Lista 2 de calculo I 2014-1

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Lista de exercícios de cálculo I
01.Simplifique
f(x)−f(p)
x−p sendo dados:
a)f(x) = x2 e p = 1 b)f(x) = x2 e p = −1
c)f(x) = x2 e p qualquer d)f(x) = 2x+ 1 e p = 2
e)f(x) = x3 e p qualquer f)f(x) = 1
x
e p = 1
g)f(x) = 1
x
e p 6= 0 h)f(x) = 1
x2
e p 6= 0
02.Simplifique
f(x)−f(h)
h
(h 6= 0) sendo f(x) igual a
a)2x+ 1 b)3x− 8 c)x2
d)x2 + 3x e)x2 − 2x+ 3 f)x3 + 2x
g) 1
x
h) 1
x2
i) 1
x+2
03.Dê o domínio e esboce o gráfico.
a)f(x) = 3x b)g(x) = −x
c)f(x) = |x+ 2| d)g(x) = |x|
x
e)f(x) = x
2−2x+1
x−1 f)g(x) =
|2x+1|
2x+1
04.Determine o domínio.
a)f(x) = 2x
x2+1
b)f(x) = x+1
x2+x
c)f(x) =
√
x−1
x=1
d)g(x) = 4
√
x
x+3
e)g(x) =
√
2x−1
1−3x f)f(x)
√
x
3√x−1
05.Esboce o gráfico.
a)f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2− (x− 2)2 se x > 1
b)f(x) = x2|x|
c)f(x) =
{
x2 − 1 se x ≤ 0
x se x > 0
d)f(x) =

x+ 9 se x < −3
−2x se |x| ≤ 3
−6 se x > 3
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Fonte: Sterwart, James.Cálculo7
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ed. Vol.1. Cengage,2014.
Nos problemas 06 e 07 encontre f + g, f − g, fg e f/g e defina seus
domínios.
06.f(x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 − 1
07.f(x) =
√
3− x, g(x) = √x2 − 1
08.Encontre as funções f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g, e seus domínios.
a)f(x) = x2 − 1, g(x) = 2x+ 1 b)f(x) = x− 2, g(x) = x2 + 3x+ 4
c)f(x) = 1− 3x, g(x) = cos x d)f(x) = √x, g(x) = 3√1− x
e)f(x) = x+ 1
x
, g(x) = x+1
x+2
f)f(x) = x
1+x
, g(x) = sen 2x
09.Expresse na forma f ◦ g.
a)F (x) = (x2 + 1)10 b)F (x) = sen(
√
x)
c)F (x) =
3√x
1+ 3
√
x
d)F (x) = 3
√
x
1+x
e)F (x) =
√
cosx f)F (x) = tg x
1+tg x
10.Use a tabela abaixo para encontrar o valor de cada expressão.
a)f(g(1)) b)g(f(1)) c)f(f(1))
d)g(g(1)) e)(g ◦ f)(3) f)(f ◦ g)(6)
11.Uma caixa de armazenamento retangular aberta na parte superior tem
um volume de 10m3. O comprimento da base é o dobro de sua largura. O
material da sua base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo que o
material das laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado.
Expresse o custo total do material como uma função do comprimento da
base.
12.Um balão esférico é inflado e seu raio aumenta a uma taxa de 2 cm/s.
a)Expresse o raio r do balão como uma função do tempo t(em segundos).
b)Se V for o volume do balão como função do raio, encontre V ◦ r e
interprete-a.
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Fonte: Sterwart, James.Cálculo7
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13.Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x ∈ Df , sendo g dada
por
a)g(x) = x2, x ≥ 0 b)g(x) = 2 + 3
x+1
c)g(x) = x+2
x+1
d)g(x) = x2 − 2x, x ≥ 1
14.Explique com suas palavras o significado da equação lim
x→2
f(x) = 5. É
possivel que a equação anterior seja verdadeira, mas que f(2) = 3?
Explique.
15.Explique o que significa dizer que lim
x→1−
f(x) = 3 e lim
x→1+
f(x) = 7. Nesta
situação, é possível que lim
x→1
f(x) exista? Explique.
16.Para a função f , cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade
indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê.
a) lim
x→0
f(x) b) lim
x→3−
f(x) c) lim
x→3+
f(x)
d) lim
x→3
f(x) e)f(3)
17.Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as
condições dadas.
a) lim
x→1−
f(x) = 2, lim
x→1+
f(x) = −2, f(1) = 2
b) lim
x→0−
f(x) = 1, lim
x→0+
f(x) = 1, lim
x→2−
f(x) = 0, lim
x→2+
f(x) = 1, f(2) = −1,
f(0) não está definida.
18.Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule.
a) lim
x→1
(x+ 2) b) lim
x→1
(2x+ 1)
c) lim
x→1
√
x d) lim
x→2
x2 + x
x+ 3
19.Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos
limites que forem usadas.
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Fonte: Sterwart, James.Cálculo7
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a) lim
x→4
(5x2 − 2x) b) lim
x→−1
x− 2
x2 + 4x− 3
c) lim
x→8
(1 + 3
√
x)(2− 6x2 + x3) d) lim
t→−1
(t2 + 1)3(t+ 3)5
e) lim
x→1
(
1 + 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
f) lim
u→−2
√
u4 + 3u+ 6
20.Calcule o limite, se existir.
a) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 b) limx→−4
x2 + 5x+ 4
x2 + 3x− 4
c) lim
x→2
x2 − x+ 6
x− 2 d) limx→4
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
e) lim
t→−3
t2 − 9
2t2 + 7t+ 3
f) lim
x→−1
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
g) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
h) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
i) lim
x→−2
x+ 2
x3 + 8
j) lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
k) lim
t→9
9− t
3−√t l) limh→0
√
1 + h− 1
h
m) lim
x→7
√
x+ 2− 3
x− 7 n) limx→2
x4 − 16
x− 2
o) lim
x→−4
1
4
+ 1
x
4 + x
p) lim
t→0
(
1
t
− 1
t2 + t
)
q) lim
x→9
x2 − 81√
x− 3 r) limh→0
(3 + h)−1 − 3−1
h
s) lim
t→0
(
1
t
√
1 + t
− 1
t
) t) lim
x→−4
√
x2 + 9− 5
x+ 4
21.Calcule.
a) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3 b) limx→0
x2 + 3x− 1
x2 + 1
c) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−√5 d) limx→−1
x3 + 1
x2 − 1
d) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8x− 4
x4 − 5x− 6 e) limx→1
x3 − 1
x4 + 3x− 4
22.Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
a) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1 b) limx→1−
|x− 1|
x− 1
c) lim
x→0
√
x d) lim
x→2+
x2 − 2x+ 1
x− 1
e) lim
x→0,5−
2x− 1
|2x3 − x2| f) limx→−2
2− |x|
2 + x
23.Se 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 7 parax ≥ 0, encontre lim
x→4
f(x).
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Fonte: Sterwart, James.Cálculo7
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24.Mostre que lim
x→0
x4 cos
2
x
= 0.
25.Se lim
x→1
f(x)− 8
x− 1 = 10, encontre limx→1 f(x).
26.
a)Do gráfico de f , diga os números nos quais f é descontínua e explique o
por quê.
b)Para cada um dos números indicados na parte a), determine se f é
contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.
27.Se f e g forem funções contínuas, com f(3) = 5 e lim
x→3
[2f(x)− g(x)] = 4,
encontre g(3).
28.Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais pontos f é
contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles?
a)f(x) =

1 + x2 sex ≤ 0
2− x se0 < x ≤ 2
(x− 2)2 sex > 2
b)f(x) =

x+ 1 sex ≤ 1
1/x se1 < x < 3√
x− 3 sex ≥ 3
29. Determine L de modo que a função dada seja contínua no ponto dado.
Justifique.
a)f(x) =
{
x3−8
x−2 sex 6= 2
L sex = 2
em p = 2.
b)f(x) =
{ √
x−√3
x−3 sex 6= 3
L sex = 3
em p = 3.
30.Se f(x) = x2 + 10 senx, mostre que existe um número c tal que
f(c) = 1000.
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Fonte: Sterwart, James.Cálculo7
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ed. Vol.1. Cengage,2014.
31.Suponha f contínua em [1, 5] e que as únicas soluções da equação
f(x) = 6 são x = 4 e x = 1. Se f(2) = 8, explique por que f(3) > 6.
32. Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raíz
da equação dada no intervalo especificado.
a)x4 + x− 3 = 0, (1,2)
b)
3
√
x = 1− x, (0,1)
c)cosx = x, (0,1)
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ed. Vol.1. Cengage,2014.