Lista de Exercícios 6

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Curso: Química
Professor: Thiago Ferraiol
Lista de Exercícios - Introdução às funções de várias variáveis
1. Determine:
a) A equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é paralela ao vetor ~v = (−1, 1)
b) Uma equação vetorial (ou paramétrica) da reta que passa pelo ponto (1,−1) e é perpendicular
à reta 2x+ y = 1
c) A equação do plano que passa ponto (1, 1, 1) e é perpendicular ao vetor ~n = (2, 1, 3)
d) A equação do plano que passa ponto (0, 1,−1) e é perpendicular ao plano x+ 2y − z = 3
e) Um vetor não nulo ortogonal aos vetores ~u = (1, 2,−1) e ~v = (2, 1, 2)
f) A equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, 1) e é paralelo aos vetores ~u = (−1, 1, 2) e
~v = (2, 1,−1)
2. Prove a desigualdade triangular para vetores, isto é, ‖v+u‖ ≤ ‖v‖+‖u‖. Dê uma interpretação
geométrica para ela.
3. Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y).
a) z =
√
1− x− y b) f(x, y) = x− y√
1− x2 − y2
c)
√
y − x2 +√2x− y d) z = ln(2x2 + y2 − 1)
e) 4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0 f) z = x− y
senx− sen y
4. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das seguintes funções
a) f(x, y) = 1− x2 − y2 b) f(x, y) = x+ 3t
c) z = 4x2 + y2 d) g(x, y) =
√
1− x2 − y2
e) z =
√
x2 + y2 f) f(x, y) = sen y
5. Determine as curvas de nível e encontre a imagem da função
a) f(x, y) = x− 2y b) z = y
x− 2
c) z = xy d) z = x
2
x2+y2
e) z = xy
x2+y2
f) f(x, y) = senx+ cos y
1
6. Raciocinando geometricamente determine os valores máximos e mínimos da função f(x, y) =
2x+ y + 3 no conjunto A = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 2}.
7. Um ponto P se movimenta sobre a superfície z = xy de forma que em cada instante t sua
posição é dada pelas coordenadas (x(t), y(y), z(t)). Se x(t) = 5− t e y(t) = t2 + 3, determine o
instante t em que a altura do ponto P , em relação ao plano xy é máxima e o instante em que
a altura é mínima.
8. Suponha que em cada ponto (x, y) no plano a temperatura seja dada em oC por T (x, y) =
4x2 + 9y2.
a) Determine a isoterma correspondente à temperatura de 36oC. (isoterma é a curva em que a
temperatura permanece constante).
b) Determine o ponto de menor temperatura ao longo da reta x+ y = 1
9. Calcule os limites abaixo, caso existam. Justifique no caso do limite não existir.
a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
(
1
x2 + y2
)
b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
a) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3 b) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
10. Em todos os casos do exercício anterior, o ponto (0, 0) não está no domínio da função conside-
rada. Diga quais daquelas funções podem ser estendidas continuamente para o ponto (0, 0)
11. Considere f(x, y) =
2xy2
x2 + y4
.
a) Determine o domínio e as curvas de nível de f
b) Para cada reta α(t) = (at, bt) no plano vale lim
t→0
f(α(t)) = 0
c) Calcule lim
t→0
f(t2, t).
d) Conclua que a função f não possui limite quando (x, y)→ (0, 0).
2