Lista de Exercícios 4

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral
Curso: Química
Professor: Thiago Ferraiol
Lista de Exercícios - Integrais
1. Crie uma tabela com as derivadas/primitivas que você conhece e, em anexo, faça as contas.
Atualize essa tabela constantemente.
2. Calcule as primitivas abaixo:
a)
∫
x2 + x+ 1 dx b)
∫
2 + 4
√
x dx c)
∫
x2 + 1
x
dx
d)
∫
sen(5x) dx e)
∫
sec2 x dx f)
∫
1
e3x
dx
3. Determine, em cada caso, a função posição de um objeto que se move sobre o eixo x e satisfaz
as condições dadas:
obs: a(t), v(t) e x(t) denotam, respectivamente, a aceleração, a velocidade e a posição no
instante t.
a) v(t) = 2t+ 3 e x(0) = 2 b) a(t) = 3, v(0) = 1 e x(0) = 1
c) a(t) = t2, v(0) = 0 e x(1) = 2 d) a(t) = cos (2t), v(0) = 1 e x(0) = 0
e) a(t) = e−t, v(0) = 0 e x(0) = 1 f) a(t) = sen (3t), v(0) = 0 e x(0) = 0
4. (Áreas) Em cada item, faça um esboço da região descrita e calcule sua área.
a) Região limitada pelo gráfico de f(x) = x3 e pelas retas x = 0, x = 1 e y = 0.
b) Região limitada pelos gráficos de f(x) = x2 e g(x) =
√
x.
c) Região limitada pela parábola y = 4− x2 e pelo eixo y.
d) Região limitada pelo período da função y = senx.
5. (Calculando primitivas) Utilizando apenas substituições, relações trigonométricas e as derivadas
já conhecidas, calcule as primitivas abaixo
a)
∫
cos2 x dx b)
∫ √
3x+ 1 dx c)
∫
e2x dx
d)
∫
xex
2
dx e)
∫
2
5 + 3x
dx f)
∫
x2
(1 + x3)2
dx
g)
∫
x
√
x2 + 3 dx h)
∫
senx cos2 x dx i)
∫
cos3 x dx
j)
∫ (
2 +
1
3
sen 2x
)
dx k)
∫
sen 2x
cosx
dx l)
∫
sen2 (2x) dx
m)
∫
sen2 x cos2 x dx n)
∫
tg x sec2 x dx o)
∫
tg3 x cosx dx
1
6. Considere a função f(x) = ln | secx+ tg x|.
a) Verifique que o intervalo
(−pi
2
, pi
2
)
está no domínio de f .
b) Mostre que f ′(x) = secx, para x ∈ (−pi
2
, pi
2
)
.
c) Conclua que
∫
secx dx = ln | secx+ tg x|+ k.
7. (algumas outras primitivas) Utilize a mesma ideia do exercício anterior. Calcule a derivada da
expressão do lado direito de cada igualdade para provar as relações. Defina também o intervalo
onde vale cada relação.
a)
∫
tg x dx = − ln | senx|+ k b)
∫
secx tg x dx = secx+ k
c)
∫
1
1 + x2
dx = arctg x+ k d)
∫
1√
1− x2 dx = arcsenx+ k
8. (relações trigonométricas) Verifique as relações trigonométricas abaixo.
a) sen (a+ b) + sen (a− b) = 2 sen a cos b.
b) cos (a− b)− cos (a+ b) = 2 sen a sen b.
c) cos (a+ b) + cos (a− b) = 2 cos a cos b.
9. (integrais com produtos de senos e cossenos) Calcule as primitivas abaixo usando as relações
trigonométricas do exercício anterior.
a)
∫
sen 6x cosx dx b)
∫
senx cos 3x dx c)
∫
sen 3x cos 4x dx
d)
∫
sen 3x sen 2xx dx e)
∫
cos 5x cosx dx f)
∫
sen 2x sen 5x dx
10. (integração por partes) Calcule as primitivas abaixo
a)
∫
x senx cosx dx b)
∫
x2e2x dx c)
∫
lnx dx
d)
∫
cos2(x) dx e)
∫
sen3(x) dx f)
∫
e−x cos(2x) dx
11. Verifique que para todo número natural n ≥ 1 e todo real a > 0 valem as relações abaixo:
a)
∫
xne−ax dx = −1
a
xne−ax +
n
a
∫
xn−1e−ax dx.
b)
∫
senn(x) dx = − 1
n
senn−1(x) cos(x) +
n− 1
n
∫
senn−2(x) dx.
c)
∫
cosn(x) dx =
1
n
cosn−1(x) sen(x) +
n− 1
n
∫
cosn−2(x) dx.
d)
∫
secn(x) dx = − 1
n− 1 sec
n−2(x) tg(x) +
n− 2
n− 1
∫
secn−2(x) dx.
2
12. (substituições inversas) Calcule as primitivas abaixo
a)
∫ √
1− 4x2 dx b)
∫
1√
4− x2 dx c)
∫ √
−x2 + 2x+ 2 dx
d)
∫
x+ 2
(x+ 1)5
dx e)
∫ √
1 +
√
x dx f)
∫
1
x2 + 2x+ 5
g)
∫
x+ 1
1 + x2
dx h)
∫
2x− 1
9 + 4x2
dx i)
∫
2x+ 1
x2 + 4x+ 5
13. (frações parciais) Calcule as primitivas abaixo
a)
∫
1
x2 − 4 dx b)
∫
x√
x2 − 9 dx c)
∫
2x+ 1
x2 − 1 dx
d)
∫
x2 + 3x+ 1
x2 − 2x− 3 dx e)
∫
x3 + x+ 1
x2 − 4x+ 3 dx f)
∫
x3 + x+ 1
x2 − 2x+ 1
g)
∫
x+ 1
x(x− 2)(x+ 3) dx h)
∫
2
(x+ 2)(x− 1)2 dx i)
∫
x5 + 3
x3 − 4x
j)
∫
4
xs− x2 − 2x dx k)
∫
x− 3
(x− 1)2(x+ 2)2 dx l)
∫
2
x3(x+ 2)
m)
∫
2x+ 1
x2 + 2x+ 2
dx n)
∫
x+ 2
x3 + 2x2 + 5x
dx i)
∫
3x2 + 5x+ 4
x3 + x2 + x− 3
14. (relações trigonométricas) Verifique as relações trigonométricas abaixo.
a) sen2 x =
1
2
− cos(2x)
2
b) cos2 x =
1
2
+
cos(2x)
2
c) sec2 x = 1 + tg2 x
15. (potências de seno, cosseno, secante e tangente) Calcule as primitivas abaixo
a)
∫
cos(x) sen4(x) dx b)
∫
sen2(x) cos4(x) dx c)
∫
cos(x) cos2(4x) dx
d)
∫
tg5(x) sec2(x) dx e)
∫
sec4 x dx f)
∫
tg6(x) dx
3