Lista de Exercícios 9

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Exercícios 3,1
SejaÁ o retângulo I < r < 2, 0 k y <
a ) x * 2 y
c) 
.[x+ y
e ) l
g) ycosry
i) yery
[) xsen try
f(x, y) dx dy, sendo f (a y) igual a
l + x 2 + Z r y + y 2
sejam/(r) e g (y) duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos [a, b) e [c, {. proveque
r r ( r b \ ( r d \
l l . f@s0) dxdy: l I r @ a ' l l l - s (9 ay l
. r rA \Jo ) \J , - " ' " )
ondeÁ é oretângulo a < Í < b, c < y < d.
Utilizando o Exercício 2. calcule
l. Calcule
b ) x ' y
II^
d ) r
x + y
fl xcosry
1
h) -----------;(x * y) '
i) ,v2
m)
IJ^
II^
II^
II^
T^
T^
a)
b)
c)
ry' dx dy,ondeÁ é o retângulo 1 (.r ( 2,2 < y < 3.
x cos2y d.x dy, onde Aé o retângulo 0 <.r < 1, - 3 7r
+ - * , 
* ; '
x lny dx dy,ondeÁ é o retângulo 0 < x € 2, L < y < 2.
ry e" 
- v" dx dy,ondeÁ é o retângulo - l <.r < 1, 0 < y < 3.
sen2 r
# dx dy. ondeÁ é o retângulo 0 < x € 3, O = n < 1.1 , * 4 y z " 2 ' - J - 2 '
!!]at ay. onde Á é o rerânguto 0 <.r < 3, 0 = y = t.| ' Ì - 4 y z 2 ' -
$a"or" o volume do conjunto dado.
a ) { ( x , y , . ) € R , l 0 < x < 1 , 0 < y < 1 , 0 < z < x + 2 y } .
b) { (x , y , . ) € R3 | 0 <r < Z, | <y< 2, 0 <. = Jry l .
c) { (x , y , . ) € R' | 0 <r< l , 0 <y < l , 0 < z 4 ryex" - t2 1.
d) { (x , y ,z) € R3 | 0 <x < 1, 0 <y < l ,12 t y2 < z< 2} .
e ) { ( x , y , z ) c R 3 | I < . r < 2 , 0 < y < l , _ r * y < z < x + y + 2 } .
Í ) { (x , y , . ) € R3 | 0 <*< l , 0 <}< l , 1 < z4 ex + ry .
5. Calcule 
fir, * OrondeBé o conjunrodado.
9U U o triânguto rle vértices (0, 0), (1,0) e (1, 1).
l ? B : { ( a y ) € R z t - t < Í < 1 , 0 < y < x + 2 } .
9{ 9 o conjunro de todos (a y) tais qu"12 + 4y2 * l.d) B ê o triângulo deyórrices (0, 0), (i, O) e e,í.
e) B é aregião compreendida entre os gráficos de y o x e y = i, com1s x s 2.fl B é o paralelogramo de vérrices (_ f, Ol, (0, 0), (1, l) e (0, l).g) B é osemicÍrculo.r2 * /2 < 4, y > 0.
h) B = {(a y) e R2 l.r > 0,15 _.t <y < 0}.
6. calcule 
II", O, ì dx dysendo dados:
Qf f r ,y ) = . rcosy eB = { (x ,y )€ R2 lx70 ,x2<y<?Ì } .
\!)f@, y) = ry e B = {(x,y) € R2 t } + y2< 2,y < x ex > 01.
@f A, y) = x e B o triângulo de vérrices (0, 0), (1, l) e e,0).
.Exercícios 4.2
1. Calcule
@
8)
h)
r)
@ IJ"u' + 2v) dx dv onde B é o círctro x2 + v2 < 4.
@ l l " U ' + y 2 7 a x a y o n d e n : { ( a y ) € R 2 r 1 < * 2 + y 2 < 4 1 .
@ JI"x2 dxdvondeBéoconjunto +Ì +y2ut.
@ JI"r"n1+r2 + 1S axayonaeBéo conjuntodetodos (a y)taisque4x2 + y2 < I ey--0.
@ JIre" 
+v' dxdyondeBéoconjuntoderodos(ay)taisque 1 < Ê + y2 <4,
- r < y 4 x , x è 0 .
"r -l l f , l \ , - x
| | ;= dx dy onde B é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0, l).JJB | + y + )c
l l
ll _ x dx dy onde B é o conjunto, no plano ry, limitado pela cardióide p : I - cos 0.
, ' J B
l f e ! - "
l l ^ , a tdyondeBéocon jun todetodos(ay) ta isque I *12 <y< Z+ * ,
, , JB y - X '' õ
y T x l x ' e x 2 O .
t l
l l , a" d.y ondeB éocírcúo* + y2 -.r< 0.J,' B
?t r -^ - ^
Í l J l " . l r ' + yz dxdv ondbËéoquadrado0<x< l ' 0<v< 1 '
*> lí y2 dx dy onde B = {(a y) e R2 | .x2 + y2 < l, y > x e x > 0},' J J n "
? l
tl lJr<Zr+y) cos (x - y) úc dy onde B é o paralelogramo de vértices (0, 0)'
(2 r z \ (n zn ì r
t e t - , - - t ,
\ 3 3 ) \ 3 3 )
2. Passe para coordenadas polares e calcule
ofi[f=,a*
- .t f n^[í-' I
6 \ l l l ' x d y l & '\., JO LJO J .
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( n z r )[ï 'TJ,