Lista de Exercícios 7

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Curso: Química
Professor: Thiago Ferraiol
Lista de Exercícios
Derivadas Parciais, plano tangente, regra da cadeia, derivadas direcionais
1. Calcule as derivadas pariciais de:
a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4 b) f(x, y) = cos xy
c) f(x, y) =
x3 + y2
x2 + y2
d) f(x, y) = e−x
2−y2
e) f(x, y) = (4xy − 3y3)3 + 5x2y f) f(x, y) = arctg x
y
2. Considere a função z =
xy2
x2 + y2
. Verifique que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
3. Seja φ : R → R uma função diferenciável tal que φ′(1) = 4. Considere g(x, y) = φ
(
x
y
)
e
calcule
a)
∂g
∂x
(1, 1) b)
∂g
∂y
(1, 1)
4. A função P = P (V, T ) é dada implicitamente pela equação PV = nRT , onde n e R são
constantes não nulas. Calcule
∂P
∂V
e
∂P
∂T
.
5. Encontre os pontos onde a função f dada é diferenciável
a) f(x) =

x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
b) f(x) =

x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
6. Determine as equações da reta normal e do plano tangente ao gráfico de f no ponto indicado.
a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
b) f(x, y) = xex
2−y2
em (2, 2, f(2, 2)).
1
7. Usando lienarização, calcule o valor aproximado de
a) x3y2 quando x = 1, 02 e y = 1, 99 b) (1, 01)2,03
8. Calcule a derivada direcional
∂f
∂u
(x0, y0) onde
a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1, 2) e u é o vetor unitário na direção de (2, 1).
b) f(x, y) =
1
x2 + y2
, (x0, y0) = (1, 1) e u é o vetor unitário na direção de (2, 3).
9. Uma formiga caminha com velocidade constante sobre uma placa plana cuja temperatura num
ponto (x, y) é dada por T (x, y) = e−x
2−y2
. Com relação a essa função responda os itens abaixos.
a) Calcule
∂T
∂x
e
∂T
∂y
.
b) Qual a taxa de variação da temperatura quando a formiga passa pelo ponto (1, 1) caminhando
paralelamente ao eixo x?
c) Qual a direção que a formiga deve seguir a partir do ponto (1, 1) para que a taxa de variação
da temperatura seja máxima?
d) Mostre que se a formiga caminhar ao longo de um círculo de raio r centrado na origem então
sua temperatura permanece constante igual a e−r
2
.
10. Calcule
∂z
∂t
pelos dois processos feitos em aula (Substituindo x e y pelas funções de t ou utili-
zando a regra da cadeia para funções de várias variáveis)
a) z = senxy, x = 3t e y = t2.
b) z = x2 + 3y2, x = sen t e y = cos t.
c) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen 3t e y = cos 3t.
11. Suponha que para todo (x, y) vale
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 2.
Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2 cos t, sen t).
12. Seja f(x, y) e suponha que as variáveis x e y são funções de duas outras variáveis s e t com
relação entre elas dada por x = s+2t e y = s2− t. Expresse ∂f
∂s
e
∂f
∂t
em termos das derivadas
parciais
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
2