Lista 0

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CA´LCULO I - 2015.2 - LISTA 0
1. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es:
a) y =
(x + 2)5
3
− 1
b) y =
1
(2x − 1)2
c) y = 2|x|3
d) y =
√|x|
e) y =
√
2x − pi
f) y = 3
√|x| − 1 + 2
g) y = |||x − 2| − 3| − 1|
h) y =
1
|2 − x| −
√
2
i) y = 4
√
1 − 2x2
j) y = | √3 − x − 2| + 1
k) y = | √4 − 2x2 − 1|
2. a) Quantas soluc¸o˜es tem a equac¸a˜o ||x2 − 4| − 2| = 1? Determine esse nu´mero interpretando graficamente.
b) Resolva a equac¸a˜o e determine o conjunto soluc¸a˜o.
3. Partindo de f (x) = x3, esboce o gra´fico e determine a expressa˜o da func¸a˜o que se obte´m transladando o gra´fico
da f duas unidades para a esquerda, uma unidade para baixo, achatando horizontalmente de um fator 2 e
modulando.
4. Resolva a inequac¸a˜o e interprete graficamente o conjunto soluc¸a˜o no plano.
a)
1
x2
< x + 2 b)
1
x3
> x c)
√
4 − (x − 1)2 ≥ 1
5. Esboce as regio˜es no plano, calculando os pontos de intersec¸a˜o:
a) Regia˜o no 2o quadrante entre y = x + 2 e y =
1
x2
.
b) Regia˜o no 1o quadrante, tal que
√
1 + y2 ≤ x ≤ 3.
c) Regia˜o limitada por y = 3x + 1 e y = x2.
d) Regia˜o limitada por y = −x + 1, y = 4x3 e o eixo OY.
6. Para a func¸a˜o f definida por f (x) =

−√2 − x se x < 1,
ax + b se 1 ≤ x < 2,
|x2 − 7x + 12| se x ≥ 2.
a) Determine os valores de a e b para que f seja contı´nua em R.
b) Esboce o gra´fico de f .
1
7. Considere a func¸a˜o f (x) =
x4 − x2
2(x2 − 4) , cuja metade do gra´fico e´ dada pela figura abaixo.
a) Determine D( f ). b) A f e´ par ou ı´mpar? c) Complete o gra´fico da f .
d) Determine x1 e x2, sabendo que sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
(4x3 − 2x)(x2 − 4) − 2x(x4 − x2)
(x2 − 4)2 = 0.
e) Determine os intervalos onde a f e´ crescente e onde f e´ decrescente.
8. Determine o valor de a para o qual a func¸a˜o f : R → R, definida por f (x) =
 4x + a se x ≥ 1,x2 + 2x se x < 1 seja
contı´nua. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
9. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es e indique quais delas sa˜o contı´nuas, justificando a resposta.
a) f (x) =
 x
2 − 2x se x ≤ 3,
6 − x se x > 3
b)g(x) =

x2 − 1
|x − 1| se x , 1,
2 se x = 1
c) h(x) =
2x − 1
x − 1
10. A func¸a˜o f e´ tal que para x , 2, f satisfaz 1 + 4x − x2 ≤ f (x) ≤ x2 − 4x + 9. Calcule lim
x→2 f (x)
11. Verifique se cada uma das seguintes func¸o˜es e´ contı´nua no ponto indicado. Justifique a resposta.
a) f (x) =
 x
3cos
(x
2
)
se x , 0,
1 se x = 0
em x = 0.
b) f (x) =

1 − √x
1 − 3√x se x , 1,
3
2
se x = 1
em x = 1.
12. Verifique se existe a ∈ R tal que a func¸a˜o definida por f (x) =
 1 + ax se x ≤ 0x4 + 2a se x > 0 , seja contı´nua em R.
2