Análise de Pêndulos Simples e Físico

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL
Análise de Pêndulos simples e físico
Fabio Rasera Figueiredo (244430)
David Domingues (Turma C)
Resumo: Neste experimento foram analisados os períodos de dois tipos de pêndulos:
simples e físico. O fenômeno estudado, portanto, foi a periodicidade destes pêndulos e sua relação
com a mudança dos parâmetros iniciais. O experimento consiste em duas etapas, uma na qual
analisamos o pêndulo simples e outra na qual analisamos o pêndulo físico. Para o pêndulo simples,
variamos o comprimento do fio no qual um corpo pendia livre na extremidade e analisamos a
implicação dessa mudança em seu período. Para o pêndulo físico -uma barra delgada-, variamos a
distância do eixo de rotação a partir do seu centro de massa, e analogamente analisamos as
mudanças no período. Concluímos que há uma dependência linear no período de um pêndulo
simples à medida que variamos a distância do corpo na extremidade, e para o pêndulo físico
encontramos uma relação não linear, cuja análise nos permitiu descobrir em qual ponto do objeto
teríamos um eixo onde houvesse o menor período possível de oscilação. Além disso, pudemos
perceber que o pêndulo simples se encaixa em um caso especial de pêndulo físico.
Introdução
Um pêndulo simples é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite
sua movimentação livremente, onde a massa fica sujeita à força restauradora causada pela
gravidade. Já o pêndulo físico consiste em um objeto que oscila em torno de um eixo de rotação
perpendicular ao plano em que se movimenta, sendo este objeto massivo em toda a sua extensão, e,
portanto, requirindo o estudo da distribuição de sua massa -momento de inércia- para poder ser
analisado.
Primeiramente, equacionamos o movimento do pêndulo físico, para depois deduzirmos o
movimento do pêndulo simples como um caso especial de pêndulo físico. Pela Segunda Lei de
Newton para corpos extensos, chegamos a uma equação diferencial:
d 2θ
dt 2
+ mgd
I
senθ= 0
1
Para pequenos ângulos, usamos a aproximação senθ = θ , e obtemos a seguinte solução:
d 2θ
dt 2
+ mgd
I
θ= 0
Assim, temos
ω= √mgdI
e
 T= 2π√ Imgd (1)
Através do teorema dos eixos paralelos de Steiner, podemos calcular o momento de inércia
relativo ao eixo de rotação da barra delgada. O teorema diz que o momento de inércia do eixo
selecionado I se relaciona com o eixo do centro de massa da seguinte maneira:
I= I cm+ md 2
Portanto, para uma barra delgada teremos a seguinte expressão para o momento de inércia
em qualquer ponto dela:
I= 1
12
mL2+ md 2= m(1
12
L2+ d 2)
Onde L representa a extensão da barra. Assim, o período T se dará por
 T= 2π√m(112 L2+ d 2)mgd = 2π√ 112 L2+ d 2gd (2) 
A equação 1 serve para descrever o movimento de qualquer pêndulo físico com amplitude
inicial pequena. Através dessa equação podemos obter uma que sirva para descrever o movimento
de um pêndulo simples, pois sabemos seu momento de inércia. Sendo l o comprimento do fio cujo
qual a massa está presa, e d = l, temos:
I pend.simples= ml2
 T 1= 2π√ml2mgl = 2π√ lg (3)
A equação 3 servirá para descrever o movimento de um pêndulo simples, a partir de
pequenas amplitudes. Nesse experimento, usamos um ângulo θ⩽ 5º . Com esses modelos
matemáticos, cumprimos os objetivos de encontrar uma relação entre as mudanças de comprimento
do pêndulo simples e seu período, e a relação entre a distância do eixo rotacional do centro de
massa de um pêndulo físico e seu período.
2
Materiais utilizados
•1 pêndulo simples
•1 pêndulo físico -barra delgada metálica-
•1 sensor fotoelétrico (precisão de 0,1 ms)
•1 transferidor escolar (precisão de 1º)
•1 trena simples (precisão de 0,1 cm)
Procedimentos
Com o intuito de coletar os dados, um sensor fotoelétrico foi posicionado próximo ao ponto
de repouso da massa pendente no pêndulo simples, e analogamente à extremidade do pêndulo
físico. Todos os períodos foram medidos a partir de uma amplitude inicial menor ou igual a 5º. Para
o pêndulo simples foram medidos 10 períodos para cada comprimento de l, tendo sido utilizados 5
comprimentos diferentes. A medida de comprimento foi tirada com uma régua escolar, e os períodos
cronometrados pelo sensor fotoelétrico, ajustado para o modo pêndulo. Já, para o pêndulo físico,
foram medidos 10 períodos para 12 distâncias diferentes do eixo em relação ao centro de massa. A
barra continha furos distados por 1cm, conferidos pela precisão da trena. Variamos a distância de 5
em 5cm, e após encontrar o intervalo entre o qual estava o menor período, que era o intervalo de 25
a 30cm, diminuímos a variação de distância para 1cm, a fim de encontrar com maior exatidão o
ponto em qual teríamos o eixo que proporcionasse o menor período possível para o pêndulo. Os
períodos do pêndulo físico também foram cronometrados através do sensor fotoelétrico.
O experimento foi montado conforme os esquemas a seguir:
Figura 1. Pêndulo simples com massa m oscilando. Período coletado pelo sensor fotoelétrico.
 
3
sensor fotoelétrico
Figura 2. Pêndulo físico oscilando. Com d representando a distância do eixo de rotação do centro de massa da barra.
Dados experimentais
- Extensão da barra delgada: 100,00(± 0,05)cm
- Distância do centro de massa da barra delgada a partir de sua extremidade: 50,00(± 0,05)cm
Tabela 1. Períodos T medidos para cada comprimento l do pêndulo simples. Os valores da incerteza dos
instrumentos não estão demonstrados na tabela. Para os períodos T, a incerteza vale ± 0,0001 s , e para os
valores de comprimento l, vale ± 0,05 cm .
l (cm)
T (s) 
T̄ (s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18,5 0,8564 0,8436 0,8503 0,8574 0,8561 0,8578 0,8595 0,8588 0,8725 0,8558 0,85682
27 1,0370 1,0432 1,0374 1,0399 1,0391 1,0472 1,0391 1,0393 1,0381 1,0378 1,03981
33,5 1,1654 1,1692 1,1695 1,1682 1,1692 1,1715 1,1676 1,1691 1,1692 1,1678 1,16867
42 1,3013 1,3008 1,3013 1,3006 1,3009 1,3014 1,3018 1,3018 1,3010 1,2992 1,30101
47 1,3792 1,3793 1,3792 1,3805 1,3085 1,3790 1,3816 1,3804 1,3777 1,3783 1,37957
4
d
sensor fotoelétrico
Tabela 2. Períodos coletados para cada distância d do centro de massa até o eixo rotacional selecionado. As
incertezas não estão demonstradas na tabela. Para os períodos T 1 vale a incerteza de ± 0,0001 s , e para
os valores de d, vale a incerteza de ± 0,05 cm .
d (cm)
T 1(s) T̄ 1(s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 1,9375 1,9383 1,9379 1,9387 1,9387 1,9377 1,9381 1,9380 1,9389 1,9379 1,93817
15 1,6851 1,6862 1,6855 1,6861 1,6856 1,6852 1,6857 1,6850 1,6858 1,6854 1,68556
20 1,5758 1,5750 1,5750 1,5751 1,5752 1,5758 1,5757 1,5750 1,5754 1,5752 1,57532
25 1,5324 1,5320 1,5331 1,5328 1,5327 1,5326 1,5328 1,5328 1,5325 1,5326 1,53263
26 1,5278 1,5282 1,5281 1,5284 1,5283 1,5284 1,5284 1,5287 1,5284 1,5283 1,52830
27 1,5253 1,5254 1,5255 1,5264 1,5261 1,5251 1,5259 1,5257 1,5258 1,5263 1,52575
28 1,5238 1,5236 1,5242 1,5242 1,5241 1,5239 1,5243 1,5245 1,5244 1,5246 1,52416
29 1,5236 1,5238 1,5238 1,5240 1,5240 1,5241 1,5239 1,5241 1,5239 1,5243 1,52395
30 1,5258 1,5259 1,5262 1,5247 1,5252 1,5253 1,5256 1,5255 1,5255 1,5258 1,52555
35 1,5405 1,5397 1,5390 1,5386 1,5386 1,5389 1,5385 1,5391 1,5382 1,5382 1,53893
40 1,5657 1,5659 1,5669 1,5663 1,5661 1,5659 1,5661 1,5660 1,5659 1,5659 1,56607
45 1,6003 1,6004 1,6005 1,5997 1,6006 1,6005 1,6003 1,6005 1,6003 1,6001 1,60032
Análise dos dadosDe acordo com os dados expostos na Tabela 1, é evidente que o período de oscilação
aumenta proporcionalmente ao aumento do comprimento do fio no pêndulo simples. Calculamos o
desvio padrão para cada período relativo ao pêndulo usando a seguinte expressão.
 S T=√Σ(T− T̄ )2n−1 (4)
Tabela 3. Valor médio para cada período T , e seu respectivo desvio padrão. Referentes aos dados da Tabela 
1, para o pêndulo simples.
l (cm) T̄ (s) S T(s) T final (s)
18,5 0,85682 0,0072822158 0,857(± 0,007)
27 1,03981 0,003127814288 1,040(± 0,003)
33,5 1,16867 0,001582579768 1,169(± 0,002)
42 1,30101 0,000750481327 1,3010(± 0,0008)
47 1,37957 0,001170042734 1,380(± 0,001)
5
Gráfico 1. Período ao quadrado por comprimento. Referente aos dados do pêndulo simples, conforme a
Tabela 3.
Conforme se percebe no gráfico, temos uma dependência linear entre o período e o
comprimento do fio do pêndulo. Com esta informação, podemos determinar o valor de uma
grandeza importante através da equação 1, citada anteriormente, que é a aceleração gravitacional.
Sabemos o valor do coeficiente angular da reta, conforme descrito no gráfico, portanto, elevando a
equação 1 ao quadrado e a remanejando, temos:
T 2
l
= 4π
2
g
O segundo termo equivale ao valor do coeficiente angular demonstrado no gráfico, assim:
g= 4π
2
4,09 s2/m= 9,7m/s²
Deste modo obtemos uma aproximação de g através do coeficiente angular da reta adequada
aos nossos dados. Porém, a fim de obter um valor que carregue uma incerteza estatística,
calculamos um valor de g para cada T e cada l respectivos, e fizemos um desvio padrão dos
resultados obtidos. Para os valores de g, usaremos a seguinte expressão, oriunda da equação 1:
g= 4π
2 l
T 2
6
0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
f(x) = 4,09x - 0,02
l (m)
T²
 (s
²)
Tabela 4. Valores da aceleração da gravidade g para cada período T̄ 2 e cada comprimento l respectivo.
T̄ 2(s) l (m) g(m/s2)
0,7341405124 0,185 9,948377911
1,0812048361 0,27 9,858606249
1,3657895689 0,335 9,68324126
1,6926270201 0,42 9,795977021
1,9032133849 0,47 9,749225405
ḡ(m/s2) 9,807085569
Fazemos então o desvio padrão para os valores de g encontrados:
S g= √Σ(g− ḡ)2n− 1 = 0,1m/s2
g= 9,8(± 0,1)m/s2
Obtemos um valor aproximado de g muito satisfatório, e portanto podemos concluir que
nossas medidas estão coerentes com o esperado. Esse dado não será necessário para a segunda etapa
do experimento, tendo sido exposto apenas como um adendo.
A seguir, a análise dos dados referentes a segunda etapa do experimento, onde o pêndulo
físico é analisado.
Tabela 5. Valor médio para cada período T̄ 1 e seu respectivo desvio padrão. Referentes aos dados da
Tabela 2, para o pêndulo físico. S T 1 foi calculado através da equação 4, utilizando os valores de T 1 e
T̄ 1 no lugar de T e T̄ .
d (cm) T̄ 1(s) S T 1(s) T̄ 1 final (s)
10 1,93817 0,0004667857 1,9382(± 0,0005)
15 1,68556 0,000403319559 1,6856(± 0,0004)
20 1,57532 0,000332665999 1,5753(± 0,0003)
25 1,53263 0,000294580681 1,5326(± 0,0003)
26 1,52830 0,000235702260 1,5283(± 0,0002)
27 1,52575 0,000432691833 1,5258(± 0,0004)
28 1,52416 0,000316929715 1,5242(± 0,0003)
29 1,52395 0,000195789002 1,5240(± 0,0002)
30 1,52555 0,000419655944 1,5256(± 0,0004)
35 1,53893 0,000711883261 1,5390(± 0,0007)
40 1,56607 0,0003335000 1,5661(± 0,0003)
45 1,60032 0,000261618892 1,6003(± 0,0003)
7
Gráfico 2. Variação do período T̄ 1 em função da posição d do eixo de rotação. Referente aos dados da
Tabela 5, para o pêndulo físico.
Analisando o gráfico podemos perceber que o período do pêndulo físico se aproxima do seu
valor mínimo entre 25 e 30 cm. Na Tabela 5, os dados demonstram que o menor valor para os
períodos médios está em 29(± 0,05)cm . A fim de podermos comparar os resultados obtidos
experimentalmente com as previsões do modelo matemático, usaremos técnicas de derivação. A
função demonstra ter um mínimo absoluto e a extremidade esquerda tendendo ao infinito. Nos
valores mínimos e máximos de uma função, sabemos que sua derivada é zero. Portanto,
derivaremos a função de T 1 e igualaremos a zero para encontrar o valor mínimo.
A função do período é descrita pela equação 1:
T 1= 2 π√ 112 L2+ d 2gd
Lembrando que L é constante, pois equivale ao comprimento total da barra delgada; d é a
variável que representa a distância do ponto de suspensão ao centro de massa; g corresponde à
aceleração da gravidade, considerada constante para distâncias próximas da Terra; a função
derivada fica da seguinte forma:
T '(d)=π√ gd(L2/12)+d 2(d 2−(L2/12))gd 2
8
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2
d (m)
T₁
 (s
)
Agora igualamos a derivada à zero para encontrar o mínimo absoluto:
π√ gx(L2/12)+ d 2 (d 2−(L2/12))gd 2 = 0
d 2= L
2
12
∣d∣=√L212= 100 cm√12 = 28,86751346 cm
Assim é determinado um valor para o mínimo absoluto da função, porém, é preciso avaliar a
sua incerteza. Como ele depende apenas das medidas de L, que é o comprimento da barra delgada,
usaremos a precisão da trena que foi empregada para essa medida. Por fim, o valor da distância do
ponto de suspensão ao centro de massa para que tenhamos o período mínimo do pêndulo físico será:
d = 28,87(± 0,05)cm
Conclusão
Através da análise se pode concluir que o período do pêndulo simples aumenta conforme
aumentamos o comprimento do fio cujo qual fixa ele ao pivô. Existe uma relação proporcional entre
eles, que se evidencia pelo comportamento linear do gráfico. Utilizando os valores de entrada,
pudemos também calcular uma aproximação para a aceleração da gravidade, que resultou em um
valor satisfatório. Para o pêndulo físico, percebe-se que não há uma dependência linear entre o
período e a distância do ponto de fixação da barra delgada. Pode-se concluir também que o seu
período mínimo se dá quando a barra delgada é fixada a uma distância de 28,87(± 0,05)cm do
seu centro de massa, o que condiz com os dados experimentais, corroborando assim a eficácia do
modelo utilizado. Além disso, percebe-se que o período tende ao infinito quando d se aproxima do
centro de massa, no entanto tal sugestão não pode ser observada experimentalmente, devido às
inúmeras forças resistivas no nosso experimento. É importante destacar que os modelos servem
apenas para oscilações em pequenas amplitudes angulares, e o experimento foi feito cumprindo essa
restrição.
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Referências
LIMA JUNIOR, P.; XAVIER SILVA, M.T.; LANG DA SILVEIRA, F.; VEIT, E.A.. Laboratório de
Mecânica: Subsídios para o ensino de física experimental. Porto Alegre, RS: UFRGS, Instituto 
de Física, 2013. 107p. 
PÊNDULO FÍSICO. 24 abr 2013. em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo_f
%C3%ADsico >. Acesso em 06 set. 2014.
TEOREMA DE STEINER. 20 mai 2013. em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steiner>. 
Acesso em 06 set. 2014.
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