Lista 7

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CA´LCULO I - 2015.2 - LISTA 7
1. Seja f(x) =
1
x
− x3, x > 0.
a) Mostre que f tem inversa em (0,∞);
b) Calcule f−1(0) e (f−1)′(0);
c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1 no ponto (0, f−1(0)).
2. Sendo f uma func¸a˜o invert´ıvel, deriva´vel, tal que f(1) = 2, f(2) = 7, f ′(1) = 3 e f ′(2) = 4, calcule (f−1)′(2).
3. Seja f(x) =
 1− x
3 se x ≤ 0
1− x2 se x > 0
. Se f−1 existir, calcule (f−1)′(x) e esboce os gra´ficos de f e f−1.
4. Deduza as fo´rmulas abaixo:
a) arcsecx− arccos
(
1
x
)
= 0 b) (arctanx)′ =
1
1 + x2
c) cos(arcsenx) =
√
1− x2
5. Seja f(x) = 2(x2 + 1)arctgx, x ∈ R.
a) Mostre que f e´ invert´ıvel;
b) Verifique que f(−1) = −pi e calcule (f−1)′(−pi).
6. Para cada uma das func¸o˜es dadas abaixo , verifique se a func¸a˜o satisfaz o Teorema da Func¸a˜o Inversa (TFI).
Em caso afirmativo , calcule a derivada da func¸a˜o inversa usando este Teorema e, a seguir , encontre: a func¸a˜o
inversa, seu domı´nio e imagem. Existindo a func¸a˜o inversa, represente-a graficamente junto a func¸a˜o dada e a
reta y = x, observe a simetria .
a) f(x) =
√
x, x ∈ (0,+∞) b) f(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞) c) f(x) = x2, x ∈ (−∞, 0)
7. Mostre que f(x) = x3 + x e´ invert´ıvel, calcule a derivada da func¸a˜o inversa e encontre (f−1)′(2).
8. Verifique se a func¸a˜o f dada e´ invet´ıvel, em caso afirmativo, encontre (f−1)′(a).
a) f(x) = x5 + 5x3 + 10x− 6, a = −6 b) f(x) = cos(x) +√2, a =
√
2
2
1