Gabarito Lista 3

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Gabarito Lista 3 – Cálculo I - 2015.2 
1) Considere a função polinomial do 2o grau 
cbxaxxf  2)(
. 
Seja m o coeficiente angular da reta que passa por 
))(,( 11 xfx
 e 
))(,( 22 xfx
. Então 
bxxa
xx
xxbxxa
xx
bxaxbxax
xx
xfxf
m 








 )(
)()()()(
12
12
12
2
1
2
2
12
1
2
12
2
2
12
12
 
Basta provar que 
tmm 
, onde 
tm
 é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em 
2
12 xx 
. 
De fato, 
baxxf 2)´(
 e 
bxxab
xx
a
xx
f 






 
)(
2
.2
2
´ 12
1212
 c.q.d. 
 
2) 
  )1´().1()1().1´()1´(. gfgfgf 
 
)1´(f
 representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1). 
Esta reta passa por (0,0) e (1,1) [ver gráfico 1]. 
Assim 
1
01
01
)1´( 


f
. 
No gráfico 2 a reta tangente em 






2
3
,1
 é 
2
3
y
 cujo coef angular é 0. 
Logo 
0)1´( g
. Daí 
 
2
3
0.1
2
3
.1)1´(. gf
. 
 
3) 
  )2´().3´()2´()).2(´()2´( gfggfgf 
 
3
2
30
02
)3´( 


f
 e 
2
1
02
23
)2´( 


g
 
Logo 
 
3
1
2
1
.
3
2
)2´( gf 
. 
 
4) a) 
100  yx
 
2
2
1
)2(
2
1
321  xyxyx
 
b) 
  2
2
1
.)13()2´().3´()2´()).2(´()2´( 2  gfggfgf 
 
  ?)2´()).2(´()2´(  ffgfg 
 impossível pois não conhecemos 
)2(f
 
5) a) Não podemos precisar o gráfico de g. Na verdade o gráfico abaixo representa uma função g que satisfaz 
)´()( xfxg 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
16
01
)2(2
.2.2)1´().1(2)1´( 


 ffh
 
6)a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) a) Devemos calcular o coeficiente angular de cada segmento. 



















3 ,2
32 ,
21 ,
10 ,
01- ,
12- ,
2 ,1
)(
55
44
33
22
11
x
xbxa
xbxa
xbxa
xbxa
xbxa
x
xg
 e 



















3 ,0
32 ,
21 ,
10 ,
01- ,
12- ,
2 ,0
)´()(
5
4
3
2
1
x
xa
xa
xa
xa
xa
x
xgxf
 onde 
11 a
, 
22 a
, 
33 a
, 
14 a
 e 
25 a
. 
 
        









x
y
        









x
y
        









x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
b) arco de parábola: 
bxaxy  2
 
Os pontos 






2
1
,1
 e 
)2,2(
 pertencem à parábola. 
Então 






224
2
1
ba
ba , o que implica 
2
1
a
 e 
0b
. 
Logo, 
2
2
1
xy 
 e 
xy ´
. 
 
 
c) O intervalo de 0 a 2 é arco de parábola. 
O vértice está em 
)1,0( 
 e as raízes são -1 e 1. A função é do tipo 
)1)(1(  xxay
 e 
1a
, pois o ponto 
)1,0( 
 pertence à parábola. Logo 
)1)(1(  xxy
 e 
xy 2´
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
        








x
y