LISTA 5 Espaços Vetoriais / UFSC

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Campus Blumenau
Disciplina: A´lgebra linear e Geometria Anal´ıtica
Professora Louise Reips
5a Lista de Exerc´ıcios
1. Verifique que o conjunto V = R2 = {(x, y)/x, y ∈ R} e´ um espac¸o vetorial com as
operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um nu´mero real assim definidas:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
α(x, y) = (αx1, αx2)
2. Mostre que o conjunto R2 = {(a, b)/a, b ∈ R} na˜o e´ um espac¸o vetorial em relac¸a˜o a`s
operac¸o˜es definidas da seguinte maneira:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
k(a, b) = (ka, b)
3. Sejam V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2/y = 2x} ou S = {(x, 2x)/x ∈ R}. S e´ um subespac¸o
vetorial de R2?
4. Sejam V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3/ax+ by + cz = 0}. S e´ um subespac¸o vetorial de
R3?
5. Sejam V = M(2, 2) =
{[
a b
c d
]
; a, b, c, d ∈ R
}
e S =
{[
a b
0 0
]
; a, b ∈ R
}
. Veri-
fique se S e´ um subespac¸o vetorial de M(2, 2).
6. Considerando os vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1) no R3, (a) escreva v =
(−4,−18, 7) como combinac¸a˜o linear de v1 e v2, (b) mostre que o vetor v = (4, 3− 6)
na˜o e´ combinac¸a˜o linear de v1 e v2.
7. Verifique se os vetores ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) geram o espac¸o vetorial R2.
8. No espac¸o vetorial V = R3, os vetores ~v1 = (2,−1, 3), ~v2 = (−1, 0,−2) e ~v3 = (2,−3, 1)
formam um conjunto linearmente dependente ou independente?
9. No espac¸o vetorial V = R3 o conjunto {e1, e2, e3}, tal que e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e
e3 = (0, 0, 1) e´ linearmente dependente ou independente?
10. Verificar se o conjunto {1+2x−x2, 2−x+3x2, 3−4x+7x2} ⊂ P2, onde P2 representa
o universo dos polinoˆmios, e´ LI ou LD.
1
11. (a) Mostre que o conjunto W de todos os vetores da forma v1 =

a
b
−b
a
 e´ um sub-
espac¸o de R4.
(b) Mostre que o conjunto W de todos os polinoˆmios da forma a + bx − bx2 + ax3 e´
um subespac¸o de P3.
12. Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 da forma
[
a a+ 1
0 b
]
. W e´ um subespac¸o
de M22?
13. Em P2, determine se r(x) = 1 − 4x + 6x2 pertence ao ger(p(x), q(x)), onde p(x) =
1− x+ x2 e q(x) = 2 + x− 3x2.
14. Em F , determine se sen(2x) pertence ao ger(sen(x), cos(x)).
15. Descreva o conjunto gerado em M22 por A =
[
1 1
1 0
]
, B =
[
1 0
0 1
]
e C =
[
0 1
1 0
]
.
16. Prove que B = {1 + x, x+ x2, 1 + x2} e´ uma base para P2.
17. Encontre bases para os seguintes espac¸os vetoriais:
(a) W1 ==


a
b
−b
a


(b) W2 = {a+ bx− bx2 + ax3}
18. Encontre o vetor de coordenadas [p(x)]B de p(x) = 1 + 2x − x2, relativo a` base C =
{1 + x, x+ x2, 1 + x2} de P2.
19. Determine se S e´ uma base de V , onde V = M22 e S ==
{[
1 0
1 1
]
,
[
0 −1
1 0
]
,
[
1 1
0 −1
]}
20. Mostre que {v1, v2, v3} e´ um subconjunto ortogonal de R3 se v1 =
 21
−1
, v2 =
 01
1

e v3 =
 1−1
0

21. Mostre que os vetores v1 =
 21
−1
, v2 =
 01
1
 e v3 =
 1−1
1
 sa˜o ortogonais e,
portanto, linearmente independentes.
2
22. Encontre uma base ortogonal para o subespac¸oW de R3 dado porW =

 xy
z
 : x− y + 2z = 0

23. Mostre que S = {q1,q2} e´ um subconjunto ortonormal de R3 se
q1 =
 1/√3−1/√3
1/
√
3
 e q2 =
 1/√62/√6
1/
√
6

24. Seja W um plano em R3 de equac¸a˜o x − y + 2z = 0, e seja v =
 3−1
2
. Encontre a
projec¸a˜o ortogonal de v sobre W e a componente ortogonal de v em relac¸a˜o a W .
25. Encontre uma base ortogonal de R3 que contenha o vetor v1 =
 12
3

26. Prove que nenhuma das transformac¸o˜es a seguir e´ linear:
(a) T : M22 −→ R definida por T (A) = det A
(b) T : R −→ R definida por T (x) = 2x
(c) T : R −→ R definida por T (x) = x+ 1
27. Verifique se as aplicac¸o˜es T : R2 −→ P1 e T ′ : P1 −→ R2 definidas por T
[
a
b
]
=
a+ (a+ b)x e T ′(c+ dx) =
[
c
d− c
]
sa˜o inversas uma da outra.
28. Seja T : M22 −→ M22 a transformac¸a˜o linear definida por T (A) = AT . Encontre o
nu´cleo e a imagem de T .
29. Seja T :P2 −→P2 uma transformac¸a˜o linear definida por T (p(x)) = p(2x− 1).
(a) Encontre a matriz de T em relac¸a˜o a` base ε = {1, x, x2}.
(b) Calcule T (3 + 2x− x2) indiretamente, usando o item (a).
30. Use me´todos matriciais para calcular (S ◦ T )
[
a
b
]
para as transformac¸o˜es lineares S
e T , onde T : R2 −→ P1 e S : P1 −→ P2 definidas por T
[
a
b
]
= a + (a + b)x e
S(a+ bx) = ax+ bx2.
31. Seja a transformac¸a˜o linear injetora e sobrejetora T : R2 −→P1 definida por T
[
a
b
]
=
a+ (a+ b)x. Encontre T−1.
32. Encontre os autovalores e os correspondentes auto-subespac¸os de A =
 −1 0 13 0 −3
1 0 −1
.
3
33. Sendo poss´ıvel, encontre a matriz P que diagonaliza A =
 −1 0 13 0 −3
1 0 −1
.
34. Calcule A10 para A =
[
0 1
2 1
]
.
Algumas Soluc¸o˜es e Dicas
3. S e´ subespac¸o vetorial de R2.
4. S e´ subespac¸o vetorial de R3.
5. S e´ subespac¸o vetorial de M(2, 2).
6. v = 2v1 − 3v2.
7. Os vetores ~i e ~j geram o espac¸o vetorial R2.
8. LD.
9. LI.
10. LD.
4