Teoria das Estruturas 2

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TEORIA DAS ESTRUTURAS II
BIBLIOGRAFIA
8.Bibliografia Básica:
MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas: Métodos das forças e método dos deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,2006.
MCCORMAC, J. C. Análise Estrutural: Usando métodos clássicos e métodos matriciais. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2009
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Bibliografia Complementar:
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrututral: Volume 2,deformações em estruturas – método das forças. 7. ed. Porto Alegre: Globo, 1984 apenas as duas maiores notas obtidas
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrututral: Volume 3, método das deformações –processo de Cross. 6. ed. Porto Alegre: Globo, 19844 apenas as duas maiores notas obtidas
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos: Volume 2. 1. ed. Rio de Janeiro:Livros Técnicos e Científicos, 1984.
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1984. Administra Cursos
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CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
1- Aplicação do teorema dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos
1.1- O princípio de d´ Alembert e os conceitos de deslocamento e trabalho virtual.
	Jean d´ Alembert introduziu na mecânica racional os conceitos de deslocamento e trabalho virtual, estudando o seguinte caso:
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	Seja um ponto material m em equilíbrio, isto é, submetida a um conjunto de forças Pi tais que sua resultante R é nula. Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento δ sem introdução de nenhuma força no sistema, isto é, mantendo R =0. Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real, pois para haver deslocamento real do ponto, seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema. Então teremos δ dado nestas condições (R =0), como uma entidade puramente matemática, à qual chamaremos de deslocamento virtual.
	O trabalho virtual w realizado pelo conjuntos de forças Pi (reais) que atuam sobre o ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual δ vale w = δ . R =0 dizemos então que “para um ponto material em equilíbrio (R =0), o trabalho virtual realizado pelo sistema 
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de forças reais em equilíbrio que atua sobre este ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer é nulo”, o que consiste o princípio de d’ Alembert. Isso garante a aceitação do novo conceito (trabalho virtual), pois preserva, para o ponto que sofreu deslocamento virtual, as suas duas condições de equilíbrio: a estática (traduzida pela resultante nula) e a energética (traduzida pelo trabalho virtual realizado nulo).
	Como os corpos nada mais são que um somatório ao infinito de pontos materiais, podemos anunciar:
a) Corpos elásticos
	“Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas (esforços simples)
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nele atuantes, para todos os deslocamentos virtuais arbitrários
	Para estruturas elásticas deformáveis, com o material da estrutura, trabalhando em um regime linear e elástico e apresentando pequenos deslocamentos, o princípio da conservação da energia estabelece:
Ue = Ui We=Wi “trabalho das forças externas = trabalho das forças internas”
	Para estruturas de barras compostas por elemento de barra (reta ou curva);
Exemplo: VIGAS, PÓRTICOS OU QUADROS, GRELHAS
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	Nas estruturas de barras, as forças externas geram forças internas (esforços solicitantes: N, Q, M, T) nas estruturas que por sua provocam deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas.
	Considerando um elemento infinitesimal da barra de comprimento dx, o mesmo estará sujeito, também genericamente, as resultantes de tensão representadas aqui pelos esforços internos conforme ilustra a figura a seguir.
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q = força externa genérica
Esforços internos:
N = força normal;
Q = esforço cortante;
M = momento fletor;
T = momento torçor;
	Exemplo: Considere –se uma barra de seção transversal constante sob força axial, em que l e δ são, respectivamente, o comprimento inicial e o alongamento da barra devido à força P. Deseja-se calcular o deslocamento sofrido por esta barra (δ).
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1.2- Cálculo de deformações devidas à atuação de carregamento externo – Fórmula de Mohr
	Seja a estrutura da figura abaixo submetida ao carregamento indicado.
	
	Estado de deformação : esforços – M, N ,Q
	Deformações relativas: dφ (para M), dΔ (para N) , dh (para Q)
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E= Módulo de elasticidade longitudinal do material
G= Módulo de elasticidade transversal
I= Momento de inércia de seção transversal em relação a seu eixo transversal
A= área da seção transversal 
Av= área efetiva de cisalhamento
	O Teorema de trabalhos virtuais aplicado aos corpos elásticos, que diz ser o trabalho virtual das forças externas igual ao trabalho virtual das forças internas, para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. Temos: 
Trabalho virtual das forças externas (cargas e reações)
Wext= P. δ
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Trabalho virtual das forças internas (Wint)
	Será igual à soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos os elementos de comprimento ds ao longo da estrutura e , como estamos em regime linear e vale o princípio da superposição de efeitos, será a soma dos trabalhos virtuais de deformação devidos a cada um dos esforços simples atuantes na estrutura.
Teremos então: S= A - área
 J= I - momento de inércia
 
Como W ext = W int W ext= P. δ
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Observações
a) O estado de deformação pode ser provocado por:
 Agentes externos:
Carregamento externo
Variação de temperatura
Movimentos (recalques de apoio)
Modificações impostas na montagem.
b) No caso mais geral (estrutura no espaço), teríamos que colocar o trabalho virtual das forças internas aquela do momento de torção:
Sendo Jt = momento de inércia à torção da seção da peça.
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MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA
O Método da força unitária é essencial para o desenvolvimento do método das forças. Objetivando determinar o deslocamento (no sentido generalizado), em determinada direção, de um ponto qualquer de uma estrutura em barras sob ações quaisquer. Para isso, considera-se um novo caso de carregamento, na mesma estrutura, uma força virtual unitária no ponto e direção do deslocamento desejado
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Utilização do método da carga unitária
1. Esboçar os diagramas dos esforços internos reais (N, M, Q, T): estes esforços internos são produzidos pelo sistema de forças externas reais que atua sobre a estrutura;
2- Esboçar os diagramas dos esforços internos virtuais (N, M, Q, T ) estes esforços internos são produzidos EXCLUSIVAMENTE pela força virtual unitária aplicada na seção e na direção do deslocamento a ser determinado
3- Determinar o valor de δ utilizando a tabela a seguir.
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Sussekind vol 2 pág 15
Soriano vol 2, pág 33
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VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Efeito da temperatura
	Variação de temperatura é uma importante ação na maioria das estruturas. Apresenta-se extensão do Método da Carga Unitária para a determinação de deslocamentos provocados por esta ação em estruturas isostáticas de material isotrópico.
	Considera-se a barra reta de altura h representada na figura a seguir, em que se impõe a variação de temperatura Ts ou Te na face superior da barra e variação de temperatura Ti na face inferior, com lei linear ao longo de altura h da seção transversal e Ti> Te . A partir dessas variações, tem-se a variação de temperatura T ou Tcg no eixo x, lugar geométrico dos centroides das seções transversais.
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Considerando a barra livre e sem vínculos externos e acréscimo de temperatura, a barra se expande longitudinalmente e flete com curvatura
voltada para cima . Logo, α (coeficiente de dilatação térmica), a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal dx dessa barra se deve aos seguintes deslocamentos em duas seções transversais adjacentes:
Deslocamento relativo dessas duas seções na direção longitudinal da barra de:
Rotação relativa entre essas seções de:
gt – gradiente de temperatura
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	Considere-se agora uma estrutura isostática que tenha barras submetidas a variações de temperatura e que se deseja determinar o deslocamento δ devido a essas variações, teremos então:
	Onde Nu e Mu são respectivamente, o esforço normal e o momento fletor no modelo da Carga Unitária.
	No caso particular de seção transversal e coeficiente de dilatação térmica constantes em cada barra da estrutura, a equação anterior particulariza-se em:
	
	Nessa equação, o somatório se refere à acumulação dos efeitos das diversas barras da estrutura, a primeira integral é igual a área do diagrama de esforço normal e a segunda integral é igual a área do diagrama de momento fletor, devidas à força unitária.
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CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDOS A MOVIMENTOS (RECALQUES DE APOIO)
 	Seja a estrutura a seguir cujos apoios sofrem os recalques conhecidos, nela indicados. Se quisermos calcular deformações provocadas por esses recalques, já sabemos como instituir o estado de carregamento e já sabemos que daremos, neste estado de carregamento, deformações virtuais a todos os pontos da estrutura exatamente iguais às existentes no estado de deformação. 
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Trabalho virtual das forças externas: P δ + ∑Rρ ,sendo R as reações de apoio no estado de carregamento e ρ os recalques a elas correspondentes no estado de deformação.
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	Trabalho virtual das forças internas: nulo, visto que as deformações relativas no estado de deformação são nulas.
	Igualando o trabalho das forças internas com ao das forças externas, obtemos :
P. δ = - ∑ R. ρ
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Método das forças
Introdução:
	O objetivo do Método das Forças é determinar um conjunto de reações e/ou esforços seccionais superabundantes ao equilíbrio estático de estruturas hiperestáticas, permitindo que as demais reações e/ou esforços seccionais sejam calculados com as equações da estática.
Hiperestaticidade externa
	Seja a estrutura da figura a seguir, que possui 5 reações de apoio a determinar. Como dispomos de 3 equações universais da estática no plano e mais uma de momento fletor nulo em B. Temos portanto, 5 reações e 4 reações para determina-las.
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Existe então uma deficiência de uma equação para resolver o problema do cálculo das reações de apoio. Esta deficiência é chamada de grau hiperestático externo da estrutura que é, pois, igual ao número de equações suplementares necessária ao cálculo das reações de apoio da estrutura.
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Hiperestaticidade interna
	Seja agora a estrutura abaixo, cujas reações de apoio são de imediata obtenção a partir das equações universais da Estática. Isto não significa , entretanto, que a estrutura esteja resolvida, pois o simples conhecimento das reações de apoio, não nos habilita a traçar seus diagramas solicitantes pelo fato de ser uma estrutura fechada e não sabermos quais são as forças da esquerda e quais as da direita. Seria necessário romper a estrutura em uma seção . Para tal, necessitaríamos conhecer os esforços simples atuantes nesta seção para podermos aplicá-los , após rompê-la, na estrutura assim obtida. Para a determinação desses esforços não possuímos equações suplementares da Estática, e sendo assim, a estrutura em questão tem grau hiperestático interno igual a 3.
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	Portanto, o grau hiperestático interno de uma estrutura é o número de esforços simples cujo conhecimento nos possibilita traçar os diagramas solicitantes para a estrutura, conhecidas suas reações de apoio.
	ge =0 gi = 3 
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Hiperestaticidade total:
	Dado pela soma de ge com gi
	gt= ge +gi
Exemplos:
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As bases do método
	Seja a estrutura abaixo com grau hiperestático igual a 3:
	
	O próximo passo é rompermos uma quantidade de vínculos (no caso 3) que transformasse a estrutura numa estrutura isostática à qual chamamos de Sistema principal e, para preservar a compatibilidade estática, introduzimos os esforços ( no caso x1, x2 e x3) existentes nos vínculos rompidos, que continuam sendo as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução da estrutura. Por esta razão, chamamos a esses esforços de hiperestáticos.
	
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	No entanto, devemos ter: rotação em A e B e deslocamento horizontal em B iguais a zero.
	Para cada incógnita Xi, temos uma equação dizendo que o deslocamento na direção de Xi é nulo. Para uma estrutura n vezes hiperestática recairá na resolução de um sistema n x n, em que cada equação exprimirá a condição de ser nulo o deslocamento na direção de cada um dos hiperestáticos. 
[ Sistema principal com hiperestáticos (x1, x2, etc) ] = [ Sistema principal com carregamento externo]+ ∑ (Sistema principal com hiperestáticos ]. Xi 
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Montando o sistema do exemplo anterior:
Rotação em A : δ10 + δ11 .X1 + δ21 .X2 + δ13 .X3 =0
Rotação em B: δ20 + δ21 .X1 + δ22 .X2 + δ23 .X3 =0
Desl. Horizontal em B: δ30 + δ31 .X1 + δ32 .X2 + δ33 .X3 =0
	A solução do sistema anterior, fornece os valores dos hiperestáticos, a partir dos quais podemos obter os esforços atuantes na estrutura.
Onde:
δij= combinação dos diagramas resultantes da aplicação do hiperestáticos Xi e Xj no sistema principal com valores arbitrados.
δi0= combinação dos diagramas resultantes da aplicação do carregamento externo e do hiperestático Xi (com o valor arbitrado) no sistema principal.
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No caso de querermos resolver uma estrutura hiperestática para uma variação de temperatura, ou para recalques de apoio, teremos que substituir os δi0 (deformações, no sistema principal, na direção dos hiperestáticos Xi devidos à atuação, na direção dos hiperestáticos Xi devidos à atuação do agente externo) pelos δit ou δir respectivamente.
Escrevendo o sistema de forma matricial
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{δ0} - vetor dos termos de carga
[δ] –matriz de flexibilidade da estrutura
{X} – vetor dos hiperestáticos
c) Os esforços finais na estrutura hiperestática são obtidos empregando-se o Princípio da Superposição de Efeitos.
E=E0 + Ei.Xi
Em que:
E0- Esforço no sistema principal, provocado pelo agente solicitante externo
Ei – Esforço no sistema principal provocado pela aplicação do hiperestático Xi com o valor inicialmente arbitrado
Xi – Valor obtido para o hiperestático, a partir da resolução direta do sistema de equações de compatibilidade elástica ou da equação matricial.
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Obs:
	Nos casos de variação de temperatura e recalques de apoio, a expressão fica:
E= ∑ Ei .Xi pois E0= 0
 
d) Roteiro para o cálculo do Método das Forças:
Escolha do Sistema Principal
Traçado dos diagramas no sistema principal
Obtenção dos EIcδ
Formulação do sistema de equações de compatibilidade elástica 
Obtenção dos hiperestáticos 
Obtenção dos efeitos finais ( E= E0 + ∑ EiXi)
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Método dos deslocamentos
A idéia do Método:
	No método das forças, as incógnitas do problema hiperestático eram esforços simples (ou reações de apoio) que, determinados, permitiam o conhecimento imediato dos diagramas de esforços solicitantes para a estrutura em estudo. Assim o método das forças inicia a resolução da estrutura pela determinação dos esforços para, a partir deles, obter deformações.
	A resolução do mesmo problema hiperestático poderia ser, entretanto, abordado de maneira inversa, isto é, determinando-se inicialmente as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Este será o caminho do Método das deformações.
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	As incógnitas deste método serão então, os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares sofridos pelos nós das diversas barras. Em seu cálculo,
serão desprezadas, normalmente as deformações das barras que compõem a estrutura devido a esforços normais ( e também devido à esforços cortantes), pois, também no estudo do método das forças, foi usual desprezar estas deformações ( a não ser no caso de peças trabalhando basicamente ao esforço normal, tais como treliças, tirantes, escoras ,arcos, etc.
	 
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Número de incógnitas- deslocabilidade interna e externa
Deslocabilidade interna (di)
	Seja a estrutura da figura a seguir. Sabemos que as incógnitas do problema são as rotações e deslocamentos lineares dos nós B e C, já que os engastes A e D não sofrem deformações.
	No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos lineares, pois o apoio do primeiro gênero impede o deslocamento vertical e o engaste D deslocamento horizontal, assim, a única deformação do nó C será sua rotação.
	Também o nó B não apresenta deslocamentos lineares, pois os deslocamentos verticais e horizontais são impedidas, respectivamente, pelos engastes A e D, de modo que a única deformação também no nó B será a rotação.
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	Concluindo, o número de incógnitas do problema do problema é igual a 2, número de nós internos rígidos (não articulados) da estrutura.
	Dizemos que o número de deslocabilidades internas (di), de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui (não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, evidentemente, os nós internos rotulados).
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a) Para o caso de estruturas espaciais, o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo do número de deslocabilidades internas rígidas que a estrutura possui.
b) Para o caso de grelhas, o número de deslocabilidades internas (di) é igual ao dobro do número de nós internos que a estrutura possui.
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Deslocabilidade externa
	Seja agora, a estrutura da figura a seguir. Como todos os seus nós internos são rotulados, não precisamos conhecer as rotações das barras nestes nós (em outras palavras, não há deslocabilidades internas a considerar). Resta-nos analisar o problema dos deslocamentos lineares dos mesmos para conhecermos o número de incógnitas do problema. Iniciando esta análise pelo nó D, vemos que ele não terá componente vertical de deslocamento, devido a presença do engaste A, nada impede, no entanto, seu deslocamento na direção horizontal, que se constituirá, pois, em uma primeira incógnita do problema. Para concretizar esta incógnita, indicaremos um apoio do primeiro gênero em D, mostrando que seria necessária a existência de mais de um vínculo na estrutura para que o nó D não possuísse deslocabilidades lineares.
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	Tudo que foi feito para o nó D vale, também para o nó G, que pode se deslocar na direção horizontal (o deslocamento vertical é impedido pelo engaste C). Para caracterizar esta incógnita, também indicaremos um apoio do primeiro gênero no nó G.
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	 O nó E, por força do engaste B, não terá componente vertical de deslocamento de deslocamento e, devido ao apoio do primeiro gênero, não terá componente horizontal de deslocamento.
	O nó F, por estar ligado a dois nós indeslocáveis ( E e G), também será indeslocável.
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		Logo, o número de deslocabilidades (de) de uma estrutura é igual ao número de apoios que a ela precisamos acrescentar para que todos os seus nós fiquem sem deslocamentos lineares.
 Número total de deslocabilidades
		Dizemos que o número total de deslocabilidades d de uma estrutura é igual ao número de deslocabilidades internas ( di) e de deslocabilidades externas (de).
d= di + de
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Mecanismo do método
	Para resolver o quadro ABCD da figura abaixo, que possui 3 deslocabilidades ( 2 internas e 1 externa).
 	Adotando um sistema principal, que impeça todas estas deslocabilidades e que consiste na colocação de chapas rígidas que impeçam a rotação dos nós B e C (chapas 1 e 2 ) e de um apoio do primeiro gênero (3) na barra BC, impedindo seu deslocamento horizontal, conforme é mostrado na figura.
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	Chamamos de δ1, δ2 e δ3 respectivamente, as deformações 1,2 e 3, que inicialmente adotaremos como unitários.
Equação de compatibilidade estática:
	β10 +δ1 β11+ δ2 β12 + δ3 β13 =0
	β20 + δ1 β21+ δ2 β22 + δ3 β23 =0
	β30 + δ1 β31+ δ2 β32 + δ3 β33 =0
Onde:
βi0- esforço na direção de deslocabilidade devido ao carregamento externo no sistema principal.
βij- esforços na direção da deslocabilidade i devido ao deslocamento na direção da deslocabilidade j, no sistema principal.
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Grandezas fundamentais
Rigidez de uma barra
	Denominamos rigidez de uma barra num nó ao valor do momento que aplicado neste nó, suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária do mesmo.
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a) Barra biengastada (Sussekind vol 3 tabela III – pág 19)
kA = 4 EI /L – rigidez real
kA= I/ L – rigidez relativa
	Coeficiente de transmissão (t) de um nó para o outro é dado por:
tAB = 0,5
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Obs: Devido ao momento igual a 4 EI /L no bordo que sofreu rotação unitária, aparece momento igual à metade de seu valor na outra extremidade da barra e de mesmo sentido vetorial que o da rotação φ=1 e do momento que o provocou. 
b) Barra engastada e rotulada
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kA= 3 EI/ L – rigidez real
kA= (3 /4)EI/ L – rigidez relativa
	Alguns autores preferem trabalhar com o coeficiente de rigidez relativa. A desvantagem é não se obter, com a solução do sistema de equações de equilíbrio, os deslocamentos diretamente com os seus valores reais.
 	Resolvendo o sistema de equações, obtém-se os valores correto das deformações δ1,δ2, δ3.
	Efeitos finais:
	E= E0 +Ʃ Δ1E1
	Nos casos de variação de temperatura e recalque de apoio, basta substituir β0 por βit e βir.
Roteiro para o Método dos Deslocamentos
1)Escolha do Sistema Principal (obtido bloqueando-se as deslocabilidades externas com apoios do primeiro gênero e as deslocabilidades internas com chapas rígidas).
2)Resolução do Sistema Principal para o agente solicitante externo, obtendo-se o valor {β0} e para cada uma das deformações incógnitas δi, com o valor arbitrado inicialmente, obtendo-se a matriz [β].
3) Cálculo das deformações (incógnitas) δi, pela expressão 
 {δi} = -[β]-¹ {β0} 
4) Obtenção dos efeitos finais (E= E0+ ƩΔiEi)
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 {β0}- vetor dos termos de carga
[β] – matriz de rigidez global
{δ} – vetor das deslocabilidades
[β]-¹ - matriz de flexibilidade (deslocamentos)
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Método dos deslocamentos (variação de temperatura)
	Seja resolver a estrutura da figura 1 para a solicitação térmica nela indicada, que consiste numa variação de temperatura te das fibras externas e numa variação ti das fibras internas em relação ao dia de sua execução.
	
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	O esquema da figura 1 mostra a decomposição da variação de temperatura que ocorre em duas parcelas – uma apenas com o gradiente térmico Δt = ti – te do interior em relação ao exterior, sem variação de temperatura no centro de gravidade, e a outra apenas para uma variação uniforme de temperatura no tg ( igual à variação de temperatura atuante no centro de gravidade da seção) ao longo de toda a seção , podemos dizer que a solução do caso da figura 1, será a soma dos casos da figuras 2 e 3.
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a) Efeitos de Δt ( com tg=0)
	No caso da figura 2, como não há variação de temperatura no centro de gravidade (tg=0), não haverá variação no comprimento das barras da estrutura e, para conhecermos os efeitos provocados por esta parcela de solicitação, no sistema principal (indicado na figura abaixo), bastará que conheçamos os momentos de engastamento perfeito em vigas retas biengastadas ou engastadas e apoiadas, submetidas apenas a um gradiente térmico Δt = ti – te.
	Estes casos podem ser tabelados para barras com inércia constante, obtendo-se as expressões dos momentos de engastamento perfeito seguintes
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Para o caso de biengastada:
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Para o caso de engastada e apoiada
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	Os sentidos estão indicados supondo-se que Δt > 0 (caso contrário, os sentidos serão inversos).
b) Efeitos de tg (com Δt=0)
No caso da figura 3, como há variação de temperatura no centro
de gravidade das barras, as mesmas terão variação de comprimento iguais a ΔL1 = α. tg.L1 e ΔL2 = α. tg.L2, com isto, a posição do nó C mudará, podendo ser obtido pelo diagrama de Williot. Para o traçado do Williot (supondo tg >0 ) marcamos, a partir da origem 0 (que coincide no caso com os pontos A e B), as variações de comprimento ΔL1 e ΔL2 das barras 1 e 2,sendo obtidos os pontos 1 e 2, tirando-se por 1 e 2 perpendiculares, respectivamente às barras 1 e 2, obtemos C, ficando completo o Williot.
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ρ1 e ρ2 – deslocamentos ortogonais recíprocos das barras 1 e 2. 
	A análise do Williot nos mostra que a deformação de cada barra tem duas componentes: uma axial (que é a variação do comprimento provocado pela variação de temperatura) que não introduzirá esforços no sistema principal e a outra perpendicular à barra, sendo portanto, um deslocamento ortogonal recíproco e que provocará o aparecimento de momentos de engastamento perfeito.
Conhecidos os deslocamentos ortogonais recíprocos, obtemos o vetor {βitg}, ficando resolvido o problema pela expressão.
 
Podemos resolver diretamente o problema conjunto de variação de temperatura ( Δt +tg) bastando somar os efeitos das 2 parcelas no sistema principal, o que nos conduzirá ao vetor 
	A partir do qual o problema é resolvido.
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Bibliografia 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas: Métodos das forças e método dos deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,2006
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrututral: Volume 2,deformações em estruturas – método das forças. 7. ed. Porto Alegre: Globo, 1984 apenas as duas maiores notas obtidas
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrututral: Volume 3, método das deformações –processo de Cross. 6. ed. Porto Alegre: Globo, 19844 apenas as duas maiores notas obtidas
Apostila Prof. Marcos Vinícius ( UNESA)
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