Lista de Exercícios 2

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Curso: Química
Professor: Thiago Ferraiol
Lista de Exercícios - Derivadas e regras de derivação
1. (Derivadas) Usando limites, calcule a derivada da função f dada no ponto p indicado e em
seguida ache a equação da reta tangente ao gráfico no ponto (p, f(p)):
a) f(x) = 3x+ 2 e p = 2 b) f(x) = x2 + x e p = 1 c) f(x) =
√
x e p = 9
d) f(x) = x3 e p = −1 e) f(x) = 1
x
e p = 1 f) f(x) =
1
x2
e x = 2
2. Em cada caso faça um gráfico de uma função com as condições dadas.
a) Uma função f derivável em todo R tal que f ′(x) > 0 para todo x ∈ R.
b) Uma função f derivável em R− {2} tal que f ′(x) < 0 se x < 2 e f ′(x) > 0 se x > 2.
c) Uma função f contínua em R e derivável em todos os pontos exceto em x = −1, x = 0 e
x = 1.
d) Uma função f derivável em R e tal que f ′(x1) < f ′(x2) se x1 < x2, ou seja, tal que f ′(x) é
crescente.
e) Uma função f derivável em R e tal que f ′(x1) > f ′(x2) se x1 < x2, ou seja, tal que f ′(x) é
decrescente.
3. (Diferenciabilidade) Esboce o gráfico das funções abaixo e diga em quais pontos elas são deri-
váveis e em quais elas não são. Calcule as derivadas nos pontos em que ela existir.
a) f(x) =
{
x2 + 2 se x < 1
2x+ 1 se x ≥ 1 b) f(x) =
{
2x+ 1 se x < 1
−x+ 4 se x ≥ 1
4. (regras de derivação) Calcule a derivada das funções dadas. Além dessas, calcule pelo menos
mais umas 100 derivadas a sua escolha:
a) f(x) = 2x b) f(x) =
1
x7
c) f(x) =
5
√
x2
d) f(x) = log5 x e) f(x) = tg x f) f(x) = 2x
2 + 5
g) f(x) = 3x+ 2
√
x h) f(x) =
3x
x2 + 1
i) f(x) =
3x2 + 3
5x− 3
j) f(x) = 5x+
x
x− 1 k) f(x) =
3
√
x+ x√
x
l) f(x) = x2 tg x
m) f(x) =
cosx
x+ 1
n) f(x) =
cosx
senx
o) f(x) =
ex − 1
ex + 1
p) f(x) = ex cosx q) f(x) =
lnx
x
r) f(x) =
ex
x lnx
s) f(x) = xe3x t) f(x) = sen(2x) u) f(x) = e−x cos(4x)
v) f(x) = (sen(3x) + 2x)3 w) f(x) =
sen(ex)
cos(ex)
x) f(x) =
√
x2 + 3
1
5. (regras de derivação II) Verifique as identidades abaixo
a) Se y = cosωt então
d2y
dt2
+ ω2y = 0
b) Se f : R→ R é duas vezes derivável e y = f(e2x) então y′′ = 4e2x [f ′(e2x) + e2xf ′′((e2x)]
c) Se y =
x+ 1
x− 1 então (1− x)y
′′ = 2y′
d) Se y = y(r) for duas vezes diferenciável então
d
dr
(
y2
dy
dr
)
= 2y
(
dy
dr
)2
+ y2
d2y
dr2
6. (derivação de funções dadas implicitamente) As equações abaixo fornecem uma relação entre y
e x. Supondo que y = f(x) é uma função de x , calcule
dy
dx
.
a) x2 − y2 = 4 b) y3 + x2y = x+ 4 c) xy2 + 2y = 3
7. Encontre a equação da reta tangente à elipse E dada pela equação E :
x2
a2
+
y2
b2
= 1 num ponto
(x0, y0) ∈ E.
8. Considere a curva C dada pela equação C : xy − x2 = 1 .
a) Encontre a equação da reta tangente à curva C num ponto (x0, y0) com x0 > 0.
b) Encontre o ponto B onde a reta do item anterior intersecta o eixo y.
c) Mostre que a área do triângulo de vértices (0, 0), (x0, y0) e B não depende do ponto (x0, y0)
onde a reta tangente foi calculada.
9. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sua posição em função do tempo é dada por x =
3 + 2t− t2.
a) Encontre a função que fornece a velocidade num instante t.
b) Encontre a função que fornece a posição num instante t.
c) Encontre os instantes nos quais a partícula muda de direção.
d) Encontre os instantes nos quais a partícula acelera e os instantes nos quais ela freia.
e) Esboce no mesmo plano os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração.
10. Enche-se uma esfera de raio 10m com água a uma taxa de 1m3/s. Calcule a velocidade com que
o nível de água aumenta quando a esfera está cheia pela metade. Obs: A fórmula que relaciona
o volume de água V dentro da esfera com o seu nível h é V =
pih2
3
(3r − h).
11. Um homem com 1, 80m de altura caminha em direção a um edifício com velocidade 1, 2m/s.
Um ponto de luz colocado no chão a 12 metros do edifício faz com que a sombra do homem seja
projetada sobre o edifício. Qual será a velocidade de diminuição da sombra quando o homem
estiver à 9m do edifício?
12. Quando o último vagão de um trem passa por baixo de um viaduto, um automóvel cruza o
viaduto numa rodovia perpendicular aos trilhos e 30 metros acima deles. Se o trem anda a
80m/s e o carro a 40m/s, com que velocidade eles estarão se afastando 2s após passarem pelo
cruzamento?
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