'+cf)(ω)=(–aω2+bjω+c)F(ω)
P11. Se 0,0)( <∀= ttf ⇒FFFF(f')(ω)= )0( +− )ω( ω fFj ,onde )(lim)0(
0
tff
t +→
+
=
P12. Se 0,0)( <∀= ttf ⇒ FFFF(f'')(ω)=–ω2F(ω)–jωf(0+)–f'(0+)
P13. FFFF(f(t–a))(ω)=F(ω).e–jaω (translaçãono“tempo”t)
P14. FFFF(f(t)ejat)(ω)=F(ω–a) (traslaçãona“frequência”ω)
P15. FFFF(FFFF ((((f))(ω)=2pif(–ω) (simetria)
TransformadadeFourier–M.S.Balparda7
Demonstraçãosucintadaspropriedades:
P1.Alinearidade,P1,decorredalinearidadedaintegraldadefiniçãodatransformadaem(7).
P2.Asexpressõesparaaspartesrealeimagináriasãomostradasusando-se(1)e(7),istoé,
( ) ∫∫∫∫ ∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
ω− ω−ω=ω−ω==ω dtttfjdtttfdttjttfdtetfF tj sen)(.cos)(sen.cos)()()(
P3,P4eP5sãoconsequênciasdasexpressõesem(11).
P6eP7sãoobtidaspormudançasdevariáveisem(7).
P8éobtidaporintegraçãoporpartes(7)ouem(11)
P9eP10sãoconsequênciasdeP8.
P11seobtemcomoP8,observandoqueaintegralnointervalo(-∞,0)énula.
P12éconsequênciadeP11,aplicadoàderivadadesegundaordem.
P13eP14podemserobtidasdaseguinteforma:
FFFF(f(t–a))(ω) = ajujaujtj edueufdueufdteatf ω∞
∞−
ω−∞
∞−
+ω−∞
∞−
ω−






==− ∫∫∫ .)()()( )( =F(ω).e–jaω
FFFF(f(t)ejat)(ω)= == ∫∫
∞
∞−
−ω−∞
∞−
ω− dtetfdteetf tajtjjat )()(.).(
F(ω–a)
P15demonstra-selembrandoqueaequação(9)nosdá ∫
∞
∞−
ω ωω
pi
= deFtf tj)(
2
1)( ,eportanto
==ω−pi ∫
∞
∞−
ω− dtetFf tj )()()(2 FFFF(F(t))(ω)
II.5FormasAlternativasparaaTransformadadeFourier
AlgunslivrosusamaTransformadadeFourieremformasdiversasde ∫
∞
∞−
ω−
=ω dtetfF tj)()(
Asmaiscomunssão:
1. ∫
∞
∞−
ω−
pi
=ω dtetfF tj)(
2
1)(
 (chamadadeforma"normal"ou"unitária")
2. ∫
∞
∞−
ω
pi
=ω dtetfF tj)(
2
1)(
 (comejωtaoinvésdee-jωt)
3. ∫
∞
∞−
piν−
=ν dtetfF tj2)()(
 (ondeseusaafrequênciaν=1/período=ω/2pi)
TransformadadeFourier–M.S.Balparda8
II.6TransformadaInversa
Paraadefiniçãodetransformadainversa,verII.2(9)e(10).
RelacionamosnoquadroabaixoasformasdaTransformadadeFourieresuasinversas
transformadadiretadeFourier,FFFF transformadainversa,FFFF–1
∫
∞
∞−
ω−
=ω dtetfF tj)()(
 ∫
∞
∞−
ω ωω
pi
 deF tj)(
2
1
∫
∞
∞−
ω−
pi
=ω dtetfF tj)(
2
1)(
∫
∞
∞−
ω ωω
pi
 deF tj)(
2
1
∫
∞
∞−
ω
pi
=ω dtetfF tj)(
2
1)(
∫
∞
∞−
ω− ωω
pi
 deF tj)(
2
1
∫
∞
∞−
piν−
=ν dtetfF tj2)()(
 ∫
∞
∞−
piν ων
pi
 deF tj 2)(
2
1
AosefazerusodaTransformadadeFourier,deve-seatentarparaqualformaseráutilizadaefixar-
seaesta,e tomarsuainversaadequadamente.Aspropriedadessãosimilares,comadaptaçõesem
relaçãoàsapresentadasnestetexto.Entretantoqualquerdasformaspodeserusadaparaaplicações.
TransformadadeFourier–M.S.Balparda9
III.EXEMPLOSETABELADETRANSFORMADASDEFOURIER
III.1Exemplos
Apresentamos,aseguir,exemplosdecálculodetransformadasdeFourier,egráficos
Usamosasnotaçõesu(t)paraafunçãodegrau,istoéu(t)=



≥
<
0se,1
0se,0
t
t
 e



 −−+
=δ
→ a
atuatu
t
a 2
)()(lim)(
0 paraafunção"deltadeDirac"(impulsounitárioinstantâneoem0).
Exemplo1:ComojávistoemII.3,
paraf(t)=u(t+a)-u(t-a)=



>−<
≤≤−
atouatse
atase
,0
,1
obtém-sequeFéreal,



≠ωωω
=ω
=ω 0se,/)sen(2
0se,2)(
a
aF
cujográficoéapresentadoaolado
Exemplo2: 


 −−+
=δ
→ a
atuatu
t
a 2
)()(lim)(
0
F(ω)= 1)(lim)(2
2
1lim)))(((
00
=



ω
ω
=



ω
ω
=ωδ
→→ a
asenasen
a
t
aa
F
Obs:OutraprovadessatransformadaépropostanoexercícioIII.2(4).
Corolário: ∫
∞+
∞−
ω− ω
pi
==δ det tj.1
2
1)1()( 1F ∫
∞+
∞−
ω ω
pi
=δ⇒ det tj
2
1)( (12)
Exemplo3:f(t)=1
 FFFF(1)(ω)
)(2)(.2
2
1
.2 )()( ωpiδ=ω−δpi=ω
pi
pi=ω=ω== ∫∫∫∫
∞
∞−
ω−∞
∞−
ω−∞
∞−
ω−∞
∞−
ω− dedededte tjtjtjtj
t
f(t)
-20 -10 10 20
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-a a
1
TransformadadeFourier–M.S.Balparda10
Exemplo4: )(tuf =
Sabemosque 1)()( =−+ tutu .Portanto )1()))(()(( FtutuF =ω−+
)(2)()()(2)))((()))((( ωpiδ=ω+ω⇒ωpiδ=ω−+ω⇒ FFtutu FF )()Re( ωpiδ=⇒ w
Sabe-setambémque )()´( ttu δ= ,portanto 1)(. =ωω Fj .
Daí,segueque [ ] 1)Im(.)( =ω+ωpiδω jj ,econclui-seque 0)0Im(),0(/1)Im( =≠ωω−=ω



=ωωδpi
≠ωω−ωδpi
=ω⇒ )0()(.
)0(/)(.)))((( jtuF
 
Exemplo5)f(t)=sinal(t)=2.u(t)–1=



>+
<−
0se,1
0se,1
t
t
,éfunçãoímpar,logoF=ImF
[ ][ ]
0)0(
)0(/)(.2/)(.2)(
=
≠ωω−=ωδpi−ω−ωδpi=ω
F
sejjF
Exemplo6) 2)cos()(
jatjat ee
attf
−+
==
LembramosqueFFFF(1)(ω) )(2 ωpiδ=
eque ))(())().(( afetf jat −ω=ω FF
Então
[ ] ( ))()())(1())(1(
2
1)( aaaaF −ωδ++ωδpi=−ω++ω=ω FF
Analogamente
[ ] ( ) ( ))()()()())(1())(1(
2
1))((sen aajj
aa
aajat −ωδ++ωδpi−=
−ωδ−+ωδpi
=−ω−+ω=ω FFF
t
1
-15 -10 -5 5 10 15
-1
-0.5
0.5
1
ω 
piδ(ω-a)
a-a
piδ(ω+a)
ω 
ParterealReF(ω) ParteimagináriaImF(ω)
ω 
TransformadadeFourier–M.S.Balparda11
Exemplo7)



>
≤
=
dt
dtat
tf
se0
se)cos()(
Comof(t)éfunçãopar,temosqueF(cosat)(ω)érealepar.Calculamos
[ ]
ase
a
da
a
da
a
da
a
da
a
ta
a
tadttattatdttatF
d
d
d
d
d
±≠ω
ω+
ω+
+
ω−
ω−
=
ω+
ω+
+
ω−
ω−
=
=



ω+
ω+
+
ω−
ω−
=ω++ω−=ω=ω ∫∫
−−
)sen()sen()sen()sen(
)sen()sen()cos()cos(
2
1)cos()cos()(Re
0
Paraω=±a,
[ ]
a
adddtatdtatataF
dd
d 2
)2sen()(cos2)cos()cos()(Re
0
2 +===± ∫∫
−
Exemplo8) ;)( taetf −= paraa>0
22
0 )(
0
)(0
0
211
)(
)(cos1lim)(
1)(coslim
..)(
ω+
=
ω−
+
ω+
=
=





ω+−−
ω−ω−
+





ω+−
−ω−ω
=
=+=+=ω
−∞→
−
∞→
∞−
ω+−−∞ ω+−
∞−
ω−
∞
ω−−
∫∫∫∫
a
a
jaja
ja
bjsenbe
ja
bjsenbe
dtedtedteedteeF
at
b
at
b
tjatjatjattjat
Corolário:Fazendoa=1,obtém-seF(e–t)= 21
1
ω+
=∫
∞+
∞−
ω−− dtee tjt
Comoconsequência, 2
)(
)(1
1
ω−+
=∫
∞+
∞−
ω−−− dtee tjt
⇒
2
1
1
1)(2
t
eFdtee tj
+
=pi= ω−−
∞+
∞−
ωω−
∫
Portanto, F F F F 
ω−pi=





+
e
t
2
1
1
2
Nosexemplosseguintes,oscálculosserãodeixadosacargodoleitor.
Osresultadoseosgráficossãoexibidos
-15 -10 -5 5 10 15
-1
-0.5
0.5
1
d
-d
t
a-a
k
ωωωω 
a
adsendk
2
)2(
+=
ω 
-
4
-
2
0.
0.
0.
0.
8
1
2 424
f(t)
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F(ω)
TransformadadeFourier–M.S.Balparda12
Exemplo9) );(.)( tuetf ta−= paraa>0
ComcálculosanálogosaoExemplo8,
j
a
w
a
aF 2222)( ω+−ω+=ω
 
Exemplo10)





<≤−−
>
≤≤−
=
0se)(
se0
0se/)(
)(
tatf
at
atatab
tf
.
f(t)épar,portantoF(ω)éreal
( )1cos2)Re()( 2 +ω−ω=ω=ω aa
bF
,seω≠0
baF .)0( =
III.2ExercíciosPropostos
(1)Traçarográficodef(t)ecalcularFFFF(f(t)),para:
 (a)f(t)=u(t)–u(t–a),paraa>0 (b)f(t)=u(t–a)–u(t–b),paraa<b
 (c)





>
≤≤
<
=
1se0
10se
0se0
)(
t
tt
t
tf
 (d)





>
≤≤
<
=
−
1se0
10se
0se0
)(
t
te
t
tf t
 (e)f(t)= )cos( tae t− (f)f(t)=cos2(t)[sugestão:cos2(t)=(1+cos(2t))/2]
(2)Obterosresultadosexpressos(a)noExemplo9;(b)noExemplo10
(3)Traçarográficodef(t)ecalcularFFFF(f(t)),para:
(a)



pi>
pi≤
=
at
atta
tf
/para,0
/para,)sen()(
 (b)



pi>
pi≤
=
t
tt
tf
para,0
para,)sen()(
(c) tkeatutf −−= ).()( (d) )cos().()( ttutf pi−=
(4)Usarapropriedade )()().( afdttfat =−δ∫
+∞
∞−
,paramostrarque ω=ω−δ ajeat )))(((F
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ParterealReF
-4 -2 2 4
-0.4
-0.2
0.2
0.4
ParteImagináriaImF
t
a-a
b
ωωωω 
a.b
a
pi2
a
pi4
-4 -2 2 4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f(t)
TransformadadeFourier–M.S.Balparda13
III.3Tabela
Apresentamosumquadroresumo,emformadetabela,deváriosresultadosconhecidos,váriosdeles
tendosidomostradosnosexemplosemIII.1
f(t) F(ω) f(t) F(ω)
1 2piδ(ω) δ(t) 1
e
jat 2piδ(ω–a) δ(t-a) e–jaω
u(t) piδ(ω)–(1/ω) j sinal(t) –2j/ω 
e
–at
.u(t)
(a>0) 22
1
ω+
ω−
=
ω+ a
ja
ja e
–a|t|
(a>0) 22
2
ω+a
a
tn.e–at.u(t)
(a>0) ( ) 1
!
+
ω+ nja
n
2ta
e
−
(a>0)
aea 4/
2
./ ω−pi
1/(a2+t2) pi.e–a|ω|/a t/1
ωpi /2
cos(at) pi.(δ(ω–a)+δ(ω+a)) cos(at).u(t) ( )
2
)()( aa +ωδ+−ωδpi
+j 22 ω−
ω
a
sen(at) –jpi.(δ(ω–a)–δ(ω+a)) sen(at).u(t) 22 ω−
ω
a
–j ( )2
)()( aa +ωδ−−ωδpi
TransformadadeFourier–M.S.Balparda14
IV.TRANSFORMADADEFOURIERPARAFUNÇÕESPERIÓDICAS
IV.1FunçõesPeriódicas:Consideramosumafunçãof(t),períodicadeperíodoT=2L.
Considerando Lo /pi=ω , e supondo que a função satisfaz as condições de convergência
adequadas,escrevemossuasériedeFouriercomplexa ∑
∞
−∞=
ω
=
n
tjn
n
oeCtf )(
.
UsandoqueaF(ejat)=2piδ(ω–a),juntamentecomalinearidadedatransformada,segueque
 F(ω)=F(f(t))(ω)= ∑
∞
−∞=
ω−ωδpi
n
on nC )(2 (13)
Isto significa que a transformada da função periódica consiste de uma série de impulsos
instantâneoscom intensidadesdiferentes,a intervalosdecomprimentoωo , ou seja, acadaponto
nωo,apareceumimpulsoinstantâneocomamplitude nCpi2 .
Exemplo11)Sejaf(t)aondaquadradacomonafiguraaolado
Neste caso ωo= pi/b e podemos calcular os coeficientes de
Fourier,queserãotodosreais,porqueafunçãoépar






==≠
pi
pi
==
b
aaCn
n
banaC oonn 2
;0)/sen(
2
Portanto,F(ω)= ∑
∞
−∞=
ω−ωδpi
n
n
n
ban )()/(sen2 o
Exemplo12)SevoltamosaIII.1,exemplo6,ondeconsideramosafunçãof(t)=cos(at),vemosque
esta tem período é2pi/a e seus únicos coeficientes não nulos são C1=C-1=1/2. A expressão (13)
implicaemF(cosat)=pi(δ(ω+pi/a)+δ(ω–pi/a)),oqueéconsistentecomocálculofeitoemIII.1
IV.2ExercíciosPropostos:
(1)Usandoaperiodicidadeparaf(t)=cos(2t),determinarF(f),ecompararcomExemplo6deIII.1
(2)CalcularFFFF(f(t)),paraasfunçõesperiódicasseguintes:
 (a) )()2(com,
01
01)( tfatf
ta
at
tf =+



<<−−
≤≤
=
 (b)f(t)=sen(at),(a>0) (c)f(t)=sen(at),(a>0)
t
1
a
-a b-b
ωωωω 
-10 -5 5 10
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a
pi
b
pi
TransformadadeFourier–M.S.Balparda15
V.TRANSFORMADADISCRETADEFOURIER
V.1Funçãodiscretadefinidaeminfinitospontoscomespaçamentoregular
Considerandoocasodeumafunçãof(n)definidaparanúmerosinteiros(–∞a+∞),istoé,(variável
ndiscreta)queremosestenderaestecasooconceitodatransformadadeFourier.
Estende-seafunçãof(n)àretarealfazendo ∑
∞
−∞=
−δ=
n
ntnftf )().()(
Portanto ∑∑
+∞
−∞=
ω−
+∞
−∞=
=−δ=ω
n
nj
n
enfntnfF ).())(().()( F
 (14)
V.2Casodiscretocomnúmerofinitodepontos
Supondoqueafunçãof(n)écalculadaapenasparaumnúmerofinito,N,devalores,istoé,supõe-
se que n = 0,1,2,3,..., N–1. Neste caso, supõe-se também que a transformada é calculada para o
mesmonúmerodevaloresparaω.
Entendendo-seNcomoum“período”paraafunçãof,escreve-seω=2νpi ,ondeνrepresentaos
valorespossíveisde“frequência”,dadosporν=k/N,ondek=0,1,2,3,...,N–1,supondo1/Ncomo
afrequênciafundamental.Portanto,atransformadaécalculadacomo
 
∑
−
=
pi−
=
1
0
/2).()(
N
n
Nknj
enfkF
 (15)
Algumasvezesafunçãoécalculadacomof(n)paran=1,2,3,...,N
Nestecaso,atransformadaédadapor ∑
=
−−pi−
=
N
n
Nknj
enfkF
1
/)1()1(2).()(
 (16)
V.3TransformadarápidadeFourier-Cálculocomputacional
Costuma-sechamardeTransformadarápidadeFouriera(vários)processosnuméricos,quetentam
acelerar a convergência da série em (15) ou (16), para um cálculo computacionalmente mais
eficiente,principalmentequandoonúmeroNémuitogrande.
Algunssoftwaresdeusomatemáticotêmrotinasquecalculamestatransformada.
Porexemplo,osoftwareMATLABtemcomandos,
 fft,(fastfouriertransform),e
 ifft,(paraainversa)
TransformadadeFourier–M.S.Balparda16
Exemplo13
UsodosoftwareMATLABparacalculareplotartransformadadeFourierparaafunçãotetf −=)( (t≥0).
Comandos: Comentários:
cleartfwFReFImFAF %limpavaloresanterioresdosvetores
N=10000; %dimensãodovetort
t=linspace(0,10,N); %tempotnointervalo[0,10]
f=exp(-t); %funçaodotempot
figure(1);
plot(t,f) %gráficodef(t)
xlabel('tempot');
legend('f(t)=exp(-t)')
NF=N/200; %dimensãoparaovetorw
w=linspace(0,1,NF); %frequenciaw,normalizada
F=fft(f,N); %transformadadeFourier
ReF=real(F(1:NF)); %partereal
ImF=imag(F(1:NF)); %parteimaginaria
AF=abs(F(1:NF)); %amplitude(=modulo)
figure(2);
plot(w,AF,'k',w,ReF,'b',w,ImF,'r')
xlabel('FrequenciaNormalizada')
legend('amplitude','partereal','imaginaria')
inv=ifft(F,N); %transformadainversa
figure(3);
plot(t,inv) %gráficodainversa
legend('inversa:volta`afunçaooriginal')
Resposta:sãoobtidas3figuras,sendoqueaprimeiraapresentaográficoda função tetf −=)( ,a
segundamostraosgráficosdaspartesrealeimagináriadafunçãoF(w),eaterceiramostragráfico
dainversadeF,ouseja,voltaàfunçãof.
CompareosgráficosobtidoscomoExemplo9)deIII.1.
V.4Exercíciospropostos:
Nosexercíciosabaixo,mudeafunçãofdeentradaparaobtergráficosdastransformadas.
(1) )sen()sen()( tbtatf += ,comvaloresescolhidosparaaeb
(2) 0ouse,0)(;0se,1)( <>=≤≤= tattfattf
(3) 0,)( 2 ≥= − tparaettf t
TransformadadeFourier–M.S.Balparda17
VI.CONVOLUÇÃO
VI.1Definição:Dadasfunçõesf1(t)ef2(t),aoperaçãodeconvoluçãof1*f2édefinidapor
 (f1*f2)(t) ∫
+∞
∞−
−= dxxtfxf )().( 21 (17)
VI.2PropriedadesdaConvolução
Podemoslistaralgumaspropridadesdaoperaçãodeconvolução,esuasinterpretações:
 PROPRIEDADE INTERPRETAÇÃO
(a) f1*f2=f2*f1 aconvolução,*,éoperaçãocomutativa
(b) f(t)*δ(t–a)=f(t–a) propriedadededeslocamento
(c) f*δ=f δ(t)éaunidadeparaaconvolução
(d) F (F (F (F (f1*f2)=FFFF(f1).FFFF(f2)
ouf1*f2=FFFF –1(F1.F2)
a convolução é a inversa do produto das transformadas
dasfunções
(e) FFFF –1(F1*F2)=2pif1.f2
ouFFFF(f1.f2)=FFFF(f1)*FFFF(f2)/2pi
"teoremadaconvoluçãoemfrequências"
(outransformadadoproduto)
Demonstração:
(a)Fazendomudançadevariávelu=t–xnaintegral,obtemos
 (f1*f2)(t) ∫∫∫
+∞
∞−
−∞
∞+
+∞
∞−
−=−−=−= duutfufduufutfdxxtfxf )().())(().()().( 222121 =(f2*f1)(t)
(b)Épropriedadeconhecidadafunçãoδ(t)que )()().( afdxxfax =−δ∫
+∞
∞−
.
 Emconsequência,eusandoqueδéfunçãopar,temos
 f(t)*δ(t-a)= )()()).(()().( atfdxxfatxdxxatxf −=−−δ=−−δ ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
(c)Bastafazera=0em(b)
(d)F (F (F (F (f1*f2)(ω)= dtedxxtfxf tjω−
+∞
∞−
+∞
∞−
∫ ∫ 



− )().( 21 .
MudamosaordemeintegraçãoeusamosapropriedadeP11,dedeslocamentoemt,paraobter
( ) =ω=ω−=




− ∫∫∫ ∫
+∞
∞−
ω−
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
ω− dxeFxfdxxtfxfdxdtextfxf jxtj )().()))((().().().( 212121 FFFF
=ωω=ω= ∫
+∞
∞−
ω− )().().().( 1212 FFdxexfF xj FFFF(f1).FFFF(f2)
TransformadadeFourier–M.S.Balparda18
(e)FFFF –1(F1*F2)=FFFF –1 ω



−ω
pi
=




−ωτ ω
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∫ ∫∫ dedxxFxFdxxFF
tj)().(
2
1)().( 2121
Mudandoaordemdeintegraçãoedepoisfazendoamudançadevariável xy −ω= ,obtém-se
=




pi
=



 ω−ω
pi
= ∫ ∫∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−
+∞+
∞−
∞+
∞−
ω dxdyeyFxFdxdexFxF tyxjxtj )(2121 )().(2
1)().(
2
1
( )( )212121 222
1)(.)(
2
1)().(
2
1 ffdxexFdyeyFdydxeexFyF txjtyjtyjtxj pipi
pi
=
pi
=
pi
= ∫ ∫∫ ∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
 =2pif1.f2
VI.3OutraspropriedadesdaTransformadadeFourier
Usandoaconvolução,somoscapazesdeprovaraindaoutraspropriedadesdeFFFF 
P16. ∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
ωωω
pi
= dFFdttftf )()(
2
1)()( 2121
P17. ∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
ωω
pi
= dFdttf 22 )(
2
1)(
 (“fórmuladeParseval”)
P18. ( )( )

+ω−−ω−=
+ω+−ω=
2/)()())sen().((
2/)()())cos().((
aFaFjtatf
aFaFtatf
F
F
 (translaçãonafrequência)
Demonstração:
P16.DeIII.2(e),FFFF(f1.f2)=(1/2pi)FFFF(f1)*FFFF(f2)= ∫
∞+
∞−
−ω
pi
dxxFxF )().(
2
1
21
( )∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
ω−
−ω
pi
=⇒ dxxFxFdtetftf tj )().(
2
1
.)().( 2121
 Fazendoω=0,eusandopropriedadeP3,temos
( ) ∫∫ ∫ ∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞− pi
=−
pi
= dxxFxFdxxFxFdttftf )().(
2
1)().(
2
1)().( 212121
P17. Bastafazerf1=f2emP16elembrarque,paranúmeroscomplexosz,
2
. zzz =
P18.UsandoaspropriedadesIV.2(b)e(e)daconvoluçãoeocálculodatransformadadasfunções
cos(at)esen(at)noExemplo6deIII.1,demodoque
( ) ( )( )
( ))()(
2
1
)()(*))((
2
1)(cos(*))((
2
1))cos().((
aFaF
aatftatftatf
+ω+−ω=
=+ωδ+−ωδpi
pi
=
pi
= FFFF
Atransformadadef(t).sen(at)sefazanalogamente.
TransformadadeFourier–M.S.Balparda19
VIIAPLICAÇÕES
AtransformadadeFouriertemdiferentesaplicações.Comoilustração,citamosalgumas.
VII.1AnálisedeFourier
Éoestudodoespectrodeamplitudeseângulosdefasedef(t),dependendoda“frequência”ω.
Considera-seatransformadaF(ω)=F(f(t))=Re(ω)+jIm(ω)=A(ω).ejθ(ω),onde
A(ω)éa"amplitude",eθ(ω)éo"argumento"(=ângulo)docomplexoF(ω).
AanálisedeFourierconsisteemestudarpropriedadesdef(t)atravésdocomportamentodaspartes
reaiseimaginárias,oudaamplitudeeargumentodeF(ω),chamadosde"espectros".
OsexemplosemVIdãoumaidéiadestetipodeanálise.
VII.2FiltrosdeFourier
Este procedimento é uma consequência da análise de Fourier. Se a função f(t) é a medida, em
função do tempo, de um "sinal" (elétrico ou de vibração mecânica, por exemplo) e apresenta
distorçõesouruídosemdeterminadasfrequências,seuespectrodeamplitudeapresentarápicosfora
dopadrãoesperadocorrespondendoaestesvaloresdeω.A"limpeza"dosinaléfeitaporfiltrosque
regularizamF(ω)navizinhançadestesvalores.Atransformadainversadoespectro,Fs,jáfiltrado,
retornará o sinal fs(t) sem os ruídos indesejados. Esta técnica é utilizada, por exemplo, para
melhorarsonsdegravações,ouimagensdefotosdigitais.
VII.3Processamentodesinais-Modulação
Modulaçõessãométodosdeprocessamentodesinaisparatransmissãomaiseficiente.Pode-sefazer
modulação baseando-se no teorema de deslocamento na frequência (P18 de VI.3) que diz que a
multiplicaçãodef(t)porumsinalsenoidaldefrequênciaadeslocaseuespectrode+ae–a.
TransformadadeFourier–M.S.Balparda20
VII.4Resoluçãodeequaçõesdiferenciaislinearesordináriascomcondiçõesdecontorno
Podemos tentar entender a Transformada de Fourier como uma analogia a uma “máquina”, que
“transforma”funçõesesuasderivadas,conformeesquemadafiguraabaixo:
Assim, se consideramos uma equação diferencial )(''' tfycybya =++ , com condições de
contorno 0)´(lim)(lim ==
∞±→∞±→
tyty
tt
(propriedadeP10),temosqueF( )''' ycybya ++ )=F( )(tf )
EscrevendoF(f)=FeF(y)=Y,resultaque(-aω2+bjω+c)Y(ω)=F(ω)
)(1)(onde,)().()()( 22 gcjba
GGF
cjba
FY F=
+ω+ω−
=ωωω=
+ω+ω−
ω
=ω⇒
( ) ∫+∞
∞−
−
−=∗=ωω=⇒ duugutftgfGFty )().()()().()( 1F
Exemplo14:(comusodetabelaefraçõesparciais)
Resolvery’’+4y’+3y=e-2tu(t);comcondições 0)´(lim)(lim ==
∞±→∞±→
tyty
tt
 
UsamosaspropriedadesP8aP10,eatabelaIII.3,obtemos: 
 (-ω2+4jω+3)Y(ω)= F(e-2tu(t))=1/(2+jω)⇒(3+jω)(1+jω)Y(ω)=1/(2+jω)
)2(
1
)3(
2/1
)1(
2/1
)2)(1)(3(
1)(
ω+
−
+
ω+
+
ω+
=
ω+ω+ω+
=ω⇒ jjjjjjY




−+=⇒ −−− ttt eeetuty 23.
2
1
.
2
1).()(
Exemplo15:(comusodetabelaeconvolução)
Resolvery’’-y=e-2tu(t);comcondiçõesy(t)=0parat≤0,e 0)(lim =
∞+→
ty
t
 
ComusodaspropriedadesP11eP12,obtemos:
(-ω2-1)Y(ω)-jω.y(0+)–y´(0+)= F(e-2tu(t))
Paragarantiracontinuidadedey,devemosimporacondiçãoy(0+)=0.
Denotamosy´(0+)=k(valoraserdeterminado).Segue-se,então,que
Y(ω)= –F(e-2tu(t))
1
1
. 2 +ω
12 +ω
−
k
SegundoatabelaIII.3,temosque
1
1
2 +ω
= F( te−
2
1
),portanto
f(x) F(ω)
y’(x) jωY(ω)
y’’(x) -ω2Y(ω)
y(x) Y(ω)
F 
TransformadadeFourier–M.S.Balparda21
Y(ω)=–F( te−.
2
1 ).F(e-2tu(t))–k. F( te−.
2
1
)=–1/2[ F( te− *(e-2tu(t)))+k. F( te−. )]
txx
t
txtx e
kdxxtueeekdxxtueety −
+∞
∞−
−
−
−
+∞
∞−
−−
−
−





−−=





+−−=⇒ ∫∫ .2
)(.
2
.)(..
2
1)( 2
2
)(2
tttt
t
t
t
xx
t
e
k
ee
k
e
e
e
kdxedxeetyt −−−
−
−
∞−
− +
−=−



−+−=−








+−=> ∫∫ ).2
1(
3
1
.
2
)1(
3
1
2
.
2
..
2
)(,0Para 2
2
0
0
3
2
Adeterminaçãodekéfeitaparaqueacondição )(lim)0(
0
tyy
t +→
+
= =0sejasatisfeita,oqueexigeque
3
10
2
1
3
1
−=⇒=
+
− kk ,resultandonasolução 



−=
−− tt
eetuty .
3
1
3
1).()( 2
VII.5ExercíciosPropostos:
(1)Resolvery’’+y’+2y=u(t–2)+δ(t);comcondições 0)´(lim)(lim ==
∞±→∞±→
tyty
tt
(2)Resolvery’’+5y’+6y=e-tu(t)+δ(t–1);comcondiçõesy(t)=0,parat≤0, 0lim =
∞→
y
t
(3)ResolveromesmoproblemadoExemplo15usandofraçõesparciais.
Dica:usar(1+ωj).(−1+ωj)=−1−ω2 ; edeterminarkusandoacondição 0)(lim =
∞+→
ty
t
VII.6Resoluçãodeequaçõesdiferenciaisparciaislinearescomcondiçõesdecontorno
ComprocedimentosimilaraoapresentadoemVIII.5,paraumproblemadeequaçõesdiferenciais
sobre uma função u(x,t), devemos escolher uma das variáveis, por exemplo x, para aplicar a
transformada de Fourier, deixando a outra variável, t, livre, obtendo-se uma equação diferencial
ordinária com variável t, que se deve resolver para obter a transformada U(ω,t), e aplicar a
transformaçãoinversa.
Umexemplo:EquaçãodoCalornabarrainfinita,istoé,ut=kuxx,onde-∞<x<∞e
u(x,t)satisfazcondições:u(x,0)=f(x),eu(x,t)→0quandox→±∞ 
Resolução:AplicamosaTransformadadeFouriernavariávelx.
Ut(ω,t)=k(-ω2U(ω,t))eU(ω,0)=F(ω)⇒ 2ω−=∂
∂
k
U
t
U
⇒
f(x) F(ω)
ut(x,t) Ut(ω,t)
uxx(x,t)
-ω2U(ω,t)
u(x,t) U(ω,t)
F 
TransformadadeFourier–M.S.Balparda22
U(ω,t)=F(ω).exp(-kω2t)⇒U(ω,t)=F(f(x)).F 





pi
− ktx
e
kt
4/2
.
4
1
=
pikt4
1
F(f(x)* ktxe 4/2− )
Assim,asoluçãoé:u(x,t)=
pikt4
1
f(x)* ktxe 4/2− dyeyf
tk
ktxy 4/)( 2)(
4
1
−−
∞
∞−
∫
pi
=
Casosespeciais:
1º. Se a barra é inicialmente aquecida a temperatura To (°C) apenas no ponto x=0, temos que
f(x)=To.δ(x).Usandopropriedadedeconvolução,obtemos
 u(x,t)=
pikt
To
4
δ(x)* ktxe 4/2− =
pikt
To
2
ktx
e
4/2−
2º.Seabarraé inicialmenteaquecidaa temperaturaTo (°C)emapenasdoispontos(suponhamos
queessespontossejamx=aex=–a),temosquef(x)=To.(δ(x–a)+δ(x+a)),obtendo:
 u(x,t)=
pikt
To
4
(δ(x–a)+δ(x+a))* ktxe 4/2− =
pikt
To
2
( )ktaxktax ee 4/)(4/)( 22 +−−− +
3º.SeabarraéinicialmenteaquecidaatemperaturaTo(°C)emumapartefinitadabarra
(porexemplo, axa ≤≤− ),temosquef(x)=To.(u(x+a)–u(x–a)),
 obtendo: ∫
+
−
−−
pi
=
a
a
ktxyo dye
tk
T
txu 4/)(
2
2
),(
VII.7Estudodecorrelação
Afunçãodecorrelaçãoentreduasfunçõesf1(t)ef2(t)édefinidacomo
 ∫
+∞
∞−
τ−ττ= dtfftffR )().())(,( 2121 (18)
eéusadaparamedirasimilaridadeouinterdependênciaentrefunções,pontoapontonodomínio.
Sendoafunçõestotalmentenãorelacionadasasuacorrelaçãoseráumafunçãonula.
Paraf1(t)=f2(t),afunção ∫
+∞
∞−
τ−τ= dtftftffR )().())(,( 1111 édenominadaauto-correlação,emede
arelaçãoentreafunçãof1(t)eseusdeslocamentosf1(t–a)paratodoareal.
Observamosque ))(,())(,( 2112 tffRtffR −= e )(*)())(,( 2121 tftftffR −= 
Propriedadesdacorrelação:
(i) ( ) ( ) ( ) )().()(.)()))((*)(()())(,( 21212121 ω−ω=−=ω−=ω FFtftftftftffR FFFF
(ii) ( ) 2)()().()())(,( ω=ω−ω=ω FFFtffRF
(iii) ∫
+∞
∞−
ττ= dfffR 2)()0)(,(
TransformadadeFourier–M.S.Balparda23
R(f,f)échamadodeauto-correlação.
2)(ωF
éinterpretadocomoadensidadeespectraldeenergia.
Devidoàpropriedade(ii),diz-sequeaauto-correlaçãoeadensidadeespectraldeenergiaformam
umparsimétricoemrelaçãoàtransformadadeFourier,etemosque:
(iv)





ωω
pi
=
ττ=ω
∫
∫
∞+
∞−
ω
+∞
∞−
τω−
deFtffR
deffRF
tj
j
2
2
)(
2
1))(,(
).)(,()(
VIII.BIBLIOGRAFIA:
(1)Butkov,E.,FísicaMatemática,LTC,1988
(2)CapelasdeOliveira,E.&Tygel,M.,MétodosMatemáticosparaEngenharia,SBM,2005
(3)Hsu,HweiP.,AnálisedeFourier,LTC,1973
(4)Oppenheim,Willsky,Young,Signals&Systems,PrenticeHall,1983