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Universidade Estadual do Maranhão Curso de Licenciatura em Matemática - UEMA Lista de Exercícios. 25 ·04 ·2017 Disciplina : Cálculo Vetorial e Geometria Analítica. Professor: José Antonio Aluno(a): Matrícula: − Instruções: • Consulta a quaisquer materiais de apoio, só com a autorização do professor; • Não será permitido uso do telefone celular e/ou similares; • Serão corrigidas apenas as questões respondidas nas Folhas de Respostas. • Não serão aceitas respostas a lápis. A prova deverá ser respondida com caneta esferográfica de tinta azul ou preta. • As respostas deverão ser fundamentadas e primar pela clareza, coesão, coerência. Esses elementos serão considerados na atribuição da pontuação da questão. LISTA DE EXERCÍCIOS ELABORADA PELA EQUIPE DEMATEMÁTICADOBICTUFMA 1 Conceitos vetoriais básicos [1] Verifique se é verdadeira ou falsa cada afirmação e justifique sua resposta. (a) (A,B) ∈ # «AB (b) (A,B)∼ (C ,D)⇔ # «AB = # «C D (c) AB//C D ⇒ # «AB// # «C D (d) # « AB = # «C D ⇒ A =C e B =D (e) # « AB = # «C D ⇒ (A,C )∼ (B ,D) (f) # « AB = # «C D ⇒ AC ∩BD =ø (g) ‖# «AB‖ = ‖# «C D‖⇒ # «AB = # «C D (h) # « AB = # «C D ⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖ (i) Se # « AB = # «C D , então existe um único plano contendo A,B ,C e D . (j) (A,B)∼ (C ,D)⇒‖# «AB‖ = ‖# «C D‖ [2] Seja #«v um vetor não nulo. Mostre que o vetor #«v ‖ #«v ‖ (chamado de versor de #«v ) é unitário com a mesma direção e sentido que #«v . 2 Adição de vetores emultiplicação por escalar [1] Encontre a soma dos vetores indicados na figura, nos seguintes casos: Figura 1: (a) Hexágono Regular 2 Figura 2: (b) Tetraedro Figura 3: (c) Cubo 3 Figura 4: (d) Paralelepípedo Figura 5: (e) Hexágono Regular 4 Figura 6: (f) Hexágono Regular [2] Calcule a soma dos seis vetores que têm por representantes segmentos orientados com ori- gem em cada um dos vértices, e extremidade no centro de um mesmo hexágono regular. [3] Sejam (A,B) um representante de #« u 6= #« 0 , e (C ,D) um representante de #« v 6= #« 0 . Mostre que AB//C D se, e somente se, existe λ ∈R tal que #« u =λ #« v . [4] Sendo M o ponto médio de AC , N o de BD e #« x = # « AB + # « AD+ # « C B + # « C D , prove que #« x // # « M N . [5] Fixados os vetores #« u e #« v , resolva os sistemas nas incógnitas #« x e #« y : (a) { #« x +2 #« y = #« u 3 #« x − #« y = 2 #« u + #« v (b) { #« x + #« y = #« u −2 #« v #« x − #« y = 3 #« u 3 Soma de ponto com vetor [1] Sejam A,B e C pontos quaisquer em E 3 . Prove que # « AB − # « AC = # « C B . [2] Considere um triângulo ABC arbitrário e sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB ,BC e C A, respectivamente. Exprima # « BP , # « AN e # « C M em função de # « AB e # « AC . [3] Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. [4] Prove que se os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelo- gramo. [5] Mostre que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto. 5 [6] Dado 4ABC , seja X um ponto no lado AB tal que a medida de X B é o dobro da medida de AX . Exprima # « C X em função de # « C A e # « C B . [7] Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. [8] Prove que num triângulo as retas suportes de duas medianas se encontram num único ponto. [9] Num triângulo ABC , sejam M , N e P os pontos médios dos lados AB , BC e AC , respectiva- mente. Mostre que # « AN + # «BP + # «C M = #«0 [10] Dados quatro pontos A,B ,C e X tais que # « AX =m # «X B , exprima # «C X em função de # «C A e # «C B (e de m). [11] Seja O ABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC . Exprima # « OX em termos de # « O A, # « OB e # « OC . [12] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que Faça uma fi- gura e iden- tifi- que os ve- tores da- dos Faça uma fi- gura e iden- tifi- que os ve- tores da- dos # « AB + # «AC + # «AD+ # «AE + # «AF = 6 # «AO [13] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que P =O+ 1 4 ( # « O A+ # «OB + # «OC + # «OD) [14] Considere o triângulo ABC, e sejam # « C A = #«u , # «C B = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real tal que X =C +α#«w pertença à reta AB. 4 Dependência e Independência Linear [1] Se { #«u , #«v , #«w } é LI e a #«u +b #«v + c #«w = #«0 , com a,b,c reais, então a = b = c = 0. [2] SejaB := { #«u , #«v , #«w }⊂V3 um conjunto LI. Mostre queB gera todo vetor de V3. [3] Sejam #«u , #«v e #«w LI. Mostre que, se a #«u +b #«v +c #«w =α#«u +β#«v +γ#«w , então a =α, b =β e c = γ. [4] Mostre que, se { #«u , #«v } é LI então { #«u + #«v , #«u − #«v } também é LI. Faça um desenho ilustrando tal situação. [5] Suponha que os vetores #«u , #«v , #«w sejam LI. Mostre que os vetores #«u + #«v , #«u − #«v e #«u + #«v + #«w também são LI. [6] Diga se o conjunto { #«u , #«v , #«u /2+5 #«v } é LD ou LI. Justifique. [7] Sejam #«u , #«v , #«w vetores de V3. Mostre que: (a) Se { #«u , #«v , #«w } é LI, então { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v , 3 #«v } também é LI. (b) { #«u −2 #«v + #«w , 2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD. 6 [8] Em um triângulo ABC o ponto M é tal que 3 # « B M = 7 # «MC . Verifique que os vetores # «AM , # «AB e # « AC são LD. Sugestão: Escreva o vetor # « AM em função de # « AB e # « AC . [9] Sejam ABC um triângulo arbitrário, M o ponto médio do lado AB e N um ponto em AC . Sabendo M N é paralelo ao lado BC , mostre que N é o ponto médio do lado AC . [10] Seja { #«u , #«v , #«w } LI. Mostre que são LI: (a) { #«u + #«v + #«w , #«u − #«v ,3 #«v } (b) { #«u + #«v , #«u − #«w , #«v + #«w } [11] Mostre que { #«u −2 #«v + #«w ,2 #«u + #«v +3 #«w , #«u +8 #«v +3 #«w } é LD, quaisquer que sejam #«u , #«v , #«w ∈V3. 5 Base [1] Fixada uma base E , verifique se são LI ou LD: (a) #«u = (1,2,3) e #«v = (2,1,1) (b) #«u = (1,7,1) e #«v = (1/2,7/2,1/2) [2] Seja E uma base de V3. Mostre que #«u = (x1, y1, z1)E , #«v = (x2, y2, z2)E e #«w = (x3, y3, z3)E são LI se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣ x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 [3] Dada uma base E , verifique se os vetores #«u = (1,−2,1)E , #«v = (0,1,3)E e #«w = (0,−1,3)E são LI ou LD. [4] Sabendo-se que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é base, e #« f 1 = 2 #«e 1− #«e 2, #«f 2 = #«e 1− #«e 2+2 #«e 3, #«f 3 = #«e 1+2 #«e 3, pode-se dizer que ( #« f 1, #« f 2, #« f 3) também é base de V3? Justifique. [5] Sendo E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) base, e #« f 1 = #«e 1+ #«e 2+ #«e 3, #«f 2 = #«e 1+ #«e 2, #«f 3 = #«e 3, decida se F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base. [6] Mostre que os vetores #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, ‖#«u + #«v ‖2 = ‖#«u ‖2+‖#«v ‖2 (Teorema de Pitágoras) [7] Fixemos uma base E . Ache m de modo que #«u = (1,2,2) seja combinação linear de #«v = (m− 1,1,m−2) e #«w = (m+1,m−1,2). Em seguida, determine m para que { #«u , #«v , #«w } seja LD. [8] Seja O ABC um tetraedro, e M o ponto médio de BC . (a) explique por que ( # « O A, # « OB , # « OC ) é uma base. (b) determine as coordenadas de # « AM nesta base. 7 6 Mudança de base [1] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma basede V3, e defina #« f 1 = #«e 1− #«e 2 #« f 2 = #«e 3 #« f 3 = #«e 2+ #«e 3 (a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base. (b) Encontre a matriz de mudança de E para F . (c) Se #«v = (1,−1,3)F , determine as coordenadas de #«v na base E . (d) Se #«u = (1,−1,3)E , determine as coordenadas de #«u na base F . [2] Sejam E e F bases de V3. Sabendo-se que M é a matriz de mudança de E para F , mostre que M−1 é a matriz de mudança de F para E . [3] Sejam E , F e G bases de V3 e suponha que M e N são as matrizes de mudança de E para F e, de F para G , respectivamente. Mostre que M N é a matriz de mudança de E para G . [4] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) são bases, onde #«e 1 = #«f 1+2 #«f 2 #«e 2 = #«f 1− #«f 3 #«e 3 = #«f 2+ #«f 3 e #«g 1 = #«e 1−2 #«e 2 #«g 2 = #«e 1+ #«e 3 #«g 3 = #«e 2− #«e 3 Encontre as matrizes de mudanças de (a) E para F ; (b) F para G ; (c) E para G ; (d) F para E ; (e) G para F ; (f) G para E . [5] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base e defina #« f 1 = #«e 1−3 #«e 2 #« f 2 = #«e 2+ #«e 3 #« f 3 = #«e 1− #«e 2 (a) Mostre que F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3) é base. (b) Sendo #«u = 3 #«e 1+4 #«e 2− #«e 3, encontre as coordenadas de #«u em relação à base F . 7 Ângulo entre vetores e Produto Escalar Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal. [1] Sejam #«u , #«v e #«w arbitrários. Mostre que #«u · ( #«v + #«w)= #«u · #«v + #«u · #«w (distributividade) e #«u · #«v = #«v · #«u (comutatividade) 8 [2] Mostre que #«u e #«v são ortogonais se, e somente se, #«u · #«v = 0. [3] Se #«u = (2,1,−1) e #«v = (1,−1,2), encontre um vetor não nulo #«w tal que #«u · #«w = #«v · #«w = 0. [4] Encontre, nos seguintes casos, o valor de x que torna #«u e #«v ortogonais: (a) #«u = (x+1,1,2), #«v = (x−1,−1,−2); (b) #«u = (x, x,4), #«v = (4, x,1); (c) #«u = (x,−1,4), #«v = (x,−3,1). [5] Seja #«v = (2,3,−1) e #«w = (2,−4,6). (a) Encontre todos os vetores #«u que satisfazem ‖#«u ‖ = 3p3, #«u⊥#«v e #«u⊥#«w . (b) Qual dos vetores encontrados em (a) forma um ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? [6] Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo. [7] Se A,B ,C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule: # « AB · # «BC + # «BC · # «C A+ # «C A · # «AB . [8] Se #«u + #«v + #«w = #«0 , ‖#«u ‖ = 3/2, ‖#«v ‖ = 1/2, ‖#«w‖ = 2, calcule #«u · #«v + #«v · #«w + #«w · #«u . [9] (Desigualdade Cauchy-Schwarz) Sejam #«u , #«v ∈V3. Mostre que |#«u · #«v | ≤ ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖ [10] Seja ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base ortonormal. Dado #«u ∈V3, mostre que #«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1+ ( #«u · #«e 2) #«e 2+ ( #«u · #«e 3) #«e 3. [11] Seja #«v um vetor não nulo fixado. Dado um vetor #«w , mostre que existe um único par ( #«w 1, #«w 2) de vetores tal que #«w 1// #«v , #«w 1 ⊥ #«v e #«w 1+ #«w 2 = #«w ; #«w 1 chama-se projeção de #«w na direção de #«v (ou sobre #«v ). Notação: #«w 1 = proj #«v #«w . [12] Dados #«w e um vetor não nulo #«v , mostre que proj #«v #«w = #«w · #«v ‖#«v ‖2 #«v . Conclua que proj #«v #«w = ( #«w · #«v ) #«v , se #«v é unitário. [13] Dada uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), mostre que, para todo #«u ∈V3, #«u = proj #«e 1 #«u +proj #«e 2 #«u +proj #«e 3 #«u [14] Dada a base ( #«e 1, #«e 2, #«u ), onde #«e 1 e #«e 2 são unitários e ortogonais, obtenha uma vetor #«e 3 tal que ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) é uma base ortonormal. [15] (Processo de ortonormalização de Gram-Schmidt) Dada a base ( #« f 1, #« f 2, #« f 3), encontre uma base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que #«e 1// #« f 1 e #«e 2 seja combinação linear de #« f 1 e #« f 2. 9 [16] Dizemos que uma matriz quadrada M é ortogonal se M M t = M t M = I (matriz identidade). Sejam E e F bases ortonormais deV3. Mostre que a matriz de mudança de E para F é ortogo- nal. Conclua que, neste caso, MF E =M tEF e |det MEF | = 1. [17] (Uma aplicação na física) O produto escalar é uma importante ferramenta para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como, por exemplo, o trabalho. O trabalho realizado por uma força constante #« F ao longo de um determinado des- locamento #« d é definido como o produto escalar dessa força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está aplicada. A grandeza física trabalho, notada porW , é uma grandeza escalar e tem como unidade de me- dida no Sistema Internacional o joule, notado por J . A expressão para o cálculo do trabalho W é W = #«F · #«d e 1J = 1N ·m(1 Newton vezes um metro) 8 Orientação Observação: Nesta seção, E é uma base fixada de V3,A é o conjunto das bases com a mesma orientação que E eB, as bases com orientação oposta. [1] Suponha que E tem a mesma orientação que F . Mostre que F ∈A . [2] Existe alguma base de V3 simultaneamente emA eB? Justifique. [3] Mostre que duas bases quaisquer emB têm a mesma orientação. [4] Sejam F ∈A e G ∈B. Mostre que F e G têm orientação oposta. [5] Mostre que, se E tem a mesma orientação que F e, F tem a mesma orientação que G , então E tem a mesma orientação que G . [6] Mostre que as bases E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (−#«e 1+ #«e 2, #«e 2, #«e 3) têm orientação oposta. [7] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases com a mesma orientação. Mostre que, se #«e 3// #«u então existe λ> 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u = #«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖. [8] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = ( #«e 1, #«e 2, #«u ) são bases de orientação oposta. Mostre que, se #«e 3// #«u então existe λ< 0 tal que #«u =λ#«e 3. Conclua que #«u =−#«e 3 se ‖#«u ‖ = ‖#«e 3‖. [9] Suponha que E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3). Em cada caso decida se F ∈A ou F ∈B, sendo F = ( #«f 1, #«f 2, #«f 3): 10 (a) #« f 1 = −#«e 1+ #«e 2−2 #«e 3 #« f 2 = −2 #«e 1+ #«e 2 #« f 3 = #«e 1+ #«e 3 (b) #«e 1 = −2 #«f 1 #«e 2 = #«e 2− #«f 3 #«e 3 = #«f 1+ #«f 2+ #«f 3 [10] Sejam ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e (a #«e 1,b #«e 2,c #«e 3) bases positivas. Qual é a relação entre a,b e c? [11] Seja F uma base ortonormal obtida a partir de E através do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Mostre que F ∈A . [12] Considere a matriz M(t ) := 1+2t −t 0−t 1− t −3t t 2t 1+4t (a) Que valores deve tomar t para que M(t ) seja a matriz de mudança de E para uma base F (t )? (b) Especifique os valores de t para os quais E e F (t ) ∈A , e os valores para os quais F (t ) ∈B. (c) Existe t tal que F (t )= E? (d) Seja t0 o menor inteiro positivo para o qual F (t0) é base. Exprima cada vetor de F (t0) como combinação linear dos vetores de E . 9 Produto Vetorial Observação: Nesta seção, está fixada uma base E = ( #«i , #«j , #«k ) ortonormal positiva. [1] (Identidade de Lagrange) Prove que ‖#«u ∧ #«v ‖2 = ‖#«u ‖2‖#«v ‖2− ( #«u · #«v )2. [2] Seja θ a medida do ângulo entre os vetores #«u e #«v . Mostre que ‖#«u ∧ #«v ‖ = ‖#«u ‖ ·‖#«v ‖sinθ [3] Sejam #«u e #«v em V3. Mostre que #«u ∧ #«v = #«0 se, e somente se, #«u e #«v são LD. [4] Mostre que #«u ∧ #«v =−#«v ∧ #«u , para quaisquer #«u , #«v ∈V3. [O produto vetorial não é comutativo] [5] Calcule ( #« j ∧ #«j )∧ #«i e #«j ∧ ( #«j ∧ #«i ), e conclua que o produto vetorial não é associativo. [6] Demonstre as seguintes propriedades: (a) #«u ∧ ( #«v 1+ #«v 2)= #«u ∧ #«v 1+ #«u ∧ #«v 2 (b) ( #«u 1+ #«u 2)∧ #«v = #«u 1∧ #«v + #«u 2∧ #«v (c) #«u ∧ (λ#«v )= (λ#«u )∧ #«v =λ( #«u ∧ #«v ) [7] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes. (a) Mostre que #«u ∧ #«v é ortogonal aos vetores #«u e #«v . (b) Use o item (a) para verificar que #«u , #«v e #«u ∧ #«v são linearmente independentes. (c) Conclua que F = ( #«u , #«v , #«u ∧ #«v ) é uma base positiva de V3. 11 [8] Calcule‖#«u ‖ sabendo-se que ‖#«u ∧ #«v ‖ = 4p2, ‖#«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦. [9] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1,1, x) e #«v = (−1,1,0) é igual a p 22, encontre o valor de x. [10] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«0 então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u . [11] Calcule a área do triângulo ABC, sendo # « AC = (−1,1,0) e # «AB = (0,1,3). [12] Sendo ABCD um tetraedro regular de lado unitário, calcule ‖# «AB ∧ # «AC‖. [13] Calcule o momento em relação ao ponto O da força #« F = (−1,3,4), aplicada ao ponto P tal que # « OP = (1,1,1) [este momento é # «OP ∧ #«F ]. [14] Ache um vetor unitário ortogonal a #«u = (1,−3,1) e a #«v = (−3,3,3). [15] Dados #«u = (1,1,1), #«v = (0,1,2), ache uma base ortonormal positiva ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) tal que (i) #«e 1// #«u , #«e 1 tem o mesmo sentido que #«u . (ii) #«e 2 é combinação linear de #«u e #«v , e sua primeira coordenada é positiva. [16] Prove que ( #«u + #«v )∧ ( #«u − #«v )= 2( #«u ∧ #«v ). [17] Sejam #«u e #«v vetores linearmente independentes e suponha que #«w ∧ #«u = #«w ∧ #«v = #«0 . Mostre que #«w = #«0 . Interprete geometricamente. [18] Mostre que a altura do4ABC relativa ao lado AB mede h = ‖ # « AB ∧ # «AC‖ ‖# «AB‖ [19] Seja F uma base qualquer deV3 e considere #«u = (a1,b1,c1)F e #«v = (a2,b2,c2)F . Calcule #«u ∧ #«v . 10 Duplo Produto Vetorial Observação: Nesta seção, está fixada uma base ortonormal positiva ( #« i , #« j , #« k ). [1] Prove que (a) ( #«u ∧ #«v )∧ #«w =−( #«v · #«w) #«u + ( #«u · #«w) #«v ; (b) #«u ∧ ( #«v ∧ #«w)= ( #«u · #«w) #«v − ( #«u · #«v ) #«w . [2] (Identidade de Jacobi) Use as fórmulas acima para concluir que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w + ( #«w ∧ #«u )∧ #«v + ( #«v ∧ #«w)∧ #«u = #«0 . [3] Dados #«u = (1, −32 , 12 ), #«v = (6,−2,−4), #«w = ( 17 , 27 , 37 ), calcule ( #«u ∧ #«v )∧ #«w e #«u ∧ ( #«v ∧ #«w). 12 [4] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que # « AH é paralelo a ( # « AB ∧ # «AC )∧ # «BC . Sugestão: Calcule [( # « AB ∧ # «AC )∧ # «BC ]∧ # «AH . [5] Resolva o sistema { #«x ∧ ( #«i + #«j )=−#«i + #«j #«x · ( #«i + #«j )= 2 [6] Fixe um vetor #«u não nulo. Resolva o sistema { #«x ∧ #«u = #«0 #«x · #«u = 1 , [7] Suponha que #«v ⊥ #«w e #«v ⊥ #«u . Prove que ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w). [8] Prove que, se #«u e #«w são linearmente dependentes então ( #«u ∧ #«v )∧ #«w = #«u ∧ ( #«v ∧ #«w). 11 ProdutoMisto Observação: Para esta seção sugerimos ao aluno uma revisão das propriedades do determinante. Também fixamos uma base ortonormal E = ( #«i , #«j , #«k ) positiva. [1] Mostre que #«u , #«v e #«w são LI se, e somente se, [ #«u , #«v , #«w ] 6= 0. [2] Sejam r e s retas, #«u vetor não nulo paralelo à r e, #«v vetor não nulo paralelo à s. Se P ∈ r e Q ∈ s, mostre que r e s são coplanares se, e somente se, [ #«u , #«v , # «PQ]= 0. [3] Seja F = ( #«u , #«v , #«w) uma base de V3. Mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= det MEF . [4] Dados #«u , #«v e #«w , mostre que [ #«u , #«v , #«w ]= #«u ∧ #«v · #«w . [5] Seja ABC DEFG H um paralelepípedo, e defina #«u = # «AB , #«v = # «AD e #«w = # «AE . Mostre que o volume desse paralelepípedo é igual a [ #«u , #«v , #«w ]. [6] Mostre que o volume de um tetraedro ABCD é igual a |[ # «AB , # «AC , # «AD]|/6. [7] O produto misto é trilinear, isto é, (a) [α# «u1+β# «u2, #«v , #«w ]=α[ # «u1, #«v , #«w ]+β[ # «u2, #«v , #«w ] (b) [ #«u ,α#«v1+β#«v2, #«w ]=α[ #«u , #«v1, #«w ]+β[ #«u , #«v2, #«w ]. (c) [ #«u , #«w ,α# «w1+β# «w2]=α[ #«u , #«w , # «w1]+β[ #«u , #«w , # «w2] [8] O produto misto é alternado, isto é, [ #«u , #«v , #«w ]=−[ #«v , #«u , #«w ]= [ #«v , #«w , #«u ]=−[ #«u , #«w , #«v ]= [ #«w , #«u , #«v ]= −[ #«w , #«v , #«u ]. [9] Prove que #«u ∧ #«v · #«w = #«u · #«v ∧ #«w . Sugestão: Utilize o exercício acima. [10] Prove que ( #«u ∧ #«v ) · ( #«w ∧ #«t )= ∣∣∣∣#«u · #«w #«u · #«t#«v · #«w #«v · #«t ∣∣∣∣. Sugestão: Utilize o exercício acima. [11] Prove que, para quaisquer α,β ∈R vale: 13 (a) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u +α#«v +β#«w , #«v , #«w ]. (b) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v +α#«u +β#«w , #«w ]. (c) [ #«u , #«v , #«w ]= [ #«u , #«v , #«w +α#«u +β#«v ]. Sugestão: Revise Escalonamento. [12] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2,0), #«v = (0,1,0) e #«w = (−2,−1,−1). [13] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados # « AB = (1,1,0), # «AC = (0,1,1) e # «AD = (−4,0,0). [14] Calcule [ #«u , #«v , #«w ] sabendo que ‖#«u ‖ = 1,‖#«v ‖ = 2 e ‖#«w‖ = 3, e que ( #«u , #«v , #«w) é uma base nega- tiva, sendo #«u , #«v , #«w dois a dois ortogonais. [15] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = #«o então #«u , #«v , #«w são linearmente dependentes. [16] Prove que a altura do tetraedro ABC D relativa à base ABC é h = | [ # « AB , # « AC , # « AD] | ‖# «AB ∧ # «AC‖ Sugestão: Volume = 1 3 (área ∆ABC )h 12 Sistema de Coordenadas Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3). [1] Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades P = (2,−1,3) e Q = (5,−2,1). [2] Encontre as coordenadas do ponto P ′, simétrico do ponto P = (−1,3,0) em relação ao ponto M = (1,0,1). [3] Mostre que os pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,2) e C = (1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo (sistema ortogonal). [4] Considere os pontos A = (1,2,−1), B = (0,1,1) e C = (2,0,0). Mostre que4ABC é equilátero. [5] Suponha que o sistema de coordenadas é ortogonal. Encontre a área do triângulo ABC sabendo- se que A = (2,−1,0), B = (0,1,1) e C = (−1,0,0). [6] (a) Mostre que os pontos P = (−1,0,0), Q = (2,−1,−1), R = (0,3,1) e S = (4,5,1) são vértices de um quadrilátero plano, convexo. Em seguida, especifique quais são seus lados e quais são suas diagonais (um quadrilátero é convexo se e só se nenhum de seus vértices é interior ao triângulo determinado pelos outros três). (b) Verifique se os pontos A = (2,6,−5), B = (6,9,7), C = (5,5,0) e D = (3,10,2) são vértices de um paralelogramo. (c) Mostre que os pontos E = (3,0,−1), F = (0,3,0), G = (5,1,−2), H = (−4,1,2) são vértices de um trapézio. 14 13 Estudo da reta Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3). [1] Encontre as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A= (−1,1,0) e B= (0,−1,1). [2] Escreva uma equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto médio M do segmento AB, e que tem como vetor diretor #«v = (p 3 49 , 3 p 3 98 , −p3 7 ) . São dados A= (1,1,3) e B= (3,1,0). [3] Dê dois vetores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial X = (1,2,0)+λ(1,1,1) (λ ∈R) [4] Considere a reta r : X = (1,0,1)+λ(2,−1,1) (λ ∈R), e sejam P = (2,1,−1) e Q = (5/3,−1/3,4/3) pontos de E3. Verifique se P e Q estão em r . [5] São dadas as equações 1−2x 3 = 2−3y 5 = 1− z (a) Mostre que elas representam uma reta r . (b) Elas são equações na forma simétrica de r ? Caso não sejam, passe-as para a forma si- métrica. (c) Exiba um ponto e um vetor diretor de r . [6] Sejam P = (1,0,1) e Q = (0,1,1). Dados A = (1,2,1) e B = (1,2,−1), verifique se existe um ponto C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 1/2 (sistema ortogonal). Solução. Seja (O, #« i , #« j , #« k ) o sistema de coordenadas ortogonal do problema (figura 7). Como # « PQ = (−1,1,0) é um vetor diretor da reta PQ, X = (1,0,1)+λ(−1,1,0) (λ ∈R) é uma equação vetorial dessa reta. Se C é um ponto qualquer dessa reta, existe λ ∈R tal que C = (1−λ,λ,1) Com isso, # « AC = (−λ,λ−2,0) e # «AB = (0,0,−2), e portanto, # « AC ∧ # «AB = ∣∣∣∣∣∣∣ #« i #« j #« k −λ λ−2 0 0 0 −2 ∣∣∣∣∣∣∣= (−2λ+4,−2λ,0).15 Figura 7: Triângulo ABC Em particular, ‖ # « AC ∧ # « AB‖ = 2 √ (λ−2) 2 +λ 2 . Logo área(4ABC )= ‖ # « AC ∧ # « AB‖ 2 = √ (λ−2) 2 +λ 2 Por outro lado, para todo λ ∈R tem-se (λ−2) 2 +λ 2 = 2(λ−1) 2 +2≥ 2, e portanto, área(4ABC )≥ p 2, para todo ponto C sobre a reta PQ. Como p 2 > 1/2, segue-se que não existe um ponto C sobre a reta PQ tal que área(4ABC )= 1/2. [7] Dados os pontos A = (0,0,1), B = (1,2,1) e C = (1,0,1), obtenha equações paramétricas das bissetrizes interna e externa do triângulo ABC , relativas ao vértice C . [8] Dados os pontos A = (1,2,5) e B = (0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo de PA. [9] Escreva equações paramétricas para a reta r , que passa pelo ponto A = (2,0,−3) e: (a) é paralela à reta s : 1−x 5 = 3y 4 = z+3 6 . (b) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1,0,4) e C = (2,1,3). 16 (c) é paralela à reta t : x = 1−2λ y = 4+λ z = −1−λ (λ ∈R). [10] Sejam r e s duas retas com vetores diretores #«u e #«v , respectivamente. Suponha que #«u // #«v e r ∩ s 6=ø. Mostre que r = s. [11] Dados A = (0,2,1), r : X = (0,2,−2)+λ(1,−1,2), encontre os pontos de r que distam p3 de A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor, ou igual a p 3, e por quê. (sistema ortogonal) [12] Dada a reta r : X = (1,0,0)+λ(1,1,1) e os pontos A = (1,1,1), B = (0,0,1), ache o ponto de r equidistante de A e B (sistema ortogonal). [13] Ache equações paramétricas da reta que passa por A = (3,3,3) e é paralela à reta BC , sendo B = (1,1,0) e C = (−1,0,−1). [14] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações X = (0,0,0)+λ(1,2,4)(λ ∈R) e X = (1,0,−2)+µ(−1,−1,−1)(µ ∈R) Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão. 14 Estudo do Plano Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3). [1] Determine duas equações vetoriais do plano que passa por A = (−1,−1,1), e é paralelo aos vetores #«u = (1,0,1) e #«v = (−1,1,0). [2] Uma reta r é dada como intersecção de dois planos: r : { x+ y + z−1= 0 x+ y − z = 0 Dê equações paramétricas de r . Observação: A reta r acima está expressa sob a Forma Coplanar, ou seja, como interseção de dois planos. [3] Encontre uma equação geral do plano que contém o ponto (−1,0,1) e é perpendicular à reta s : { x+ y + z = 0 −y + z = 2 [4] Encontre uma equação geral do plano paralelo à reta r : X = (−1,0,1)+ (2,0,−1) e perpendi- cular à reta s : { x+ y + z = 0 −y + z = 2 [5] Encontre as equações paramétricas da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo Oz e é paralela ao plano pi : x−3y +5z−6= 0. 17 [6] Decomponha o vetor #«v = (1,2,4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano X = (1,1,0)+λ(1,0,1)+µ(0,1,−1) (λ,µ ∈R) e outra paralela à reta X = (0,0,0)+ν(2,1,0) [7] Considere a equação ax+by + cz+d = 0, (1) onde a2+b2+c2 6= 0. Mostre que a equação (1) é uma equação geral de um plano, e determine três pontos não colineares nesse plano. [8] Encontre uma equação geral do plano que passa pelos pontos A = (1,0,1), B = (−1,0,1) e C = (2,1,2). [9] Seja pi o plano que passa pelos pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3), não colineares. Mostre que uma equação geral de pi é dada por∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y z 1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 x3 y3 z3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 [10] Dadas equações paramétricas de um plano pi, x =−1+2λ−3µ y = 1+λ+µ z =λ (λ,µ ∈R) obtenha uma equação geral desse plano. [11] Uma plano tem equação geral x+2y−z+1= 0. Obtenha equações paramétricas desse plano. [12] Seja ax+by + cz+d = 0 uma equação geral de um plano pi. Suponhamos a 6= 0. Mostre que x =−baλ− caµ− da y =λ z =µ (λ,µ ∈R) são equações paramétricas de pi. Observação: Verifique se elas são equações paramétricas de algum plano pi1. Mostre que pi1 ⊆pi, donde pi1 =pi. [13] Dadas as retas r : x−1 2 = y 2 = z e s : x−1= y = z obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. [14] Sejam P = (4,1,−1) e r : X = (2,4,1)+λ(1,−1,2). (a) Mostre que P ∉ r . 18 (b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por P . [15] Suponha que ax +by + cz +d = 0 seja uma equação geral de um plano pi. Mostre que #«v é ortogonal a pi. [16] Obtenha uma equação geral do plano pi, que passa pelo ponto A = (1,0,−1) e tem vetor nor- mal #«n = (1,−1,0). [17] Escreva equações paramétricas para a reta r =pi1∩pi2, onde pi1 : 2x− y −3= 0 e pi2 : 3x+ y +2z−1= 0 [18] Dê uma equação geral do plano pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A = (1,1,1) e B = (2,1,−1). [19] Dê uma equação geral do plano que passa pelo P = (1,0,1) e é perpendicular à reta X = (0,0,1)+λ(1,2,−1). [20] Decomponha o vetor #«v =−3 #«i +4 #«j −5 #«k paralela e ortogonalmente ao plano pi : x = 1−λ y =−2 z =λ−µ (λ,µ ∈R) [21] Prove que o lugar geométrico dos pontos de E3 que são equidistantes de A = (1,−1,2) e B = (4,3,1) é um plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular ao segmento AB . 15 Posições relativas de retas e planos Observação: Nesta seção, está fixado um sistema de coordenadas (O, #« i , #« j , #« k ) ortogonal. [1] Estude a posição relativa das retas r : X = (−1,2,−2)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : x = y −1= z [2] Estude a posição relativa das retas r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : X = (1,3,6)+µ(0,2,6) (µ ∈R) [3] Estude a posição relativa das retas r : X = (1,2,3)+λ(0,1,3) (λ ∈R) e s : { x+ y + z = 6 x− y − z =−4 [4] Determine m para que as retas r : X = (1,0,2)+λ(2,1,3) e s : X = (0,1,−1)+λ(1,m,2m) sejam coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa. 19 [5] Determine α e β para que as retas r : X = (1,α,0)+λ(1,2,1) (λ ∈R) e s : { x = z−2 y =βz−1 sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas. [6] Sejam #«u = (d ,e, f ) e #«w = (g ,h, i ) vetores diretores de um plano pi. Se #«v = (m,n, p) é um vetor diretor de uma reta r , então r −tpi se, e somente se,∣∣∣∣∣∣ d e f m n p g h i ∣∣∣∣∣∣ 6= 0 [7] Dados o plano pi : X = (1,1,3)+λ(1,−1,1)+µ(0,1,3), com λ,µ ∈R, e a reta r : X = (1,1,1)+α(3,2,1) (α ∈R), estude a posição relativa de r e pi. [8] Calcule m para que a reta r : X = (1,1,1)+λ(2,m,1) seja paralela ao plano pi : X = (0,0,0)+α(1,2,0)+β(1,0,1). [9] Calcule m para que a reta r : x−1 m = y 2 = z m seja transversal ao plano pi : x+my + z = 0 [10] Estude a posição relativa dos planos pi1 : X = (1,0,−1)+λ(−1,1,1)+µ(1,0,1) e pi2 : X = (0,0,0)+α(1,0,1)+β(−1,0,3) [11] Estude a posição relativa dos planos pi1 : 2x− y + z−1= 0 e pi2 : 2x− y + z+10= 0. [12] Mostre que os planos pi1 : X = (0,0,0)+λ(−1,m,1)+µ(2,0,1) e pi2 : X = (1,2,3)+α(m,1,0)+β(1,0,m) são transversais, para todo m ∈R. [13] Sejam r e s retas reversas, passando por A e B , e por C e D , respectivamente. Obtenha uma equação vetorial da reta t , concorrente com r e s, e paralela ao vetor #«v = (1,−5,−1). Dados A = (0,1,0), B = (1,1,0), C = (−3,1,−4) e D = (−1,2,−7). [14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , que passa pelo ponto P = (2,−1,1) e é concorrente com as retas reversas r : { y + z = 5 x+2z = 9 e s : { 2x− z =−1 y −2z = 1 [15] Considere os planos pi1 : 2x = y , pi2 : x = 0, pi3 : z = 0, e seja pi4 o plano determinado pelas retas r : X = (1,2,0)+λ(1,2,−1) e s : { x = 0 y + z = 1 Verifique se esses planos determinam um tetraedro e calcule o seu volume. 20 16 Perpendicularidade e Ortogonalidade Observação: Nesta seção está fixado um sistema de coordenadas ortogonal (O, #« i , #« j , #« k ). [1] Verifique se as retasr e s são ortogonais nos seguintes casos: (a) r : X = (1,3,0)+λ(0,−7,5) e s : x−12 = y−3 5 = z7 (b) r : x−42 = y−2 3 = z+4−5 e s : x = 2+3λ y =−5−2λ z = 1−λ [2] Ache as equações na forma simétrica da reta r que passa por P = (−1,3,5) e é perpendicular ao plano pi : x− y +2z−1= 0. [3] Ache equações sob a forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas: r : x = 2+λ y =λ z =−1+λ e s : { x+ y = 2 z = 0 [4] Dê uma equação vetorial da reta paralela ao plano pi, perpendicular à reta AB , e que inter- cepta a reta s, onde pi : 2x− y +3z−1= 0, A = (1,0,1), B = (0,1,2), s : X = (4,5,0)+λ(3,6,1). [5] Verifique se r é perpendicular a pi nos seguintes casos: a) r : x = 1+3λ y = 1−3λ z =λ e pi : 6x−6y +2z−1= 0. b) r : { x− y − z = 0 x+ y = 0 e pi : 2x−2y +4z = 1. [6] Ache equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular ao plano pi nos casos: a) P = (1,−1,0) e pi : X = (1,−1,1)+λ(1,0,1)µ(1,1,1); b) P = (1,3,7) e pi : 2x− y + z = 6. [7] Ache uma equação geral do plano pi e é perpendicular à reta r no casos: a) P = (0,1,−1) r : X = (0,0,0)+λ(1,−1,1); b) P = (1,1,−1) r : { x−2y + z = 0 2x−3y + z−1= 0 [8] Ache o ponto simétrico de P = (1,1,−1) em relação à reta r : x+23 = y = z. Observação: Dizemos que o ponto P ′ é o simétrico de P em relação a reta r (ao plano pi) se o ponto médio do segmento PP ′ pertence a reta r (ao plano pi). [9] Ache o ponto simétrico de P = (1,4,2) em relação ao plano pi : x− y + z−2= 0. [10] Determine a projeção ortogonal a) do ponto P = (4,0,1) sobre o plano pi : 3x−4y +2= 0; b) da reta r : x+1= y +2= 3z−3 sobre o plano pi : x− y +2z = 0. 21 [11] Verifique se os planos pi1 : X = (4,3,1)+λ(−1,0,−1)+µ(3,1,0) e pi2 : y −3z = 0 são perpendi- culares. [12] Ache uma equação geral do plano que passa pelo ponto A = (2,1,0) e é perpendicular aos planos pi1 : x+2y −3z+4= 0 e pi2 :−1 8 x− 1 4 y + 3 8 z−1= 0. [13] Um cubo tem diagonal AB e uma das faces está contida no plano pi : x − y = 0. Determine seus vértices, dados A = (1,1,0) e B = (1,3,p2). [14] Dados os planos pi1 : x− y+z+1= 0, pi2 : x+ y−z−1= 0 e pi3 : x+ y+2z−2= 0, encontre uma equação geral do plano que contém pi1∩pi2 e é perpendicular a pi3. Solução. Considere os vetores #«n 1 = (1,−1,1), #«n 2 = (1,1,−1) e #«n 3 = (1,1,2). Então: #«n 1 é normal a pi1, #«n 2 é normal a pi2 e #«n 3 é normal a pi3. Como #«n 1 e #«n 2 são LI, os planos pi1 e pi2 são transversais e portanto, pi1∩pi2 é uma reta que denotaremos por r . Em particular, #«n 1 e #«n 2 são ortogonais à reta r , de onde segue-se que #«v = #«n 1∧ #«n 2 é um vetor diretor dessa reta: #«v = #«n 1∧ #«n 2 = ∣∣∣∣∣∣∣ #« i #« j #« k 1 −1 1 1 1 −1 ∣∣∣∣∣∣∣= (0,2,2). Sejapi4 o plano procurado. Comopi4 ⊥pi3 e #«n 3 é ortogonal api3, concluimos que #«n 3 é paralelo ao plano pi4. Além disso, #«v também é paralelo ao plano pi4 já que este plano contém a reta r . Como #«v e #«n 3 são LI, o vetor #«n 4 := #«v ∧ #«n 3 é normal ao plano pi4: #«n 4 := #«v ∧ #«n 3 = ∣∣∣∣∣∣∣ #« i #« j #« k 0 2 2 1 1 2 ∣∣∣∣∣∣∣= (2,2,−2). Logo, uma equação geral de pi4 é da forma 2x+2y −2z+d = 0, para algum d ∈ R. Observando que A := (0,0,−1) pertence à reta r , e portanto ao plano pi4, obtemos d =−2. Logo pi4 : x+ y − z−1= 0, que coincide com o plano pi2. Isto já era esperado, visto que #«n 2 · #«n 3 = 0 e r ⊂pi2. 17 Ângulos Observação: Nesta seção está fixado um sitema ortogonal (O, #« i , #« j , #« k ) de coordenadas. [1] Ache o cosseno do ângulo entre as retas: (a) X = (−5/2,2,0)+λ(1/2,1,1) e s : { 3x−2y +16= 0 3x− z = 0 (b) r : x = 1− y 2 = z 3 e s : { 3x+ y −5z = 0 2x+3y −8z = 1 22 [2] Ache a medida em radianos do ângulo entre reta e plano nos casos: (a) x = y = z (reta) e z = 0 (plano) Interprete o item a) geometricamente. (b) x = 1+λ y =λ z =−2λ e x+ y − z−1= 0 (c) { y = 2−x x = 1+2z e p 45/7x+ y +2z = 10 [3] Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos: a) 2x+ y − z−1= 0 x− y +3z−10= 0; b) X = (1,0,0)+λ(1,0,1)+µ(−1,0,0). x+ y + z = 0. [4] Ache a reta que intercepta as retas r : x−1 3 = y −1 2 = −z 3 e x =−1+5λ y = 1+3z z =λ e forma ângulos congruentes com os eixos coordenados. [5] Ache a retar que passa pelo ponto (1,−2,3) e que forma ângulos de 45◦ e 60◦, respectivamente, com o eixo dos x e dos y . [6] Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x+ y + z = 0 e que forma 45◦ com o plano pi2 : x− y = 0. [7] Calcule a medida dos ângulos entre a diagonal de um cubo e suas faces. [8] Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém a reta r : { x−2y +2z = 0 3x−5y +7z = 0 e forma com o plano pi1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus. [9] Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : { 3z−x = 1 y −1= 1 e forma com s : X = (1,1,0)+λ(3,1,1) um ângulo cuja medida em radianos é θ = arccos 2 p 30 11 . [10] A diagonal BC de um quadrado ABC D está contida na reta r : X = (1,0,0)+λ(0,1,1). Sabendo que A = (1,1,0), determine os pontos B ,C ,D . 18 Distâncias Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #« i , #« j , #« k ) de coordenadas. [1] Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos: 23 (a) P = (0,−1,0) e r : { x = 2z−1 y = z+1 . (b) P = (1,−1,4) e r : x−2 4 = y−3 = z−1 −2 . [2] Obtenha uma equação vetorial da reta r paralela à s : { 2x− z = 3 y = 2 , concorrente com t : X = (−1,1,1)+λ(0,−1,2), e que dista 1 do ponto P = (1,2,1). [3] Um quadrado ABC D tem a diagonal BD contida na reta r : { x = 1 y = z . Sabendo que A = (0,0,0), determine os vértices B ,C e D . [4] Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r : { x+ z = 1 y = 0 e s : { x+ y = 1 z = 0 . Descreva o lugar geométrico. [5] Sejam P = (1,0,2) e r : x − y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equação geral do plano pi que contém r e dista 2 do ponto P . [6] Dados um ponto P = (x0, y0, z0) e um plano pi : ax+by + cz+d = 0, mostre que d(P,pi)= |ax0+by0+ cz0+d |p a2+b2+ c2 [7] Calcule a distância entre as retas paralelas X = (0,0,2)+λ(−2, 1/2,1) e x−1−2 = y 1/2 = z. [8] Calcule a distância entre os planos paralelos 2x− y +2z+9= 0 e 4x−2y +4z−21= 0. [9] Calcule a distãncia entre as retas r : x = 2−λ y = 1+λ z =−λ e s : { x+ y + z = 0 2x− y −1= 0 . [10] Ache os pontos de r : { x+ y = 2 x = y + z que distam 3 do ponto A = (0,2,1). [11] Ache os pontos da reta y = 2x+1 que estão situados a distância 2 da origem. [12] Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x+2y −2z = 0 [13] Ache os pontos de r : { x+ y = 2 x = y + z que distam p 14/3 de s : x = y = z+1. [14] Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela ao plano pi : z = 0, que dista 3 dele, e é concorrente com as retas r : X = (1,−1,−1)+λ(1,2,4) e s : { x− y = 1 3y −2z+6= 0 . [15] Ache os pontos da reta r : { y = 2−x x = y + z que distam p 6 de pi : x−2y − z = 1. 24 [16] Dê uma equação geral do plano que passa pelos pontos P = (1,1,−1), Q = (2,1,1) e que dista 1 da reta r : X = (1,0,2)+λ(1,0,2). [17] Dê uma equação vetorial da reta r , contida no plano pi : x + y = 0, que forma um ângulo de 30◦ com o plano α : y − z = 1 e dista 1 do eixo dos x. [18] Se a distância da origem a um plano é d , e esse plano intercepta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c), prove que: 1 d 2 = 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 . 19 Mudança de Coordenadas Observação: Nesta seção está fixado um sistema ortogonal (O, #« i , #« j ) de coordenadas em E2. [1] Sejam Σ1 = (O, #«e1, #«e2, #«e3) e Σ2 = (O′, #«f1, #«f2, #«f3) dois sistemas de coordenadas tais que #«f1 = #«e1+ #«e2, #« f2 = #«e2, #«f3 = #«e2+ #«e3 e O′= (1,1,1)Σ1 . Obtenha as equações paramétricas da reta r : [X = (0,0,0)+λ(0,1,1)]Σ1 no sistema Σ2. [2] Sejapi : [2x−y+z = 0]Σ1 . Obtenha uma equação geral depi no sistemaΣ2 do exercício anterior. [3] Faça uma rotação em E2 de modo que as novas coordenadas do ponto P = (p3,1) sejam ( p 3,−1). [4] Faça uma translação em E2 de modo que a reta r : x + 3y − 2 = 0 passe pela (nova) origem, sabendo que esta tem abscissa −1. [5] Faça uma rotação em E2 de modo que a reta r : x+2y+1=O fique paralela ao (novo) eixo das abscissas e esteja contida no 3° e 4° (novos) quadrantes. [6] Dado o sistema Σ1 = (O, #«e1, #«e2), seja C a circunferência de centro O e raio r > 0. Mostre que C , em qualquer sistema obtido por rotação de Σ1, tem equação u2+ v2 = r 2. [7] Elimine os termos de 1° grau e o termo misto das seguintes equações: (a) 9x2−4y2−18x−16y −7= 0; (b) 4x2−24x y +11y2+56x−58y +95= 0; (c) 16x2−24x y +9y2−85x−30y +175= 0; (d) 4x2+ y2+8x−10y +13= 0; (e) x2−6x−5y +14= 0; (f) x2+2y2−4x−4y −1= 0; (g) 8x2−2x y +8y2−46x−10y +11−0; (h) 12x2+8x y −3y2+64x+30y = 0; (i) 2x2−12x y +7y2+8x+20y −14= 0; (j) 25x2+20x y +4y2+30x+12y −20= 0; (k) 4x2−4x y + y2−8p5x−16p5y = 0; (l) x2+x y + y2−1= 0; (m) 4x2 − 12x y + 9y2 − 8p13x − 14p13y + 117= 0; (n) 3x2−2x y +3y2+2p2x−6p6y +2= 0. [8] Considere a equação do segundo grau Ax2+B x y +C y2+Dx+E y +F = 0, (2) que após uma mudança de coordenadas em E2 é escrita na forma A′u2+B ′uv +C ′v2+D ′u+E ′v +F ′ = 0 (3) 25 (a) Mostre que [ D ′ E ′ ] = [ cosθ −sinθ sinθ cosθ ][ D E ] . (b) Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por rotação, isto é, se (2) é trans- formada em (3) por meio de uma rotação, então A+C = A′+C ′ e B 2−4AC =B ′2−4A′C ′. (c) Mostre que as raízes λ1 e λ2 da equação∣∣∣∣A−λ B/2B/2 C −λ ∣∣∣∣= 0, (4) são reais, quaisquer que sejam A,B e C . (d) Mostre ainda que λ1 =λ2 apenas se A =C e B = 0, e neste caso, λ1 =λ2 = A =C . (e) Conclua que, se A2+B 2+C 2 6= 0 não pode ocorrer λ1 =λ2 = 0. (f) Mostre que A+C é a soma da raízes de (4) e −B 2−4AC 4 é o produto delas. (g) Conclua que A′ e C ′ são raízes de (4), escolhido θ de modo a eliminar-se o termo misto. [9] Prove que os números A+C e B 2−4AC são invariantes por uma mudança de coordenadas da forma [ x y ] = [ h k ] + [ cosθ sinθ −sinθ cosθ ][ u v ] . Sugestão: A mudança acima pode ser interpretada como uma translação seguida de uma rotação (roto-translação). 20 Cônicas [1] Escreva a equação e esboce o gráfico da elipse de focos F1 = (−1,0), F2 = (1,0) e o eixo maior medindo 10. [2] Escreva a equação reduzida da elipse que tem centro na origem, focos num dos eixos coorde- nados, e passa por A e B . (a) A = (3,2); B = (1,4) (b) A = (5,2); B = (2,4) [3] Ache os vértices e a área de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse 9x2+16y2 = 100. [4] Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados (a) os vértices (±2,0), e os focos (±3,0); (b) os vértices (±15,0), e as assíntotas 5y = ±4x; (c) b = 4, e as assíntotas 2y =±3x (focos no eixo O y); (d) os focos (±5,0), e as assíntotas 2y =±x; (e) as assíntotas y = ±x, e um ponto da hi- pérbole, (5,9); 26 (f) os focos (±5,0), e o comprimento L = 92 da corda por um dos focos, perpendicu- lar a F1F2. [5] Determine os focos, os vértices e as diretrizes, das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço. (a) y2 = 16x; (b) y2+28x = 0; (c) x2+40y = 0; (d) 5y2 = 12x; (e) 2x2 = 7y ; (f ) 7x2 = 15y . [6] Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo. (a) A = (2,3), x = 0 (b) A = (3,1), y +3= 0 (c) A = (−4,−2), 2x+ y = 3 Sugestão: Use translações e rotações. [7] Determine a equação da circunferência em cada caso: (a) que passa pelos pontos (1,2), (2,1) e (−1,1) (b) circunscrito ao triângulo de vértices (7,3), (2,8) e (5,7). (c) concêntrico ao círculo 4x2+4y2−16x+20y +25= 0 e tangente à reta 5x+12y = 1. (d) que tem seu centro sobre a reta 4x−5y = 3 e é tangente às retas 2x−3y = 10 e 3x−2y = −5. (e) que tem centro (3,−1) e determina sobre a reta 2x −5y +18 = 0 uma corda de compri- mento 6. [8] Esboce e reconheça as cônicas no Exercício 7 da Seção 19. [9] O ponto (3,1) é um vértice de uma elipse E cujos focos se acham sobre a reta y+6= 0. Deter- mine a equação de E sabendo que sua excentricidade é c a = p 2 2 . [10] Determine os pontos da elipse x2 100 + y 2 36 = 1 cuja distância ao foco que se acha sobre o semi- eixo OX positivo seja igual a 14. [11] Determine a equação da família de elipses com centro (2,3), reta focal paralela ao eixo OX e excentricidade c a = 1 2 . [12] Determine a equação da elipse que passa por (1,3), (−1,4), (0,3−p3/2) e (−3,3), sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados. [13] Verifique que a equação da reta tangente à elipse E : b2x2+a2 y2 = a2b2 em um ponto (x0, y0) ∈ E é b2x0x+a2 y0 y = a2b2. [14] Mostre que as retas tangentes aos pontos extremos de um diâmetro de uma elipse são para- lelas. [15] Determine as equações das retas tangentes à elipse x2 20 + y 2 5 = 1 que passam pelo (10/3,20/3). 27 [16] Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y = 2x e y = −2x e passa pelo ponto (2,1). [17] Determine a equação da hipérbole que tem focos em (2,1) e (4,1) e excentricidade c a = 2p 3 . [18] Calcule a área do triângulo formado pelas assíntotas da hipérbole x2 4 − y 2 9 = 1 e a reta 9x+2y = 24. [19] O ponto (1,−2) pertence a uma hipérbole em que um dos focos é (−2,2), tendo a diretriz correspondente a esse foco por equação 2x− y −1= 0. Determine a equação da hipérbole. [20] Determine a equação da hipérbole equilátera(a = b) com centro no ponto (2,3) e um dos focos no ponto (2,5). [21] Determine os valores de k de modo que a equação (x−4)2 9+k + y2 5+k = 1 represente uma hipér- bole. Esboce a curva para k =−7 e dê os focos, a excentricidade e = c a e as assíntotas. [22] Verifique que uma reta paralela a uma assíntota de uma hipérbole intersecta a curva em ape- nas um ponto. [23] Verifique que a reta tangente à hipérbole b2x2−a2 y2 = a2b2 em qualquer ponto (x0, y0) sobre a curva tem por equação b2x0x−a2 y0 y = a2b2. [24] Verifique que o ponto de contato de qualquer tangente a uma hipérbole é o ponto médio do segmento da tangente delimitado pelas assíntotas. [25] Considere a hipérbole H : x2 9 − y 2 36 = 1. Determine os valores de m de modo que a reta y = 5 2 x+m (a) intersectaH em dois pontos distintos. (b) é tangente aH . (c) não intersectaH . [26] Uma circunferência de centro no ponto (4,−1) passa pelo foco da parábola x2+16y = 0. Ve- rifique que a diretriz da parábola tangencia a circunferência. [27] Calcule o comprimento da corda da parábola y2 = 4x determinada pela interseção da reta x−2y +3= 0 com a parábola. [28] Dê a equação da parábola de vértice (2,1) e diretriz 4x+3y = 1. [29] Dê a equação da parábola de vértice na origem e diretriz 2x+ y = 1. [30] Determine a equação da parábola cuja reta focal é paralela ao eixo OX e passa pelos pontos ( 32 ,−1), (0,5) e (−6,7). [31] Identifique os principais elementos das parábolas em cada caso: 28 (a) x2−8y = 0; (b) 2y2+5x+8y −7= 0; (c) 3y2+7y −6= 0; (d) 9x2−42x+49= 0; (e) 3y2−2y +1= 0. [32] Determine a equação da parábola com: (a) Foco F = (−3/4,0) e diretriz x = 3/4. (b) Vértice V = (−1,−3) e diretriz x =−3. [33] Verifique que a equação do segundo grau 10y2+8x−30y −9= 0 é uma parábola, determine o vértice, o foco e a equação da diretriz. [34] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos equidistantes à circun- ferência x2+ y2 = 1 e ao eixo-OX . [35] Determine as equações que descrevem o lugar geométrico dos pontos que são centros das circunferências tangentessimultaneamente à reta y = 1 e à circunferência x2+ y2 = 9. 21 Superfícies Esféricas [1] Ache uma superfície esférica que passa pelos pontos (1,0,0), (0,1,0), ( 12 , 1 2 , p 2 2 ), (0,0,1). [2] Encontre uma equação geral do planopi, tangente à superfície esférica S : x2+y2+z2−2x−1= 0 pelo ponto T = (1,−1,1). [3] Determine uma equação geral do plano pi, que contém a reta s : { x+ y + z = 0 2x−6y +3z−49= 0 e é tangente à superfície esférica S de centro na origem e raio 7. [4] Obtenha equações gerais dos planos tangentes à superfície esférica S : x2+ y2+ z2+2x+2y −1= 0 que são paralelos ao plano pi : x− y −2z−2= 0. [5] Obtenha equações da circunferência E , de centro P = (1,1,−2) e que passa pelos pontos Q = (2,3,0) e R = (−1,−1,−1). [6] Obtenha equações da circunferência que tem diâmetro AB e passa por C , sendo dados A = (3,−2,5), B = (−1,6,−3) e C = (1,−4,1). [7] O plano 3x+2y+6z = 6 intercepta os eixos coordenados nos pontos A,B e C . Obtenha equa- ções da circunferência circunscrita ao triângulo ABC . [8] Ache uma equação da superfície esférica que tem centro na reta r : { x = 2z−3 y = z−1 e passa pelos pontos A = (6,−1,3) e B = (0,7,5). [9] Dê equações na forma simétrica da reta perpendicular ao plano 10x −2y +4z −1 = 0 e que contém um diâmetro da superfície esférica x2+ y2+ z2+2x−6y + z−11= 0. 29 [10] Calcule a distância do ponto P = (1,−1,3) à superfície esférica S : x2+ y2+ z2−6x+4y −10z−62= 0 (isto é, a distância mínima de P aos pontos de S). [11] Mostre que, se k < 0, a equação x2+ y2+ z2+ax+by + cz+k = 0 representa uma superfície esférica, quaisquer que sejam a,b,c reais. [12] Prove que, se uma superfície esférica de centro C = (a,b,c) é tangente aos três planos coor- denados então |a| = |b| = |c|. [13] Mostre que o plano tangente a S : x2 + y2 + z2 = r 2 no ponto P = (a,b,c) ∈ S tem equação ax+by + cz = r 2. [14] Mostre que para todo φ ∈ R e para todo θ ∈ R, o ponto de coordenadas x = a sinφcosθ, y = a sinφsinθ e z = a cosφ pertence à superfície esférica de centro na origem e raio a > 0. Faça uma figura e descubra o que são φ e θ. Você já ouviu falar em coordenadas esféricas? [15] Encontre os planos tangentes à superfície esférica (x−1)2+ (y−2)2+z2 = 1 que são paralelos ao plano 2x+ y − z = 0. [16] Ache os planos tangentes à superfície esférica x2+y2+z2 = 1 que contém a reta r : { x+ y + z = 0 x− y − z−2= 0 . [17] Uma corda PQ da superfície esférica S : x2+ y2+z2−4x+2y−8z+10= 0 está contida na reta{ x = 2z−1 y = 1− z . Determine os planos tangentes em P e Q. [18] Encontre o centro e o raio da circunferência interseção do plano 2x − 2y − z + 9 = 0 com a superfície esférica x2+ y2+ z2−6x+4y −2z−86= 0. [19] Obtenha equações da circunferência que passa pelos pontos A = (3,−1,−2), B = (1,1,−2) e C = (−1,3,0). [20] Dados A = (3,−1,−2) e B = (1,1,−2), obtenha equações do lugar geométrico dos pontos X tais que o triângulo AB X seja equilátero. Interprete geometricamente. [21] Dê equações gerais dos planos paralelos ao plano x−2y−z = 0, que interceptam a superfície esférica S : x2+ y2+ z2+2x+2y −2z = 0, segundo circunferências de raiop3/2. [22] Um hexágono regular inscrito na circunferência E : { x2+ y2+ z2+2x+2y +2z−3= 0 x+ y + z = 1 tem um vértice na reta X = (−1,1, 1/3)+λ(2,−1,1). Determine seus seis vértices. [23] Verifique se as superfícies esféricas S1 : x 2+ y2+ z2−2x−2y −2z+2= 0 e S2 : x2+ y2+ z2+2x+2y +2z−4= 0 são secantes. Em caso afirmativo, ache o centro e o raio da circunferência S1∩ S2 (observe que subtraindo as equações de S1 e S2 obtém-se uma equação do plano que contém S1∩S2: por quê?). 30 [24] Ache λ real tal que as superfícies esféricas S1 e S2 sejam tangentes: S1 : (x−1)2+ (y −3)2+ z2 = 1 e S2 : x2+ y2+ z2−2λx+4λy +4λz = 0. [25] Dê uma equação da superfície esférica tangente ao plano z = 0 no ponto (1,−2,0), que tan- gencia externamente a superfície esférica x2+ y2+ z2−6x−8y −2z+1= 0. [26] Obtenha as equações gerais das superfícies esféricas com centro (1,0,1) que tangenciam in- teriormente a superfície esférica S : x2+ y2+ z2−2x+ y −10= 0. 22 Superfícies Cilíndricas, Cônicas, Quádricas e de Revolução [1] Ache uma equação da superfície cílindrica de diretriz C cujas geratrizes são paralelas à reta∆ (faça um esboço!), onde: (a) C : { x2+ y2 = z x− y + z = 0 e ∆ : x = 1+λ y = 2−λ z = 3−λ (b) C : { x2−x y +1= 0 z = 0 e ∆ : { x = 2z y = z+3 (c) C : { x y = z x+ y − z = 0 e ∆ : x = y = z (d) C : { x+ y +x y = 0 z = 0 e ∆ : x = y = z [2] Encontre uma equação da superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a #«v = (3,−2,1) circuns- crita à superfície esférica de centro (1,−2,2) e raiop3. [3] Mostre que uma relação do tipo F (X ,Y )= 0 em E3, é equação de uma superfície cilíndrica S de diretriz C : { F (x, y)= 0 z = 0 . [4] Ache uma equação da superfície cônica de vértice V cuja diretriz é a curva C (faça um es- boço!), onde: (a) C : { x2−2z+1= 0 y − z+1= 0 e V = (0,0,0). (b) C : { x2+ y2−x = 0 z = 0 e V = (0,0,1). (c) C : { xz = 1 y = 1 e V = (0,0,0). (d) C : { x2− z2+1= 0 y = 1 e V = (0,0,0). [5] Determine uma equação da superfície cônica tendo a origem como vértice, e circunscrita à superfície esférica S : x2+ y2+ z2−3x− y +2= 0. [6] Ache uma equação da superfície cônica circular reta de vértice V = (1,1,1), sabendo que as geratrizes formam ângulo medindo 60◦ com o eixo, que é a reta r : x = 1+λ y = 1+2λ z = 1−λ 31 [7] Encontre uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C : { x2+ y2 = 1 x+ z = 0 em torno da reta r : x =λ y =λ z =λ (λ ∈R) [8] Ache uma equação da superfície gerada pela rotação da curva C : { f (x, y)= 0 y = 0 em torno do eixo Oz. [9] Ache uma equação da superfície de rotação gerada pela curva C em torno da reta r (faça um esboço!), onde: (a) C : { x−1= y z = 0 e r : x = y = z. (b) C : { x−1= y z = 0 e r : x− y = z = 0. (c) C : { 3z2+3x = 1 y = 0 e r : eixo Oz. (d) C : { x2+ z2 = 1 y = 0 e r : eixo Oz. (e) C : { (x−1)2+ (z−2)2 = 1 y = 0 e r : eixo Oz. (f ) C : { 3z2+3x = 1 y = 0 e r : eixo Ox. (g) C : { x2+ z2 = 1 y = 0 e r : eixo Ox. (h) C : { (x−1)2+ (z−2)2 = 1 y = 0 e r : eixo Ox. (i) C : { z− y2 =−1 x = 0 e r : eixo Oy . (j) C : z 2 a2 + y 2 b2 = 1 x = 0 e r : eixo Oy/Oz. (k) C : x =α y =α2 z =α2 (α ∈R) e r : eixo Oz. [10] Obtenha uma equação da superfície definida como reunião das retas que se apoiam no eixo Ox e na circunferência C : { x2+ y2 = 1 z = 2 matendo-se paralelas ao plano Oy z (esta não é uma superfície cilíndrica, nem cônica, e tampouco de rotação; no entanto você pode adaptar as técnicas que aprendeu nesses casos para resolver o exercício). [11] Ache as equações das seguintes superfícies: (a) O cilindro com geratriz perpendicular ao plano x y e cuja diretriz é a parábola y = x2. (b) O elipsóide obtido girando a elipse x 2 2 + y2 4 = 1 ao redor do eixo maior. (c) O cone obtido girando a reta y = ax+b, z = 0 ao redor dos eixo dos y . (d) O cone obtido girando a reta x = t , y = 2t , z = 3t ao redor da reta x =−t , y = t , z = 2t . [12] Mostre que, se dois dos números a,b,c são iguais, o elipsóide E : x2 a2 + y 2 b2 + z 2 c2 = 1 é uma superfície de rotação. Especifique o eixo de rotação em cada caso. 32 [13] Mostre que se a = b, o hiperbolóide de uma folha H : x2 a2 + y 2 b2 − z 2 c2 = 1 é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação? [14] Mostre que se a = b, o hiperbolóide de duas folhas H :−x 2 a2 + y 2 b2 − z 2 c2 = 1 é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação? [15] Mostre que se a = b, o parabolóide elíptico P : z =x 2 a2 + y 2 b2 é uma superfície de rotação. Qual é o eixo de rotação? [16] A equação de um parabolóide hiperbólico S : z =−x 2 a2 + y 2 b2 pode ser escrita na forma z = ( −x a + y b )(x a + y b ) . (a) Mostre que, dado c 6= 0, a reta rc : x a + y b = c −x a + y b = z c está contida em S. Também, dado d 6= 0, a reta rd : x a + y b = z d −x a + y b = d está contida em S. (b) Prove que por cada ponto P de S de cota z 6= 0 passa uma única reta da forma rc , e uma única reta da forma rd . [17] Mostre que a superfície de equação z = x y é um parabolóide hiperbólico, efetuando uma mu- dança de coordenadas de (O, #«e 1, #«e 2, #«e 3) para (O′, #« f 1, #« f 2, #« f 3), sendo O′ =O, #«f 1 = #«e 1+ #«e 2p 2 , #« f 2 = #«e 2− #«e 1p 2 e #« f 3 = #«e 3. Faça uma figura. [18] Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano pi : x = 2 e do ponto P = (−2,0,0). Reconheça esse lugar geométrico. [19] Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E3 que equidistam das retas r : X = (0,0,0)+λ(1,0,0) e s : X = (0,1,0)+λ(0,0,1). Descreva esse lugar geométrico. [20] Identificar as quádricas cujas equações sejam: 33 (a) x2− y2+ z2 = 0 (b) x2− y2+ z2 = 1 (c) x2− y2+ z2 =−1 (d) x2−4y2 = 0 (e) x2−4y2 = 4 (f) 2x = y2+ z2 (g) 9y = x2 (h) 4z = y2−x2 (i) x2+4y2+9z2 = 25 (j) x2− y2 = z [21] Usando as translações e rotações dos eixos, identifique as superfícies cujas equações sejam: (a) 4x2+ y2+4z2−8x−2y −24z+44= 1 (b) 2x2+4y2+ z2−8y − z+ 614 = 0 (c) 4x2+ y2− z2+12x−2y +4z = 12 (d) 2x2− y2+3z2+1= 0 (e) y2+2x− z = 0 Referência: [1] Boulos, P., Camargo, I., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª Edição, Makron Bo- oks, 2004. [2] Lista elaborada pelo grupo de professores do BICT UFMA. 34
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